DERIVADASDEFUNCIONESALGEBRAICASLareglageneralparaderivación(regladeloscuatropasos)esfundamental,puestoquesecalcula directamente de la definición de derivada como límite. El procedimiento paraaplicar esta regla es laborioso y tedioso, por consiguiente, se han deducido de la reglageneral formasespecialesquesimplifican laderivación, lascuales llamaremos fórmulasfundamentalesdederivación.“Laderivadadeunaconstanteescero”

Fórmula1!(!)!"

= 0

Recordemosqueunaconstante esunvalor fijoydeterminadoquenocambia, esdecir,número y sólo número. Estos números pueden ser racionales o irracionales, enteros ofraccionarios,positivosonegativos.Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝟖SoluciónComotenemosunafuncióndondesoloaparece8(solamentenúmero),seaplicalafórmula1,porlotanto:

𝑓′ 𝑥 = 02.𝑓 𝑥 = − 𝟐

𝟑

SoluciónComo tenemos una función donde solo aparece− !

!(solamente número), se aplica la

fórmula1,porlotanto:

𝑓′ 𝑥 = 0

3.𝑓 𝑥 = 𝟑SoluciónComo tenemos una función donde solo aparece 3(solamente número), se aplica lafórmula1,porlotanto:

𝑓′ 𝑥 = 0“Laderivadadeunavariablerespectoasímismaesuno(1)”

Fórmula2!(!)!"

= 1

Recordemos que una variable son literales que se utiliza para definir toda cantidadsusceptibledetomardistintosvaloresnuméricos.Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝒙SoluciónComo tenemosuna función donde solo aparecex (solamente una variable), se aplica lafórmula2,porlotanto:

𝑓′ 𝑥 = 12.𝑓 𝑟 = 𝒓SoluciónComo tenemos una función donde solo aparece r (solamente una variable), se aplica lafórmula2,porlotanto:

𝑓′ 𝑟 = 13.𝑓 𝑧 = 𝒛SoluciónComo tenemosuna función donde solo aparecez (solamente una variable), se aplica lafórmula2,porlotanto:

𝑓′ 𝑧 = 1

“Laderivadadel productodeuna constante por una variable es igual a lamismaconstante”

Fórmula3!(!")!"

= 𝑐

Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝟒𝒙SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparece4x(unaconstante,el4yunavariable,lax),seaplicalafórmula3,porlotanto,laderivadaeslamismaconstante(el4)

𝑓′ 𝑥 = 42.𝑓 𝑥 = −𝟔𝒙SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparece-6x(unaconstante,el-6yunavariable,lax),seaplicalafórmula3,porlotanto,laderivadaeslamismaconstante(el-6)

𝑓!(𝑥) = −63.𝑓 𝑥 = − 𝟐

𝟑𝒙

SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparece− 𝟐

𝟑𝒙(unaconstante,el− 𝟐

𝟑yunavariable,lax),

seaplicalafórmula3,porlotanto,laderivadaeslamismaconstante(el− 𝟐𝟑)

𝑓!(𝑥) = −𝟐𝟑

“Laderivadadeunavariableelevadaaunexponentees igualalexponentepor lavariableelevadaalexponentedisminuidoenunaunidad”

Fórmula5!(!!)

!"= 𝑛𝑥!!!

Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝒙𝟒SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia4,seaplicalafórmula 5, por lo tanto, la derivada es el exponente 4 multiplicado por la variable xelevadaalexponente4menos1.

𝑓!(𝑥) = 4𝑥!!! = 4𝑥!

𝑓!(𝑥) = 4𝑥! 2.𝑓 𝑥 = 𝒙𝟐SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia2,seaplicalafórmula 5, por lo tanto, la derivada es el exponente 2 multiplicado por la variable xelevadaalexponente2menos1.

𝑓!(𝑥) = 2𝑥!!! = 2𝑥!Recordemosqueelexponente1noseescribe

𝑓!(𝑥) = 2𝑥

3.𝑓 𝑥 = 𝒙!𝟑SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia-3,seaplicala fórmula5, por lo tanto, la derivada es el exponente -3multiplicadopor la variablexelevadaalexponente-3menos1.

𝑓! 𝑥 = −3𝑥!!!! = −3𝑥!!Altenerenelexponentedosnúmerosnegativos,estossesumanyseconservaelsigno

𝑓! 𝑥 = −3𝑥!!

