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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE ECONOMIA
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE ECONOMIA
.
CAPITULO I
MODELOS MULTIECUACIONALES 1. EVALUACIN DE MODELOS MULTIECUACIONALES
1.1. EXOGENEIDAD
En trminos generales:
1 Variable Endgena es aquella cuyo comportamiento pretendemos estimar.
2 Variable exgena es aquella cuyos valores se toman como datos para analizar
el comportamiento de las endgenas.
Para seleccionar variables exgenas se considera el criterio siguiente:
DEPARTAMENTAL Se consideran como exgenas aquellas que estn
total o parcialmente al margen del sistema (Clima,
poblacin, poltica, tecnologa)
CAUSAL Se consideran exgenas aquellas que no estn
influidas por las endgenas.
Segn Koopmans (1950) la definicin estadstica de exogeneidad debe ser
ms estricta que la definicin terica.
DEFINICIN I: En un sistema con variables retardadas se considera como estadsticamente exgenas adems de las anteriores las que
cumplan las siguientes condiciones:
1 Que slo intervengan en las ecuaciones estructurales con algn nivel de
retardo.
2 Que an interviniendo sin ningn nivel de retardo, ests slo dependan de
variables estrictamente exgenas o de variables retardadas.
DEFINICIN ESTADSTICA: Partimos de la definicin de un sistema completo como:
X X X X u
X X X X u
X X X X u
t t t rt rt t
it i t i t ri rt it
rt r t r t rr rt rt
1 11 1 21 2 1
1 1 2 2
1 1 2 2
D D DD D DD D D
* * ... *
* * ... *
* * ... *
2
y presentando una funcin de distribucin conjunta de las perturbaciones aleatorias
independiente para cada periodo t, as:
En un sistema sin variables retardadas se considera como estadsticamente
exgenas aquellas variables cuya funcin de distribucin es independiente de las
variables exgenas. Es decir:
1 El conjunto de variables endgenas no intervienen en las ecuaciones de las
endgenas.
2 Las funciones de distribucin de las perturbaciones aleatorias son
independientes.
3 El Jacobiano del conjunto de perturbaciones aleatorias con respecto al total de
variables presenta valores nulos en las perturbaciones correspondientes a las
variables exgenas con respecto a las variables endgenas.
Por lo general, se distinguen dos conceptos de exogeneidad:
1 Predeterminacin Una variable es predeterminada en una ecuacin
especfica si es independiente de los errores
contemporneo y futuro en tal ecuacin. Es decir: .0;0;0 z nttttmtt uXEuXEuXE
2 Exogeneidad Estricta Una variable es estrictamente exgena si es
independiente de los contemporneo, futuro y
pasado en la ecuacin relevante. Es decir: .0;0;0 nttttmtt uXEuXEuXE
Para explicar estos conceptos es preciso considerar un modelo con variables
rezagadas; as:
ttttt
ttttt
uXYYX
uXYXY
21221212
11121111
EEDEED
u t1 y u t2 son mutua y serialmente independientes.
En la primera ecuacin, si 02 D entonces tX est predeterminada para tY .
Considerando la segunda ecuacin, si 02 D y 021 E entonces tX es estrictamente exgena para tY . Si 021 zE entonces tX depende de 1,1 tu por medio
),,( 1 rit uuuf
3
de 1tY .
En los modelos no dinmicos y sin correlacin serial en los errores, no es
necesario hacer esta distincin.
Engle, Hendry y Richard sugieren tres conceptos adicionales:
1 Exogeneidad dbil.- una variable tX es dbilmente exgena para estimar un
conjunto de parmetros si la inferencia sobre condicional
en tX no supone una prdida de informacin. Es una
condicin requerida para la estimacin eficiente.
Ejemplo: tY y tX tienen una distribucin normal bivariada, existen cinco
parmetros: 12221121 ,,,, VVVuu . Es posible transformarlos mediante una transformacin unvoca en 2,, VED y 222 ,Vu . Ambos conjuntos son separados, por lo tanto, para estimar 2,, VED no es necesario informacin de 222 ,Vu .
2 Superexogeneidad.- Si tX es dbilmente exgena y los parmetros en la
distribucin conjunta de tY y tX permanecen sin cambios
ante las variaciones en la distribucin marginal de tX . Es
una condicin requerida para propsitos de poltica.
Ejemplo: Si modificamos 22u y 22V (parmetros en la distribucin marginal de tX se producen cambios en 2,, VED , entonces no es superexgena.
3 Exogeneidad fuerte.- Si tX es dbilmente exgena y no est precedida
por ninguna de las variables endgenas del
sistema.
Ejemplo: Se tiene el modelo:
tttt
ttt
uYXX
uXY
21211
1
DDE
tt uu 21 , se distribuye normal bivariada y son serialmente independientes, 1221222111 , VVV tttt uuCovatyuVatuVat .
Si 012 D entonces tX es dbilmente exgena debido a que la distribucin marginal de tX no involucra a E ni a 11V .
