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7/25/2019 Consolidado Trabajo Colaborativo Fase 3
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ECUACIONES DIFERENCIALES
FASE TRES
Presentado a:
MNICA MARCELA PEATutor
Entregado por:
Jos Domingo PalominoCdigo: 91185402
Leonardo Abdn Barn HernndezCdigo: 91111009
Nstor Yesid Contreras SurezCdigo: 1098680718
Cristhian Adrin Villabona MacasCdigo: 1095940225
Jorge Augusto JaimesCdigo: 91541983
Grupo: 100412_19
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNADESCUELA DE CIENCIAS AGRCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO
AMBIENTE
JUNIO del 2016BOGOT D.C.
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INTRODUCCION
El desarrollo del trabajo colaborativo de la fase 3 de ecuaciones diferenciales nos permite
abarcar los temas desarrollados en esta unidad, con el desarrollo de las actividades
propuestas, ejercicios y estudio de la temtica correspondiente.
Las ecuaciones diferenciales constituyen un buen instrumento para la interpretacin y
modelacin de fenmenos cientficos y tcnicos de mayor variedad que contienen
dinmicas de evolucin, transformacin o cambio en trminos de algunos parmetros.
Por eso son de importancia para los ingenieros de cualquier rama.
La participacin en el foro de cada uno de los compaeros con sus respectivos aportes da
muestra en el inters por aprender, desarrollar y aplicar los conceptos en ambientes de la
vida real, en que la construccin de modelos matemticos para tratar estos problemasimplican una ecuacin en que la funcin y sus derivadas desempean papeles decisivos,
estas ecuaciones son llamadas Ecuaciones Diferenciales.
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OBJETIVOS
* Solucionar ecuaciones con la aplicacin de los diferentes mtodos teniendo en cuenta el
modulo general de ecuaciones diferenciales.
* Resolver ecuaciones diferenciales, criterios de aplicacin, criterios de convergencia, mtodo de
series de potencia y series de potencia alrededor de un punto
* Obtener una herramienta fundamental que le permitir al estudiante, abordar problemas
concretos relacionados con otras ciencias.
* Reconocer y aplicar las tcnicas fundamentales para la solucin de ecuaciones diferenciales.
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Aporte individual Trabajo Colaborativo Fase 3 Unidad 3
1. Resolver el problema de valor inicial a travs del mtodo de series de Taylor , Nombre estudiante que realiza el ejercicio Jos Domingo Palomino
Martnez
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIONMATEMATICA
RAZON OEXPLICACION
, Ecuacin original 10 0 1 1Se encuentra que: 0 1
Reemplazando la condicin
inicial en la ecuacin
diferencial: ( 0 , 0)
0 1 1 1 1
1 1 Derivando la ecuacin
diferencial
1 1 0 0 1 2Se encuentra que: 0 2
Reemplazando las
condiciones inciales en la
expresin anterior
1 1 2 1 1 1
Derivando nuevamente 1 1 2 1 1 1
1 2 1 1 Reemplazando las
condiciones inciales en laecuacin anterior
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2 0 0 1 211 0 0 1 2 8 10Se encuentra que: 0 10
P ! P !
=
Entonces usando la serie de
Taylor para aproximar la
solucin a un polinomio
0 01! 0 02! 0 03! 0 0 11 22 106 106
Tomando un polinomio degrado 3
Solucin hallada
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1 1
= por el test de la serie
alternante la serie converge,as que el conjunto de
convergencia es
52 < 72
solucion
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3. Calcule el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia:
100! 7
Nombre estudiante que realiza el ejercicio Jorge Augusto JaimesJerez
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIONMATEMATICA
RAZON OEXPLICACION
100! 7
Para hallar la convergencia
usaremos el criterio de la
razn
La cual dice que
R =
lim | +
|
Remplazamos
l i m 100+! 1 7+100! 7
Despajamos, aqu usare la
regla de potencias que dice
que an* a1= an+1
l i m | ! 100 100 7 7 ! 1 100 7 | Despejando el polinomio nosquedaR = lim | ++ | Solucionando el limiteR =
+ |7| = R = + |7|R =
+ |7|
= 0En este caso es convergente en 0
Aplicando el lmite
En el caso del radio
Para x = x0tendr un radio de
convergencia = 0, en este
caso x0 es -7 ya que segn la
regla general de serie de
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potenciacin es (xa)n
remplazando en este caso
sera (x(-7))n de tal modo
que se cumple cuando x=-7 el
resultado dar 0 pero de igual
modo se cumple la regla que
para todo x tendr un radio
de convergencia =porque no importa el valor dex siempre dar 0.
