Digráficas multipartitas fluidas: una generalización de...

Digrá� as multipartitas �uidas: una generaliza ión de lasdigrá� as multipartitas semi ompletasIlán A. GoldfederFa ultad de Cien ias e Instituto de Matemáti asUniversidad Na ional Autónoma de Méxi oilan.goldfeder�gmail. omXXVIII Coloquio de Grá� asMorelia, Mi hoa án5 de marzo de 2013Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 1 / 44

Pregunta ini ialTorneosDigrá� as lo almentesemi ompletas =

Torneos multipartitos¾?Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 2 / 44

Digráficaslocalmente

semicompletasmultipartitas I:

Pretextos ydefinición

Ilan A. Goldfeder

Pretextos

Digráficaslocalmentesemicompletas

Digráficas

cuasitransitivas

Torneosmultipartitos

In definitionem

In definitione

Digráficas localmente semicompletas

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Figure: Definición de ser localmente semicompleta

Definición

Una digráfica D se dice localmente semicompleta si paracualquier vértices de D, tanto su invecindad como suexvecindad inducen digráficas semicompletas.

Ilan A. Goldfeder

Pretextos

Digráficas

cuasitransitivas

In definitionem

In definitione

Digráficas localmente semicompletas

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Figure: Definición de ser localmente semicompleta

Uno de nuestros resultados favoritos sobre torneos, que todotorneo posee una trayectoria hamiltoniana y si es fuertementeconexo entonces posee un ciclo hamiltoniano, lo satisfacenlas digráficas localmente semicompletas.

Ilan A. Goldfeder

Pretextos

Digráficas

cuasitransitivas

In definitionem

In definitione

Torneos multipartitos

Los torneos multipartitos constituyen otra clase de digráficasbien conocida.

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Análogamente, podemos definir las digráficas multipartitassemicompletas.

Ilan A. Goldfeder

Pretextos

Digráficas

cuasitransitivas

In definitionem

In definitione

Torneos multipartitos

Bang-Jensen intentó dar una definición “análoga” a la de lasdigráficas localmentes semicompletas pero para generalizarlos torneos multipartitos en 1994 (las digráficas localmente

semicompletas en flechas). Sin embargo, luego se mostró quedicha generalización no es tan interesante ni tan importantecomo lo fueron las digráficas localmente semicompletas.

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¿Es posible dar una generalización delos torneos multipartitos análoga a delos torneos?

Ilan A. Goldfeder

Pretextos

Digráficas

cuasitransitivas

In definitionem

In definitione

Así, la mesa está puesta para dar una generalización de lostorneos multipartitos.

Sabemos que un torneo multipartito es una digráfica cuyosvértices están coloreadoes y tal que entre cualquier par devértices de colores distintos existe una flecha.

Así, la definición que buscamos es:

Definición

Diremos que una digráfica multipartita es localmente

multipartita semicompleta si toda trayectoria en la gráficasubyacente entre vértices de colores distintos es dirigida en ladigráfica original.

Ilan A. Goldfeder

Pretextos

Digráficas

cuasitransitivas

In definitionem

In definitione

La clase de las digráficas localmente multipartitassemicompletas guarda una estrecha relación con la clase delas digráficas localmente semicompletas (desde la definición).

Es posible construir una gran variedad de digráficaslocalmente multipartitas semicompletas a partir de digráficaslocalmente semicompletas y torneos multipartitos.

Ésto muestra de cierta forma que esta nueva clase dedigráficas es sensiblemente más grande que la de los torneosmultipartitos.

