DavidMatellano - GeoGebra...Icosaedro Caras,aristasyvértices: 1 20Caras 2 30Aristas 3 12Vértices...

Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler

Principio de CavallieriPrismas

PirámidesCuerpos de revolución

Cuerpos geométricos

David Matellano

Departamento de matemáticas. IES Ángel Corella. (Colmenar Viejo)

24 de abril de 2017

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David Matellano Cuerpos geométricos

índice de contenidos I1 Definición de poliedro

Clasificación de los poliedrosCóncavo-convexoRegulares-irregulares

2 Poliedros regularesTetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares

3 Relación de Euler4 Principio de Cavallieri5 Prismas

índice de contenidos IIDesarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma

6 PirámidesTipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide

7 Cuerpos de revoluciónEl cilindro

Desarrollo de un cilindroÁrea de un cilindroVolumen de un cilindro

índice de contenidos IIIEl cono

Tipos de conosDesarrollo de un cono rectoÁrea de un cono rectoVolumen de un cono

La esferaDefinición.Área y volumen de una esfera:

Clasificación de los poliedros

Definición de poliedro

Poliedro

Es un cuerpo cerrado delimitado por polígonos.

1 Cada uno de los polígonos que lo forman son caras.2 Los lados de dichos polígonos se llaman aristas.3 Los puntos de concurrencia de las aristas reciben el nombre de vértices.

PoliedroEs un cuerpo cerrado delimitado por polígonos.

1 Cada uno de los polígonos que lo forman son caras.

2 Los lados de dichos polígonos se llaman aristas.3 Los puntos de concurrencia de las aristas reciben el nombre de vértices.

1 Cada uno de los polígonos que lo forman son caras.2 Los lados de dichos polígonos se llaman aristas.

3 Los puntos de concurrencia de las aristas reciben el nombre de vértices.

Clasificación de los poliedrosConcavidad y convexidad

Poliedro cóncavo o convexo

1 Cóncavo:⇒ Un segmento entre dos puntospuede salir del poliedro.

2 Convexo:⇒ Un segmento entre dos puntosnunca sale del poliedro.

poliedros cóncavo-convexo

Poliedro cóncavo o convexo1 Cóncavo:⇒ Un segmento entre dos puntos

puede salir del poliedro.

2 Convexo:⇒ Un segmento entre dos puntosnunca sale del poliedro.

Poliedro cóncavo o convexo1 Cóncavo:⇒ Un segmento entre dos puntos

puede salir del poliedro.2 Convexo:⇒ Un segmento entre dos puntos

nunca sale del poliedro.

Poliedros regularesDefinición

¿Qué es un poliedro regular?

Es aquel formado exclusivamente por polígonos regulares iguales y en cuyosvértices concurren siempre el mismo número de aristas.Si no es regular, se dice irregular.Solamente hay cinco poledros regulares.

Poliedros regularesDefinición

¿Qué es un poliedro regular?Es aquel formado exclusivamente por polígonos regulares iguales y en cuyosvértices concurren siempre el mismo número de aristas.Si no es regular, se dice irregular.Solamente hay cinco poledros regulares.

TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares

El tetraedroPoliedro formado por 4 triángulos equiláteros

Tetraedro

Caras, aristas y vértices:

1 4 Caras2 6 Aristas3 4 Vértices

Tetraedro

Caras, aristas y vértices:1 4 Caras

2 6 Aristas3 4 Vértices

Tetraedro

Caras, aristas y vértices:1 4 Caras2 6 Aristas

3 4 Vértices

Tetraedro

Caras, aristas y vértices:1 4 Caras2 6 Aristas3 4 Vértices

El hexaedro o cuboPoliedro formado por 6 cuadrados.

