Dualidad Gravedad/Teorıa Cuantica de Camposen el Frente de Luz

Guy F. J. de Teramond

Universidad de Costa Rica

Simposio Centroamericano y del Caribe de Fısica

XXVIII CURCCAFUniversidad de Costa Rica

GdT and Brodsky, PRL 102, 081601 (2009)

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Electrodinamica Cuantica (QED)• QED teorıa fundamental de la interaccion de electrones y fotones

• Lagrangiano de QED: ψ(x)→ eiα(x)ψ(x)

LQED = −14

(FµνFµν) + iψDµγµψ +mψψ

• QED describe la electrodinamica, la fısica atomica, la quımica y las propiedades basicas del electron

con precision extraordinaria. Ej. factor g del electron:

gexp = −2.0023193043622(15)

gQED = −2.002319304 . . .

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Estructura Interna del Proton: SLAC (1969)• Experimentos a altas energıas (20 GeV) en SLAC revelaron la estructura interna del proton

• Estudio de colisiones profundamente inelasticas (1967-1973): constituyentes puntuales (partones de

Bjorken y Feynman ) identificados con los quarks de Gell-Mann y Zweig

• Interacciones de los constituyentes fundamentales del proton, quarks y gluones, pueden describirse

mediante una generalizacion notable de QED: cromodinamica cuantica (QCD)

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Cromodinamica Cuantica (QCD)

(qu = 2

3 , qd = −13

)• QCD teorıa fundamental de la interaccion de quarks y gluones mediante la carga de “color”

• Lagrangiano de QCD ψ(x)→ eiαa(x)Ta

ψ(x)

LQCD = − 14g2

Tr (GµνGµν) + iψDµγµψ +mψψ

• A diferencia de QED los gluones interactuan

entre si: CONFINAMIENTO

• Problema complejo de la dinamica de las interacciones fuertes: determinar la composicion de los

hadrones en terminos de sus constituyentes fundamentales quarks y gluones

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Simulacion de QCD(Lattice QCD)

• Simulaciones numericas a escala de

teraflops/sec (resolucion∼ L/a)

• LQCD (2009) > 1 petaflop/sec

–a–

← L →

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AdS/QCD• Desarrollos recientes inspirados en la correspondencia AdS/CFT [Maldacena (1998)] entre teorıas de

cuerdas en el espacio de anti-de Sitter (AdS) y teorıas de campo conformes (invariante de escala)

en el espacio-tiempo fısico, han introducido nuevos metodos para el estudio de teorıas de campo

fuertemente acopladas como QCD

• AdS/QCD: Teorıa gravitacional efectiva se construye de manera a incluir propiedades sobresalientes

de QCD (“bottom-up” vs “top-down”)

• Derivacion no-perturbativa reglas de conteo colisiones a altas energıas para teorıas de calibre (gauge)

con confinamiento duales a teorıas de cuerdas en espacio curvo [Polchinski y Strassler (2001)]

• Interacciones fuertes entre quarks y gluones representadas por teorıa semiclasica (sin efectos cuanticos

como creacion y aniquilamiento de partıculas) de gravedad en un espacio de mas dimensiones: AdS5

• Nueva vision del confinamiento de color y predicciones cuantitativas para el espectro de mesones y

bariones y la funcion de onda que describe la estructura de los hadrones

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Geometrıa del Espacio AdS• Ejemplo de curvatura positiva esfera: distancia entre cualquier punto y su centro r2 = x2 + y2 + z2

(Euclides 300 AC). Distancia infinitesimal entre dos puntos ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2

• Metrica del espacio AdS5:

ds2︸︷︷︸LAdS

=R2

z2

[(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 − c2(dt)2︸ ︷︷ ︸

LMinkowski

−du2]

• Una distancia LAdS se contrae por el factor

de distorsion R/u medido por un observador

en el espacio de Minkowski (du = 0):

LMinkowski ∼u

RLAdS

• AdS es un espacio de curvatura negativa

cuya frontera asintotica es el espacio

cuadri-dimensional (Minkowski)

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Invariancia de Escala y Confinamiento• Metrica AdS invariante a cambios simultaneos en las escalas de distancia y tiempo en el espacio-

tiempo usual xµ → λxµ con el cambio de escala en la quinta dimension de AdS: u→ λu

