Post on 08-Jul-2020
PD4
“Coordenadas cartesianas y rectas. Paralelismo y
perpendicularidad. Aplicaciones. Transformaciones de
coordenadas.”
1
PD4
Distancia en el Plano. Definimos la distancia entre P y Q como:
d(P,Q) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
P (x1, y1)
Q(x2, y2)
x
y
PD4
Propiedades de la distancia. Sean P,Q,R ∈ R2 puntos del plano. Entonces
� d(P,Q) ≥ 0
� d(P,Q) = 0↔ P = Q
� d(P,Q) = d(Q,P )
� d(P,R) ≤ d(P,Q) + d(Q,R)
P
QR
x
y
PD4
Punto medio. Sean P,Q,R ∈ R2 puntos del plano. Entonces
� M =P +Q
2
� d(P,M) = d(M,Q)
� M : Punto medio del segmento PQ
P
Q
M
x
y
PD4
Pendiente. Sean P (x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos distintos en el plano R2. Definimos la
pendiente entre estos dos puntos pend(P,Q) como:
pend(P,Q) =
y2 − y1x2 − x1
, si x1 6= x2 (razon de cambio)
vertical, si x1 = x2.
P
Q
x
y
PD4
Definicion. Dados P,Q ∈ R2 dos puntos distintos del plano, tenemos:
pend(P,Q) ∈ R ∨ pend(P,Q) es vertical
Denotamos por
R = R ∪ {vertical}
al conjunto de todas las posibles pendientes.
PD4
Propiedades.
� Dados P y Q dos puntos distintos del plano. Entonces
pend(P,Q) = pend(Q,P )
� Dados P,Q y R tres puntos distintos dos a dos del plano y m ∈ R. Si
pend(P,Q) = pend(Q,R) = m
entonces
pend(P,R) = m.
PD4
Recta. Sean m ∈ R y P ∈ R2 un punto en el plano. Definimos el conjunto
l(m, p) = {Q ∈ R2 : Q = P ∨ pend(P,Q) = m} ⊂ R2
Como la recta de pendiente m y que pasa por el punto P (punto de paso).
l = l(m,P )
Q
P
x
y
PD4
Teorema. En una recta cualquier par de puntos diferentes tienen la misma pendiente.
pend(P,Q) = pend(R, S)
l = l(m,P )
P
Q
RS
x
y
PD4
Teorema. Sean l1 = l(m1, P1) y l2 = l(m2, P2) dos rectas (m1,m2 ∈ R).
� Si P1 = P2, entonces
l1 = l2 ↔ m1 = m2.
� Si P1 6= P2, entonces
l1 = l2 ↔ m1 = m2 = pend(P1, P2).
l1 = l2
x
y
PD4
Teorema. Dos rectas siempre cumplen una y solo una de las siguientes condiciones.
� Son iguales.
� Se intersectan en un solo punto.
� No se intersectan.
l1 = l2
x
yl1
l2x
y
l1 l2
x
y
PD4
Intercepto. Si una recta intersecta el eje x en un unico punto (a, 0) entonces el x-intercepto
es la constante a.
Intercepto. Si una recta intersecta el eje y en un unico punto (0, b) entonces el y-intercepto
es la constante b.
l = l(m,P )(0, b)
(a, 0)x
y
PD4
Ecuacion punto-pendiente de la recta. Si m ∈ R y P = (x0, y0) entonces
l(m,P ) = {(x, y) ∈ R2 : y − y0 = m(x− x0)}
l = l(m,P )
Q
P
x
y
Observacion: La ecuacion punto-pendiente no admite representacion unica.
PD4
Ecuacion pendiente-intercepto de la recta. La ecuacion de una recta de pendiente real
m se puede expresar como
l(m,P ) = {(x, y) ∈ R2 : y = mx+ b}
donde b es el y-intercepto.
l = l(m,P )(0, b)
x
y
Observacion: La ecuacion pendiente-intercepto admite representacion unica.
PD4
Ecuacion doble-intercepto de la recta. Si los interceptos de la recta son no nulos,
entonces la ecuacion de la recta se puede expresar como
l(m,P ) ={
(x, y) ∈ R2 :x
a+x
b= 1}
donde a es el x-intercepto y b es el y-intercepto.
l = l(m,P )(0, b)
(a, 0)x
y
Observacion: La ecuacion doble-intercepto admite representacion unica.