Pero la segunda ecuacin demuestra que tY precede a tX , es decir, tX
4
depende de 1tY ; por lo tanto, tX no es fuertemente exgena.
La definicin de Engle, Hendry y Richard es en trminos de un
concepto llamado causalidad de Granger. As:
"Si tX es dbilmente exgena y no es causada en el sentido de Granger por
ninguna de las variables endgenas del sistema, entonces se define como
fuertemente exgena".
1.2. PRUEBA DE EXOGENEIDAD
El enfoque de la Fundacin Cowles para ecuaciones simultneas sostiene el
punto de vista de que no es posible probar la causalidad y la exogeneidad.
Tenemos un modelo de ecuaciones simultneas con tres variables endgenas
321 ,, YYY y tres variables exgenas 321 ,, ZZZ .
Supongamos que la primera ecuacin del modelo es:
ttttt uZYYY 11133221 DEE
se quiere probar si es posible tratar a 32 YyY como exgenas para la estimacin de
esta ecuacin.
Para probar esta hiptesis seguimos el siguiente procedimiento:
1 Obtenemos los valores predichos de 32 YyY , a partir de las ecuaciones en la
forma reducida para estas ltimas.
2 Luego se estima el modelo:
ttttttt uYYZYYY 133221133221 JJDEE
empleando mnimos cuadrados ordinarios.
3 Se realiza la prueba de Wald para probar la hiptesis:
0:
0:
321
320
zz
JJJJ
H
H
si se acepta la hiptesis nula entonces 32 YyY si pueden tratarse como
exgenas en la estimacin de la ecuacin; y si se rechaza la hiptesis nula
entonces 32 YyY no pueden tratarse como exgenas en la estimacin de la
ecuacin.
Se tiene el modelo siguiente:
5
tttt
tttt
ttttt
uCINDDINF
uINFDDI
uDDENCIDD
3321
2321
114321
GGGEEE
DDDD
Verificaremos que las variables DD e INF se pueden tratar cono exgenas en
la segunda ecuacin, se tiene el procedimiento siguiente:
1 Estimamos la forma reducida de DD e INF y obtenemos los valores predichos
estticos de DD e INF, nos da:
Dependent Variable: DD
Method: Least Squares
Sample: 1992:02 1997:12
Included observations: 71
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C 37.82578 11.54381 3.276716 0.0017
DD(-1) 0.686693 0.087386 7.858146 0.0000
ENC -0.400755 0.206661 -1.939190 0.0567
CIN 0.038788 0.010386 3.734700 0.0004
============================================================
R-squared 0.848166 Mean dependent var 207.9296
============================================================
DDF
================================================================================
Modified: 1992:02 1997:12 // frdd.fit ddf
1992:01 NA 144.7520 146.4577 147.9097 153.1752 151.2739
1992:07 155.2140 164.7869 156.9519 154.5775 156.8674 157.9472
1993:01 171.6747 164.1451 170.1863 164.5127 158.1686 153.1212
1993:07 164.9365 178.5399 164.1107 167.7566 173.7750 173.9148
1994:01 194.8023 180.7786 182.7720 188.9755 178.1305 179.3825
1994:07 185.6961 219.4566 196.9213 200.7219 201.4028 200.8673
1995:01 239.0520 215.7034 224.6584 236.4655 225.9911 219.8976
1995:07 225.4408 247.7038 230.3212 234.5356 234.8269 230.6908
1996:01 258.3213 233.7957 230.7273 237.7114 241.8207 242.2752
1996:07 236.4521 250.4778 238.3640 235.9629 235.6657 237.1514
1997:01 260.8767 241.0755 244.8116 257.7485 259.6422 261.2410
1997:07 253.4000 279.0850 267.5338 260.7541 266.3076 261.8484
================================================================================
Dependent Variable: INF
Method: Least Squares
Sample: 1992:02 1997:12
Included observations: 71
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C 5.239088 0.542312 9.660657 0.0000
DD(-1) -0.019710 0.004105 -4.801078 0.0000
ENC 0.053570 0.009709 5.517762 0.0000
CIN -0.001711 0.000488 -3.507769 0.0008
============================================================
R-squared 0.687070 Mean dependent var 1.652113
============================================================
6
INFF
================================================================================
Modified: 1992:02 1997:12 // frinf.fit inff
1992:01 3.500000 4.008865 3.872067 3.424886 3.545896 3.490536
1992:07 2.875449 3.159742 3.740656 3.466783 3.676729 2.952576
1993:01 3.270704 2.953143 3.007627 3.047820 3.690561 3.643172
1993:07 2.353319 2.372938 2.984426 2.271774 2.434575 1.733955
1994:01 1.423582 1.805801 1.524053 1.334873 1.867048 1.901173
1994:07 2.005350 0.926592 1.317732 1.282110 1.420033 1.150795
1995:01 0.215221 0.944469 0.608405 0.371529 1.193807 1.102860
1995:07 1.269565 0.729651 1.096230 1.045941 1.129630 1.238353
1996:01 0.811535 1.334264 1.524015 0.831504 0.646067 0.558532
1996:07 1.241294 0.626075 1.364197 0.873296 1.130797 1.108127
1997:01 0.471394 1.091477 1.313852 0.135472 -0.091280 -0.022570
1997:07 0.575497 -0.462633 0.228249 0.256949 0.207520 0.663370
================================================================================
2 Se estima el modelo extendido, obtenindose:
Dependent Variable: I
Method: Least Squares
Sample: 1992:02 1997:12
Included observations: 71
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C 26.54475 15.14426 1.752793 0.0843
DD 0.003468 0.050426 0.068765 0.9454
INF 2.088850 1.073380 1.946050 0.0559
DDF -0.042697 0.076812 -0.555866 0.5802
INFF 2.607720 2.241078 1.163601 0.2488
============================================================
R-squared 0.525173 Mean dependent var 26.14704
============================================================
3 Realizamos la prueba de Wald para probar la hiptesis:
0:
0:
541
540
zz
JJJJ
H
H
El Eviews da el resultado siguiente:
Wald Test:
Equation: MEI
====================================================
Null Hypothesis C(4)=0
C(5)=0
====================================================
F-statistic 2.252994 Probability 0.113108
Chi-square 4.505988 Probability 0.105084
====================================================
se realiza la comparacin:
66,2,95.01357193449.3252994.2 FF
se acepta la hiptesis nula, es decir, las variables DD e INF pueden tratarse
como exgenas en la segunda ecuacin.