Cubo o hexaedro

3 8 Vértices

Cubo o hexaedro

El octaedroPoliedro formado por 8 triángulos equiláteros

Octaedro

3 6 Vértices

Octaedro

El dodecaedroPoliedro formado por 12 pentágonos regulares

Dodecaedro

3 20 Vértices

Dodecaedro

El IcosaedroPoliedro formado por 20 triángulos equiláteros

Icosaedro

3 12 Vértices

Icosaedro

Resumen de los poliedros regularesTabla con sus características

Poliedros regulares:Poliedro Caras N.o de

carasVértices Aristas

Tetraedro Triángulos 4 4 6Cubo Cuadrados 6 8 12

Octaedro Triángulos 8 6 12Dodecaedro Pentágonos 12 20 30Icosaedro Triángulos 20 12 30

Cuadro 1: Poliedros regulares o sólidos platónicos.

La relación de EulerCaras, vértices y aristas en un poliedro

Relación de euler

En un poliedro convexo, (ver 2), el número de caras, vertices y aristas cumple:C + V = A+ 2Podemos comprobarlo en la tabla 1 :

Relación de eulerEn un poliedro convexo, (ver 2), el número de caras, vertices y aristas cumple:

C + V = A+ 2Podemos comprobarlo en la tabla 1 :

Relación de eulerEn un poliedro convexo, (ver 2), el número de caras, vertices y aristas cumple:C + V = A+ 2

Podemos comprobarlo en la tabla 1 :

Relación de eulerEn un poliedro convexo, (ver 2), el número de caras, vertices y aristas cumple:C + V = A+ 2Podemos comprobarlo en la tabla 1 :

El principio de CavalieriEnunciado por Bonaventura Cavalieri en el S XVII

Enunciado

Si dos cuerpos poseen la misma altura y además tienen igual área en sus seccionesplanas realizadas a alturas iguales, poseen entonces igual volumen.

Consecuencias para el cálculo de volúmenes:Si en un cuerpo todas las secciones planas realizadas a cualquier altura son deigual área, el volumen de dicho cuerpo será el producto del área de su base por sualtura.

EnunciadoSi dos cuerpos poseen la misma altura y además tienen igual área en sus seccionesplanas realizadas a alturas iguales, poseen entonces igual volumen.

Consecuencias para el cálculo de volúmenes:

Si en un cuerpo todas las secciones planas realizadas a cualquier altura son deigual área, el volumen de dicho cuerpo será el producto del área de su base por sualtura.

EnunciadoSi dos cuerpos poseen la misma altura y además tienen igual área en sus seccionesplanas realizadas a alturas iguales, poseen entonces igual volumen.

Consecuencias para el cálculo de volúmenes:Si en un cuerpo todas las secciones planas realizadas a cualquier altura son deigual área, el volumen de dicho cuerpo será el producto del área de su base por sualtura.

Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma

PrismasDefinición y clasificación

Definición

Poliedro formado por dos polígonos iguales yparalelos llamados bases y unidos por sus caraslaterales.

1 Si una base está sobre la otra, es un prismarecto. Las caras laterales son rectángulos.

2 Si se desplaza una de las bases, es un prismaoblicuo. Las caras laterales son rectángulos yparalelogramos.

Prismas

DefiniciónPoliedro formado por dos polígonos iguales yparalelos llamados bases y unidos por sus caraslaterales.

Prismas

Desarrollo de un prisma rectoConstrucción del prisma a partir de los polígonos que lo forman

Un ejemplo:

Área de un prismaCálculo del área de un prisma recto

A partir del desarrollo concluimos:

1 A = 2 ·Ab +Al

2 Ab : Depende de su forma3 Al = Pb · h

h1 A = 2 ·Ab +Al

2 Ab : Depende de su forma

3 Al = Pb · h

h1 A = 2 ·Ab +Al

Volumen de un prismaCálculo en prismas rectos y oblicuos

Como consecuencia del principio de Cavalieri (15)

1 V = Ab · h2 Es válido para cualquier prisma.

Prisma pentagonal

Volumen de un prismaCálculo en prismas rectos y oblicuos

Como consecuencia del principio de Cavalieri (15)1 V = Ab · h2 Es válido para cualquier prisma.

Prisma pentagonal

Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide

Definición de pirámideTipos de pirámides

Definición de pirámide

Tipos de pirámides

1 Recta u oblicua:

Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.

