DISEÑO DE EXPERIMENTOS POR BLOQUES COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS

Modelo matemático

• Y ij el resultado del tratamiento i-th, i = 1,2,...,I del bloque j-th, j= 1,2,...,ni.• es la media poblacional. Mide el nivel medio de todos los resultados.• i es el efecto del tratamiento i-th de T, i = 1,2,...,I. Mide el efecto del

tratamiento del nivel i de T sobre el efecto global. Se verifica que i=0,

• j es el efecto del bloque j-th,j = 1,2,...,J, mide el efecto del tratamiento del factor secundario (bloque) sobre el efecto global (). Se verifica que j=0.

• ij es el error experimental o perturbación, son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas (i.i.d.) con distribución Normal.

),0(... 2

mindet

Nunasegúnidiavsonlos

eY

ij

aleatorio

ij

istaer

jiij

• Número de observaciones n = IJ• El problema básico que se plantea es contrastar la hipótesis

nula de que el factor-tratamiento no influye, • frente a la alternativa de que sí existen diferencias entre los

valores medios de los distintos tratamientos.

diferenteesúnAH

H

i

i

lg:

0:

1

0

• frente a la alternativa de que sí existen diferencias entre los valores medios de los distintos tratamientos.

• En el estudio de este modelo debe de tenerse en cuenta que no existe interacción entre el factor-tratamiento y el factor-bloque y en el desarrollo el problema puede hacerse un segundo contraste acerca de si el factor-bloque es influyente o no. Este contraste es

diferenteesúnAH

H

j

j

lg:

0:

1

0

ANALISIS DE VAIANZA

....

)ˆˆˆ(ˆ

yyyy

yyy

jiij

jiijijijij

2

1

2...

1

2...

1

2..

1

)(

)()(

ji

J

jj

I

ii

I

i

J

jij

yy

yyJyy

• bb

SCESCBSCTrSST

IJyyI

i

J

jij

J

jj

I

ii

I

i

J

jij

1 1

2

1

2

1

2

1

2..

1

)(

F VARIACIONANALISIS DE VARIANZA: ANOVA

SS G l SM F

Tratamientos SSTr I-1 SMTr=SSTR/(I-1) SMTr/SME

Bloques SSB J-1 SMB=SSB/(J-1) SMB/SME

Error SSE (I-1)(J-1) SME=SSE/(I-1)(J-1)

total SST IJ-1

Ejemplos

• 1. “Una empresa fotográfica realizar una compra de impresoras de gran calidad para imprimir fotografías digitales. La empresa tiene ofertas de I = 5 marcas de impresoras de similares características y precio. Para la empresa fotográfica es muy importante la “velocidad de impresión” y, por este motivo, está interesada en saber si las 5 impresoras ofertadas tienen la misma velocidad o hay una que es más rápida. Para responder a esta pregunta decide hacer un experimento que consiste en elegir una única muestra de J = 4 fotos e imprimirlas en las 5 impresoras. Los resultados del experimento se recogen en la tabla adjunta”

• vv

Impresoras Foto A Foto B Foto C Foto D

1 89 88 97 942 84 77 92 793 81 87 87 854 87 92 89 845 79 81 80 8

• Estimación de parámetros

Impresora Foto A Foto B Foto C Foto D

1 89 88 97 94 92 6

2 84 77 92 79 83 -3

3 81 87 87 85 85 -1

4 87 92 89 84 88 2

5 79 81 80 8 82 -4

84 85 89 86

-2 -1 3 0

.iy

jy.

j

i

86..y

• PrediccionesImpresoras Foto A Foto B Foto C Foto D

1 90 91 95 922 81 82 86 833 83 84 88 854 86 87 91 885 80 81 85 82

• Redisudos

Impresoras Foto A Foto B Foto C Foto D

1 -1 .3 2 22 3 -5 6 -43 -2 3 -1 04 1 5 -2 -45 -1 0 -5 6

TABLA: ANOVAFuente Variac SS GL SM F

Tratamientos 264 4 66 3,6Bloques 70 3 23,33 1,273Error 226 12 18,33 Total 560 19

• DISEÑO DE EXPERIMENTOS POR BLOQUES COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS

• CON INTERACCIÓN

• 1. “Una empresa dedicada a la fabricación de baterías está interesada en diseñar una batería que sea relativamente insensible a la temperatura ambiente. Para ello decide probar con tres materiales distintos: M1, M2, y M3. Para estudiar el efecto del material y la temperatura se diseña el siguiente experimento: comprobar la duración de las baterías en horas, fabricando baterías con los tres materiales y trabajando las baterías a tres niveles de temperatura: Baja, Media y Alta. El experimento se replicaba cuatro veces y los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta:

Ejemplos

MATERIAL TEMPERATURASBaja Media Alta

M1 130 155 34 40 20 7074 180 80 75 82 58

M2 150 188 136 122 25 70159 126 106 115 58 45

M3 138 110 174 120 96 104168 160 150 139 82 60

• Donde i es el efecto del factor material, i= 1,2,3; I = 3

• J es el efecto del factor temperatura, j = 1,2,3 J = 3

• ij es el efecto de la interacción entre ambos factores.

ijkijjiijky

MATEMATICOMODELO

)(

Medias de cada casilla

Tem. Baja Tem. Media Tem. Alta

M1 539 134,75 229 57,25 230 57,5 83,17

M2 623155,75

476119,75

19849,5 108,3

3

M3 576144,0

583145,75

34285,5 125,0

8

144,83 107,58 64,17105,5

3

..iy

.. jy

.jiy

Parámetros del modelo

Tem. Baja Tem. Media Tem. Alta

M1 12,28 -27,95 15,69-

22,36

M2 8,12 9,37 -17,47 2,8

M3 -20,38 18,62 1,78 19,55

39,3 2,05 -41,36

........

..........

)ˆˆ(

;ˆ;ˆ

yyyy

yyyy

jijiji

jjii

i

j

ji)ˆˆ(

• x

0redicciones = medias de casillas

Tem. Baja Tem. Media Tem. Alta

M1 134,75 67,25 57,5

M2 155,75 119,75 49,5

M3 144,0 145,75 85,5

jiy

.)ˆˆ(ˆˆˆˆ jijijiijk yy

• Note que suma de residuos de cada casilla es: . . .

Residuos Tem. Baja Tem. Media Tem. Alta

M1

-4,75 20,25

-60,75 45,25

-23,25 -17,2522,75 17,75

-37,5 12,5

24,5 0,5

M2

-5,75 32,25

3,25 -29,75

16,25 2,25-13,75 -4,75

-24,5 20,5

8,5 -4,5

M3 -6,0 -34,024,0 16,0

28,75 -25,75

4,25 -6,75

10,5 18,5

-3,5 -25,5

3,2,1,;ˆ jiyy

RESIDUOS

ijijkijk

Se calculan las sumas de cuadrados y se obtiene

70,1068355,198,236,2243)( 222 xSST

70,3911835,4105,23,3943)( 222 xSST

78,9613

78,162,1838,20

47,1737,912,8

69,1597,2728,12

4)(22

22

222

SST

7,18230)5,255,3...25,2075,4(

)ˆ(

18,5941678,961370,3922870,10683

)()()(

2222

2

SCE

yySCE

SST

SSTSSTSSTSST

ijijk

F V TABLA: ANOVASS G L SM F

Tratamientos 10683,70 2 5341,86 7,91

Bloques 39,118,70 2 19559,4 28,97

Interacción 9613,78 4 2,403,44 3,56

Total 59416,18 8

Error 18,230,7 27 675,213 25,98

SC_GRANTOTAL 77647,0 35 2,218,48 7,10

diferenteesúnaH

luyenomaterialfactorElH

i

i

lg:

inf;0:

1

0

COWFICIENTES DE DETERMINACIÓN

7652,90,7764718,59416

)()()(

1238,00,7764778,9613)(

)(int)(

5038,00,7764770,39118)(

)()(

1376,00,7764770,10683)(

)()(

2

2222

22

22

22

R

RRRSCGSCT

R

SCGSCT

eracciónRR

SCGSCT

ratemeparatuRR

SCGSCT

materialRR