7
1.3. CAUSALIDAD DE GRANGER
En algunas oportunidades es importante determinar si cambios en una variable
causa cambios en otra variable.
El test de causalidad de Granger nos ayuda a determinar si de acuerdo a los
datos (no la teora) existe una variable cuyos cambios anteceden cambios en otra
variable. Es importante que las series sean estacionarias para evitar el riesgo de
obtener relaciones espurias, y en caso de no cumplir con esta caracterstica es
necesario aplicar alguna transformacin para convertirlas en estacionarias,
asumiendo que al hacerlo se mantienen las relaciones de causalidad.
Granger se basa en la premisa de que el futuro no puede provocar el presente o
el pasado.
Si un evento A ocurre despus de un evento B, se sabe que A no puede
provocar a B. Al mismo tiempo, si A ocurre antes de B, esto no necesariamente
implica que A provoque a B.
Consideremos dos series de tiempo tt XyY , la serie tX fracasa en la causalidad de Granger de tY si en una regresin de tY sobre las Y rezagadas y las X
rezagadas los coeficientes de esta ltima son cero. Es decir, la hiptesis es: 0:
,...,2,10:
1
0
z
i
i
H
kiH
EE
y se estima el siguiente modelo:
k
i
titi
k
i
itit uXYY11
ED si se acepta la hiptesis nula, entonces tX fracasa en causar a tY , siendo K arbitrario.
Si se rechaza la hiptesis nula, es decir X causa Y, entonces cambios en X deben
preceder en el tiempo a cambios en Y.
La prueba de causalidad de Granger asume que la informacin relevante para
la prediccin de las variables tY y tX est contenida nicamente en los datos de
series de tiempo sobre estas variables.
El test depender de m (el # de rezagos) y este es arbitrario, es decir uno
puede especificar el nmero de rezagos. Y el resultado de pronto se vera afectado.
Entonces uno debera efectuar los tests con diferentes rezagos y asegurarse que la
conclusin del test no se afecte por el nmero de rezagos.
Para ver lo que hace la prueba de Granger, consideremos el siguiente modelo:
8
ttttt
ttttt
uXYYX
uXYXY
21221212
11121111
EEDEED
escribamos la forma reducida del modelo:
tttt
tttt
vXYX
vXYY
2122121
1112111
SSSS
para la no causalidad de Granger se requiere que 021 S . En cambio, para que tX sea predeterminada de tY debe cumplirse que 02 D . Para que tX sea estrictamente exgena para tY se requiere que 02 D y 021 E .
Sabemos que:
21
21112
211 DD
EEDS
entonces 021 S no implica que 02 D y 021 E . Por lo tanto, la prueba de causalidad de Granger no equivale a la prueba de predeterminacin ni a la prueba de
exogeneidad estricta.
1.4. EVALUACIN
Mucho de lo establecido para modelos uniecuacionales es directamente
aplicable con la inmediata generalizacin que supone trabajar con g ecuaciones en
lugar de con una sola.
La diferencia conceptual al analizar los errores en modelos multiecuacionales,
respecto al caso de ecuacin nica, reside en que ahora los errores en la variable
endgena de una ecuacin no pueden asignarse directamente a un defectuoso
funcionamiento de la misma, sino que frecuentemente vendrn inducidos por errores
en otras ecuaciones conexas con la que estamos estudiando.
El proceso de evolucin se realiza ecuacin por ecuacin y siguiendo los
mismo criterios que en la evaluacin de un modelo multiecuacional; es decir, el
criterio econmico, criterio estadstico y criterio economtrico.
