DETERMINANTES · SOLUCIÓN EJERCICIOS DETERMINANTES . Ejercicio nº 1.- Calcula el valor de los...

DETERMINANTES

Ejercicio nº 1.-

Calcula el valor de los siguientes determinantes:

Ejercicio nº 2.-

Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):

Ejercicio nº 3.-

a) Resuelve la ecuación:

b) Calcula el valor del determinante:

Ejercicio nº4.-

Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:

−−

− −

−−

2 2a) 2 0 1 t

b) 2 1 2 10 2 3 1

1 3 0 2

4 2 1 0

Ejercicio nº 5.-

Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:

Ejercicio nº 6.-

Demuestra que:

Ejercicio nº 7.-

Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:

Ejercicio nº 8.-

Calcula el valor de este determinante:

Ejercicio nº 9.-

Demuestra que:

−−

( ) ( ) ( )cdbcaba

−⋅−⋅−=

−−

Ejercicio nº 10.-

Halla en función de a, el valor de este determinante:

Ejercicio nº 11.-

a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:

Ejercicio nº 12.-

Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

Ejercicio nº 13.-

la respuesta:

−−

−−−

; ; 22

ααα=

b) Si 3, calcula el valor de los siguientes determinantes:a bc d

rcqbpazyx

dojustifican calcula, ,4 y2 que tales2,2 matrices dos son y Sia) −==× BABA

12 2 −− A;AB;AB;A;A;A tt

( )BBt matriz la de traspuesta la representa

2 calcula ,2 Sib)

−+−=

Ejercicio nº 14.-

Ejercicio nº 15.-

Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:

Ejercicio nº 16.-

Halla el rango de la matriz siguiente:

Ejercicio nº 17.-

Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:

Ejercicio nº 18.-

Calcula el rango de la matriz:

:tesdeterminan siguientes los de valor el halla ,4 que Sabiendo =

czbyax

+−−−

−−

421123

113101

324312

Ejercicio nº 19.-

Estudia el rango de la matriz:

Ejercicio nº 20.-

Obtén el rango de esta matriz:

Ejercicio nº 21.-

Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de λ:

Ejercicio nº 22.-

Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:

Ejercicio nº 23.-

Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:

711121

−−

Ejercicio nº 24.-

Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

Ejercicio nº 25.-

Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

SOLUCIÓN EJERCICIOS DETERMINANTES

Ejercicio nº 1.-

Calcula el valor de los siguientes determinantes:

Solución:

(1) Desarrollamos por la 4ª columna. (2) Desarrollamos por la 3ª columna.

Ejercicio nº 2.-

Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−−−=−−−=−−−−−=

211121111

a)233 xxxxxxx

( ) [ ] ( ) ( ) 1312 1221 1 2322 −−+−=−−−=−+−−= xxxxxxxxx

⋅−

( )( ) 28143115

231FILAS

−=+−−=−

−−=

⋅−

−−

Solución:

a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:

(1) Desarrollamos por la 2ª columna.

(1) Desarrollamos por la 2ª columna. (2) Desarrollamos por la 1ª fila.

Ejercicio nº 3.-

a) Resuelve la ecuación:

b) Calcula el valor del determinante:

Solución: a) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:

( )101

1COLUMNAS

±=→=−==

− aaa

1 ; 1 :soluciones dosHay 21 =−= aa

−−

( )1055

−=−−=−

−−

1101 1

1FILAS

±=→=→=−===

(1) Desarrollamos por la 3ª columna. (2) Sumamos la 3ª fila a la 2ª. (3) Desarrollamos por la 2ª fila.

Ejercicio nº4.-

Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:

Solución: a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:

1 ,1 :soluciones dosHay 21 =−= xx

( ) ( ) ( )==−−=

−−=

( )( ) 401042124

3=⋅=−==

− −

−−

2 2a) 2 0 1 t

b) 2 1 2 10 2 3 1

1 3 0 2

4 2 1 0

( ) 022424

233 →=−=−=−−+= tttttttt

±=→=→=−

022 ttt

2;2;0 :soluciones tresHay 321 =−== ttt

−−

⋅−

(1) Desarrollamos por la 4ª columna. (2) Desarrollamos por la 2ª columna.