• Diferentes valores de u corresponden a diferentes escalas a las cuales el proton es examinado

• Intervalos cortos xµxµ → 0 son mapeados a la frontera UV de AdS, u → 0, que corresponde al

lımite Q→∞: distancia cero en 4-dim

• Dimensiones de confinamiento extensas xµxµ ∼ 1/Λ2

QCD son mapeadas a la region IR de AdS

u0 ∼ ~c/ΛQCD: existe una maxima separacion de quarks y un valor maximo de u0 en la frontera IR

• Operadores locales como los operadores de interpolacion O (que crean los hadrones en QCD) y

LQCD estan definidos en terminos de campos de quarks y gluones en la frontera UV

• Utilizamos las isometrıas de AdS para mapear los operadores de interpolacion en la frontera UV de

AdS en los modos que se propagan al interior de AdS

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Holografıa en el Frente de Luz• Formulacion usual de AdS/QCD [Erlich, Katz, Son y Stephanov (2005); Da Rold y Pomarol (2005)] no

existe conexion explıcita con la estructura de los constituyentes fundamentales hadronicos

• Cuerdas describen objetos extendidos de spin J (sin quarks). Constituyentes fundamentales de QCD

son partıculas puntuales y los hadrones tienen momento orbital: como pueden estar relacionados?

• Quantizacion en el frente de luz [Dirac (1949)] es el metodo ideal para describir la estructura hadronica

en terminos de quarks y gluones: estructura simple del vacıo permite definicion precisa del contenido

partonico de los hadrones y sus funciones de onda

• Ecuacion Hamiltoniana de movimiento PµPµ|P 〉 = M2|P 〉 independiente del sistema de referen-

cia. Estructura similar a las ecuaciones de movimiento en AdS

• Aproximacion semiclasica a ecuacion Hamiltoniana de estados ligados relativistas en QCD equiva-

lente a ecuaciones de onda en AdS [GdT y Brodsky (2009)] y puede perfeccionarse sistematicamente

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Dinamica en el Frente de Luz• Diferentes posibilidades para parametrizar el espacio-tiempo [Dirac (1949)]

• Difieren en la superficie en la cual especificamos las condiciones iniciales. Cada una evoluciona con

“tiempos” diferentes y tiene su propio Hamiltoniano, pero deben llevar a resultados fısicos identicos

• Forma Instantanea: superficie inicial definida por t = 0, la forma usual

• Forma del Frente: superficie inicial tangente al cono de luz τ = t+ z/c = 0

x+ = x0 + x3 tiempo en el frente de luz

x− = x0 − x3 variable espacial longitudinal

k+ = k0 + k3 momento longitudinal (k+ > 0)

k− = k0 − k3 energıa en el frente de luz

k · x = kµxµ = 1

2 (k+x− + k−x+)− k⊥ · x⊥

Relacion de dispersion k2 = kµkµ = m2 implica (capa de masa)

k = (k+, k−,k⊥), k− =k2⊥ +m2

k+

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Representacion Partonica en el Frente de LuzGdT and Brodsky, PRL 102, 081601 (2009)

• Generadores de momento en el frente de luz para un proton con momento P = (P+, P−,P⊥) en

terminos de sus partıculas constituyentes con momento q = (q+, q−,q⊥)

P− =∑λ

∫dq+d2q⊥

(2π)3

(q2⊥ +m2

q+

)b†λ(q)bλ(q) + interacciones

P+ =∑λ

∫dq+d2q⊥

(2π)3q+ b†λ(q)bλ(q)

P⊥ =∑λ

∫dq+d2q⊥

(2π)3q⊥ b

†λ(q)bλ(q)

• En el frente el Hamiltoniano P− es dinamico pero los generadores P+ and P⊥ son cinematicos !

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Ecuacion de Hamilton Sistema Compuesto• Hamiltoniano invariante en el frente de luz para el sistema compuesto: P 2 = PµP

µ = P−P+−P2⊥

P 2 |ψ(P )〉 =M2 |ψ(P )〉

• Estado hadronico |ψ〉 superposicion QM de estados de Fock |n〉 del Hamiltoniano libre

|ψ〉 =∑n

ψn|n〉, |n〉 =

|uud〉

|uudg〉

|uudqq〉 · · ·

donde k2i = m2

i , ki = (k+i , k

−i ,k⊥i), para cada componente i

• Componentes de Fock ψn(xi,k⊥i) independientes de P+ y P⊥. Dependen unicamente de coor-

denadas partonicas relativas: la fraccion del momento xi = k+i /P

+ y momento transverso k⊥in∑i=1

xi = 1,n∑i=1

k⊥i = 0.