PD4
Ecuacion general de la recta. Toda recta tiene una ecuacion de la forma
l = l(m,P ) ={
(x, y) ∈ R2 : Ax+By + C = 0}
donde A,B,C son constantes. Esta ecuacion se denomina ecuacion general de la recta.
l
x
y
Observacion: Las constantes A y B no pueden ser ceros a la vez (A2+B2 6= 0). La ecuacion
general no admite representacion unica.
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Pendiente vertical. Si la pendiente es vertical, la recta satisface la ecuacion
x = a
PD4
Paralelismo. Dos rectas son paralelas cuando son iguales o no se intersectan.
� Si l1 y l2 son paralelas usaremos la notacion ll ‖ l2.
Propiedad. Dos rectas son paralelas si y solamente si tienen la misma pendiente.
� ll ‖ l2 ↔ m1 = m2.
l1 = l2
x
y
l1 l2
x
y
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Perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares cuando el angulo entre ellas es recto
(90◦).
� Cuando l1 y l2 son perpendiculares usaremos la notacion ll ⊥ l2.
Propiedad. Dos rectas l1 = l1(m1, P1) y l1 = l2(m2, P2) con m1,m2 ∈ R− {0} son perpen-
diculares si y solamente si
m1 ·m2 = −1
� ll ⊥ l2 ↔ m1 ·m2 = −1.
l1
l2x
y
PD4
Diccionario. Denotamos por p al precio unitario de un producto y por q al numero
de unidades de dicho producto. Ambas se asumen usualmente como numeros reales no
negativos, es decir, elementos del conjunto R+0 = {x ∈ R : x ≥ 0}.
Oferta. La oferta es una relacion O ⊂ R+0 × R+
0 donde (q, p) ∈ O representa el precio
unitario p que un productor esta dispuesto a vender por q unidades de un bien.
Demanda. La demanda es una relacion D ⊂ R+0 ×R+
0 donde (q, p) ∈ D representa el precio
unitario p que un comprador esta dispuesto a pagar por q unidades de un bien.
PD4
Observacion. Una de las leyes de la oferta y demanda nos dice que un aumento en el precio
tiende a disminuir la demanda D y a aumentar la oferta O. Entonces las siguientes figuras
pueden representar la oferta y demanda de un bien en el caso que sean lineales.
O
q
p
D q
p
PD4
Punto de equilibrio. El punto de equilibrio entre la oferta y la demanda es el punto (qe, pe)
donde la oferta y la demanda se intersectan, es decir, O ∩D = {(qe, pe)}.
� pe:= precio de equilibrio (o precio del mercado).
� qe:= cantidad de equilibrio (o cantidad de mercado).
qe
pe
O
D
(qe, pe)
q
p
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Excedente del consumidor. El excedente del consumidor (EC) es el area encerrada por
la demanda, el eje p y la recta horizontal p = pe.
Excedente del consumidor. El excedente del productor (EP) es el area encerrada por la
oferta, el eje p y la recta horizontal p = pe.
Excedente. Tambien se define el excedente como la suma del excedente del consumidor y
el excedente del productor.
qe
pe
O
D
(qe, pe)EC
q
p
qe
pe
O
D
(qe, pe)EP
q
p
PD4
Observacion:
� Si la ecuacion la Oferta es lineal:
O : p = mq + b.
La pendiente nos dice cuantas unidades monetarias adicionales debe aumentar el precio
para ofertar una unidad adicional.
� Si la ecuacion de la Demanda es lineal:
D : p = mq + b.
La pendiente nos dice cuantas unidades monetarias debe disminuir el precio para com-
prar una unidad adicional
PD4
Problema. Denotemos O : p = m1q + b1 , D : p = m2q + b2 las ecuaciones de la Oferta y
Demanda (m1 > 0,m2 < 0, 0 < b1 < b2).
� EC =qe(b2 − pe)
2= −1
2m2q
2e
� EP =qe(pe − b1)
2=
1
2m1q
2e
� Determine la ecuacion de la demanda en terminos de EC y (qe, pe).
� Determine la ecuacion de la demanda en terminos de EC, m2 y pe .
� Determine la ecuacion de la oferta en terminos de EP y (qe, pe).
� Determine la ecuacion de la oferta en terminos de EP , m1 y pe.
PD4
Problema. Denotemos O : p = m1q + b1 , D : p = m2q + b2 las ecuaciones de la Oferta y
Demanda (m1 > 0,m2 < 0, 0 < b1 < b2).
� EP = EC si y solo si m2 = −m1.
� Si EP = EC entonces pe =b1 + b2
2
� Suponga que m2 = −m1. Determine la ecuacion de la oferta y demanda en terminos
de E y (qe, pe).
