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DEFINICIONES Y DEFINICIONES Y CONCEPTOSCONCEPTOS
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
TIPOS DE VARIABLES TIPOS DE VARIABLES
Variable: Sujeto a variación o cambio
Variable independiente (1852): Una variable matemática definida que determina el valor de uno o más valores en una expresión o función.
Variable dependiente (1852): Una variable matemática cuyo valor es determinado por el valor de una o más variables en una función.
Diccionario Merriam-Webster’s Collegiate, 1998
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
TIPOS DE VARIABLES TIPOS DE VARIABLES
Variable aleatoria (1949): Una variable que está en función del resultado de un experimento estadístico en el cual cada posible resultado tiene una probabilidad definida de ocurrencia
Diccionario Merriam-Webster’s Collegiate, 1998
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
DEFINICIÓN DE CONSTANTE DEFINICIÓN DE CONSTANTE
Constante (Siglo 14): Algo invariable o sin cambio como a: un número que tiene un valor fijo en una situación o universalmente o que caracteriza una substancia o instrumento; b: un número que no cambia en una discusión matemática; c: un término en lógica con una designación fija.
Ejemplos: Constante de equilibrio (1929)Constante solar (1869)Constante dieléctrica (1875): Constante de Michaelis (1949)Constante de Planck (1910)
Diccionario Merriam-Webster’s Collegiate, 1998
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
DETERMINISMO Y PROBABILISMODETERMINISMO Y PROBABILISMO
Determinismo (1846): Una teoría o doctrina que sustenta que los fenómenos naturales están causalmente determinados por eventos anteriores o leyes naturales.
Diccionario Merriam-Webster’s Collegiate, 1998José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
DETERMINISMO Y PROBABILISMODETERMINISMO Y PROBABILISMO
El determinismo sustenta que el universo es completamente racional debido a que si tenemos el conocimiento completo de una situación, nos garantiza que es posible también conocer certeramente su futuro.
Pierre-Simon, Marquis de Laplace sustentó que si una mente pudiera, en un momento dado, conocer todas las fuerzas operando en la naturaleza, y las posiciones de cada uno de sus componentes, podría entonces conocer con certeza el futuro y el pasado de cada entidad, grande o pequeña.Enciclopaedia Británica, 1998José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
DETERMINISMO Y PROBABILISMODETERMINISMO Y PROBABILISMO
Probabilismo (1843): Teoría que expresa la imposibilidad de tener certidumbre en las ciencias y que la probabilidad gobierna las opiniones y acciones.
Enciclopaedia Británica, 1998José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
FUNCIONFUNCION
Es una variable de salida o variable dependiente cuyo valor está determinado únicamente por una o más variables de entrada (independientes).
)(xfy =
Williams, G.P. 1997. Chaos Theory Tamed.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
FUNCION LINEALFUNCION LINEAL
Es una relación matemática en la cual las variables son de primer orden (ecuación polinomial de primer orden), multiplicadas por constantes, y combinadas solamente con suma o resta.
y = 4954.1x - 2472.9R2 = 0.9915
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
CONTENIDO HÍDRICO
TASA
DE
SALI
DA
DE
AG
UA
(kg/
s)
0 salida
0.499
baxy +=
czbyaxy ++=
Williams, G.P. 1997. Chaos Theory Tamed.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
FUNCION NOFUNCION NO--LINEALLINEAL
Es una relación matemática en la que las variables “x” y “y” no se pueden poner en la forma de y=c+bx.
140
145
150
155
160
165
170
3.399990 3.399995 3.400000 3.400005Maximum potential tuber growth
(g dry weight/cm2 of leaf)
biom
ass
(g/p
lant
))(
)(52
23
2
+−
=x
xy
2xy =
Williams, G.P. 1997. Chaos Theory Tamed.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
FUNCION CONTINUAFUNCION CONTINUA
La función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las 3 condiciones siguientes:
f(a) existe
lim f(x) existe
lim f(x) = f(a)
X a
X a
Si alguna de estas condiciones no se cumplen para a, entonces la función f es discontinua en a.Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
EJEMPLOSEJEMPLOS
CONTINUA DISCONTINUA
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
)()(
21−
=x
xf0
50
100
150
200
250
300
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
2xxf =)(
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES DIFERENCIALES
Muchos sistemas dinámicos pueden ser expresados en términos de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo:
Tasa de cambio de temperatura u de un cuerpo que pierde calor por convección natural a temperatura T constante
251550 .)(*. Tudtdu
−−=
Tasa de cambio del tamaño de una población, donde k1 representa la tasa de nacimiento y k2 representa la tasa de mortalidad
NkNkdtdN
21−=
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
ECUACIONES DIFERENCIALES
Tasa de crecimiento de doseles vegetales, donde fi es la fracción de radiación interceptada, e es el coeficiente de conversión de energía solar a biomasa y S es la radiación solar diaria.