1.4.1. CRITERIO ECONMICO
Consiste en contrastar si los resultados de la estimacin cumplen con las
restricciones impuestas por la teora econmica.
La evaluacin consiste en verificar si las categoras de signo y tamao son los
que la teora exige. Por lo tanto, existen slo dos alternativas:
A.- Los parmetros estimados tengan el tamao y el signo que la teora seala, o
9
B.- los parmetros estimados no posean las caractersticas que la teora espera.
Tenemos el modelo de determinacin de la renta siguiente:
tttt
ttttt
ttt
GGIBCPPBI
uTIBPBIPBIIB
uPBICP
22110
110
EEEDD
La teora econmica determina que:
0010 211 ! EED
Los resultados economtricos de la estimacin del modelo son:
Dependent Variable: CP
Method: Two-Stage Least Squares
Sample(adjusted): 1950:2 1985:4
Included observations: 143 after adjusting endpoints
Instrument list: C PBI(-1) TIB GG
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C -142.1103 10.13736 -14.01848 0.0000
PBI 0.673290 0.004185 160.8802 0.0000
============================================================
R-squared 0.994587 Mean dependent var 1416.052
Adjusted R-squared 0.994549 S.D. dependent var 484.8804
S.E. of regression 35.79936 Sum squared resid 180704.8
F-statistic 25882.43 Durbin-Watson stat 0.165631
Prob(F-statistic) 0.000000
============================================================
Dependent Variable: IB
Method: Two-Stage Least Squares
Sample(adjusted): 1950:2 1985:4
Included observations: 143 after adjusting endpoints
Instrument list: C PBI(-1) TIB GG
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C 61.22132 48.49890 1.262324 0.2089
PBI-PBI(-1) 7.496991 1.826459 4.104659 0.0001
TIB 35.78810 5.098588 7.019217 0.0000
============================================================
R-squared -1.225633 Mean dependent var 385.1077
Adjusted R-squared -1.257428 S.D. dependent var 130.6596
S.E. of regression 196.3126 Sum squared resid 5395412.
F-statistic 29.63298 Durbin-Watson stat 1.342052
Prob(F-statistic) 0.000000
============================================================
La funcin consumo personal presenta correcto el signo y tamao del
parmetro, mientras la funcin inversin bruta presenta un signo correcto y el otro
cambiado.
10
1.4.2. CRITERIO ESTADSTICO (CRITERIO DE PRIMER ORDEN)
Consiste en someter a los parmetros estimados a una serie de test o exmenes
para determinar su grado de confiabilidad o certeza.
La investigacin aplicada ha centrado todos estos exmenes en el uso del
siguiente procedimiento:
A.- Test o Prueba de Hiptesis: Pueden ser pruebas individuales o conjuntas,
dentro de las cuales se encuentran las pruebas de significancia. La regla de
decisin es: Si el estadstico calculado supera al valor de la tabla se rechaza la
hiptesis nula, es decir, el estadstico calculado cae en la regin crtica.
B.- Test de Bondad de Ajuste: de un modelo estimado a travs del coeficiente de
determinacin (R2): El coeficiente de determinacin nos indica la proporcin
o porcentaje de variacin total en la variable dependiente que ha sido
explicada por los cambios de las variables explicativas del modelo.
PRUEBA DE SIGNIFICANCIA INDIVIDUAL:
En la funcin de consumo personal, la propensin marginal a consumir es
significativa al 5% (0.0000); mientras que en la funcin de inversin bruta, el
acelerador y el coeficiente de la tasa de inters son significativos al 5 % (0.0001 y
0.0000 respectivamente).
PRUEBA DE SIGNIFICANCIA GLOBAL:
La funcin de consumo personal e inversin bruta en conjunto son estadsticamente
significativas al 5 % (0.000000 y 0.000000 respectivamente).
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE:
En la funcin de consumo personal es aceptable y significa que el 99.4587 %
de la variancia del consumo personal es explicada por las variaciones del PBI y en la
funcin de inversin bruta no se puede interpretar el resultado porque nos sale
negativo.
TEST DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO MULTIECUACIONAL
Conceptualmente, no es fcil disponer de una medida nica integradora de la
bondad de un modelo multiecuacional en su conjunto. Se ha propuesto el coeficiente
de Determinacin de Dhrymes, que se define:
G
h
y
yG
h
h
h
hRR
1
2
2
1
22
VV
11
La crtica a este coeficiente se sustenta en que un modelo multiecuacional no
es simplemente una unin de ecuaciones individuales, sino que cobra un carcter
unitario que exige una evaluacin tambin global.
Incluso aunque todas las ecuaciones individuales se ajusten bien a los datos y
sean estadsticamente significativos, no tendremos la garanta de que en su conjunto,
cuando sea simulado, reproduzca aquellas mismas series en forma ajustada.
