Post on 01-Feb-2016
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1
OBJETIVOS
- Identificar el algoritmo de la división.
- Identificar el grado del dividendo, divisor, cociente
y residuo.
- Reconocer y diferenciar si un polinomio es
completo y ordenado.- Efectuar la división de dos polinomios.
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R), conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d).
Esquema clásico
D
R
d
q
Se conoce
Por conocer
: D y d
: q y R
Se cumple: D = dq + R
Propiedades
1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
qº = Dº - dº
2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en uno.
Rº = dº - 1MÁX.
RºMÁX Grado máximo del resto.
3. La propiedad fundamental de la división en el Álgebra forma una identidad.
D = dq + R D d . q + R (x) (x) ( x) (x)
4. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.
R 0(x)
Ejemplo:
D x + x + 2x - 3(x) 8 4
d x - 7(x) 5
8°
5°
q° = 8 - 5 = 3
R° = 5 - 1 = 4MÁX
Para dividir dos polinomios tenemos el siguiente criterio:
1. Ordenar el dividendo y divisor, según una misma variable, colocando cero para los términos que faltan.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniendo el primer término del cociente.
3. Se multiplica el primer término obtenido del cociente por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para ello se coloca cada término de este producto debajo de su semejante cambiándole de signo. Luego se suma algebraicamente.
4. Se efectúan las operaciones como en los pasos anteriores continuando hasta que el residuo sea un polinomio de grado menor que el divisor.
• Ejemplo 1:
Dividir: 4x5 - 12x4 + 13x3 + 12x2 - x + 1 entre: 2x2 - 3x + 1
Resolución:
4x - 12x + 13x + 12x - x + 15 4 3 2
-4x + 6x - 2x5 4 3
-6x + 11x + 12x4 3 2
+6x - 9x + 3x4 3 2
2x + 15x - x3 2
-2x + 3x - x3 2
18x - 2x + 12
-18x + 27x - 92
25x - 8
2x - 3x + 12
2x - 3x + x + 93 2
Luego:
- El polinomio cociente es: 2x3 - 3x2 + x + 9- El polinomio residuo es: 25x - 8
• Ejemplo 2:Efectuar la división: x3 - 27 x + 3
Resolución:
SESIÓN 1DIVISIÓN
ALGEBRAICA I
2
En este caso el dividendo carece de término en x2 y en "x", por lo cual los supliremos con coeficiente cero.
x + 0x + 0x - 273 2 x + 3
-x - 3x3 2 x - 3x + 92
-3x + 0x2
+ 3x + 9x2
9x - 27-9x - 27
- 54
Finalmente:
Cociente: x2 - 3x + 9Residuo: -54
• Ejemplo 3:
Efectuar la siguiente división:(x2 + 7x + 12) (x + 3)
Resolución:
x + 7x + 122 x + 3
-x - 3x2 x + 4
4x + 12
-4x - 12
0
Luego el cociente es x + 4 y la división es exacta pues el residuo es 0.
• Ejemplo 4:
Efectuar la siguiente división:(x2 - x3 + x4 - 3x + 2) (x2 + x + 2)
Resolución:
Ordenamos el dividendo según las potencias decrecientes de "x".
x - x + x - 3x + 24 3 2 x + x + 22
-x - x - 2x4 3 2 x - 2x + 12
-2x - x - 3x3 2
2x +2x + 4x3 2
x + x + 22
-x - x - 22
0
Finalmente:
Polinomio cociente: x2 - 2x + 1Polinomio residuo: 0
MÉTODO DE COEFICIENTES SEPARADOS
En la división de polinomios, podemos prescindir de la parte literal.
• Ejemplo:
Dividir: 10x4 + 6x3 - 37x2 + 36x - 12entre: 5x2 - 7x + 3
Resolución:
Como el polinomio dividendo y divisor están completos y ordenados en forma decreciente podemos distribuir sólo coeficientes.