2 Regular o irregular.

Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular

3 Cóncava o convexa:

Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)

Definición de pirámideEs un poliedro formado por un polígono llamado base y caras triangulares, queconcurren en un punto llamado vértice.

Tipos de pirámides

1 Recta u oblicua:

Tipos de pirámides

1 Recta u oblicua:

Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:

Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.

Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.2 Regular o irregular.

2 Regular o irregular.Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.

Irregular. No es regular3 Cóncava o convexa:

2 Regular o irregular.Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular

3 Cóncava o convexa:Cóncava: La base es un polígono cóncavo.

Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)

3 Cóncava o convexa:Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)

Elementos una pirámide regular.Apotemas y altura

Definiciones

1 Apotema básica. Es la apotema de labase (si tiene)

2 Apotema lateral. Altura de caraslaterales.

3 Altura. Es la distancia base-vértice4 Las tres forman un triángulo

rectángulo.

pirámide pentagonal regular

Definiciones1 Apotema básica. Es la apotema de la

base (si tiene)

2 Apotema lateral. Altura de caraslaterales.

rectángulo.

base (si tiene)2 Apotema lateral. Altura de caras

laterales.

rectángulo.

laterales.3 Altura. Es la distancia base-vértice

4 Las tres forman un triángulorectángulo.

laterales.3 Altura. Es la distancia base-vértice4 Las tres forman un triángulo

rectángulo.

Desarrollo de una pirámideEjemplo de desarrollo de una pirámide pentagonal regular

Desarrollo

Ap Apb

Cálculo del área de una pirámide regularA partir de su desarrollo obtenemos:

Área de una pirámide regular

Ap Apb

1 A = Ab +Al

3 Al = Pb ·Ap

Ap Apb

1 A = Ab +Al

3 Al = Pb ·Ap

Ap Apb

1 A = Ab +Al

3 Al = Pb ·Ap

Ap Apb

1 A = Ab +Al

3 Al = Pb ·Ap

Volumen de una pirámideSea una pirámide cualquiera:

Su volumen será:

1 V = Ab · h3

2 es la tercera parte del volumen deun prisma de iguales dimensiones.

Pirámide

Su volumen será:

1 V = Ab · h3

Pirámide

Su volumen será:

1 V = Ab · h3

Pirámide

El cilindroEl conoLa esfera

Cuerpos de revoluciónDefinición

Sólido de revolución

Es el sólido obtenido al rotar una figura plana alrededor de un eje llamado eje derevolución.

Ejemplo:

Sólido de revoluciónEs el sólido obtenido al rotar una figura plana alrededor de un eje llamado eje derevolución.

Ejemplo:

El cilindroDefinición y elementos

El cilindro:

1 Sólido de revolución obtenido al rotar unrectángulo 360◦ alrededor de uno de sus lados.

2 Elementos:

Radio (r)Altura (h)

figura

El cilindro:1 Sólido de revolución obtenido al rotar un

rectángulo 360◦ alrededor de uno de sus lados.

2 Elementos:

Radio (r)Altura (h)

figura

rectángulo 360◦ alrededor de uno de sus lados.2 Elementos:

Radio (r)Altura (h)

figura

Radio (r)

Altura (h)

figura

Radio (r)Altura (h)

figura

Desarrollo de un cilindro

Desarrollo a partir de sus medidas

Área de un cilindroCálculo a partir de su desarrollo

Área:

1 A = 2 ·Ab +Al

2 Ab = π · r2

3 Al = 2π · r · h4 A = 2π · r · (r + h)

Área:1 A = 2 ·Ab +Al

2 Ab = π · r2

3 Al = 2π · r · h4 A = 2π · r · (r + h)

2 Ab = π · r2

3 Al = 2π · r · h4 A = 2π · r · (r + h)

2 Ab = π · r2

3 Al = 2π · r · h

4 A = 2π · r · (r + h)

2 Ab = π · r2

3 Al = 2π · r · h4 A = 2π · r · (r + h)

Volumen de un cilindroCálculo a partir de sus dimensiones

Como consecuencia del principiode Cavalieri (15)

1 V = Ab · h = π · r2 · h2 Es válido para cualquier

cilindro.