eSfdt
dbiomasai
=
ECUACIONES DIFERENCIALES
Características:
• Ecuaciones diferenciales de primer orden• t es la variable independiente• N, u ó biomasa son variables independientes• Además, las condiciones iniciales se conocen, es decir se tiene que y0
corresponde a x0
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
xo
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)12
xxx −=∆
Q(x2,f(x2))T
θ
12
12
xxxfxf
−−
=)()()tan(θ
f(x)
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)12
xxx −=∆
Q(x2,f(x2))T
θ
xxfxfm
PQ ∆−
=)()(
12
xxx ∆+=12
xxfxxfm
PQ ∆−∆+
=)()(
11
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)x∆
Q(x2,f(x2))T
0→∆x
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))T
x∆
0→∆x
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))T
x∆
0→∆x
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))T
x∆
0→∆x
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))T
x∆
0→∆x
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))T
x∆
0→∆x
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))T
x∆
0→∆x
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))T
x∆
0→∆x
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
José Alfredo Carrillo Salazar ontecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y T
o x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)x∆
Q(x2,f(x2))0→∆x
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y T
o x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)x∆
Q(x2,f(x2))0→∆x
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y T
o x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)x∆
Q(x2,f(x2))0→∆x
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y T
o x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)x∆
Q(x2,f(x2))0→∆x
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y T
o x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)x∆
Q(x2,f(x2))0→∆x
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))T
x∆
0→∆x
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y T0→∆x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))
x∆
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y T0→∆x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))
x∆
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y T0→∆x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y T0→∆x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
Q(x2,f(x2))
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y T0→∆x
P(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)Q(x2,f(x2))
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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LA DERIVADALA DERIVADA
y T0→∆x
P(x1,f(x1))f(x2)-f(x1)Q(x2,f(x2))
xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
LA DERIVADALA DERIVADA
y T0→∆x
x
P(x1,f(x1))f(x2)-f(x1)Q(x2,f(x2))
oLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
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INTEGRACIÓN DE ECUACIONES INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASDIFERENCIALES ORDINARIAS
Ver notas en la página web:
http://www.colpos.mx/fiv610/notas/notas.html
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS
La integración es la técnica de encontrar una función g(x) a partir de la derivada Dg(x), la cual es igual a la función f(x). Se indica con el signo “∫”, como en ∫f(x), y se denomina integral indefinida de la función. Además frecuentemente se añade el símbolo dx, que meramente identifica a x como la variable.
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INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS
Las integrales se usan para evaluar cantidades tales como áreas,volúmenes, trabajo, crecimiento, etc. En general, cualquier cantidad que puede interpretarse como el área bajo la curva.
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS
xo
y
R
f(x) ≥ 0 para toda x en [a,b]
Acotada por:Rectas x=a, x=b
a b
y = f(x)
Curva y=f(x)
Donde f es una función continua en el intervalo [a,b]
Area de R
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INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS
x1 x2
xi-1 xi
{
∆x
ci xn-1xo
y
y = f(x)
a=x0 xn=b
Sn= f(c1) ∆x + f(c2) ∆x + … + f(ci) ∆x + … + f(cn) ∆x
∑=
∆=n
i inxcfS
1)(
o bien, con la notación sumatoria,
donde
A ≥ Sn
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INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS
y
o
y = f(x)
x1 x2
xn-1
xn=b
∑=
∆=n
i inxcfS
1)(
donde
A ≥ Sn
A= área bajo la curva x
a=x0
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS
o
y = f(x)
x1x2
xn-1
xn=b
∑=∞→
∆=n
i inxcfA
1)(lim
Para cualquier ε > 0 existe un número N > 0 tal que:
ε<−∆∑=
Axcfn
i i1)(
Y n es un entero positivo
y
x
a=x0
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREASINTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREASDEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
o
Y=f(x)
a b
Area de R
Acotada por:
Rectas x=a, x=b
Curva y=f(x)
Donde f es una función continua en el intervalo [a,b]
No necesariamente f(x) ≥ 0 para toda x en [a,b]
y
R
x
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Sn= f(ξ1) ∆1x + f(ξ2) ∆2x + … + f(ξi) ∆ix + … + f(ξn) ∆nx
o
y
y = f(x)
a=x0 x1 x2
xi-1 xi
ξixn-1 xn=b
A ≥ Sn
o bien, con la notación sumatoria,
∑=
∆=n
i iinxfs
1)(ξ
ξ1
ξ3
ξ2Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
Suma de Riemman
x
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
La interpretación geométrica de la suma de Riemman es la suma de las medidas de las áreas de los rectángulos situados sobre el eje x, más los negativos de las medidas de las áreas de los rectángulos que están bajo el eje x.
