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DIFRACCIÓN DE LA LUZ

Antonio J Barbero GarcíaJosé González PiquerasDepartamento Física AplicadaUCLM

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DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJAConsideramos una rendija de anchura b iluminada por un haz de luz coherente monocromática de longitud deonda l. La luz se difracta a través de la rendija y da lugar a una estructura característica de bandasalternativamente claras y oscuras al ser recogido sobre una pantalla lejana (patrón de difracción).

La condición de separación entre el centrode la figura (dirección de la luz incidente) ylos mínimos de difracción está dada por

m

z

D

Primer mínimo adyacente (m = 1)

Máximo alineado dirección luz incidente (m = 0)

22sin

Dzz

m

bmml sin

(Véase apéndice matemático)

Igualando calculamos el cocienteentre la longitud de onda de laluz l y la anchura b de la rendija:

22

1Dz

zmb

lb

m

Luz incidente: longitud de onda l

Rendija

b

D

sin1 = l/b m = 1

sin0 = 0 m = 0

sin-1 = -l/b m = -1

sin2 = 2l/b m = 2

sin-2 = -2l/b m = -2

3

D 22 Dz

m

z

Inte

nsid

ad

22sin

Dzz

m

sin1 = l/b m = 1

sin0 = 0 m = 0

sin-1 = -l/b m = -1

b

DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJA

22

1Dz

zmb

l

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La red de difracción consiste en un conjunto de N rendijas practicadas sobre una lámina, cadauna de ellas de anchura b, y siendo a la distancia entre los centros de dos ranuras consecutivas.Se cumple necesariamente que a > b y además N es un número grande (una red de difraccióntípica tiene varios centenares de rendijas por milímetro de longitud).

am

ml sin

m

na 1

Luz incidente: longitud de onda l

N rendijas

Solo la luz difractada con ciertos ángulos m producirámáximos de intensidad sobre una pantalla lejana.

a

bLlamaremos n al número de rendijas por unidad de longitud

RED DE DIFRACCIÓN

CÓMO FUNCIONA Y COMO MEDIR LA LONGITUD DE ONDA DE LA LUZPosiciones de los máximos: tenemos unmáximo para todos los ángulos m queverifiquen la condición

m = 0, 1, 2, 3…

Además, la interferencia de las ondas procedentes de todas lasrendijas da lugar a máximos muy intensos con zonas deoscuridad entre ellos.

m

z

D

Primer máximo adyacente (m = 1)

¿Cuál es la relación entre n y a?

22sin

Dzz

m

Geometría:

22

Dzmza

l

Máximo alineado dirección luz incidente (m = 0)

Igualamos

Calculamos l

n

(Demostración en apéndice)

22·

· 1

Dzz

nm l

En función de a

En función de n

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Principal

1º orden 1º orden

z

RED DE DIFRACCIÓN

Inte

nsid

ad

D22

sinDz

zm

22 Dz

m

z

z

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DIFRACCIÓN DE LA LUZ. TRABAJO EXPERIMENTAL.

Tarea 1. Determinación de la longitud de onda l de un puntero láser usando una red de difracción.Procedimiento: hacemos pasar la luz láser a través de una red de difracción cuyo número de ranuras por unidadde longitud n es conocido (su incertidumbre Dn también es conocida). La red de difracción está colocada a ladistancia D de una pantalla. En dicha pantalla observamos los máximos de difracción y medimos sus distanciasz al máximo central.La distancias D, z se medirán ambas con cinta métrica.

am

ml sin m = 0, 1, 2, 3…

m

z

D

Primer máximo adyacente (m = 1)

22sin

Dzz

m

Geometría:

22

Dzmza

lMáximo alineado dirección luz incidente (m = 0)

Calculo de l 22·

· 1

Dzz

nm l

Posición de los máximos de difracción:

Distancia entre los centros de dos ranuras consecutivas: aNúmero de ranuras por unidad de longitud: n = 1/a

1.1.- Calcular la distancia a entre centros de dos ranuras consecutivas y su error Da1.2.- Determinar la longitud de onda l del puntero láser

1.3.- Usando la expresión de l en función de la distancia a, aplicar la propagación deerrores para demostrar que el error Dl en la determinación de la longitud de onda es

322

2

22

1

Dz

DzDzDma

Dzaz

m

DD

DDl

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DIFRACCIÓN DE LA LUZ. TRABAJO EXPERIMENTAL.

Tarea 1. Determinación de la longitud de onda l de un puntero láser usando una red de difracción.Procedimiento: hacemos pasar la luz láser a través de una red de difracción cuyo número de ranuras por unidadde longitud n es conocido (su incertidumbre Dn también es conocida). La red de difracción está colocada a ladistancia D de una pantalla. En dicha pantalla observamos los máximos de difracción y medimos sus distanciasz al máximo central.La distancias D, z se medirán ambas con cinta métrica.1.1.- Calcular la distancia a entre centros de dos ranuras consecutivas y su error Da1.2.- Determinar la longitud de onda l del puntero láser

1.3.- Usando la expresión de l en función de la distancia a, aplicar la propagación deerrores para demostrar que el error Dl en la determinación de la longitud de onda es

Tarea 1. Medida longitud de onda del láser usando red de difracciónD

n (mm-1) = Líneas/mma (mm) = Valor aceptado: n (mm-1) =

Desviación estandar: s (mm-1) =Error estándar (95%): 2s (mm-1) =

Valor RMS errores: Error RMS =Error aceptado:Dn (mm-1) =

Max. Dif.m D (cm) DD (cm) z (cm) Dz (cm) l (mm) Dl (mm) l (nm) Dl (nm)

322

2

22

1

Dz

DzDzDma

Dzaz

m

DD

DDl

Tarea 2. Utilizar el puntero láser de longitud de onda l conocida para medir la anchura b de una rendija.Procedimiento: colocar la rendija a la distancia D de la pantalla, en la cual colocaremos una hoja de papelmilimetrado. Observar la figura de difracción y señalar los mínimos de difracción sobre el papel (distancias z).La distancia D se medirá con cinta métrica, las distancias z con regla sobre papel milimetrado.