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4. Hallar la solucin general de la siguiente ecuacin como una serie de potencialalrededor del punto x=0
2 0
Nombre estudiante que realiza el ejercicio Nstor Yesid ContrerasSurez.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIONMATEMATICA
RAZON OEXPLICACION
2 0Ecuacin Original.
= Consideramos solucin dela forma: = , =
Los desarrollos en seriepara y dados por.
=
=
= Sustituimos estas series depotencias en la ecuacin.
=
=
= Escribimos las tres series
de forma que el trminogeneral de cada una deellas sea una constantemultiplicada por
[ + ] = Separamos los trminoscorrespondientes a yagrupamos los coeficientesde obteniendo
+
,
Igualamos a 0 loscoeficientes de la serie depotencias
. . . . . . .
De esta manera
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. . ! . . . .
. . !
. ! ,+ . [ . . . ] ,Considerando y como constantesarbitrarias, se obtiene.
. !
=
[ . . . ] +
=
As nos resultan dossoluciones linealmenteindependientes.
Por consiguiente lasolucin a la ecuacin estdada por
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5. Resolver por series la ecuacin diferencial:
0Nombre estudiante que realiza el ejercicio LEONARDO ABDON
BARON HERNANDEZ
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIONMATEMATICA
RAZON OEXPLICACION 0 Ecuacin original
= Para iniciar asumimos que la
solucin es de la forma
= Y
1=
Encontramos las derivadas de
la funcin
1=
=
0 Sustituimos las derivadas en laecuacin inicial 1= = + 0
Ingresamos a la suma
22 1 33 1 1=
=
+ 0
2 6 1=
= + 0
Al reemplazar 2 en laprimera serie tenemo que la
potencia de es0, y alreemplazar 0 en lasegunda serie tenemos que la
potencia de
es
2 por esta
razn tenemos que igualar las
potencias iniciales para esto
sacamos 2 trminos de la
primera serie
En la primera serie hacemos: Ahora igualamos los
exponentes y los coeficientes
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2De donde 2si hacemos 4tenemos que 2En la segunda serie hacemos:
2De donde
2si hacemos
0tenemos que
2
de las series
2 6 2 1+= = 0Reemplazando lo anterior en
la ecuacin
2 6 2 1+= 02 6 ( 2 1+ )= 0
Reescribimos la ecuacin en
trminos de una sola
sumatoria
2 0, 0;6 0, 0;Y
2 1+ 0+ 2 1
De donde
Para
2
+ 2 22 1 43Para 3
+ 3 23 1 54Para 4
+ 4 24 1 65 0Para 5
+ 5 25 1 76 0
Ahora reemplazamos los
valores de
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Para 6+ 6 26 1 87 4387
Para
7
+ 7 27 1 98 5498Para 8
+ 8 28 1 109 0Para 9
+ 9 29 1 1110 0Para 1 0
+ 1 0 21 0 1 1211 43871211
Para
1 1
+ 1 1 21 1 1 1312 54981312
= Con estos valores anteriores y
volviendo a nuestra solucin
de la ecuacin
43 54 4387 5498 43871211 54981312
Tenemos nuestra solucin
general
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De donde:
43 54 4387
5498 43871211 54981312 Simplificando tenemos que:
1 43 4387 43871211
54 5498 54981312
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Actividad Colaborativa
1. EJERCICIO Y SOLUCI N PLANTEADA
Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial 0yyxy , determinando
dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias de x . Campo de validez
de las mismas. En particular obtener la solucin tal que y(0) = 1 y(0) = 0.