� Suponga que (0, 0) ∈ O. Determine la ecuacion de la oferta y demanda en terminos de
E y (qe, pe).
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Problema. El capitan de un navıo se encuentra en un mercado del caribe donde los pro-
ductores de cana de azucar hacen sus ventas. El capitan puede pagar 40 monedas de oro por
5 botellas de ron. El precio de equilibrio se establece en 7 monedas de oro por botella. El
excedente del capitan es de 10 monedas de oro.
(a) Encuentre la ecuacion de la demanda del capitan.
(b) Los productores ofertan 20 botellas a un precio mayor al que el capitan esta dispuesto a
comprarlas. La diferencia en estos precios por unidad es de 7 monedas de oro. ¿Cuanto
debe subir el precio unitario para que los productores oferten 6 botellas adicionales?
(c) Calcule el excedente de los productores.
PD4
Diccionario.
� q : Numero de unidades que se fabrican de un bien.
� p : Precio unitario.
PD4
Ingreso, Costo y Utilidad.
� El Ingreso, I, de define por I = pq.
� El costo fijo: Cf , es el que se mantiene constante durante el proceso de produccion.
� El costo variable se define como: Cv = qCu, donde Cu es el costo unitario de produc-
cion.
� El costo o costo total: C, se define por C = Cf + Cv = Cf + qCv.
� La utilidad: U , se define como U = I − C = p(q − Cu)− Cf .
PD4
Observacion: Como vemos, existe una relacion entre el ingreso y las unidades producidas
ası como tambien entre el costo y las unidades producidas. Podemos entonces pensar en
ellas como relaciones, subconjuntos de R+0 × R+
0 . Definimos el punto de equilibrio en este
contexto como la interseccion del ingreso con el costo. Si dicho punto es (q0,M0) entonces
q0 es el nivel de produccion de equilibrio y M0 se denomina monto de equilibrio.
q0
M0
CI
(q0,M0)
q
S/.
PD4
Propiedades.
I = p· q
C = Cuq + Cf
U = (p− Cu)q − Cf
(q0,M0)
Cf
−Cf
q0
M0−
q
p � En el equilibrio U(q0) = 0 entonces
(p− Cu)q0 = Cf
� (0,−Cf ), (q0, 0) ∈ U ,U
−Cf
+q
q0= 1
� (0, Cf ), (q0,M0) ∈ C
� (q0,M0) ∈ I entonces p =M0
q0
� I(q0) = C(q0) = M0
PD4
Propiedades.
I = p· q
C = Cuq + Cf
U = (p− Cu)q − Cf
(q0,M0)
Cf
−Cf
q0
M0−
q
p � p : precio de venta unitario, q : unidades
producidas y vendidas
� U(nq) = nU(q) + (n− 1)Cf , n ∈ Q
� U(q0 + k) = k(p− cu) para todo k ∈ N
� U(q) = 0⇔ q = q0
� Analice la utilidad en los intervalos
]0, q0[ , ]q0,+∞[.
PD4
Problema - Ingreso - Costo - Utilidad.
Una empresa local tiene ecuaciones de ingreso(I), costo total(C) y utilidad(U) lineales.
(q0, 1800) es el punto de equilibrio y U(3q0) = 2400. Se sabe que cuando se producen
125 unidades se tiene una ganancia de 300 soles. Determine las ecuaciones de I yC.
PD4
Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Grafica.
Pedro debe construir el grafico del costo, ingreso y utilidad de la empresa donde trabaja, la
cual se encarga de la venta de pasadores deportivos. Olvido trazar una de las rectas, por lo
cual obtuvo el grafico mostrado. Si la empresa vende 100 pasadores mas, sus utilidades se
incrementan en 8 soles.
I
U
60
−6400
(m,n)
320600
ciento de unidades
S/. Soles
(a) Determine las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad.
(b) Calcule m y n.
(c) Determine la cantidad en la cual la utilidad es el 100% del costo.
PD4
Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Lımites.
En una empresa los ingresos y costos son lineales y cambian mensualmente. Se sabe que el
monto de equilibrio y la cantidad de equilibrio en el n-esimo mes son respectivamente
Mn =2· 3n + 3·πn
πn
qn =√
4n2 + 8n− 2n
Ademas, los costos fijos en el n-esimo mes son
Cn =2 + 2n+ n2
1 + 2n+ 2n2
� Calcule el punto de equilibrio a largo plazo.