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• Computo deM2 a partir del elemento de matriz hadronico

〈ψH(P ′)|P 2|ψH(P )〉=M2〈ψH(P ′)|ψH(P )〉

• Resultado

M2 =∑n

∫ [dxi][d2k⊥i

]∑`

(k2⊥` +m2

`

xq

) ∣∣ψn/H(xi,k⊥i)∣∣2 + interacciones

• Normalizacion del espacio de fase∑n

∫ [dxi] [d2k⊥i

] ∣∣ψn/h(xi,k⊥i)∣∣2 = 1

• En terminos de n−1 coordenadas de impacto transverso independientes b⊥j , j = 1, 2, . . . , n−1,

M2 =∑n

n−1∏j=1

∫dxjd

2b⊥jψ∗n/H(xi,b⊥i)∑`

(−∇2b⊥`

+m2`

xq

)ψn/H(xi,b⊥i)+interacciones

• Normalizacion ∑n

n−1∏j=1

∫dxjd

2b⊥j |ψn(xj ,b⊥j)|2 = 1

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Aproximacion Semiclasica a QCD

• Estado ligado de dos partones en el espacio de impacto transverso en el limite mq → 0

M2 =∫ 1

0

dx

1− x

∫d2b⊥ ψ∗(x,b⊥)

(−∇2

b⊥

)ψ(x,b⊥) + interacciones

• Dependencia funcional para un estado de Fock fuera de la capa de masa M2 −M2n

M2n =

( n∑a=1

kµa

)2=∑a

k2⊥a +m2

a

xa→

k2⊥

x(1− x)

• Variable equivalente en espacio transverso de impacto : ζ2 = x(1− x)b2⊥

• Separacion de modos angulares, longitudinales y transversos en terminos de la variable transversa ζ

ψ(x, ζ, ϕ) = eiMϕX(x)φ(ζ)√2πζ

• Resultado (L = |M |)

M2 =∫dζ φ∗(ζ)

√ζ

(− d2

dζ2− 1ζ

d

dζ+L2

ζ2

)φ(ζ)√ζ

+∫dζ φ∗(ζ)U(ζ)φ(ζ)

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• Fuerzas de confinamiento de los terminos de interaccion incluidos en el potencial efectivo U(ζ)

• Lımite ultra-relativista mq → 0 los modos longitudinales X(x) se desacoplan y la ecuacion de

autovalores en el frente P 2|φ〉 =M2|φ〉 es una ecuacion de onda para φ

(− d2

dζ2− 1− 4L2

4ζ2︸ ︷︷ ︸energia cinetica de partones

+ U(ζ)︸ ︷︷ ︸confinamiento

)φ(ζ) =M2φ(ζ)

• Ecuacion de onda de Schrodinger : relativista, independiente sistema de referencia y analıtica

• Autofunciones φ(ζ) determinan espectro hadronico y representan la probabilidad de encontrar n

partones de masa zero a una distancia transversa ζ en el hadron a tiempo igual en el frente de luz

• Normalizacion de autofunciones φ(ζ) = 〈ζ|φ〉

〈φ|φ〉 =∫dζ |〈ζ|φ〉|2 = 1

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Modelo de Barrera Infinita• Potencial de barrera infinita (hard wall)

U(ζ) =

0 if ζ ≤ 1ΛQCD

∞ if ζ > 1ΛQCD

• Si L2 ≥ 0 el Hamiltoniano es positivo 〈φ∣∣HL

LF

∣∣φ〉 ≥ 0 y M2 ≥ 0

• Si L2 < 0 el Hamiltoniano no esta limitado por debajo ( Problema de “caıda al centro” en Q.M.)