10-10
6+ 14
-37- 6
36 -12
20-20
-43+ 28
36-12
-15
15
24-21
-12+ 9
3 -3
5 - 7 32 4 -3
Luego:
- El polinomio cociente es: 2x2 + 4x - 3- El polinomio residuo es: 3x - 3
1. Sea la siguiente división:
nx2x3
m2xx2x72
56
además:
A: grado del dividendoB: grado del divisorC: grado del cociente
Efectuar: (A - C)B
TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO
3
2. En la división:
1x3x5
3xx2x73
2n
Si el grado del cociente es 2007, hallar el valor de "n"
3. Indicar el residuo de la siguiente división:
(x2 - 12x + 35) (x - 5)
4. Efectuar: (x2 - 5x + 4) (x - 1)e indicar el cociente
5. Indicar el cociente, luego de dividir:
3a2a
7a6a5a22
23
6. Indicar la suma de coeficientes del residuo en la división:
4x2x
8x20x9x52
234
1. Al dividir:
1x5x3x2
5x8x11x7x13x623
2456
Señalar el cociente:
a) 3x3 + 2x2 + x + 2 b) x3 + 2x2 + x + 2c) x3 + x2 + x + 1 d) x3 - 2x2 + 3x - 2e) 8x2 + x + 3
Del problema anterior:
2. Señalar el residuo:
a) x2 + 2x + 2 b) 3x3 + 2x2 + x + 2c) 8x2 + x + 3 d) x2 - x + 1e) 2
3. El coeficiente del término lineal del cociente es:
a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) 4
4. La suma de coeficientes del cociente:
a) 4 b) 7 c) 6d) 5 e) 8
5. Hallar el residuo de la siguiente división:
PROBLEMAS PARA LA CLASE
4
3y2y
5y7y5y2
23
a) y + 5 b) y2 + 3 c) y + 3
d) -10y + 14 e) 10y + 14
6. Hallar el residuo de la división:
1z3z
5zz2z3z2
234
a) z2 + 1 b) -2 c) 4z
d) -6 e) 4z - 6
7. Hallar "A + B", si la siguiente división:
2x3x
BAxx2x3x2
24
3
; es exacta.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
8. Calcular "m + n + p", si la división:
7y5y4y3
pnymyy7y17y623
2345
; es exacta.
a) 22 b) 18 c) 17d) 25 e) 28
9. En la siguiente división exacta:
2mm
bm5amm4m22
234
; calcular "a + b".
a) 2 b) 13 c) 9
d) 8 e) 19
10. Determinar "a + b"; si la división:
1xx
baxx5x32
34
;
deja como residuo: 5x + 7.
a) 28 b) 24 c) 20
d) 16 e) 12
11. Calcular "m + n + p", si la división:
2zz2z3
pnzmzz12z2z3z923
23456
arroja como residuo "6z2 + 4z + 3"
a) 10 b) 18 c) 9d) 25 e) 15
12. Hallar la suma del cociente y el residuo en:
1y4y
8y9y3y4y2
234
a) y2 + 6y - 6 b) y2 + 17y - 8
c) y2 + 15y - 7 d) y2 - 17y + 7
e) y2 - 15y - 8
13. Hallar "A+B", en la siguiente división:
3x2x
BAxx10x5x2
234
; exactaa) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18
1. Calcular el polinomio cociente, luego de dividir:
1x
1x3x3x 23
a) x2 - x +1 b) x2 - 2x + 1
c) x2 + 2x + 1 d) x2 + x + 1
e) x2 + x
2. Efectuar la división:
(x4 - 16) (x + 2),
Indicar verdadero (V) o falso (F).
I. El polinomio cociente es: x3 - 2x2 + 4x + 8
II. El polinomio residuo es: 0
III. El polinomio cociente es: x3 - 2x2 + 4x - 8
a) FVV b) FFF c) FVF
d) VFF e) VVV
3. Indicar el cociente, luego de dividir:
(2a3 - 3a2 + 4a - 5) (a - 2)
a) 2a2 + a + 1 b) 2a2 + a + 3
c) 2a2 + a + 4 d) 2a2 + a + 5
e) 2a2 + a + 6
TAREA DOMICILIARIA
5
4. Efectuar: (-63 + 2x + x2) (x + 9)
Indicar el cociente.
a) x - 4 b) x - 5 c) x - 6
d) x - 7 e) x - 8
5. Efectuar:
2xx
6x5x2x2
23
Indicar el polinomio cociente.
a) x + 2 b) x + 3 c) x + 4
d) x + 5 e) x + 6
6. Dada la división:
(x4 - 4x2 + 16) (x2 + 4)
Indicar verdadero (V) o falso (F).
I. El cociente es: x2 - 8.
II. El residuo es -48.
III. La división es exacta.
a) FVV b) VVV c) FFF
d) VFF e) VFV
7. Indicar el cociente, luego de dividir.
(12x4 - 10x3 + 8x2 - 6x + 4) (x2 + 1)
a) 12x2 - 10x - 4 b) 12x2 - 10x - 3
c) 12x2 - 10x - 2 d) 12x2 - 10x - 1
e) 11x2 - 10x
8. Hallar el cociente de la siguiente división:
2xx
7x6x3x2
23
a) x - 2 b) x + 2 c) x - 1d) 2x - 3 e) 2x + 3
9. Al efectuar la siguiente división:
5x3x2
6x9x5x4x42
234
Indicar el cociente.
a) x2 + x - 1 b) x2 - 1 c) 2x2 + x - 1d) x + 11 e) 2x2 - 2x – 1
10. Hallar el residuo de la siguiente división:
1xx
1x4x5x2x323
245
a) x2 + 3x + 1 b) x2 + 3x c) x2 - 3xd) x2 + 5x e) x2 - 5x + 1
11. Hallar "m + n", si la división:
1x2x
nmxx2
6
Deja como residuo a "2x"
a) 9 b) 7 c) 5d) 11 e) 13
OBJETIVOS:
- Identificar coeficientes del dividendo y divisor.