Digrá� as multipartitas �uidas

Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 3 / 44

Ci los

No es un i lo

Ci los hamiltonianos

Conexidad fuerte

So ios

¾De qué trata esto?Se trata esen ialmente de en ontrar i los hamiltonianos.En el aso de los torneos, el asunto es bien fá il: un torneo posee un i lohamiltoniano si y sólo si es fuertemente onexo.En el aso de los torneos bipartitos, la osa se ompli a un po o: un torneoposee un i lo hamiltoniano si y sólo si es fuertemente onexo y posee unfa tor de i los.En el aso de los torneos multipartitos, el asunto se vuelve aún más ompli ado. En prin ipio, no se ono e una ondi ión ne esaria ysu� iente. Pero sabemos que si el torneo multipartito es fuertemente onexo, posee un fa tor de i los y este fa tor de i los además se porta�bien� enton es el torneo multipartito posee un i lo hamiltoniano.Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 24 / 44

Mi onjeturaLas digrá� as lo almente semi ompletas son una generaliza ión de lostorneos y se portan tan bien omo éstos: una digrá� a lo almentesemi ompleta posee un i lo hamiltoniano si y sólo es fuertemente onexa.Yo esperaba que las digrá� as multipartitas �uidas generalizarán de formaanáloga lo que sabemos sobre los torneos multipartitos. Y efe tivamente,he probado que si una digrá� a multipartita �uida es fuertemente onexa,posee un fa tor de i los y este se porta �bien� enton es posee un fa tor de i los.Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 25 / 44

Las lases laterales de 〈(1, 1)〉 en Z3 ⊕ Z6

V0 V1 V2U0 U1 U2 U3 U4 U5

RetazosLa prueba utiliza té ni as desarrolladas por Bang-Jensen y ompañía así omo el prin ipal resultado que mostré en el Coloquio de Tlax ala, a saber:Teorema (H. Galeana-Sán hez e I.A., 2012)Dados dos i los ajenos H y G en una digrá� a D, si entre ellos existen dos� lases laterales� de �e has que van en �sentido opuesto� enton es existeun i lo que re orre los vérti es de ambos i los.Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 27 / 44

Algo del trabajo de J. Bang-Jensen, et. alPara probar este tipo de resultados, el paso más importante onsiste en�jarse en qué pasa uando el fa tor de i los está formado por exa tamentedos i los.El siguiente paso onsiste en tomarse un fa tor de i los mínimo y mostrarque si posee al menos dos i los enton es se puede redu ir su número de i los. Este suele ser un paso relativamente fá il.Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 28 / 44

Para lo anterior, Bang-Jensen introdujo el uso de so ios de vérti es y�e has porque en estas lases de digrá� as o urre lo siguiente:Si dados dos i los ajenos, los vérti es y �e has de ada i lo tienensu� ientes so ios en el otro, enton es los i los se pueden �mez lar�.Y, por otro lado,si dados dos i los ajenos, algunos vérti es y �e has de un i lo notienen su� ientes so ios en el otro, enton es los i los se pueden�mez lar�.Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 29 / 44

TeoremaTeorema (I.G., 2013)Toda digrá� a lo almente �uida, fuertemente onexa y que posee un fa torde i los bueno posee un i lo hamiltoniano.Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 30 / 44

Lema prin ipalLema (I.G., 2013)Si G y H son dos i los ajenos en una digrá� a multipartita �uida D talque ningún vérti e de ada uno de los i los tiene so ios on respe to alotro i lo enton es existe un i lo que pasa tanto por los vérti es de G omo por los vérti es de HIlán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 31 / 44

Bosquejo del lema prin ipal

Finalmente...Finalmente, de manera similar si algún vérti e en parti ular no tiene so ioen otro i lo, se puede probar que las dos �e has adya entes al vérti e en el i lo sí poseen so ios o se pueden mez lar ambos i los.De lo anterior, se sigue que asi todos los vérti es o �e has de ada i loposeen so io en el otro i lo. Mediante los lemas probados porBang-Jensen y ompañía se sigue que ambos i los se pueden mez lar.Ilán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 43 / 44

FinFin Gra ias por su aten ión.Presenta ión disponible en http://www.matem.unam.mx/�ilan/28 oloquio.pdfIlán A. Goldfeder (IM-UNAM) Digrá� as multipartitas �uidas XXVIII Coloquio 44 / 44

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