Post on 04-Dec-2015
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MATEMÁTICAS EMPRESARIALES (EJEMPLOS DE DIAGONALIZACIÓN)
Curso 2013-2014 Teorema: Existencia de matriz diagonal semejante A es diagonalizable ( APPP 1/ ) existe una base formada por autovectores. En tal caso, la matriz P tendrá por columnas la base de autovectores y la matriz diagonal estará formada por los autovalores asociados (en el mismo orden que sus autovectores asociados en P). En la práctica:
1. Cálculo de los autovalores de A:
0)( nIAP
2. Cálculo de las dimensiones de cada subespacio vectorial de autovectores:
0)/()( XIAxS nin
i
si
nSDimi
i ))(( Base de autovectores Existe PExiste
si ))((i
iSDim < n No existe PNO Existe
3. Si A es diagonalizable, su matriz diagonal semejante es:
n
...
0
0
0...0
.........
...0
...0
2
1
Ejemplo 1
Sea
4
1
0
20
10
12
A ,
los autovalores resultan de la ecuación:
1
)(3
)(202)4)(1()2(
)2(2)4)(1)(2(
4
1
0
20
10
12
)(
2
1
simple
doble
IAP
- El conjunto de autovectores asociados a 2 es
)0,0,(/)2( 13 XxxS , ya que:
0)2/()2( 3 XIAxS
0
0
022
0
0
0
0
0
2
1
0
20
10
10
/
23
2
32
32
2
3
2
1
3
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
x
donde 11 :librevariable1123)2()2( xIArgnSDim , y siendo, por
ejemplo, una base: )0,0,1(2 B .
- El conjunto de autovectores asociados a 3
es )2,,(/)3( 2223 xxxxxS ya que:
0)3/()3( 32 XIAxS
02
02
0
/
0
0
0
1
1
0
20
20
11
/
32
32
21
3
3
2
1
3
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
23
213
2/
xx
xxx
con 2:librevariable1123)3()3( xIArgnSDim , y siendo, por
ejemplo, una base: )2,1,1(3 B .
Puesto que )2( 1SDim nSDim 3211)3( , no es posible formar
en 3 una base con autovectores (No existe P) y en consecuencia
4
1
0
20
10
12
A no es diagonalizable.
2
Ejemplo 2
Sea
3
1
1
00
20
02
A
los autovalores resultan de la ecuación: 0)( 3 IAP , pudiendo comprobarse
como al tratarse A de una matriz triangular los autovalores figuran directamente en la
diagonal principal, siendo, por tanto,
)(3
)(2
2
1
simple
doble
.
El conjunto de autovectores asociados a 2 es )0,,(/)2( 213 xxxxS , ya
que:
0)2/()2( 3 XIAxS
0
0
0
0
0
0
0
23
1
1
00
220
022
/
3
3
3
3
3
2
1
3
x
x
x
x
x
x
x
x
Donde 211 :libresvariables2213)2()2( xyxIArgnSDim , y siendo,
por ejemplo, una base: )0,1,0(),0,0,1(2 B .
El conjunto de autovectores asociados a 3 es ),,(/)3( 3333 xxxxxS
ya que:
0)3/()3( 32 XIAxS
0
0/
0
0
0
33
1
1
00
320
032
/32
313
3
2
1
3
xx
xxx
x
x
x
x
32
313 /xx
xxx
con 3:librevariable1123)3()3( xIArgnSDim , y siendo, por
ejemplo, una base: )1,1,1(3 B .
En consecuencia la matriz A es diagonalizable, verificándose la relación:
APP 1
1
1
1
00
10
01
3
1
1
00
20
02
1
1
1
00
10
01
3
0
0
00
20
021
3
Ejemplo 3 Calcule 100A , siendo A la matriz del Ejemplo 2. De las propiedades de las matrices semejantes, se deduce que:
1PPA kk
1
1
1
1
00
10
01
3
0
0
00
20
02
1
1
1
00
10
01
3
1
1
00
20
02
K
K
KK
,
expresión que permite obtener la potencia ésimak de la matriz A. Así, por ejemplo, se tendría que:
1
100
100
100100
1
1
1
00
10
01
3
0
0
00
20
02
1
1
1
00
10
01
3
1
1
00
20
02
.
Ejemplo 4
Sea
1
3
6
36
02
21
A , ¿es diagonalizable?
Si, puesto que es una matriz simétrica.
Ejemplo 5:
Sea
1
1
1
11
11
11
A , ¿es diagonalizable? En caso afirmativo, encuentre su matriz
diagonal semejante. Al ser una matriz simétrica, es seguro que será diagonalizable. Los autovalores se
obtienen de la ecuación:
)(3
)(00)(
2
1
simple
dobleIAP
, siendo la matriz
diagonal:
3
0
0
00
00
001APP
Ejemplo 6 Una agencia de transportes tiene su flota de camiones repartidos en dos ciudades A y B. De los camiones que hay en A, al principio de cada mes, los 2/3 vuelven a A al final del mismo mes y el resto a B. De los que hay en B las ¾ partes vuelven a B y el resto a A.
4
a) Si la flota permanece constante e inicialmente hay la mitad en cada ciudad, hállense los porcentajes que hay en cada ciudad después de un año.
b) Hállese el porcentaje de camiones en cada ciudad al cabo de infinitos meses.
- Solución – Llamando tAx , y tBx , al porcentaje de camiones al final del mes t ( principios del mes
t+1) en la ciudad A y en la ciudad B, respectivamente, se tendrá:
0
22
211,
1,
,
,
1,1,,
1,1,,
)(4331
4132
4
3
3
14
1
3
2
XA
XAXAAXAXx
x
x
x
xxx
xxx
t
tttttB
tA
tB
tA
tBtAtB
tBtAtA
siendo
21
210X .
a) En t=12, se tiene que
21
21
4331
413212
12,
12,
012
12B
A
x
xXAX , pero si A fuese
diagonalizable, entonces 1 PPA tt . En particular, en nuestro caso: 11212 PPA , resultando que .0
1120
1212 XPPXAX
Puede comprobarse que A es diagonalizable ya que los dos autovalores, 1 y 5/12, son distintos:
0)12
5)(1(51712
)43(31
41)32(0)( 2
2
IAP
El conjunto de autovectores asociados a 1 es
))34(,(/)1( 112 xxxxS , ya que:
0)/()1( 2 XIAxS
1221
2
12
3
40
4
1
3
1
0
0
4131
4131/
xxxx
x
xx
Donde 11 :librevariable1112)()1( xIArgnSDim , siendo,
por ejemplo, una base: )4,3(1 B .
El conjunto de autovectores asociados a 125 es
),(/)125( 222 xxxxS , ya que:
0))125(/()125( 2 XIAxS
5
2121
21
21
2
12
04
1
12
3
012
4
3
1
04
1
12
3
0
0
)125()43(31
41)125()32(/
xxxxxx
xx
x
xx
Donde 22 :librevariable1112))125(()125( xIArgnSDim , siendo,
por ejemplo, una base: )1,1(125 B .
Se tiene entonces que:
571,0
429,0
21
21
7374
7171
)125(0
01
14
13
21
21
14
13
)125(0
01
14
13
21
21
4331
4132
12
1
12
1212
0112
12 XPPX
b)
148
146
21
21
7374
7171
00
01
14
13
21
21
7374
7171
)125(lim0
0)1(lim
14
13limlimlim 0
10 t
t
t
tt
t
t
tt
tXPPXAX