Fernando di Sciascio (2017)

Distintos casos de Control por Realimentación de Estado

Control por Realimentación de Estado

1‐REGULACIÓN: (r(t)=0, referencia igual a cero)

2‐SERVOSISTEMAS: (r(t) ¹ 0, referencia distintade cero).

2.1.a ‐ Servo Tipo 0 (sin acción integral)conprecompensación de ganancia para eliminar el erroren estado estacionario.

2.1.b ‐ Servo Tipo 0 (sin acción integral)conadición de ganancia al vector B y corrección delvector K.

2.2.a ‐ Servo Tipo 1 (con acción integral)para plantas Tipo 0.

2.2.b ‐ Servo Tipo 1 (con acción integral)para plantas Tipo 1.

Fernando di Sciascio (2017)

1‐REGULACIÓNDiseño mediante 

realimentación de estados para referencia igual a cero

r(t) = 0

Caso 1: Referencia igual a cero (r(t)=0)

El par (A,B) es controlable

Las posiciones deseadas de los polos a lazo cerrado son l1,…, ln.

La ecuación característica a lazo cerrado entonces es:

1 21

1 1 0

( )( ) ( )

0n

n nn

sI A BK s s s

s s s

l l l

a a a--

- + = - - -

= + + + + =

Los autovalores (polos) del sistema a lazo cerrado l1,…, lntienen parte real negativa. Luego a partir del vector deestado inicial x(0) = x0, los estados x(t) y la salida y(t)=Cx(t)evolucionan y convergen a cero.

Ejemplo

0 1 0 0

-1 -1 -1 , 1

0 0 -1 1

[1 0 1] , 4 1 3

A B

C K

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

é ù= = ê úë û

0

0 1 0 1

( ) -5 -2 -4 ( ), 0

-4 -1 -4 0

( ) [1 0 1] ( )

x t x t x

y t x t

ì é ù é ùïï ê ú ê úï ê ú ê úï = =ï ê ú ê úïï ê ú ê úí ê ú ê úï ë û ë ûïïïï =ïïî

Ejemplo:

A=[0 1 0;‐1 ‐1 ‐1;0 0 ‐1]; B=[0 1 1]'; C=[1 0 1];D=0; K=[4 1 3];Bp=[1 0 0]'; Acl=A‐B*K;sys_p=ss(Acl,Bp,C,0); x0=[1; 0; 0]; t_final=5;[y,t,x] = initial(sys_p,x0,t_final)plot(t,x,t,y)

Ejemplo (continuación):

Las perturbaciones pueden afectar mucho la regulación ya quela realimentación de estado no es eficientes para minimizarsus efectos. La realimentación de estados no afecta a losceros (recordar que los ceros están relacionado con lasentradas) y las perturbaciones externas son entradas.

Ejemplo (continuación):é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù= = = = ê úê ú ê ú ë ûê ú ê úê ú ê úë û ë û

0 1 0 0

-1 -1 -1 , 1 , [1 0 1] , 4 1 3

0 0 -1 1

A B C K

escalón de amplitud0.5 que comienza ent=4seg.

m

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= = = -ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

0

1 11

0 , 0 , ( ) ( 4)2

0 0px B p t t

Ejemplo (continuación):

% Efecto_de_la_perturbación_para_regulación.mclear; clc; close allA=[0 1 0;‐1 ‐1 ‐1;0 0 ‐1]; B=[0 1 1]'; C=[1 0 1];D=0; K=[4 1 3];Bp=[1 0 0]'; Acl=A‐B*K;sys_p=ss(Acl,Bp,C,0); x0=[1; 0; 0];t = linspace(0,10,1000);p=[zeros(1,400) ones(1,600)/2];[y,t,x]=lsim(sys_p,p,t,x0);plot(t,x)hold onplot(t,y)

Ejemplo (continuación):

Ejemplo (continuación):

Fernando di Sciascio (2017)

2‐SERVOSISTEMAS r(t)¹ 0

Diseño mediante realimentación de estados 

para referencia distinta de cero

2‐Referencia distinta de cero r(t)¹0

Como antes el par (A,B) es controlable y los autovaloresde A-BK tienen parte real negativa.

1( ) [ ( )] ( )X s sI A BK BR s-= - -

-= - =1 ( )( ) [ ] ,

( )G

G

N sG s C sI A B

D s

Asumiendo que elsistema a lazo cerradoes equivalente a unesquema de controlclásico con uncompensador Ceq(s) encascada.