- Reconocer y diferenciar si un polinomio es
completo y ordenado.- Realizar la división de dos polinomios utilizando el
método de Horner.
MÉTODO DE HORNER
Como ya sabes, las cuatro operaciones aritméticas fundamentales son:
SUM A
+RESTA
-M ULT I PLI CACI ÓN
×DI VI SI ÓN
De igual manera, en el Álgebra se verán estas cuatro operaciones.
Así por ejemplo:
SUM Ay
R ESTA•
Fueron vistas en los dos primeroscapítulos del bimestre (operacio-nes con po linom ios I y I I ) .
PR O DU CT O•
Fue visto durante las dos últimas clases (Capítulos I I I y I V: P roduc-tos Notables I y I I ) .
D I V I S I Ó N• ¡¡Es el capítulo de hoy!!
Parte teórica
Para dividir polinomios, existen tres métodos:
1. Método clásico.2. Método de Willian Horner.3. Método de Paolo Ruffini.
SESIÓN 2DIVISIÓN
ALGEBRAICA II
6
Sin embargo, sea cual fuere el método que usemos, es necesario que los polinomios a dividir estén completos y ordenados en forma descendente.
• Polinomio completo (con respecto a una
variable)
Significa que el polinomio debe poseer todas las potencias, de la variable en referencia, inferiores a su grado.
Ejemplo:
1. P(x) = 5x2 - 2 + 7x + 9x32.
11x)x(2x
2
7x2)x(Q 2223
3. S(z) = z3 + 5 - 6z + z2
• Polinomio ordenado (con respecto a una
variable)Es aquel polinomio donde los exponentes de sus variables van aumentando o van disminuyendo a partir del primer término.
Ejemplos:
1. P(x) = 2x + 7x + 1
2. Q(y) = y + y + y + 1
3. R(x) = x + 4x + 5x
4. S(z) = z + z + z - 1
2
4 2
2 3 7
3 2
Observa los exponentes de lasvariables.Los tres primerospolinomios estánordenados.El último no.¿Por qué?
Método de Horner
En la división:D(x)
R(x)
d(x)
Q(x)
• D(x) es el DIVIDENDO. • d(x) es el DIVISOR.• Q(x) es el COCIENTE. • R(x) es el
RESIDUO.En el método de Horner, se hará uso del siguiente diagrama:
el cuál será llenado de la siguiente manera:
CO E FI C I E N T E S D EL D I VI DE N DOC
OEF.
DEL
DIVISOR
Estecoeficienteno cambiade signo.
Estoscoeficientessi cam biande signo.
Aqu í irán los coeficientesdel cociente
Aqu í irán loscoeficientes del residuo
1. Dividir:
2xx
2x3xxx2
432
Resolución:Ordenando el polinomio dividendo:
2xx
2x3xxx2
234
1
-1
-2
1
1
-1
-1
-2
1
-2
2
1
-3
4
-1
0
2
-2
0
del esquema:
Cociente: Q(x) = x2 - 2x + 1Resto: R(x) = 0
2. Efectuar la división de polinomios:
3xx4
2x3x16x5x14x82
2345
Resolución:
4
-1
-3
8
2
14
-2
3
5
-6
-3
-1
16
-9
1
2
3
3
-2
4
2
-6
-4
Cociente: Q(x) = 2x3 + 3x2 - x + 2Residuo: E(x) = 4x - 4
3. Hallar "m", "n" y "p"; si la división no deja resto:
6x2x3
pnxmxx14x9x123
2345
Resolución:
PROBLEMAS RESUELTOS
7
0
(-m+30)
3
0
-2
6
12
4
-9
0
-3
14
-8
0
2
-m
24
6
0
0
(n-22)
n
-18
-4
0
(-p+12)
-p
12
Como la división no deja resto, entonces:
-m + 30 = 0 m = 30n - 22 = 0 n = 22
-p + 12 = 0 p = 12
4. Calcular "p" y "q", si la división es exacta:
4 2
2
x px q
x 6x 5Resolución:
Ordenando y completando
5x6x
qx0pxx0x2
234
p+ 31
1
6
-5
1
1
0
6
6
p
-5
36
0
-30
6p+ 186
(6p+ 156)
-5p- 155
(-5p+ q-155)
q
Como es exacta:
1566p 156 0 p p 26
6 -5p + q - 155 = 0 -5(-26) + q - 155 = 0 q = 25
5. Efectuar la siguiente división:
22
54322345
yxy2x4
yxy6yx6yx5yx2x4
Resolución:
Como los polinomios están completos y ordenados hacemos el esquema y efectuamos por Horner.