• Valor crıtico del potencial corresponde a L = 0, el estado estable mas bajo posible

• Soluciones:

φL(ζ) = CL√ζJL (ζM)

• Espectro de modos a partir de condiciones de frontera

φ

(ζ =

1ΛQCD

)= 0

Por consiguiente:

M2 = βLkΛQCD

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• Espectro de excitacion del modelo de barrera infinita: Mn,L ∼ L+ 2n

Espectro orbital de los mesones livianos ΛQCD = 0.32 GeV

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Mapeo Holografico

• Mapeo holografico en el frente de luz descubierto inicialmente comparando factor de forma electro-

magnetico y gravitacional en AdS y en QCD [Brodsky and GdT (2006, 2008)]

• Substitucion Φ(ζ) ∼ ζ3/2φ(ζ), ζ → u en la ecuacion de onda en el frente de luz(− d2

dζ2− 1− 4L2

4ζ2

)φ(ζ) =M2φ(ζ)

• Solucion [u2∂2

u − 3u ∂u + u2M2 − (µR)2]

Φ(u) = 0

con (µR)2 = −4 + L2, la ecuacion de onda en AdS5 !

• Isomorfismo del grupo SO(4, 2) de transformaciones conformes Pµ,Mµν, D,Kµ con el grupo de

isometrıas del espacio AdS5: xµ → λxµ, u→ λu

• Condicion de estabilidad en AdS de Breitenlohner-Freedman (µR)2 ≥ −4 equivalente a la condicion

de estabilidad QM L2 ≥ 0

• Dimension conforme ∆ del modo Φ en AdS en terminos de la masa 5-dim: (µR)2 = ∆(∆ − 4).

Por consiguiente ∆ = 2 + L de acuerdo al escalamiento en QCD para un objeto de dos partones

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Gravedad en AdS• Metrica AdS5 x` = (xµ, u):

ds2 = g`mdx`dxm =

R2

u2(dxµdxµ − du2)

• Accion para la gravedad acoplada con un campo escalar en AdS5

S =∫d4x du

√g( 1κ2

(R− 2Λ)︸ ︷︷ ︸SG

+12(g`m∂`Φ∂mΦ− µ2Φ2

)︸ ︷︷ ︸

SM

)• Ecuaciones de movimiento

R`m −12g`mR− Λg`m = 0

u3∂u

( 1u3∂uΦ

)− ∂ρ∂ρΦ−

(µRu

)2Φ = 0

• Soluciones fısicas en AdS ΦP (x, u) ∼ e−iP ·x Φ(u) ondas planas a lo largo de las coordenadas

de Poincare con cuadri-momento Pµ y masa hadronica invariante PµPµ =M2

• Sustituyento en la ecuacion de movimiento[u2∂2

u − 3u ∂u + u2M2 − (µR)2]

Φ(u) = 0

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Campos de Spin J en AdS• Campo de spin J en AdS representado por un tensor simetrico de rango J : Φ(x, u)`1···`J

[Fronsdal; Fradkin y Vasiliev]

• Accion en AdS5 para un campo de spin J

SM =12

∫d4x du

√g(∂`Φ`1···`J∂

`Φ`1···`J − µ2Φ`1···`J Φ`1···`J + . . .)

• Estado hadronico con spin total J es dual a un modo normalizable en AdS

ΦP (x, u)µ1···µJ = e−iP ·x Φ(u)µ1···µJ

con cuadri-momento Pµ e ındices de spin en las coordenadas fısicas 3 + 1 (PµPµ =M2)

• Para campos con indices en 3+1, Φzµ2···µJ = Φµ1z···µJ = · · · = 0, sistema de ecuaciones

diferenciales acopladas de SM se reduce a ecuacion homogenea para Φ(u)µ1···µJ

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• Campo de spin J , Φµ1···µJ , con indices en 3+1 mediante cambio de dimensiones

ΦJ(u) =( uR

)−JΦ(u)

• Normalizacion [Hong, Yoon and Strassler (2006)]

Rd−2J−1

∫ umax

0

du

ud−2J−1Φ2J(u) = 1

• Sustituyendo en la ecuacion de onda escalar para Φ[u2∂2

u − (3−2J)u ∂u + u2M2− (µR)2]ΦJ = 0

• Dimension conforme del modo J : (µR)2 = (∆− J)(∆− d+ J)