En el ejemplo del modelo de determinacin de la renta, el coeficiente de
determinacin del modelo es positivo aunque el coeficiente de determinacin de la
funcin de inversin bruta es negativo, el coeficiente de determinacin de Dhrymes
se obtiene de la siguiente forma:
844284.0
6596.1308804.484
6596.130225633.1
6596.1308804.484
8804.484994587.0
2
22
2
22
22
R
R
1.4.3. CRITERIO ECONOMTRICO (CRITERIO DE SEGUNDO ORDEN)
Corresponde a determinar si todos los supuestos del modelo se han cumplido
de manera satisfactoria. Hay que detectar si existe un alto grado de multicolinealidad,
heterocedasticidad, autocorrelacin, observaciones atpicas, normalidad y estabilidad
parametrica.
MULTICOLINEALIDAD:
La multicolinealidad es una cuestin de grado, no de existencia. La decisin
importante no es entre presencia y ausencia, sino entre los distintos grados de
multicolinealidad.
La regla de Klein en su versin de correlaciones indica que existe un alto
grado de multicolinealidad si:
YXX Rr ji !
donde ji XX
r es el coeficiente de correlacin simple entre dos regresores cualquiera y
YR es el coeficiente de correlacin mltiple de la ecuacin, o la raz cuadrada de su
coeficiente de determinacin. O en su versin ms empleada, si al menos una
correlacin entre regresores supera a una correlacin de uno de los regresores con la
endgena.
La matriz de correlaciones de las variables del modelo son:
12
Correlation Matrix
================================================
PBI-PBI(-1) IB TIB
================================================
PBI-PBI(-1) 1.000000 0.210195 -0.043968
IB 0.210195 1.000000 0.821177
TIB -0.043968 0.821177 1.000000
================================================
La funcin de consumo personal no presenta multicolinealidad. La primera y
segunda versin de Klein no se puede aplicar para la funcin de inversin bruta por
tener un coeficiente de determinacin negativo. La tercera versin de Klein nos
indica que existe un bajo grado de multicolinealidad.
HETEROCEDASTICIDAD:
La hiptesis nula es la existencia de homocedasticidad, es decir no existencia
de heterocedasticidad. Esta hiptesis se verificar en los siguientes tests:
1 WHITE SIMPLIFICADO.- No requiere especificar la forma que puede
adoptar la heterocedasticidad. Abrimos la estimacin del modelo original
(para cada una de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instruccin:
View Residual Tests White Heteroskedasticity (no cross terms) y el computador nos muestra el resultado.
En nuestro caso para la primera ecuacin es:
White Heteroskedasticity Test:
============================================================
F-statistic 4.476687 Probability 0.013045
Obs*R-squared 8.595526 Probability 0.013599
============================================================
Para la segunda ecuacin da:
White Heteroskedasticity Test:
============================================================
F-statistic 264.9849 Probability 0.000000
Obs*R-squared 126.5267 Probability 0.000000
============================================================
Segn la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis
alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe
heterocedasticidad en la funcin de consumo personal e inversin bruta.
2 WHITE GENERAL.- No requiere especificar la forma que puede adoptar la
heterocedasticidad. Se abre la estimacin del modelo original (para cada una
de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instruccin:
View Residual Tests White Heteroskedasticity (cross terms) y el
13
computador nos muestra para la primera ecuacin:
White Heteroskedasticity Test:
============================================================
F-statistic 4.476687 Probability 0.013045
Obs*R-squared 8.595526 Probability 0.013599
============================================================
Para la segunda ecuacin da:
White Heteroskedasticity Test:
============================================================
F-statistic 245.2174 Probability 0.000000
Obs*R-squared 128.6275 Probability 0.000000
============================================================
Observando la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis
alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe
heterocedasticidad en la funcin de consumo personal e inversin bruta.
3 HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL AUTORREGRESIVA.- Se ha
elegido que el modelo autorregresivo de heterocedasticidad es de primer
orden. Despus de abrir la estimacin del modelo original ejecutamos la
siguiente instruccin:
View Residual Tests Arch LM Test 1 OK y se obtiene para la primera ecuacin:
ARCH Test:
============================================================
F-statistic 334.3676 Probability 0.000000
Obs*R-squared 100.0916 Probability 0.000000
============================================================
El resultado de la segunda ecuacin es:
ARCH Test:
============================================================
F-statistic 2.054933 Probability 0.153943
Obs*R-squared 2.054138 Probability 0.151793
============================================================
Observando la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis
alternativa en la primera ecuacin a un nivel de significancia del 1 %; es decir,
existe heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden uno en la
funcin de consumo personal. En la funcin de inversin bruta existe
homocedatsicidad.
Ahora, se comprobar heterocedasticidad de segundo orden; siendo los
resultados de la primera ecuacin:
14
ARCH Test:
============================================================
F-statistic 179.5448 Probability 0.000000
Obs*R-squared 101.8561 Probability 0.000000
============================================================
En la segunda ecuacin se obtiene:
ARCH Test:
============================================================
F-statistic 6.139587 Probability 0.002790
Obs*R-squared 11.52098 Probability 0.003150
============================================================
De acuerdo a la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis
alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe
heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden dos en ambas
funciones.
