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DIFRACCIÓN DE LA LUZ
Antonio J Barbero GarcíaJosé González PiquerasDepartamento Física AplicadaUCLM
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DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJAConsideramos una rendija de anchura b iluminada por un haz de luz coherente monocromática de longitud deonda l. La luz se difracta a través de la rendija y da lugar a una estructura característica de bandasalternativamente claras y oscuras al ser recogido sobre una pantalla lejana (patrón de difracción).
La condición de separación entre el centrode la figura (dirección de la luz incidente) ylos mínimos de difracción está dada por
m
z
D
Primer mínimo adyacente (m = 1)
Máximo alineado dirección luz incidente (m = 0)
22sin
Dzz
m
bmml sin
(Véase apéndice matemático)
Igualando calculamos el cocienteentre la longitud de onda de laluz l y la anchura b de la rendija:
22
1Dz
zmb
lb
m
Luz incidente: longitud de onda l
Rendija
b
D
sin1 = l/b m = 1
sin0 = 0 m = 0
sin-1 = -l/b m = -1
sin2 = 2l/b m = 2
sin-2 = -2l/b m = -2
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D 22 Dz
m
z
Inte
nsid
ad
22sin
Dzz
m
sin1 = l/b m = 1
sin0 = 0 m = 0
sin-1 = -l/b m = -1
b
DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJA
22
1Dz
zmb
l
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La red de difracción consiste en un conjunto de N rendijas practicadas sobre una lámina, cadauna de ellas de anchura b, y siendo a la distancia entre los centros de dos ranuras consecutivas.Se cumple necesariamente que a > b y además N es un número grande (una red de difraccióntípica tiene varios centenares de rendijas por milímetro de longitud).
am
ml sin
m
na 1
Luz incidente: longitud de onda l
N rendijas
Solo la luz difractada con ciertos ángulos m producirámáximos de intensidad sobre una pantalla lejana.
a
bLlamaremos n al número de rendijas por unidad de longitud
RED DE DIFRACCIÓN
CÓMO FUNCIONA Y COMO MEDIR LA LONGITUD DE ONDA DE LA LUZPosiciones de los máximos: tenemos unmáximo para todos los ángulos m queverifiquen la condición
m = 0, 1, 2, 3…
Además, la interferencia de las ondas procedentes de todas lasrendijas da lugar a máximos muy intensos con zonas deoscuridad entre ellos.
m
z
D
Primer máximo adyacente (m = 1)
¿Cuál es la relación entre n y a?
22sin
Dzz
m
Geometría:
22
Dzmza
l
Máximo alineado dirección luz incidente (m = 0)
Igualamos
Calculamos l
n
(Demostración en apéndice)
22·
· 1
Dzz
nm l
En función de a
En función de n
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DIFRACCIÓN DE LA LUZ. TRABAJO EXPERIMENTAL.
Tarea 1. Determinación de la longitud de onda l de un puntero láser usando una red de difracción.Procedimiento: hacemos pasar la luz láser a través de una red de difracción cuyo número de ranuras por unidadde longitud n es conocido (su incertidumbre Dn también es conocida). La red de difracción está colocada a ladistancia D de una pantalla. En dicha pantalla observamos los máximos de difracción y medimos sus distanciasz al máximo central.La distancias D, z se medirán ambas con cinta métrica.
am
ml sin m = 0, 1, 2, 3…
m
z
D
Primer máximo adyacente (m = 1)
22sin
Dzz
m
Geometría:
22
Dzmza
lMáximo alineado dirección luz incidente (m = 0)
Calculo de l 22·
· 1
Dzz
nm l
Posición de los máximos de difracción:
Distancia entre los centros de dos ranuras consecutivas: aNúmero de ranuras por unidad de longitud: n = 1/a
1.1.- Calcular la distancia a entre centros de dos ranuras consecutivas y su error Da1.2.- Determinar la longitud de onda l del puntero láser
1.3.- Usando la expresión de l en función de la distancia a, aplicar la propagación deerrores para demostrar que el error Dl en la determinación de la longitud de onda es
322
2
22
1
Dz
DzDzDma
Dzaz
m
DD
DDl
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DIFRACCIÓN DE LA LUZ. TRABAJO EXPERIMENTAL.
Tarea 1. Determinación de la longitud de onda l de un puntero láser usando una red de difracción.Procedimiento: hacemos pasar la luz láser a través de una red de difracción cuyo número de ranuras por unidadde longitud n es conocido (su incertidumbre Dn también es conocida). La red de difracción está colocada a ladistancia D de una pantalla. En dicha pantalla observamos los máximos de difracción y medimos sus distanciasz al máximo central.La distancias D, z se medirán ambas con cinta métrica.1.1.- Calcular la distancia a entre centros de dos ranuras consecutivas y su error Da1.2.- Determinar la longitud de onda l del puntero láser
1.3.- Usando la expresión de l en función de la distancia a, aplicar la propagación deerrores para demostrar que el error Dl en la determinación de la longitud de onda es
Tarea 1. Medida longitud de onda del láser usando red de difracciónD
n (mm-1) = Líneas/mma (mm) = Valor aceptado: n (mm-1) =
Desviación estandar: s (mm-1) =Error estándar (95%): 2s (mm-1) =
Valor RMS errores: Error RMS =Error aceptado:Dn (mm-1) =
Max. Dif.m D (cm) DD (cm) z (cm) Dz (cm) l (mm) Dl (mm) l (nm) Dl (nm)
322
2
22
1
Dz
DzDzDma
Dzaz
m
DD
DDl
Tarea 2. Utilizar el puntero láser de longitud de onda l conocida para medir la anchura b de una rendija.Procedimiento: colocar la rendija a la distancia D de la pantalla, en la cual colocaremos una hoja de papelmilimetrado. Observar la figura de difracción y señalar los mínimos de difracción sobre el papel (distancias z).La distancia D se medirá con cinta métrica, las distancias z con regla sobre papel milimetrado.