� Calcule el costo fijo a largo plazo.
� Calcule la ecuacion de la utilidad a largo plazo.
PD4
Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Equilibrio.
Los ingresos en soles de una empresa estan dados por I = 2q2 − 8q + 20 donde q son las
unidades producidas y vendidas. Supongamos que el costo es lineal.
(a) Si el costo unitario es de 4 soles por unidad y el costo fijo es de 4 soles, calcule los niveles
de produccion en los que no hay perdidas ni ganancias.
(b) Si el costo unitario se mantiene en 4 soles por unidad, determine el nuevo costo fijo para
que exista solo un nivel de produccion en donde no hay perdidas ni ganancias.
PD4
Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Demanda.
La cadena de librerıas V& W adquiere de la editorial LIWRU los libros “Calculo Diferencial
para Economistas” a un costo de 20 soles por unidad. Actualmente, la librerıa V& W vende
cada libro a 25 soles teniendo una demanda semanal de 55 ejemplares. Ademas se estima
que, por cada sol que se reduce el precio del libro se venden 5 libros mas por semana.
� Si p es el precio de venta (unitario) del libro, determine la ecuacion de la demanda
(semanal) del libro q en terminos del precio unitario p.
� Determine la funcion utilidad (semanal) en terminos de p (considere que el costo fijo
es nulo).
� ¿Cuanto debe incrementar el precio de venta actual para obtener el maximo beneficio?
PD4
Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Razon de cambio.
Se sabe que una empresa tiene una utilidad de dos mil soles cuando se producen ochocientas
unidades. Ademas se sabe que por cada aumento de cincuenta unidades en la produccion,
la utilidad aumentara en doscientos soles.
(a) Asuma que la utilidad es lineal y determine su ecuacion.
(b) Si el monto de equilibrio es el doble del costo fijo, determine la ecuacion del costo total.
PD4
Problema - Oferta - Demanda - Lımites.
La oferta y la demanda de un bien son lineales y cambian cada dıa. La variable t representa
el dıa, ası t = 1 representa el dıa de hoy y t = 2 el dıa de manana. En el dıa t, cuando el
precio unitario es de 2 soles por unidad, se ofertan 2−t/2 unidades del bien. En cualquier dıa
el productor esta dispuesto a vender 10 unidades del bien por un total de 60 soles. Por otro
lado, el p-intercepto de la demanda en el dıa t es de 23t2
t2−1 soles por unidad y en cualquier
dıa si el precio unitario aumenta en 4 soles la demanda disminuye en 5 unidades. Calcule el
precio del mercado a largo plazo (Sugerencia: determine primero las ecuaciones de la oferta
y la demanda a largo plazo).
PD4
Oferta - Demanda.
� Sean D : p = m1q + b1 y O : p = m2q + b2 las ecuaciones de la demanda y la oferta de
cierto bien, donde las constantes m1,m2, b1, b2 satisfacen m1 < 0, m2 > 0, b1 > b2 > 0.
Demuestre que EP = EC si y solamente si m2 = −m1.
� La ecuacion de la oferta de cierto bien viene dada por p = a2q + 2 Si la ecuacion de la
demanda, es perpendicular a la oferta, y pasa por el punto (0, b), donde b > 2. Calcule
el valor de a para que el excedente del productor sea igual al excedente del consumidor.
PD4
Oferta - Demanda.
� En un mercado de oferta y demanda altamente inestable, la ecuacion de la oferta, que
depende del tiempo, esta dada por O : p = (3t2 − 4t + 4)q + (9t + 2) y la ecuacion de
la demanda es D : p = −83q + 24, donde t ∈ [0, 1].
� Determine la ecuacion de la oferta en el instante (tiempo) en que EP = EC.
� Determine el punto de equilibrio en el instante (tiempo) encontrado en el item
anterior.
PD4
Transformaciones de coordenadas.
Traslaciones. Sean h, k ∈ R constantes. Una traslacion de coordenadas es una relacion en
R2 que asigna a cada coordenada (x, y) ∈ R2 la coordenada (x′, y′) ∈ R2 definida por las
ecuaciones
x′ = x− h y′ = y − k
PD4
Observaciones:
� Cuando k = 0 la traslacion se dice horizontal.
� Cuando h = 0 la traslacion se dice vertical.
� Denotamos la traslacion por TP donde P = (h, k) y podemos entenderla como la
traslacion que lleva el punto P al origen.