4.𝑓 𝑥 = 𝟓𝒙𝟑SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia3,seaplicalafórmula5,por lotanto, laderivadaeselexponente3multiplicadoporelcoeficiente5yporlavariablexelevadaalexponente3menos1.

𝑓!(𝑥) = (3)(5)𝑥!!! = 15𝑥!

𝑓!(𝑥) = 15𝑥! 5.𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙!𝟐SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia-2,seaplicalafórmula5,porlotanto,laderivadaeselexponente-2multiplicadoporelcoeficiente3yporlavariablexelevadaalexponente-2menos1.

𝑓! 𝑥 = −2 3 𝑥!!!! = −6𝑥!!

𝑓! 𝑥 = −6𝑥!! “Laderivadadelasumaalgebraicadeunnúmerofinitodefunciones,es iguala lasumaalgebraicadeladerivadadelasfunciones”

Fórmula4!(!!!!!)!"

= !(!)!"

+ !(!)!"

− !(!)!"

Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝟒𝒙 + 𝟑SoluciónComo nuestra función está formada con 2 términos: 4x y 3, tenemos que aplicar lafórmula4yderivartérminoportérmino:Para𝑓 𝑥 = 𝟒𝒙Seaplicalafórmula3𝑓′ 𝑥 = 𝟒

Para𝑓 𝑥 = 𝟑Seaplicalafórmula1𝑓′ 𝑥 = 𝟎Porlotantoladerivadade𝑓 𝑥 = 𝟒𝒙 + 𝟑es𝑓′ 𝑥 = 𝟒 + 𝟎obien

𝑓′ 𝑥 = 𝟒2.𝑓 𝑥 = 𝟕𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐SoluciónComonuestrafunciónestáformadacon3términos:𝟕𝒙𝟐, 3xy-2,tenemosqueaplicarlafórmula4yderivartérminoportérmino:Para𝑓 𝑥 = 𝟕𝒙𝟐Seaplicalafórmula5𝑓!(𝑥) = 𝟐 𝟕 𝒙𝟐!𝟏 = 𝟏𝟒𝒙𝟏 = 𝟏𝟒𝒙𝑓!(𝑥) = 𝟏𝟒𝒙Para𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙Seaplicalafórmula3𝑓′ 𝑥 = 𝟑Para𝑓 𝑥 = −𝟐Seaplicalafórmula1𝑓′ 𝑥 = 𝟎Porlotantoladerivadade𝑓 𝑥 = 𝟕𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐es𝑓! ! = 𝟏𝟒𝒙 + 𝟑 − 𝟎obien

𝑓!(𝑥) = 𝟏𝟒𝒙 + 𝟑

3.𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙𝟓 − 𝟐𝟕𝒙SoluciónComonuestra funciónestá formadacon2 términos:𝟑𝒙𝟓y−𝟐𝟕𝒙, tenemosqueaplicar lafórmula4yderivartérminoportérmino:Para𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙𝟓Seaplicalafórmula5𝑓′ 𝑥 = (𝟓)(𝟑)𝒙𝟓!𝟏 = 𝟏𝟓𝒙𝟒Para𝑓 𝑥 = −𝟐𝟕𝒙Seaplicalafórmula3𝑓! ! = −𝟐𝟕Porlotantoladerivadade𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙𝟓 − 𝟐𝟕𝒙es𝑓!(𝑥) = 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟕

𝑓′ 𝑥 = 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟕

ACTIVIDAD4

Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1. 𝑓 𝑥 = 5

2. 𝑓 𝑥 = −

14

3. 𝑓 𝑥 = 𝜋

4. 𝑓 𝑥 = −15𝑥

5. 𝑓 𝑥 =

35 𝑥

6. 𝑓 𝑥 = 𝜋𝑥

7. 𝑓 𝑥 = 𝑥!

8. 𝑓 𝑥 = 𝑥!!

9. 𝑓 𝑥 = 2𝑥!"

10. 𝑓 𝑥 = 3𝑥!!

11. 𝑓 𝑥 = 8 − 6𝑥

12.

𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥!

13.

𝑓 𝑥 = 4𝑥! − 6𝑥 + 1

14.

𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑥

15.

𝑓 𝑥 = 𝑥! − 8𝑥 + 16

16. 𝑓 𝑥 = 5 − 9𝑥

17. 𝑓 𝑥 = 4 − 4𝑥

18. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 6𝑥

19. 𝑓 𝑥 = 6𝑥! − 4𝑥 + 10

20. 𝑓 𝑥 = 2𝑥! + 4𝑥 − 7