AUTOCORRELACION:
La hiptesis nula es la no existencia de autocorrelacin de orden p, es decir
ausencia de autocorrelacin de orden p. Esta hiptesis se comprobar en los
siguientes tests:
1 DURBIN - WATSON.- Comprobamos ausencia de autocorrelacin de primer
orden, por lo tanto, utilizamos el estadstico Durbin-Watson que se tiene en la
estimacin de la primera ecuacin, luego buscamos en la tabla de Durbin -
Watson a un nivel de significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143
observaciones y una variable explicativa (excluyendo el intercepto); a
continuacin aplicamos la regla correspondiente:
, 2647.172.1165631.00 UL ddDW
Como el DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la
hiptesis nula, es decir, existe autocorrelacin positiva de primer orden.
Para la segunda ecuacin utilizamos el estadstico Durbin-Watson de la
estimacin, luego buscamos en la tabla de Durbin - Watson a un nivel de
significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143 observaciones y dos
variables explicativas; a continuacin aplicamos la regla correspondiente:
, 267.1706.1342052.10UL
ddDW
El valor del DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la
15
hiptesis nula, es decir, existe autocorrelacin positiva de primer orden.
2 BREUSCH - GODFREY (LM).- Comprobaremos que no existe
autocorrelacin de primer orden. Abrimos la estimacin del modelo original y
se ejecuta la siguiente instruccin:
View Residual Tests Serial Correlation LM Test 1 OK y el EVIEWS nos muestra el siguiente resultado de la primera ecuacin:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
============================================================
F-statistic 737.9106 Probability 0.000000
Obs*R-squared 115.9041 Probability 0.000000
============================================================
Y nos muestra el siguiente resultado para la segunda ecuacin:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
============================================================
Obs*R-squared 15.37167 Probability 0.000088
============================================================
Segn la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis
alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir,
existe autocorrelacin de primer orden en la funcin de consumo personal y
en la funcin de inversin bruta.
A continuacin, se verificar autocorrelacin de segundo orden;
obtenindose para la primera ecuacin:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
============================================================
F-statistic 379.6381 Probability 0.000000
Obs*R-squared 116.7076 Probability 0.000000
============================================================
Obtenemos para la segunda ecuacin:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
============================================================
Obs*R-squared 15.39034 Probability 0.000455
============================================================
Observando la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis
alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir,
existe autocorrelacin de segundo orden en las funciones de consumo e
inversin bruta.
3 BOX PIERCE.- Verificaremos que no existe autocorrelacin de primer
orden y segundo orden. Abrimos la estimacin del modelo original y se
ejecuta el siguiente comando:
16
View Residual Tests Correlogram Q- Statistics 2 OK y el EVIEWS y el computador nos da el siguiente resultado para la primera
ecuacin:
Correlogram of Residuals
==============================================================
Sample: 1950:2 1985:4
Included observations: 143
==============================================================
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
==============================================================
.|*******| .|*******| 1 0.899 0.899 118.09 0.000
.|****** | *|. | 2 0.778-0.160 207.14 0.000
==============================================================
Se tiene:
0:
0:
11
10
z
UU
H
H
comparamos:
2 1,95.02 84.3572743.115899.0*143 F ! BPQ
Se rechaza la hiptesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,
existe autocorrelacin de primer orden en la funcin de consumo personal.
Para verificar segundo orden, tenemos:
0:
0:
211
210
zz
UUUU
H
H
calculamos: 2 2,95.022 99.5128355.202778.0899.0*143 F ! BPQ
Se rechaza la hiptesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,
existe autocorrelacin de segundo orden en la funcin de consumo personal.
A partir de la segunda ecuacin se obtiene:
Correlogram of Residuals
==============================================================
Sample: 1950:2 1985:4
Included observations: 143
==============================================================
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
==============================================================
.|** | .|** | 1 0.327 0.327 15.655 0.000
.|* | .|. | 2 0.117 0.011 17.665 0.000
==============================================================
17
Se tiene:
0:
0:
11
10
z
UU
H
H
comparamos:
2 1,95.02 84.3290847.15327.0*143 F ! BPQ
Se rechaza la hiptesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,
existe autocorrelacin de primer orden en la funcin de inversin bruta.
Para verificar segundo orden, tenemos:
0:
0:
211
210
zz
UUUU
H
H
calculamos: 2 2,95.022 99.5248374.17117.0327.0*143 F ! BPQ
Se rechaza la hiptesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,
existe autocorrelacin de segundo orden en la funcin de inversin bruta.
NORMALIDAD:
Se plantea la siguiente hiptesis:
1z1|
uH
uH
:
:
1
0
se utiliza el estadstico Jarque - Bera, cuya frmula es:
22 3
4
1
6KS
KNJB
se tiene la siguiente regla de decisin:
2 2,95.099.5 F JB
entonces, a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una
distribucin normal.