4
-2
+ 1
4
1
2
-2
0
-5
1
0
-1
6
0
2
2
6
-1
-4
1
1
2
3Luego:
- El polinomio cociente es:Q(X) = 1x3 - 0x2y - 1xy2 + 2y3 = x3 - xy2 +
2y3
- El polinomio residuo es:R(x) = xy4 + 3y5
1. Calcular la suma de coeficientes del cociente al dividir:
2x3x
3x5x2
24
2. Hallar el residuo al dividir:
1xx
x2
5
3. Hallar el cociente de la siguiente división:
6xx
2x10x3x2
23
4. Calcular "a - b", si la siguiente división:
TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO
8
1x3x4
baxx9x10x82
234
, es exacta.
5. Hallar el residuo de la división:
2x2x
3xxx2x2
234
6. Calcular el cociente al dividir:
1x2x2
mnxx3x2x22
234
1. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:
2xx2
8x4x2x5x22
234
a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 13
2. Calcular la suma de coeficientes del cociente luego de dividir:
2x6x5
3x7x6xx52
345
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
3. La suma de los coeficientes del cociente y residuo de la siguiente división:
3x2x
3xx3x2
23
; es:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Hallar el residuo al dividir:
2xx3
9x7x10x18x7x623
2345
;
dar como respuesta un término del residuo.
a) -x2 b) -x c) 2d) -1 e) x
5. Si la división:
2xx
nmxx5x3x2
234
; es exacta, hallar "mn".
a) 80 b) 90 c) 100d) 110 e) 120
6. Calcular el valor de "" para que:(x5 - 3x4 + 2x2 + 4) sea divisible por "x - 2".
a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 6
7. Hallar "m + n + p", si la división:
7x5x4x3
pnxmxx7x17x623
2345
es exacta.
a) 22 b) 18 c) 17d) 25 e) 28
8. Hallar "a" para que el residuo de la división:
PROBLEMAS PARA LA CLASE
9
13a5sea;2ax
aaxaxx 223
.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
9. Determinar "mnp", si la división es exacta:
1
3
1
-3
1
1
-2
3
1
-6
1
3
-2
m
-3
1
-6
n
-3
-2
p
6
* * *
a) -30 b) -120 c) 120d) -240 e) 240
10. Del esquema de Horner:
1
2
-1
1
1
-2
2
0
4
-1
0
3
-4
0
6
2
1
-3
4
2
-1
-2
-3
donde la única variable es "x"
El polinomio cociente es :______El polinomio residuo es :______El polinomio divisor es :______
11. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división:
1x2x
2007x2
101
a) 2007 b) 5050 c) 2020d) 4040 e) 3030
1. Hallar "A + B" si la división:
3x2x2
BAxx3x22
24
; es exacta.
a) 2 b) 4 c) 5d) 12 e) 13
2. Calcular el cociente de la siguiente división:
1xx3
BAxx2x5x32
234
a) (x - 1)2 b) (x + 1)2 c) x2
d) x2 - 1 e) x2 + 1
3. Indicar el cociente de la siguiente división:
1x3x2
6x2xx9x22
234
a) (x + 3)2 b) (x - 3)2 c) x2 + 3d) x2 - 3 e) x2
4. Determinar "A + B" en la siguiente división exacta:
1x5x
BAx8x2x9x22
234
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. La siguiente división:
1xx
mxmxx4x32
234
; deja como resto 4.
Calcular "m".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. La siguiente división:
1xx
mx4mxx3x52
234
Deja como residuo (x + 3), calcular "m".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7. Calcular "n" en la siguiente división exacta:
4x2x
4x6nxnxnx2
234
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
8. Calcular "n" en la siguiente división exacta:
2x3x
32x52nx3nx2nx2
234
a) 1 b) 2 c) 3
TAREA DOMICILIARIA
10
d) 4 e) 5
9. Determinar "AB", si en la siguiente división el cociente y residuo son idénticos.
2x2x
BAxx6x2
23
a) 130 b) 132 c) 134d) 136 e) 138
10. Determinar "AB", si en la siguiente división el cociente y residuo son idénticos.
3xx
BAxx2x2
23
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
11. Dividir:
2x5x3
5x3x25x62
23
, el residuo es:
a) 2x - 5 b) -26x + 5 c) x + 5d) -6x + 25 e) 5x - 2
12. Al dividir:
5x3
9x18x19x6 23
, su cociente es:
a) 2x2 - 3x + 1 b) 2 + 3x + x2
c) 2x2 + 3x + 1 d) 4e) x2 - x + 1