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DERIVACION IMPLICITA
Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008
DERIVACION IMPLICITADERIVACION IMPLICITA
En general, la ecuación , para determinados intervalos de ,
define a como una función de ; en tal caso su derivada
se determina por el METODO DE DERIVACION IMPLICITA que consiste en
derivar directamente, la ecuación considerada, como un polinomio en e
teniendo presente que, para determinar dos intervalos de , la variable se
comporta como función de y es diferenciable con respecto a , es decir,
existe , que por la regla de la cadena, debe derivarse primero con
respecto a y luego con respecto a
0),( yxf x
)(xyy x )(xy
x y
x y
x x
)(xyy x
Ej: Por el método de derivación implícita, encontrardx
dy
1) 222 ayx
02
dx
dyy
dx
dy
y
x
dx
dy
dx
dyyx
022
-
x2
2) 053 33 xyxy
23ydx
dy x3dx
dy 033 2 xy
dx
dy )33()33( 22 xyxy
xy
xy
xy
xy
dx
dy
2
2
2
2
33
33
Ej: Determinar , si xxxf 2)( 2 )(xf
Solución:
)(
)2()( 212
xf
xxxf
2
1 )22()2( 212
xxx
)(xf xx
x
22
)1(22
Ej: Hallar la derivada de la relacióny 0132 xyy
Solución:13013 22 yxyyxy
Por definición de valor absoluto se tiene:
i) 132 yxy ii) 132 yxy
En i) y ii), derivando implícitamente, se observa que la derivada del 2º miembro es nula, por lo tanto, para i) y ii), se tiene:
dx
dyy2 y3 0dx
dyx3-
)32( yy dx
dy y3xy
y
dx
dy
32
3
Ej: Hallar la ecuación de la tangente y normal a la curva
En el punto (1,1) de ella
53 22 yyxx
Solución: (1,1) es pto. de la curva.
Derivando implícitamente con respecto a se tiene:x
xyx 332 dx
dy y2 0dx
dy
115
5
23
32
)1,1(
NT mmdx
dy
yx
yx
dx
dy -
T:
02
11
)1(11
yx
xy
xy N:
xy
xy
11
DERIVADA DE ORDEN SUPERIORDERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
-Sí es diferenciable, entonces se tiene , 1 ª derivada
de con respecto a
)(xfy )(xfdx
dy y x
- Puesto que es función de , se tiene derivando con
respecto a
)(xf x )(xf
x
)(
)(2
2
xfdx
ydxf
dx
d
, 2ª derivada de con respecto a xy
- es función de , entonces:)(xf x
)(
)( )3(3
3
xfdx
ydxf
dx
d
, 3ª derivada de con respecto a x
-Sí tiene derivadas, se llega a la expresión:)(xfy
dx
d
n
n)()(
)(
)1(x
nn
n
fdx
yd
x
nf
, -ésima derivada de con
respecto a xy
Ej: Determinar las derivadas sucesivas de
Solución:
)(xfy 3
1 153 23 xxx
0)(
2)(
62)(
56)(
)(
2
xf
xf
xxf
xxxf
IV
Ej: Determinar en la ecuación , suponiendo
que es función de
2
2
dx
yd 2 yyxx
y x
Solución: xy 1x
y
dx
dy
dx
dy
dx
dy
1
10
Derivando implícitamente:
02
2
2
2
dx
yd
dx
yd
dx
dy
dx
dy x
dx
dy
xdx
yd2
1
12
2
22
2
2
2
)1(
)1(2
1
1
1
1
x
y
dx
yd
x
y
xdx
yd
2
APLICACIONES DE LA DERIVACIONAPLICACIONES DE LA DERIVACION
TEOREMA TEOREMA (Teorema de los valores extremos)
Si es una función continua definida en el intervalo cerrado ,
existe (por lo menos) un punto tal que , en el cual
toma el mayor valor, y existe, (por lo menos) un punto , tal
que en el cual toma el menor valor.
f ba,
bax ,1 bxa 1
f bax ,2 bxa 2
f
GráficamenteGráficamente
bax , se cumple en que)()()( 12 xfxfxf
)( 1xf es el máximo valor de en f ba, y
)( 2xf es el mínimo valor de en f ba,
x
y
a01x 2x b
)( 2xf
)( 1xf
)(xfy
TEOREMA: TEOREMA: Supóngase que es continua en un intervalo que toma su
valor máximo (o mínimo) en algún punto que está en el interior del
Intervalo. Si existe , entonces
f
0x)( 0xf 0)( 0 xf
COROLARIO: Sí es un mínimo de , entonces ,
Siempre que exista la derivada
)( 0xf f 0)( 0 xf
NOTA: Es importante hacer notar que debe ser un punto interior al
intervalo, puesto que , definida en
0x2)( xxf 21 x
Tiene un máximo en y un mínimo en y además
en todo punto del intervalo
2x 1x 0)( xf
2,1
x
y
0
2)( xxfy
1 2
1)1( f
4)2( f
es un mínimo de
es un máximo de
2,1enf
2,1enf
APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONESREPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES
Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo, Concavidad hacia arriba, Concavidad hacia abajo y punto de inflexión en la función.
Analizando el comportamiento de la función se tiene, sí:)(xfy
),(0)( 111 yxxf es un máximo o un mínimo
)(xf concavidad
0)(xf Punto de inflexión de la función, cambio de concavidad
Entonces:
)(0)(0)( 111 xfxfxf 1) es un máximo relativo de la función en 1x
2) )(0)(0)( 111 xfxfxf es un mínimo relativo de en 1x
)(xf
3) )(0)( 1 xfxf tiene un punto de inflexión en 1x
NOTA 1: Los puntos donde tiene un máximo, un mínimo y un punto de
inflexión se llaman puntos críticos de la función.
)(xf
NOTA 2: No siempre cuando la función tiene un 0dx
dy )(xfy
punto extremo (máximo o mínimo).
Ej: Estudie y grafique la función 15)( 5 xxxf
Dominio de existencia: R
Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
010)(,55)( 44 xxfxxf
0)1()1()1(
0)1()1(2
22
xxx
xx
Rix
x
x
1
1
Puntos extremos 11 xyx-1 1
Sí
)(0)(1 xfxfx
)(0)(11 xfxfx
)(0)(1 xfxfx
es creciente
es decreciente
es creciente
Concavidad:
00)(,20)( 3 xxfxxf Punto de inflexión )1,0(
Sí
)(0)(0
)(0)(0
xfxfx
xfxfx
es cóncava hacia abajo
es cóncava hacia arriba
Ahora: )(0)1(0)1( xfff y tiene un máximo, su valor
5)1( f
)(0)1(0)1( xfff tiene un mínimo, su valor
3)1( f
Así la gráfica resulta:
x
y
0
15)( 5 xxxf
-1 1
1
5
-3