El test de normalidad lo obtenemos de la siguiente forma para la primera
ecuacin:
Abris EQ1 View Residual Tests Histogram-Normality Test OK, obtenindose el siguiente resultado:
18
0
2
4
6
8
10
12
14
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Series: Residuals
Sample 1950:2 1985:4
Observations 143
Mean 1.02E-12
Median -3.450644
Maximum 101.6454
Minimum -73.31450
Std. Dev. 35.67308
Skewness 0.333192
Kurtosis 3.135286
Jarque-Bera 2.754957
Probability 0.252214
a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una distribucin
normal.
El test de normalidad se obtiene de la siguiente forma para la segunda
ecuacin:
Abris EQ2 View Residual Tests Histogram-Normality Test OK, obtenindose el resultado siguiente:
0
5
10
15
20
25
30
-600 -400 -200 0 200 400 600 800
Series: Residuals
Sample 1950:2 1985:4
Observations 143
Mean 4.84E-14
Median -9.054948
Maximum 764.3070
Minimum -643.3132
Std. Dev. 194.9253
Skewness 0.233754
Kurtosis 5.681904
Jarque-Bera 44.15825
Probability 0.000000
entonces, a un nivel de significancia del 1 % lo residuos no se aproximan a una
distribucin normal.
PRUEBA DE ESTABILIDAD DE LOS PARAMETROS:
Asumimos en el test de Chow como punto de quiebre 1995:2 y en la funcin
consumo personal nos da:
Chow Breakpoint Test: 1975:2
============================================================
F-statistic 74.94903 Probability 0.000000
============================================================
Observando la probabilidad, concluimos que rechazanos la hiptesis nula; es
decir, existe cambio estructural.
19
Consideramos como punto de quiebre 1980:2, en la funcin inversin bruta
resulta:
Chow Breakpoint Test: 1980:2
============================================================
F-statistic 0.396361 Probability 0.755822
============================================================
Observando la probabilidad, concluimos que aceptamos la hiptesis nula; es
decir, no existe cambio estructural.
2. SIMULACIN
Para simular los efectos de valores alternativos en diferentes variables o parmetros, es preciso disponer de una cierta solucin del modelo que la haga
factible en un contexto de simultaneidad de las diferentes ecuaciones.
La simulacin ms habitual es la que supone cuantificar los efectos sobre las
endgenas de valores alternativos para las variables exgenas del modelo. Si los
datos de las variables exgenas son histricos se tiene una simulacin ex - post o
histrica; en cambio, si los datos de las variables exgenas son supuestos para el
futuro se trata de una simulacin ex - ante.
Es posible realizar otras simulaciones que correspondan a variaciones en los
trminos de error de cada ecuacin (factores adicionales) o incluso retoques en
algunos de los parmetros (ajuste y afinado).
2.1. OBJETIVOS
Los objetivos de la simulacin pueden ser:
1 La evaluacin del modelo y la evaluacin de la capacidad predictiva del
modelo.
2 La prediccin, se trata de determinar los valores de las variables endgenas
del modelo en base a los valores de las variables exgenas.
3 La comparacin de polticas alternativas, en base a diferentes escenarios se
puede determinar los diferentes efectos de las polticas y poder elegir la ms
conveniente.
4 El anlisis de las condiciones dinmicas del modelo, consiste en determinar la
estabilidad del modelo.
20
2.2. TIPOS
Se tienen los siguientes tipos de simulacin:
1 Simulacin Residual.- Para cada ecuacin en forma aislada, se da tanto a las
exgenas como a las endgenas explicativas sus valores reales y se
comprueban los errores de cada ecuacin y las identidades. Es til realizarla
para comprobar que no existen errores de transcripcin, redondeo en los
valores de los parmetros, etc., en el modelo definitivamente seleccionado. Es
decir:
tttt xyyy 41132211 DDDD
2 Simulacin Esttica.- Se consideran valores reales en las variables
explicativas, excepto las endgenas corrientes de cada ecuacin, que se
determinan por el propio modelo en forma conjunta. Sirve para un anlisis del
funcionamiento perodo a perodo del modelo, puede conseguirse trabajando
simultneamente con todas las ecuaciones, pero sin conexin dinmica.
Tenemos:
tttt xyyy 41132211 DDDD
Resultados satisfactorios no garantizan el que el modelo no se
desestabilice o presente errores importantes despus de varios periodos de
funcionamiento, ya que en este tipo de simulacin, en cada nuevo periodo se
sustituyen las endgenas desplazadas por sus valores reales y no por los de
solucin del modelo para periodos anteriores.
3 Simulacin Dinmica.- La solucin es simultnea para todas las ecuaciones y
slo se suministra datos (reales del pasado o supuestos) para las exgenas y el
valor inicial de partida de las endgenas. Esta es la que permite contrastar la
estabilidad del modelo y la calidad de sus predicciones. Sera:
tttt xyyy 41132211 DDDD
4 Simulacin Estocstica.- Se trabaja con las distribuciones de probabilidad
tanto de los parmetros como del trmino de error. Nos permite establecer el
grado de incertidumbre sobre los efectos estimados de una determinada
poltica.
