CÓNICAS

Matemática-Prof. Romina Ramos

Secciones cónicas

Historia

Matemático griego

Menecmo (vivió sobre el 350 A.C) descubrió estas curvas.

Matemático griego

Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas.

Según el corte encuentro:

Parábola ElipseCircunferenci

aHipérbola

Parábola

Elipse

Hipérbola

Circunferencia

Evaluar Punto:100=x^2+y^2

x y y 4,0 9,1652 -9,1652 6,0 8,0 -8,0 8,0 6,0 -6,0 10,0 0 0 2,0 9,798 -9,798 1,0 9,9499 -9,9499 0 10,0 -10,0 -2,0 9,798 -9,798 -4,0 9,1652 -9,1652

Circunferencia

La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

β = 90º

La circunferencia es un caso particular de elipse.

Ecuación de la circunferencia:

(x-a)2+(y-b)2 =r2

x2 +y2 + Ax + Bx + C=0

Punto c (a;b) es el centro de la circunferencia.

r, es el radio de la circunferencia.

(x+1)2 + (y-1)2 = 9 (x-6)2 + (y+2,1)2 = 1 (x-2,8)2 + (y-1,8)2 = 4

Otra forma:

Otra forma:

x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0

Donde A=-2 a B=-2b C= a2 +b2 - r2

Centro ( -A/2; -B/2)

Radio: r2 = (A/2)2 +(B/2)2 - c

X2 + y2 - 8x + 2y + 10 = 0

Centro ( 4 ; -1 )

Radio: Raìz cuadrada de 7

(x-4)2 + ( y+1) 2 = 7

Elipse

(x-4)^2/16+ (y+1)^2/9=1 x y y 1,0 0,9843 -2,9843 2,0 1,5981 -3,5981 3,0 1,9047 -3,9047 4,0 2,0 -4,0 5,0 1,9047 -3,9047 6,0 1,5981 -3,5981 7,0 0,9843 -2,9843 8,0 -1,0 -1,0

Elipse

Lugar geométrico de los puntos A de un plano cuya suma de las distancias de A a dos puntos fijos y distintos, llamados focos, F1 y F2 es constante.

AF1 AF2 = 2a

Elipse

F1 y F2 FOCOS

AB eje mayor

CD eje menor

A, B, C, D vértices

Ecuación general, ejemplo:

Desplazamientos….

(x-2)^2/9+(y+1)^2/4=1 (x+3)^2/9+(y-1)^2/1=1

(x+2)^2/1+(y-1)^2/100=1 (x-5)^2/49+(y-1)^2/36=1

También así: 3x^2+4y^2=48

Dividimos todo por 48 y nos queda

X2 + y2 = 1

16 12

Entonces a= 4; b=√12

C2 = a2 + b2 . C= 2

Focos en (2,0) y (-2,0)

Juntamos los términos de x con los de x y los de y con los de y…

(9x^2-18x) +(4y^2+16y)=11 Saco factor común 9 en un

paréntesis y 4 en el otro. 9( x^2 - 2x )= 9( x^2 - 2x + 1 - 1)= 9(( x-1)^2 - 1)= 9(x-1)^2 - 9

Otro ej.: 9x^2+4y^2-18x+16y-11=0

Continuamos…

Idem con el paréntesis que tiene y, nos queda:

4(y+2)^2-16 Entonces: 9(x-1)^2-9+4(y+2)^2-16=11 9(x-1)^2+4(y+2)^2=36 Divido todo por 36: (x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1 Obtenemos a=2 b=3 c= √5 Focos(1, -2± √5) Vértices: (1,1), (1,-5), (3,-2), (-1,-2)

Hipérbola

Hipérbola:

Lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la diferencia de la distancia a los focos es constante.

Ecuación de la hipérbola:

Centro en el origen de coordenadas y focos situados sobre el eje x:

12

2

2

2

b

y

a

x

12

2

2

2

b

y

a

x

La curva es simétrica respecto del eje x

La curva es simétrica respecto al eje y

Vértices: A(a,0) y A`(-a,0)

En el gráfico: (x-1)^2/4-(y+2)^2/9=1