Tarea 2. Utilizar el puntero láser de longitud de onda l conocida para medir la anchura b de una rendija.Procedimiento: colocar la rendija a la distancia D de la pantalla, en la cual colocaremos una hoja de papelmilimetrado. Observar la figura de difracción y señalar los mínimos de difracción sobre el papel (distancias z).La distancia D se medirá con cinta métrica, las distancias z con regla sobre papel milimetrado.
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z
b
D
l sin b
22
Dz
zb
l
DIFRACCIÓN DE LA LUZ. TRABAJO EXPERIMENTAL.
Mínimos de difracción Mínimos de difracción
m 3... 2, ,1m
0mCondición para mínimos de difracción:
Máximo principal
by l
22
sinDz
zb
l
Llamamos y al cociente l/b
DDD
D
322
2 1
Dz
DzDzDm
ybl
22
1Dz
zm
yb l
Cálculo anchura rendija
yyy
b DDD 2
1 ll
Demostrar
1m 1m 2m 3m2m3m
2.1.- Calculamos para cada pareja m, z los cocientes y = l/b22
1Dz
zm
2.2.- Usamos la teoría de propagación de errores para demostrar la fórmula del error2.3.- Calculamos el valor de anchura b de la rendija para cada pareja m, z.2.4.- Usamos la teoría de propagación de errores para calcular el valor aceptado de la anchura b de la rendijay su error Db.
DDD
D
322
2 1
Dz
DzDzDm
ybl
Tarea 2.
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DIFRACCIÓN DE LA LUZ. TRABAJO EXPERIMENTAL
2.1.- Calculamos para cada pareja m, z los cocientes y = l/b2.2.- Usamos la teoría de propagación de errores parademostrar la fórmula del error2.3.- Calculamos el valor de anchura b de la rendija paracada pareja m, z.2.4.- Usamos la teoría de propagación de errores paracalcular el valor aceptado de la anchura b de la rendija y suerror Db.
Tarea 2. Medida anchura rendija Valor aceptado: b (mm) =D Desviación estandar: s (mm) =
l (mm) = Error estándar (95%): 2s (mm) =D (mm) = Valor RMS errores: Error RMS =
Error aceptado: Db (mm) =Mín. dif.
m z (mm) Dz (mm) y = l/b Dy = D(l/b ) b (mm) Db (mm)12345678
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RESUMEN DIFRACCIÓN RENDIJA RESUMEN RED DIFRACCIÓN La condición de separación entre el centrode la figura (dirección de la luz incidente) ylos mínimos de difracción está dada por
m
z
D
Mínimo adyacente
22sin
Dzz
m
bmml sin
Igualando calculamos el cocienteentre la longitud de onda de laluz l y la anchura b de la rendija:
22
1Dz
zmb
lb
Luz incidente: longitud de onda l
Rendijam
am
ml sin
Posiciones de los máximos: tenemosun máximo para todos los ángulos mque verifiquen la condición
m = 0, 1, 2, 3…
m
z
D
Primer máximo adyacente (m = 1)
22sin
Dzz
m
Geometría:
22
Dzmza
l
Máximo alineado dirección luz incidente (m = 0)
Igualamos
Calculamos l
(Demostración en apéndice)
22·
· 1
Dzz
nm l
En función de a
En función de n
na 1
a
bn
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La intensidad de la luz difractada por una red en aproximación de Fraunhofer tiene la siguiente expresión:
22
0sen
sensen
NII
l sena
l senb
donde b es la anchura de las rendijas, a es la separación entre sus centros (a >> b), l es la longitud de onda de la luz difractada, N es el número de rendijas iluminadas, y es el ángulo de difracción.
APÉNDICE MATEMÁTICO
a
b
N
m
12
-4 -2 0 2 40,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-4 -2 0 2 40,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
02INI
al
al
al2
al2
0al3
al4
al5
al3
al4
al5
sen
2
0 sensen
NII
NNNlimNlimmm
coscos
sensen
Los números m, N son enteros
Por lo tanto el máximo m-ésimo de la función de interferencia ocurre en
,...)2,1,0( mmm
y su valor es 02 INIm
mm a l sen m l ma m sen
am
ml senPosiciones de
los máximos
TÉRMINO DE INTERFERENCIA
INTERFERENCIA + DIFRACCIÓN22
0sen
sensen
NII
l senb
a
b El máximo de difracción ocurre cuando sen = 0 ( = 0), pues
1sen0
lim
Los primeros mínimos de difracción se encuentran en = , y como a > b, el máximo principal de difracción abarcará varios máximos de interferencia.
Lo que observamos al pasar la luz a través de la red de difracción es elmáximo principal de interferencia + difracción (m = 0) junto con losmáximos principales adyacentes (m = 1, 2, 3…).
APÉNDICE MATEMÁTICO