2.3. SOLUCIN DEL MODELO
La mayor o menor complejidad en la solucin del modelo depender de la
propia forma en que la simultaneidad se manifieste, de la inclusin o no de
ecuaciones dinmicas, de la posible coexistencia de relaciones no lineales junto a
otras lineales y del tamao del modelo.
21
La existencia de variables endgenas desplazadas en el modelo, la forma
reducida ya no nos permite una solucin inmediata del modelo, dado que la
simultaneidad afecta tambin a las variables endgenas desplazadas y no de todas las
variables predeterminadas como se hace en la forma reducida.
Theil y Boot propusieron a estos efectos la denominada Forma Final del
modelo, donde las variables endgenas corrientes quedan expresadas en funcin de
slo las exgenas (corrientes y desplazadas), mediante un proceso de eliminacin
repetitiva de todas las variables endgenas desplazadas en la forma reducida.
La forma reducida del modelo es:
ttY VXY
Descomponemos la forma reducida, considerando el desdoblamiento de de la forma siguiente:
0 trmino independiente. 0 endgenas desplazadas. 0 exgenas corrientes. 0 exgenas desplazadas.
Asumimos que slo existen variables desplazadas un perodo, entonces la
forma reducida se expresa:
ttttt VZZYY 132110 donde tZ slo incluye las exgenas corrientes del modelo.
Si no existen variables desplazadas, es decir:
ttt VZY 20 entonces la forma final del modelo y la forma reducida del modelo coinciden.
Reemplazando 1tY en la forma reducida nos da: tttttttt VZZVZZYY 1321231221010
simplificando, tenemos: 112311312222110 ttttttt VVZZZYIY
Repitiendo el proceso s veces, resulta: ststttstssts
ttst
ss
t
VVVVZZ
ZZYIY
12
2
111131
1
1312
131221
1
11
2
110
...
......
22
Cuando s crece indefinidamente supondremos que 01 o s . Luego se anula los coeficientes de 1stZ e 1stY .
La suma de matrices del trmino independiente es: sIS 1
2
11 ...
como se trata de una progresin geomtrica infinita, nos da igual:
111
fo
III
Slms
La forma final del modelo puede resumirse:
f
f
1
1
1
1
13122
1
10
r
rt
r
r
rt
r
tt VZZIY
Esta expresin recoge los siguientes efectos denominados:
1 Multiplicador de impacto.- recoge el efecto inmediato que cualquier cambio
en la variable exgena tiene sobre la variable endgena. En este modelo es
2 . .
2 Multiplicador dinmico.- recoge el efecto segn pasa uno, dos, ... , s perodos
que cualquier cambio en la variable exgena tienen sobre la variable
endgena. En este modelo son: ...;;; 213121312312
3 Multiplicador total a largo plazo.- viene a ser la suma de todos los
multiplicadores. Tenemos: ...2131213123122 MLP
sacando factor comn, nos queda: ...2113122 IMLP
reemplazando la suma del trmino independiente da:
113122 IMLP
simplificando tenemos:
1132 IMLP
23
En caso de trabajar con variaciones en porcentaje tanto de las variables
exgenas como de las variables endgenas, podemos hablar en forma equivalente de
elasticidad impacto, elasticidad dinmica y elasticidad total a largo plazo.
Si no existen variables rezagadas (endgenas y exgenas), los coeficientes de
la forma reducida son directamente los multiplicadores de impacto y son los nicos
multiplicadores en el tiempo y coinciden con los multiplicadores totales.
En modelos que incluyen relaciones no lineales o son de un tamao que
resulta incmodo seguir todo este proceso y se busca una solucin al modelo
mediante algn algoritmo de resolucin por tanteo de sistema de ecuaciones,
frecuentemente alguna variante del algoritmo de Gauss - Seidel.
2.4. CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN MODELO DINMICO
Para poder alcanzar la forma final es necesario que se cumplan ciertas
condiciones de convergencia en relacin con las matrices de parmetros de las
endgenas desplazadas.
La estabilidad del modelo la entendemos en el sentido de que tienda a una
nueva solucin de equilibrio despus de que se haya provocado un cambio inicial en
uno o varios de los valores de las exgenas.
Para el caso de un modelo de G ecuaciones simultneas con variables
endgenas retardadas hasta s periodos, podramos expresar el conjunto de ecuaciones
dinmicas fundamentales como una ecuacin en diferencias vectoriales con
coeficientes consistentes del tipo: tGYAYAYAYA STSTTT cccc .....22110
donde,
crtY vector de las variables endgenas (1xG) que se han transpuesto a efectos de post multiplicar la matriz de coeficientes.
rA matriz de los coeficientes de todas las variables endgenas (GxG) para cada retardo establecido r ( r = 0, 1, .., s) en las diferentes ecuaciones
del modelo.
tG incluye a todas las variables exgenas desplazadas, corrientes y trmino de error para las G ecuaciones.
Dhrymes comprob que la ecuacin en diferencias vectoriales de orden s
puede reducirse a una de slo primer orden; por lo tanto:
01 tt AYY