Post on 03-Feb-2016
Control Automático (CAS6201)
Prof. Christian Nievas Grondona.
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Sesión 8:
LGR y Routh-Hurwitz.
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Lugar Geométrico de Raíces (LGR).
Introducción:A menudo en un problema de diseño es
necesario tener un esbozo rápido del comportamiento a lazo cerrado del sistema.
El Lugar de las Raíces permite examinar la ubicación de las raíces del polinomio característico en función de un parámentro variable (una ganancia, un cero del controlador, etc).
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Lugar Geométrico de Raíces.
Introducción:Un sistema de lazo cerrado se estructura de
la siguiente forma:
)()·(1
1
)(
)(
sGsCsR
sY
Polos del Lazo Cerrado
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Lugar Geométrico de Raíces.
Introducción:Consideremos la ecuación:
Donde 0 y M(s),D(s) tienen grados m,n respectivamente.
La solución del problema del LGR requiere encontrar todos los puntos del plano complejo que son soluciones para todos los valores de .
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Lugar Geométrico de Raíces.
Pasos para construir a mano el LGR:1. Dibujar los polos y ceros de F(s) (lazo abierto).
2. Dibujar la parte del LGR sobre el eje real.
3. Determinar el centroide y esbozar las asíntotas.
4. Determinar los puntos de bifurcación.
5. Determinar los ángulos de salida/llegada.
6. Calcular los cruces con el eje imaginario.
7. Dibujar el resto del LR.
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Lugar Geométrico de Raíces.
Ejemplo: Consideramos la función transferencia:
Donde K(s) representa un controlador y G0(s) el modelo nominal de la planta.
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Lugar Geométrico de Raíces.
Ejemplo: Estudiaremos el LGR de 1+F(s), que
representa los polos del lazo cerrado nominal formado con K(s) y G0(s) para distintos valores de , que representa en este caso la ganancia variable del controlador.
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Lugar Geométrico de Raíces.
Ejemplo: Las funciones rlocus y rltool de MATLAB
calculan el LGR exacto.
>> C=tf([1 3],[1 4 5]);>> G=tf(100,[1 -0.5+4 -0.5*4]);>> rlocus(C*G)
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Lugar Geométrico de Raíces.
)4(
1)(
sssG
Ejemplos: Planta estable básico, controlador
proporcional (k). Para este ejemplo, los polos de la planta son 0 y - 4. La ecuación característica del lazo cerrado es: s2+4s+k. Entonces los polos del lazo cerrado son: Lo polos dependen de la ganancia proporcional del
controlador k.
ks 422,1
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Lugar Geométrico de Raíces.
ks 422,1
Ejemplos: Planta estable básico, controlador
proporcional (k).
k=0, Polos en posición 0 y -4 (estable).
k=4, Polo doble en -2 (estable).
k>4, Polos complejos (estable).
k, Frecuencia de amortiguación infinita.
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Lugar Geométrico de Raíces.
)1(
)2()(
s
ssG
Ejemplos: Planta estable bipropia, controlador
proporcional (k). Para este ejemplo, el polo de la planta es -1 y el cero es -2. La ecuación característica del lazo cerrado es: s(k+1)+2k+1. Entonces el polo del lazo cerrado es: El polo dependen de la ganancia proporcional del controlador
k.
)1/()12(1 kks
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Lugar Geométrico de Raíces.
1
121
k
ks
Ejemplos: Planta estable básico, controlador
proporcional (k).
k=0, Polo en posición -1 (estable).
k, Polo cercano a posición -2 (estable).
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Lugar Geométrico de Raíces.
)54(
)3()(
2
ss
ssG
Ejemplos: Planta inestable, controlador proporcional (k).
Para este ejemplo, los polos de la planta son -1 y 5, el cero es -3.
La ecuación característica del lazo cerrado es:
s2+ s(k-4)+3k-5.
Entonces el polo del lazo cerrado es:
2
3620
2
4 2
2,1
kkks
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Lugar Geométrico de Raíces.
2
3620
2
4 2
2,1
kkks
Ejemplos: Planta estable básico, controlador
proporcional (k).
k=0, Polos en posición -1y 5 (inestable).
k=2, polo doble en 1 (inestable).
k>2, Polos complejos (inestable).
k4, Polos complejos (estable).
k, polo tendiendo a -3 e infinito (estable).
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Lugar Geométrico de Raíces.
Resumen: LGR entrega información sobre estabilidad
del lazo cerrado (SPI y SPD). Nos entrega información dinámica, con la
posición de los polos (simples o amortiguados).
LGR nos permite diseñar un controlador proporcional para un sistema.
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Algoritmo Routh-Hurwitz.
Consideremos el polinomio p(s) definido por:
El problema a estudiar es determinar si p(s) tiene alguna raíz con parte real no negativa. Obviamente, podemos responder a esta cuestión calculando las n raíces de p(s). Sin embargo, en muchas aplicaciones interesa estudiar la relación entre la posición de las raíces y ciertos coeficientes del polinomio.
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Algoritmo Routh-Hurwitz.
Polinomio Hurwitz. Los polinomios que tienen todas sus raíces con
parte real negativa se dicen polinomios Hurwitz. Criterio Routh-Hurwitz.
Es uno de los métodos más usados para determinar si un polinomio es Hurwitz o no basándose en sus coeficientes.
Es particularmente útil para polinomios de grado elevado.
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Algoritmo Routh-Hurwitz.
Procedimiento: 1. Escribir el polinomio en la forma:
1. Si cualquiera de los coeficientes es cero o negativo y al menos uno de los coeficientes positivo, entonces existe al menos una raíz que es imaginaria o tiene parte real positiva (el polinomio no es Hurwitz).
01
12
21
1 ... asasasasa nn
nn
nn
20
Algoritmo Routh-Hurwitz.
Procedimiento: 3. Si todos los coeficientes son positivos,
ordenarlos en filas y columnas según el siguiente arreglo numérico.
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Algoritmo Routh-Hurwitz.
Procedimiento: El criterio de Routh-Hurwitz establece que el
número de raíces con parte real positiva es igual al número de cambios de signo en la primera columna de la tabla. Un polinomio Hurwitz tiene todos sus coeficientes, y también todos los términos de la primera columna de la tabla, positivos.
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Algoritmo Routh-Hurwitz.
Ejemplo: Se tiene el siguiente sistema:
Se requiere aplicar criterio Routh-Hurwitz, para analizar si es estable el sistema.
)123(
)3()(
234
ssss
ssG
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Algoritmo Routh-Hurwitz.
Ejemplo: Aplicando R-H:
1
1
11
21
131
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
- No hay cambio de signo en la primera columna, es decir, el polinomio es Hurwitz, que tiene todas sus partes reales negativas (SPI), el sistema es estable.
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Algoritmo Routh-Hurwitz.
Ejemplo: Se tiene el siguiente sistema:
Se requiere aplicar criterio Routh-Hurwitz, para analizar si es estable el sistema.
)6313124(
)5()(
2345
2
sssss
ssG
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Algoritmo Routh-Hurwitz.
Ejemplo: Aplicando R-H:
6
6/8160
647/566
5/95/47
6135
3121
0
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
s
- Hay 2 cambios de signo en la primera columna, por lo tanto, hay por lo menos 2 raices positivas (SPD), es decir, el sistema es inestable.
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Consultas y Contacto
Christian Nievas Grondona.
cnievas@ing.uchile.cl