_____________
Esp( )
q( )
x x
x
1
. Ambas analticas en x0 = 0, con radios de convergencia de sus
respectivos desarrollosR
R
1
2
, es decir x0 = 0 es punto ordinario..
Luego, segn el teorema anterior, existe solucin de la ecuacin en serie de potencias dex,
vlida para todo xR .
Sea y a xn
n
n
0
. Por tanto :
y n a xnn
n
1
1
,
y n n a xnn
n
( )1 2
2
En la ecuacin diferencial :
n n a xn
n
n
( )
1 22
- n a xn
n
n
1
- a xn
n
n
0
0 en
Trmino independiente : 2 1 02 0 a a aa
2 02
Coeficiente de x : 3 2 03 1 1 a a a aa
31
3
............................ ................................. .................
Coeficiente de xn: n n a n an n 2 1 1 02
aa
nn
n
22
Ley de recurrencia : aa
nn
n
n 2 2
Luego a0y a1son libres y
aa
n
aa
n
n
n
20
2 11
2
2 1
( )!!
( )!!
Por tanto :
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y x a
x x x
na x
x x x
n
a y x a y x x
n n
( )!! !!
...( )!!
...!! !!
...( )!!
...
( ) ( )
0
2 4 2
1
3 5 2 1
0 1 1 2
12 4 2 3 5 2 1
Solucin particular:y
y
a
a
( )( )0 10 0
10
0
1
Luego y xx
n
n
( )( )!!
2
0 2
y xx
n
x
n
n
n
n
( )! !
2
0
2
02
2
2
x2
e)x(y
2. EJERCICIO Y SOLUCI N
PLANTEADA
OBSERVACIONES, ANEXOS,
MODIFICACIONES A LA
SOLUCIN PLANTEADA
Inicialmente un cultivo tiene un nmero debacterias. En 1 se determina que elnmero de bacterias es
43 . Si la razn decrecimiento es proporcional al nmero de
bacterias presentes en el tiempo t,determine el tiempo necesario para que se
duplique el nmero de bacterias.
Solucin a evaluar:
Planteando la ecuacin diferencial sera: 0Solucionamos por series:
Inicialmente un cultivo tiene un nmero debacterias. En 1 se determina que elnmero de bacterias es
43 . Si la razn decrecimiento es proporcional al nmero de
bacterias presentes en el tiempo t,determine el tiempo necesario para que se
duplique el nmero de bacterias.
Solucin a evaluar:
Planteando la ecuacin diferencial sera: 0Solucionamos por series:
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=
1
1
Reemplazando
11
0 0 11
0 0Hacemos en la primera serie = 1 y en lasegunda =
11
0
0 0
Agrupando en una sola serie:
[ 11 ]0 0Hacemos el coeficiente de igual a cero 11 0Despejando 11
1
1
Como = Tenemos que:
!
=
!
=
En = 0 se tiene que0 00 0Por lo tanto
En = 1 se tiene que
=
1
1
Reemplazando
11
0 0 11
0 0Hacemos en la primera serie = 1 y en lasegunda =
11
0
0 0
Agrupando en una sola serie:
[ 11 ]0 0Hacemos el coeficiente de igual a cero 11 0Despejando 11
1
1
1 02 12 02 201 23 23
2023 301 2 34 34
301 2 34 401 2 3 4Por tanto
0! Como
= Tenemos que:
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43 0 043
l n 43
Por lo tanto:
Para determinar el tiempo en que se ha
duplicado 2 Entonces: ln 43 l n 2
ln 2ln 43
2,41
!
=
!
=
En = 0 se tiene que0 00 0Por lo tanto
En = 1 se tiene que43 0 04
3
l n 43Por lo tanto:
Para determinar el tiempo en que se ha
duplicado 2 Entonces:
ln43 l n 2
ln 2ln 43 2,41