-= - - =1 ( )( ) [ ( )]

( )G

clcd

N sG s C sI A BK B

P s

= = =+ - -

( ) ( )( )( ) ( )

1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )cl G

clcl cd G

G s N sL sG s L s

L s G s P s N s

=-( )

( )( ) ( )G

eqcd G

D sC s

P s N s

NO IMPORTA EL TIPO DE LA PLANTA G(s), siempre L(s) esTipo 0, ya que Ceq(s) cancela los polos de G(s)(incluyendo el integrador).

1( ) C( )ss ssty Lim y t Cx A BK B-

¥= = = - -

El vector de ganancia ganancia K se calculoteniendo en cuenta el comportamiento transitoriosin tener en cuenta para nada el error en estadoestacionario. Por lo tanto, el error en estadoestacionario ess en general es distinto de cero ypuede ser muy grande.

1( ) [ ( )] ( )X s sI A BK BR s-= - -

1 1

0[ ( )] [ ] 0ss s

x Lim sI A BK B A BK B- -

= - - = - - ¹

Para entrada escalón los estados, la salida y el erroren régimen permanente son:

11 1 C( ) 0ss sse y A BK B-= - = - - ¹

Para la realimentación de estado la planta siempre secomporta como Tipo 0. Esto significa que para una entradaescalón el error permanente es distinto de cero.

Vimos en Control Clásico que para una entrada escalón lasplantas Tipo 1 o superiores con realimentación unitariade la salida tienen un error permanente nulo.

Ahora, con realimentación de los estados, indepen‐dientemente del Tipo de la planta, para una entradaescalón el error en estado estacionario NO ES NULO.

2

3 2

2 1( )

2 2 1

s sG s

s s s

+ +=

+ + +

Ejemplo:

0 1 0 0

-1 -1 -1 , 1 , [1 0 1], 0 ,

0 0 -1 1

A B C D

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= = = =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

Las posiciones deseadas de los polos a lazo cerrado son:l1 =l2 =-1, l3. =-4

2 3 2( ) ( 1) ( 4) 6 9 4cdP s s s s s s= + + = + + +

El polinomio característico deseado es:

4 1 3K é ù= ê úë û

Vimos por varios métodos que la ganancia de realimentación quecoloca los polos a lazo cerrado en los lugares especificados es:

2‐Referencia distinta de cero r(t)¹0

Ejemplo:

¥

- -

¥

+ += = = =

+ + +

= = - = - =

2

3 20

1 1

0

2 1( ) (0) 1

2 2 1

( ) ( ) C 1

ss t s

ss t s

s sy Limy t G Lim

s s stambién

y Limy t LimC sI A B A B

Para u(t) escalón unitario (U(s)=1/s) la salida delsistema en estado estacionario a lazo abierto es:

+ +=

+ + +

ì é ù é ùïï ê ú ê úï ê ú ê ú= +ïï ê ú ê ú í ê ú ê úï ë û ë ûïï é ùï = ë ûïî

2

3 2

0 1 0 0

-1 -1 -1 12 1( )

0 0 -1 12 2 11 0 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

s sG s

s s s

x t x t u t

y t x t

La salida en estado estacionario difiere mucho del valordeseado. El error permanente es grande.

¥

- -

¥

öæ é ù é ù ÷ç ÷ê ú ê úç ÷ç ÷ê ú ê ú é ùç ÷-ç ÷ê ú ê ú ê úë û ÷ç ê ú ê úççç ê ú ê úè øë û ë û

+ += = = = =

+ + +

= = - - = - -

é ù= - ë û

2

3 20

1 1

0

0 1 0 0

-1 -1 -1 1 4 1 3

0 0 -1 1

1 0 1

2 1 1( ) (0) 0.25

46 9 4

( ) ( ( )) C( )

ss t s

ss t s

s sy Limy t G Lim

s s s

y Limy t LimC sI A BK B A BK B

-

÷÷÷

é ùê úê ú =ê úê úë û

1 0

1

1

0.25

- + += - - =

+ + +

21

3 2

2 1( ) ( ( ))

6 9 4cl

s sG s C sI A BK B

s s s

Vimos también que la función de transferencia a lazo cerradopara es:

Conserva los ceros del sistema a lazo abierto y los polos estánen las posiciones asignadas. Para u(t) escalón unitario la salidadel sistema a lazo cerrado es:

= [4 1 3]K

La respuesta dinámica es la deseada pero el errorpermanente es muy grande.

Fernando di Sciascio (2017)

2.1.a‐Servosistemas Tipo 0 Referencia distinta de cero 

r(t)¹0

Precompensación de ganancia paraeliminar el error en estadoestacionario

Este esquema funciona bien para regulación porque la entrada es cero ylleva la salida a cero. El problema con el seguimiento es que la entrada esdistinta de cero y que al no tener control sobre la salida y(t) hace quetampoco lo tengamos sobre el error e(t)=r(t)-y(t).