Ejercicio nº 5.-

Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:

Solución:

a) Calculamos el valor del determinante:

Veamos para que valores de t se anula el determinante:

(1) Desarrollamos por la 1ª columna. (2) Sumamos a la 1ª fila la 3ª. (3) Desarrollamos por la 1ª fila.

2 1 51 1

1 0 1 11 8 198 11

8 0 11−

−= − − = = + =

−−

( ) ( ) 47322441214

2222 +−=−+−−+=−−−−+=

tttttttttttt

=−±

=→=+−

6484970473 2

.1 cuando y 34 cuando cero vale tedeterminan El == tt

( ) ( ) ( )=−−−=−−

−−

−=−−

−−

⋅−

( )( ) 6766

3−=+−−=

−−−=

Ejercicio nº 6.-

Demuestra que:

Solución:

(1) Restamos la 1ª fila a las otras tres. (2) Desarrollamos por la 1ª columna. (3) Sacamos (b − a) factor común. (4) Restamos a la 3ª fila la 2ª y a la 2ª la 1ª. (5) Es el determinante de una matriz triangular.

Ejercicio nº 7.-

Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:

Solución:

( ) ( ) ( )cdbcaba

−⋅−⋅−=

( ) ( ) ( )=

−−−

−−−=

adacab

acacab

ababab

adacab

acacab

ababab

( )( )

( )( )( )( )cdbc

aba −−=

−−

−= a-b a

( ) ( )( )

( )( )

−−

−−+=+=

( )( )

( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) =−+=−−+=

−−

−−+=

−−

+= aaaaaaaa

a 2 211 2 11

2 2254

(1) Sumamos a la 1ª columna las demás. (2) Sacamos (a + 2) factor común. (3) Restamos la 1ª columna a la 2ª y a la 4ª. (4) Desarrollamos por la 1ª fila. (5) Desarrollamos por la 2ª fila.

Ejercicio nº 8.-

Calcula el valor de este determinante:

Solución:

(1) Sumamos a la 1ª columna las otras tres. (2) Sacamos (x + 3a) factor común. (3) Es el determinante de una matriz triangular.

Ejercicio nº 9.-

Demuestra que:

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 −+=−+= aaaaaa

( ) ( )( ) =+=

( ) ( ) ( )33

ax −⋅+=

−−

( )12 2

2 2 2 2 2 2 2 2

a b c a a a b c a b c a b cb b c a b b b c a bc c c a b c c c a b

− − + + + + + +− − = − − =

− − − −

(1) Sumamos a la 1ª fila las otras dos. (2) Sacamos (a + b + c) factor común. (3) Es el determinante de una matriz triangular.

Ejercicio nº 10.-

Halla en función de a, el valor de este determinante:

Solución:

(1) Desarrollamos por la 2ª fila. (2) Sacamos −1 factor común.

Ejercicio nº 11.-

a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:

( )( ) ( )

−−−

−−−++=

−−

−−++=

COLUMNAS

cbabcba

bacbbcba

( )( )( )( ) ( )3

3cbacbacbacba ++=−−−−−−++=

−−

−−−

( )( ) =

−−

−−−

−−

−−−

−−

−−−

( )( ) ( )( ) ( )( )1111

−+=−+−+=

−−

+= aaaaaa

; ; 22

ααα=

b) Si 3, calcula el valor de los siguientes determinantes:a bc d

Solución:

(1) El segundo determinante es 0 por tener las dos columnas proporcionales.