� Si Q = (x, y) entonces usamos la notacion
TP (Q) = Q′ = (x′, y′)
PD4
Representacion grafica de una traslacion: www.desmos.com
PD4
Re-escalamiento: Sean h, k ∈ R constantes positivas. Un re-escalamiento de coordenadas
es una relacion en R2 que asigna a cada coordenada (x, y) ∈ R2 la coordenada (x′, y′) ∈ R2
definida por las ecuaciones
x′ =1
h· x y′ =
1
k· y
PD4
Observaciones:
� Cuando k = 1 el re-escalamiento es horizontal.
� Cuando h = 1 el re-escalamiento es vertical.
� Denotamos el re-escalamiento por EP donde P = (h, k).
� Podemos pensar en esta transformacion de coordenadas como una transformacion que
re-escala el eje de abscisas por el factor h y el eje de ordenadas por el factor k.
� Si Q = (x, y) entonces usamos la notacion
EP (Q) = Q′ = (x′, y′)
PD4
Representacion grafica de un re-escalamiento: www.desmos.com
PD4
Reflexiones. Sean l ⊂ R2 una recta, P = (x, y) ∈ R2. Definimos la reflexion de P a traves
de la recta l como Q = (x′, y′) ∈ R2 de la siguiente manera.
� Si P ∈ l entonces Q = P .
� Si P /∈ l entonces construimos la recta r tal que P ∈ r y r ⊥ l. Sea R el punto de
interseccion de l con r. Definimos Q como el punto tal que R es el punto medio entre
P y Q.
� La recta l se denomina eje de reflexion.
� Si Q = (x, y) entonces usamos la notacion
Rl(Q) = Q′ = (x′, y′)
PD4
Observacion. Si hacemos esto con todos los puntos del plano a esta la llamamos una
reflexion del plano cartesiano a traves del eje l y lo denotamos por Rl. Si Q = (x, y) entonces
usamos la notacion Rl(Q) = Q′ = (x′, y′).
PD4
Composicion. Sean S1 y S2 dos transformaciones de coordenadas cualesquiera. Si aplica-
mos primero S1 y luego S2 llamaremos tambien al resultado una transformacion de coorde-
nadas. Denotaremos dicha transformacion por S2 ◦ S1 y la llamamos la composicion de dos
transformaciones (notemos que el orden se lee de derecha a izquierda).
PD4
Teorema:
� Cuando el eje de reflexion es el eje de las ordenadas la reflexion se dice horizontal, se
denota por Rh , y se puede probar que
x′ = −x y′ = y
� Cuando el eje de reflexion es el eje de las abscisas la reflexion se dice vertical, se denota
por Rv , y se comprueba que
x′ = x y′ = −y
� Si el eje de reflexion es la recta determinada por la ecuacion y = x la reflexion es
diagonal, se denota por Rd, y podemos demostrar que
x′ = y y′ = x
�
PD4
Teorema:
� El resultado de una reflexion horizontal seguida de una reflexion vertical se denomina
reflexion a traves del origen, se denota por RO = Rv ◦ Rh , y se calcula directamente
que
x′ = −x y′ = −y
� El resultado de una reflexion diagonal seguida de una reflexion horizontal es
Rπ2
= Rh ◦Rd y se puede demostrar que esta es una rotacion por un angulo recto.
Se calcula directamente que
x′ = −y y′ = x
PD4
Problema - Parabola - Transformaciones - Recta tangente.
Sea x2 − 10x− 8y + 9 = 0(y2 − 10y − 8x+ 9 = 0) la ecuacion de una parabola.
(a) Complete cuadrados y determine el vertice de la parabola.
(b) Determine las transformaciones para obtener la nueva ecuacion de la parabola
(y′) = (x′)2
(c) Grafique ambas conicas en el plano cartesiano.
(d) Calcule la ecuacion de la recta tangente a la parabola en el punto P = (7,−32)
PD4
Problema - Transformaciones - Reflexion de una recta.
Para la recta L : y = 2x− 3 se realizan un numero finito de transformaciones, en el siguiente
orden:
(a) Una traslacion vertical de dos unidades hacia arriba
(b) Una reflexion horizontal
(c) Una traslacion horizontal de una unidad a la izquierda y = −2x− 3
(d) Una reflexion respecto de la recta L : y = 3x
Determine la ecuacion resultante, indicando el resultado obtenido despues de cada transfor-
macion.
Encontrar la ecuacion resultante despues de aplicar todas las transformaciones. Graficar.
PD4
Problema - Transformaciones - Eliminacion.