La función de transferencia a lazo cerrado es

Se soluciona agregando una ganancia de precompensaciónN

1

11 1 0

11 1 0

( )( ) C [ ( )]

( )N

N ,

cl

m mm mn n

n

Y sG s sI A BK B

U sb s b s b s b

m ns s sa a a

-

--

--

= = - -

+ + + += <

+ + + +

Realimentación de Estados + Ganancia de Precompensación

--¥

= = - - = = --

11

1( ) C [ ] 1

]N

C [Nss t

y Lim y t A BK BA BK B

aa¥

= = = =0 0

0 0

( ) ( N) N0ss clt

by Limy t G

b

01

0

1N

C [ ] bA BK B

a-

= - =-

La ganancia de precompensación es:

La función de transferencia a lazo cerrado es

1

11 1 0

11 1 0

( )( ) C [ ( )]

( )N

N ,

cl

m mm mn n

n

Y sG s sI A BK B

U sb s b s b s b

m ns s sa a a

-

--

--

= = - -

+ + + += <

+ + + +

N 1 / dcgain(ss( , , , ))A BK B C D= -

Con Matlab con el comando dcgain

Ejemplo: Vimos en el ejemplo anterior que el error en estadoestacionario era grande. Ahora le aplicamos al mismo sistemaprecompensación

21

3 2

2 1( ) ( ( ))

6 9 4cl

s sG s C sI A BK B

s s s- + +

= - - =+ + +

La función de transferencia a lazo cerrado es:

a-

= - = =-

01

0

1N 4

C [ ] bA BK B

La ganancia de precompensación debe ser:

2

3 2

( ) 2 1( ) 4 (0) 1

( ) 6 9 4cl cl

Y s s sG s G

U s s s s

+ += = =

+ + +

N 1 / dcgain(ss( , , , )) 4A BK B C D= - =

Con Matlab es muy directo calcular con el comando dcgain

La respuesta dinámica es la deseada y el error de estadoestacionario es cero.

Fernando di Sciascio (2017)

2.1.b‐Servosistemas Tipo 0 Referencia distinta de cero 

r(t)¹0

Adición de ganancia al vector By corrección del vector K

La función de transferencia a lazo cerrado es

Otra posibilidad para solucionar el problema del error deestado estacionaio es agregar una ganancia G al vector B

-= = - - 1( )( ) C [ G G( ')]

( )clY s

G s sI A BK BU s

Observar que el vector de ganancias K se ha modificado a K’para no modificar las posiciones de los polos a lazo cerrado.

Para que no se modifiquen las posiciones de los polos a lazocerrado debe ser.

-

¥-

= = = - -

= - - =

1

1

( ) (0) C [ ']

C [

G

G] 1

Gss ty Lim y t G A BK B

A BK B

-= 1' GK K

a-

= - = =-

01

0

1

C [ ]G N

bA BK B

G es igual a la ganancia de precompensación que secalculo anteriormente.

N

= -G=N 1 / dcgain(ss( , , , ))A BK B C D

En el ejemplo anterior se agrega la ganancia G, y semodifican las ganancias de la realimentación de estados dela siguiente manera:

-

ì = =ïïïíï = = =ïïî1

N 4

1' G [4 1 3] [1 .25 .75]

4

G

K K

El resultado es idéntico al obtenido con la precompensación

La respuesta dinámica es la deseada en ambos casos y elerror de estado estacionario es cero. PERO HAY UNPROBLEMA CON ESTOS ESQUEMAS.

Las perturbaciones NUEVAMENTE pueden afectar mucho yaque ni Los esquemas de compensación vistos, ni larealimentación de estado son eficientes para minimizar susefectos no afectan a los ceros (recordar que los ceros estánrelacionado con las entradas) y las perturbaciones externasson entradas al sistema.

La respuesta dinámica es la deseada y el error de estadoestacionario es cero. PERO MALA RESPUESTA ANTE PERTURBACIONES

El inconveniente de las soluciones vistas hasta ahora esque el control de ganancia se efectúa en lazo abierto, porlo que los sistemas diseñados resultantes son sensibles alas perturbaciones e inexactitudes del modelo, noefectuando un verdadero control en lazo cerrado sobrela ganancia del sistema, es decir, sobre su valor enrégimen permanente.Esto se puede solucionar en parte incrementando el tipodel sistema, y realimentando la salida. El control sepuede denominar realimentación de los estados másrealimentación de la salida con control integral.Esto es lo que trataremos en el tema siguiente.