Ejercicio nº 12.-

Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

Solución:

Por tanto, es verdadera la igualdad.

b) Falsa, ya que:

( ) VERDADERA a)

→α=−α=α−α=α

babcadbcad

( ) FALSA 222 →−α=α≠−α=α

αbcad

babcad

( ) VERDADERA 2222 →α=−α=α−α=αα

babcadbcad

( )6320 2

1=⋅=+=+=

rcqbpazyx

1FILAS

cbazyx

rcqbpazyx

=⋅=−=+++

Ejercicio nº 13.-

la respuesta:

Solución: a) Vamos a tener en cuenta estas tres igualdades, que demostraremos al final:

Consideramos A y B dos matrices 2×2.

Por tanto:

b) Sumamos a la 1ª columna la 2ª y sacamos 2 y (−1) factor común:

OBSERVACIÓN: Vamos a demostrar las tres igualdades utilizadas.

dojustifican calcula, ,4 y2 que tales2,2 matrices dos son y Sia) −==× BABA

12 2 −− A;AB;AB;A;A;A tt

( )BBt matriz la de traspuesta la representa

2 calcula ,2 Sib)

−+−=

AAkAkBABA =⋅=⋅⋅=⋅ t2 A 3); 2); )1

42222 ===⋅=⋅=• AAAAAA

( ) ( ) 2111 2 ==⋅=⋅−=⋅−=−• AAAAA

824422 2 =⋅=⋅=⋅=• AAA

( ) 842 −=−⋅=⋅=⋅=⋅• BABABA tt

( ) 824 −=⋅−=⋅=⋅=⋅• ABABAB tt

, existe que y ; que cuenta en tener a vamos , hallar Para 111 −−− =⋅• AIAAA

Así:.02 que puesto ≠=A

211 1 = 111 ==→=⋅→⋅ −−−

AAAAIAA

( ) ( ) ( ) 422 2 2

2 =−⋅−=⋅−=

: y Si2221

Ejercicio nº 14.-

Solución: a) Restando a la 1ª fila la 3ª y sacamos (−2) factor común:

(*) Al permutar la 2ª y 3ª filas de orden, el determinante cambia de signo.

b) Restamos a la 3ª columna la 2ª, y sacamos 3 factor común:

++=⋅

2222122121221121

22121211211211111)

babababa

babababaBA

( )( ) ( )( ) =++−++=⋅ 21221121221212112222122121121111 babababababababaBA

−+++= 22212212211221122211221112112111 bbaabbaabbaabbaa

=−−−− 22212212112221122112221111122111 bbaabbaabbaabbaa

=+−−= 21122112112221122112221122112211 bbaabbaabbaabbaa

( ) ( ) =−−−= 211211222112211222112211 bbbbaabbbbaa

( ) BABaaaaBaaBaa ⋅=⋅−=−= 2112221121122211

22112)

kakaAk

( ) AkaaaakaakaakAk 222212211

2 =−=−=⋅

AaaaaAaa

aaA tt =−=→

= 21122211

21113)

:tesdeterminan siguientes los de valor el halla ,4 que Sabiendo =

czbyax

+−−−

( )=−=

−−−

−−−*

2 222 222

czbyax

( )( ) ( ) 842 12

*=⋅=−⋅−=

(*) Tenemos en cuenta que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

Ejercicio nº 15.-

Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:

Solución:

Por tanto:

b) Observamos que la 2a y la 3a columna son proporcionales, puesto que la 3a la obtenemos multiplicando la 2a por a. Por tanto, el determinante es cero.

La igualdad es cierta.

Ejercicio nº 16.-

Halla el rango de la matriz siguiente:

Solución:

Tomamos un menor no nulo de orden 2:

( )1243 3 3

=⋅====

.1 la sumado hemos le 3 la A .21 por 2 la y 2 por domultiplica hemos la fila 1 Laa) aaaa

cierta. es igualdad La.

Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:

Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:

(1) Restamos a la 4ª columna, la 2ª multiplicada por 3. (2) Desarrollamos por la 3ª fila. Por tanto, ran (M) = 4

Ejercicio nº 17.-

Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:

Solución:

Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:

( ) 2 ran04 23

02 ≥→≠= M

( ) 3 ranntesindependie elinealmentson filas primeras tres Las015

≥→→≠=−

=− M

( ) ( ) 015

≠−=−−−=

−−

32 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠=−

( ) 3 ranntesindependie elinealmentson filas primeras tres Las017

≥→→≠=

Por tanto, ran (M) = 3.

Ejercicio nº 18.-

Calcula el rango de la matriz:

Solución:

Por tanto, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras líneas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

Luego, ran (A) = 3.

Ejercicio nº 19.-

Estudia el rango de la matriz:

Solución:

Luego, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

122105

COLUMNAS

=−=−

−−

421123

113101

324312

12 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠=

ntes.independie ntelinealmeme son filas tres Las014

→≠=−

711121

32 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠−=

Comprobamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras:

Por tanto, ran (A) = 2.

Ejercicio nº 20.-

Obtén el rango de esta matriz:

Solución:

Observamos que la 4ª columna coincide con la 1ª y que la 5ª es igual que la 3ª. Por tanto, podemos prescindir de las dos últimas columnas para calcular el rango de M. Así, ran (M) ≤ 3.

Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:

( )aaa 3 la obtenemos ,2 la menos columna 1 la restamos si pues,0

primeras. dos las de lineal ncombinació es fila 3 la Así,.0

primeras. dos las de depende fila cuarta la También . 0

−−

12 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠=−

Ejercicio nº 21.-

Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de λ:

Solución:

Luego, ran (A) ≥ 2. Buscamos los valores de λ que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:

• Si λ = 1 → La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:

• Si λ = −2 → La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:

( ) 3 ran014

=→≠=

11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=

( )[ ] [ ]=λ−λ−−=+λλ−−=λ

+λ−=

222122 2

−=λ

=λ±−=

+±−=λ→=−λ+λ⋅=

2811022 2

( ) 3 ran 2 y 1 Si =→−≠λ≠λ• A

( ) 3 ran01

=→≠−= A

( ) 3 ran08

=→≠=

Por tanto, ran (A) = 3 para cualquier valor de λ.

Ejercicio nº 22.-

Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:

Solución:

Observamos que la 3ª columna es proporcional a la 1ª (es su triple), por tanto, podemos prescindir de ella para calcular el rango.

Luego, ran (M) ≥ 2.

Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:

Por tanto, la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras para cualquier valor de t. Así, ran (M) = 2.

Ejercicio nº 23.-

Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:

Solución:

−−

( ) . de valor cualquier para043824382

t =+−−−+−+−=

−−

Observamos que la 4ª columna es el doble de la 1ª. Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango.

Así, ran (M) ≥ 2. Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

• Si t = 2 o t = −6 → La 2ª columna depende linealmente de la 1ª y 3ª.

Por tanto, ran (M) = 2.

Ejercicio nº 24.-

Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

Solución:

Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a.

Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:

• Si a = 1 → Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª columna:

=±−=

+±−=→=−+=

2481640124

( ) 3 ran6 y 2 Si =→−≠≠• Mtt

( ) →=+−→=+−=+−=−−+= 03403426823562

1 2222 aaaaaaaaa

−±=→

212164

últimas. dos las de elinealment depende columna 2 La0

1a→=

Por tanto, ran (M) = 2. • Si a = 3 → Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª

columna:

Ejercicio nº 25.-

Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

Solución: Podemos prescindir de la 3ª columna, pues no influye en el rango.

Luego, ran (A) ≥ 2.

Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

→ ran (A) = 2

( ) 3 ran tanto, Por .08

=≠= M

01 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomemos ≠=

−=±−=

−±−=→=++=−

212164034

( ) 3 ran3 y 1 Si =→−≠−≠• Aaa

→→−=−=• dos otras las de elinealment depende fila 2 La3 o 1 Si aaa

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