Cilindros

Volumen de un cilindroCálculo a partir de sus dimensiones

Como consecuencia del principiode Cavalieri (15)

1 V = Ab · h = π · r2 · h2 Es válido para cualquier

cilindro.

Cilindros

DefiniciónTipos de conos

Definición de cono recto

Cuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.Elementos del cono:

Radio (r)Altura (h)Generatriz (g)g2 = r2 + h2

Figuras:

Definición de cono rectoCuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.

Elementos del cono:

Figuras:

Definición de cono rectoCuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.Elementos del cono:

Figuras:

Radio (r)

Altura (h)Generatriz (g)g2 = r2 + h2

Figuras:

Radio (r)Altura (h)

Generatriz (g)g2 = r2 + h2

Figuras:

Radio (r)Altura (h)Generatriz (g)

g2 = r2 + h2

Figuras:

Definición de cono oblicuo

Cono cuyo eje de revoluvión no esperpendicular a su base. Esta puede ser circularo elíptica.Elementos del cono oblicuo:

Radio (r) o semiejes de la elipse a, bAltura (h)

Figuras:

Definición de cono oblicuoCono cuyo eje de revoluvión no esperpendicular a su base. Esta puede ser circularo elíptica.

Elementos del cono oblicuo:

Figuras:

Definición de cono oblicuoCono cuyo eje de revoluvión no esperpendicular a su base. Esta puede ser circularo elíptica.Elementos del cono oblicuo:

Figuras:

Radio (r) o semiejes de la elipse a, b

Altura (h)

Figuras:

Desarrollo de un cono rectoObtención a partir de sus elementos:

Elementos del desarrollo

1 Radio y generatriz. (r y h)2 Ángulo α⇒ α = 360◦ · r

Desarrollo

Elementos del desarrollo1 Radio y generatriz. (r y h)

2 Ángulo α⇒ α = 360◦ · rg

Desarrollo

Elementos del desarrollo1 Radio y generatriz. (r y h)2 Ángulo α⇒ α = 360◦ · r

Desarrollo

Área de un cono rectoObtención a partir de su desarrollo

Área de un cono:

1 A = Ab +Al

2 Ab = π · r2

3 Al = π · r · g4 A = π · r · (r + g)

Desarrollo

Área de un cono:1 A = Ab +Al

2 Ab = π · r2

3 Al = π · r · g4 A = π · r · (r + g)

Desarrollo

2 Ab = π · r2

3 Al = π · r · g4 A = π · r · (r + g)

Desarrollo

2 Ab = π · r2

3 Al = π · r · g

4 A = π · r · (r + g)

Desarrollo

2 Ab = π · r2

3 Al = π · r · g4 A = π · r · (r + g)

Desarrollo

Volumen de un conoObtención a partir de sus elementos

Volumen del cono:

1 Para cualquier cono: V = Ab · h3

2 Si la base es circular:V = π · r2 · h

33 Si la base es elíptica:V = π · a · b · h

34 Es la terecera parte del volumen

de un cilindro de dimensionesiguales.

Figuras:

Volumen del cono:

Figuras:

Volumen del cono:

Figuras:

Volumen del cono:

4 Es la terecera parte del volumende un cilindro de dimensionesiguales.

Figuras:

Volumen del cono:

Figuras:

Definición de esfera como sólido de revolución.Elementos

La esfera:

Sólido de revolución generado al girar 180◦ uncírculo alrededor de un diámetro.Se caracterizan por su radio.

Figuras

Definición de esfera como sólido de revolución.Elementos

La esfera:Sólido de revolución generado al girar 180◦ uncírculo alrededor de un diámetro.Se caracterizan por su radio.

Figuras

Área y volumen de una esfera:Cálculo:

Área y volumen.

A = 4π · r2

V = 4π · r3

Figuras

Área y volumen.A = 4π · r2

V = 4π · r3

Figuras

Área y volumen.A = 4π · r2

V = 4π · r3

Figuras

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