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
εξ <−∆∑=
Lxfn
i ii1)( Entonces, la integral
definida es:
∑=→∆
=∆n
i iiLxf
10)(lim ξ
En tal caso escribimos:∑∫=→∆
∆=n
i ii
b
axfdxxf
10)()( lim ξ
Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
MÉTODOS DE INTEGRACIÓNMÉTODOS DE INTEGRACIÓN
• Técnicas de integración (por partes, funciones trigonométricas, sustituciones trigonométricas, etc)
• Integración numérica (cuadratura).
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INTERPOLACIÓNINTERPOLACIÓN
y
Interpolación con una polinomial de bajo nivel
Interpolación con una polinomial de alto nivel
x1
x2
x3
x4
x5 x6
x7
Es interpolación cuando el punto x, que se busca, está situado entre el valor más grande y más pequeño de las xi
xy = f(x)
xo
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EXTRAPOLACIÓNEXTRAPOLACIÓN
y
o
x1
x2
x3
x4
x5 x6
x7
y = f(x)
x
x
x
Si la x buscada se encuentra fuera de ese rango, entonces el proceso se llama extrapolación
Este proceso es mucho más peligroso que la interpolación
x
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MÉTODOS PARA INTERPOLAR O EXTRAPOLARMÉTODOS PARA INTERPOLAR O EXTRAPOLAR
•Polinomiales
•Funciones racionales
•Funciones trigonométricas
•Series de Fourier
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ERRORES EN LOS CÁLCULOS Y MEDICIONESERRORES EN LOS CÁLCULOS Y MEDICIONES
El error en matemática aplicada es la diferencia entre el valor real y el estimado
En estadística, un ejemplo común es la diferencia entre la media de una población y la media de una muestra obtenida de la población
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ERRORES EN LOS CÁLCULOS Y MEDICIONESERRORES EN LOS CÁLCULOS Y MEDICIONES
Error de redondeo
Error de truncación
Error relativo
Error porcentual
Error aleatorio
la computación digital, tanto humana, mecánica, o electrónica, es por naturaleza, finita
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ERROR DE REDONDEOERROR DE REDONDEO
Número irracional
π
Número racional
22/7, 355/113, 3.14, o 3.14159
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ERROR DE TRUNCACIÓNERROR DE TRUNCACIÓN
Un error de truncación resulta de ignorar todos, menos un número finito de términos en una serie infinita. Por ejemplo, la función exponencial ex puede expresarse como la suma de una serie infinita:
1 + x + x2/2 + x3/6 + ... + xn/n! + ...;
+ x + x2/21 + x3/6
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ANANÁÁLISIS DE ERRORES EN LOS CLISIS DE ERRORES EN LOS CÁÁLCULOSLCULOS
El análisis numérico se usa para investigar los errores que se producen en los cálculos. En algunos problemas, es muy difícil calcular u obtener respuestas precisas debido a que pequeños cambios en el problema pueden causar grandes cambios en la respuesta
Tales problemas se dice que son mal-condicionados (ill-conditioned).
José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006
ANANÁÁLISIS DE ERRORES EN LOS CLISIS DE ERRORES EN LOS CÁÁLCULOSLCULOSEJEMPLOEJEMPLO
011 4 =− ).(x En tal caso x=1.1
046411324526744 234 =+−+− .... xxxx X
4234 10000104641324526744 −==+−+− ..... xxxx
44 1011 −=− ).(x
O X= 1.211011 −=− ).(x o x= 1.2
un cambio en el quinto lugar decimal, o en 0.01 porciento ha causado cambios en la posición 2, o diez porciento en la respuesta.
Montecillo, México. Verano 2006José Alfredo Carrillo Salazar
CASO PARTICULAR: ERRORES EN LAS MEDICICASO PARTICULAR: ERRORES EN LAS MEDICIÓÓN CON N CON EQUIPOSEQUIPOS
Error aleatorio (ruido)
Error sistemático (Error de calibración)
Error de lectura (precisión)
Error debido a equilibrio imperfecto
Medio medidoJosé Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006