• Sustituyendo u→ζ y φJ(ζ)∼ζ−3/2+JΦJ(ζ)

(− d2

dζ2− 1− 4L2

4ζ2

)φµ1···µJ =M2φµ1···µJ

con (µR)2 = −(2− J)2 + L2. Desacople de J en el modelo de barrera infinita

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Modelo de Barrera Suave[Karch, Katz, Son and Stephanov (2006)]

• Ecuacion de onda en AdS para ΦJ (Dilaton ϕ(u) = ±κ2u2)[u2∂2

u −(3−2J ∓ 2κ2u2

)u ∂u + u2M2− (µR)2

]ΦJ = 0

• Sustituyendo u→ζ y φJ(ζ)∼ζ−3/2+Jeκ2ζ2/2 ΦJ(ζ) para ϕ(u) = +κ2u2

(− d2

dζ2− 1− 4L2

4ζ2+ κ4ζ2 + 2κ2(L+ S − 1)

)φµ1···µJ =M2φµ1···µJ

• Autofunciones

φnL(ζ) = κ1+L

√2n!

(n+L)!ζ1/2+Le−κ

2ζ2/2LLn(κ2ζ2)

• Autovalores

M2n,L,S = 4κ2

(n+ L+

S

2

)XXVIII CURCCAF, 27 Julio 2009 Page 27

• Addicion de cuantos

4κ2 for ∆n = 14κ2 for ∆L = 12κ2 for ∆S = 1

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1−− 2++ 3−− 4++ JPC

M2

L

Trayectorias de Regge para la familia I = 1 de mesones ρ (rojo)

y la familia I = 0 de mesones ω (negro) para κ = 0.54 GeV

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Gravedad de los Bariones en AdS

De Nick Evans

• Modelo de barrera infinita [GdT y Brodsky (2005)]

• Modelo de barrera suave equivalente a ecuacion de Dirac en AdS con potencial lineal[i(uΓ`∂` + 2Γu

)+ µR+ κ2z

]Ψ(x`) = 0.

• Solucion (µR = ν + 1/2)

Ψ+(z) ∼ z52

+νe−κ2z2/2Lνn(κ2z2)

Ψ−(z) ∼ z72

+νe−κ2z2/2Lν+1

n (κ2z2)

• Autovalores

M2 = 4κ2(n+ ν + 1)

• Modo de spin J > 12 , Ψµ1···µJ−1/2

, con indices en 3+1 a partir de Ψ por cambio de dimensiones

XXVIII CURCCAF, 27 Julio 2009 Page 30

4κ2 for ∆n = 14κ2 for ∆L = 1

2κ2 for ∆S = 1

M2

L

Trayectorias de Regge para la familia 56 de baryones N y ∆ para κ = 0.5 GeV

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Otras Aplicaciones de Dualidad Calibre/Gravedad

• Rompimiento simetrıa chiral [Erlich, Katz, Son y Stephanov, Da Rold y Pomarol . . . ]

• Espectro Hadronico [Boschi-Filho, Braga, de Paula, Frederico, Vega, ...]

• Factores de forma electromagneticos, gravitacionales y de transicion

[Abidin y Carlson, Grigoryan y Radyushkin, Kwee y Lebed, Brodsky y GdT ...]

• Dispersion profundamente inelastica y fısica del pomeron [Polchinski, Strassler, Brower, Tan, ...]

• Materia de quarks y gluones en condiciones extremas (RHIC, LHC)

[Policastro, Son, Starinets, Kovtun, Gubser, Kim, Sin, Zahed, Caceres, Guijosa, Edelstein, . . . ]

• Fısica de la materia condensada y superconductores [Herzog, Kovtun, Son . . . ]

Aplicaciones futuras de holografıa en el frente de luz

• Introduccion de quarks masivos

• Introduccion de efectos cuanticos: fuerzas de Coulomb por intercambio de gluones, estados de Fock

sobre el estado de valencia . . .

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Ejemplo: Factor de forma electromagnetico del pion PRELIMINAR

|π〉 = ψqq/π|qq〉+ ψqqqq/π|qqqq〉

Mρ2 → 4κ2(n+ 1/2)

κ = 0.54 GeV

Γρ = 130, Γρ′ = 400, Γρ′′ = 300 MeV

Pqqqq = 13 %

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