Trasladar los ejes xy de modo que la ecuacion x3 + 3x2 + 2y + 8 = 0 referida a los nuevos
ejes no contenga terminos de segundo grado, ni termino constante.
PD4
Demuestre.
(a) Demuestre que cualquier recta con pendiente m ∈ R−{0} y su transformacion mediante
una traslacion T(h,k), son paralelas.
(b) Demuestre que la transformacion, mediante un reescalamiento E(h, k), de una recta con
pendiente real que pasa por el origen, es tambien un recta que pasa por el origen.
(c) Dada la ecuacion y = mx + b, con m > 0, muestre que en cualquier re-escalamiento la
recta tiene pendiente positiva. ¿Que sucede con la pendiente cuandom < 0, m = 0?
(d) Si l es una recta de pendiente real, entonces su pendiente es invariante mediante refle-
xiones a traves del origen.
PD4
Demuestre.
(a) Demuestre que:
∀a, b ∈ R, ∀c, d > 0,
[E(c,d) ◦ T(a,b) = T(a/c,b/d) ◦ E(c,d)
](b) Asuma al ingreso y costo total lineales. Si q0 el nivel de produccion de equilibrio. En-
tonces U(3q0) = 2U(2q0).
(c) Si q0 es el nivel de produccion de equilibrio, entonces U(2q0) es el costo fijo.
PD4
Justifique la falsedad.
(a) Si la pendiente de la oferta aumenta y su p-intercepto se mantiene constante, la cantidad
de equilibrio aumenta.
(b) Justifique la falsedad de la siguiente proposicion. Para todo a, b ∈ R y todo c, d > 0 se
cumple que
E(c,d) ◦ T(a,b) = T(a,b) ◦ E(c,d)
(c) Las ecuaciones de ingreso y costo de un productor estan dadas por I = pq y C = cf +cuq
donde (q0,M0) es el punto de equilibrio actual. Si el precio y costo fijo se mantienen
constantes, y el costo por unidad se incrementa, entonces el nuevo costo por producir q0
unidades es igual a M0.
PD4
Justifique la falsedad.
(a) Si una recta corta en un solo punto a una parabola entonces es tangente a la parabola.
(b) En una hiperbola equilatera el producto de sus pendientes -1.
(c) Una hiperbola con eje transversal horizontal o vertical es equilatera si y solo si el producto
de sus pendientes -1 (propiedad)
PD4
Justifique la falsedad.
(a) En una empresa si el precio unitario aumenta entonces el nivel de produccion de equilibrio
aumenta.
(b) Si el costo fijo es de 1000 soles y (100,1200) es el punto de equilibrio, entonces la utilidad
esta dada por U(q) = 10q − 2000.
(c) El excedente del consumidor siempre es mayor que el excedente del productor.
(d) La recta l1 : 2x + 3y = 5 puede ser transformada por una traslacion en la recta l2 :
3x+ 4y = 5.
PD4
Problema - Transformaciones.
En la siguiente figura se muestra cuatro triangulos. Describa las transformaciones que con-
vierten al triangulo ABC en los triangulos: A′B′C ′, A′′B′′C ′′ y A′′′B′′′C ′′′.
−7 −4−3−2 1 3 4 5 7 8 17
−3
−1
1
2
3
4
7
y = x
A B
C
A′ B′
C ′
A′′B′′
C ′′
A′′′
C ′′′
B′′′
x
y
PD4
�
∆PQR =
[Rv ◦ T(−5,−1) ◦ E1
3,1
2
◦ T(3,1)]
(∆ABC)
�
∆PQR =
[Rh ◦ T(0,−1)
](∆ABC)
�
∆PQR =
[Rh ◦ T(−2,−3) ◦Rd ◦ T(3,1)
](∆ABC)
PD4
Problema - Transformaciones - Reflexion de una recta.
Para la recta
l1 : y = 2x− 3
se realizan un numero finito de transformaciones, en el siguiente orden:
(a) Una traslacion vertical de dos unidades hacia arriba.
(b) Una reflexion horizontal.
(c) Una traslacion horizontal de una unidad a la izquierda.
(d) Una reflexion respecto de la recta
l2 : y = 3x
Determine la transformacion resultante y la ecuacion de la recta resultante.
PD4
(x′, y′) =
[Rl2◦ T(1,0) ◦Rh ◦ T(0,−2)
](x, y)
Rm(x, y) =
(1−m2
1 +m2x+
2m
1 +m2y ,
2m
1 +m2x+
m2 − 1
1 +m2y
)2y − x+ 3 = 0