Tarea 2. Utilizar el puntero láser de longitud de onda l conocida para medir la anchura b de una rendija.Procedimiento: colocar la rendija a la distancia D de la pantalla, en la cual colocaremos una hoja de papelmilimetrado. Observar la figura de difracción y señalar los mínimos de difracción sobre el papel (distancias z).La distancia D se medirá con cinta métrica, las distancias z con regla sobre papel milimetrado.

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z

b

D

l sin b

22

Dz

zb

l

DIFRACCIÓN DE LA LUZ. TRABAJO EXPERIMENTAL.

Mínimos de difracción Mínimos de difracción

m 3... 2, ,1m

0mCondición para mínimos de difracción:

Máximo principal

by l

22

sinDz

zb

l

Llamamos y al cociente l/b

DDD

D

322

2 1

Dz

DzDzDm

ybl

22

1Dz

zm

yb l

Cálculo anchura rendija

yyy

b DDD 2

1 ll

Demostrar

1m 1m 2m 3m2m3m

2.1.- Calculamos para cada pareja m, z los cocientes y = l/b22

1Dz

zm

2.2.- Usamos la teoría de propagación de errores para demostrar la fórmula del error2.3.- Calculamos el valor de anchura b de la rendija para cada pareja m, z.2.4.- Usamos la teoría de propagación de errores para calcular el valor aceptado de la anchura b de la rendijay su error Db.

DDD

D

322

2 1

Dz

DzDzDm

ybl

Tarea 2.

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DIFRACCIÓN DE LA LUZ. TRABAJO EXPERIMENTAL

2.1.- Calculamos para cada pareja m, z los cocientes y = l/b2.2.- Usamos la teoría de propagación de errores parademostrar la fórmula del error2.3.- Calculamos el valor de anchura b de la rendija paracada pareja m, z.2.4.- Usamos la teoría de propagación de errores paracalcular el valor aceptado de la anchura b de la rendija y suerror Db.

Tarea 2. Medida anchura rendija Valor aceptado: b (mm) =D Desviación estandar: s (mm) =

l (mm) = Error estándar (95%): 2s (mm) =D (mm) = Valor RMS errores: Error RMS =

Error aceptado: Db (mm) =Mín. dif.

m z (mm) Dz (mm) y = l/b Dy = D(l/b ) b (mm) Db (mm)12345678

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RESUMEN DIFRACCIÓN RENDIJA RESUMEN RED DIFRACCIÓN La condición de separación entre el centrode la figura (dirección de la luz incidente) ylos mínimos de difracción está dada por

m

z

D

Mínimo adyacente

22sin

Dzz

m

bmml sin

Igualando calculamos el cocienteentre la longitud de onda de laluz l y la anchura b de la rendija:

22

1Dz

zmb

lb

Luz incidente: longitud de onda l

Rendijam

am

ml sin

Posiciones de los máximos: tenemosun máximo para todos los ángulos mque verifiquen la condición

m = 0, 1, 2, 3…

m

z

D

Primer máximo adyacente (m = 1)

22sin

Dzz

m

Geometría:

22

Dzmza

l

Máximo alineado dirección luz incidente (m = 0)

Igualamos

Calculamos l

(Demostración en apéndice)

22·

· 1

Dzz

nm l

En función de a

En función de n

na 1

a

bn

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La intensidad de la luz difractada por una red en aproximación de Fraunhofer tiene la siguiente expresión:

22

0sen

sensen

NII

l sena

l senb

donde b es la anchura de las rendijas, a es la separación entre sus centros (a >> b), l es la longitud de onda de la luz difractada, N es el número de rendijas iluminadas, y es el ángulo de difracción.

APÉNDICE MATEMÁTICO

a

b

N

m

12

-4 -2 0 2 40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-4 -2 0 2 40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

02INI

al

al

al2

al2

0al3

al4

al5

al3

al4

al5

sen

2

0 sensen

NII

NNNlimNlimmm

coscos

sensen

Los números m, N son enteros

Por lo tanto el máximo m-ésimo de la función de interferencia ocurre en

,...)2,1,0( mmm

y su valor es 02 INIm

mm a l sen m l ma m sen

am

ml senPosiciones de

los máximos

TÉRMINO DE INTERFERENCIA

INTERFERENCIA + DIFRACCIÓN22

0sen

sensen

NII

l senb

a

b El máximo de difracción ocurre cuando sen = 0 ( = 0), pues

1sen0

lim

Los primeros mínimos de difracción se encuentran en = , y como a > b, el máximo principal de difracción abarcará varios máximos de interferencia.

Lo que observamos al pasar la luz a través de la red de difracción es elmáximo principal de interferencia + difracción (m = 0) junto con losmáximos principales adyacentes (m = 1, 2, 3…).

APÉNDICE MATEMÁTICO