Econometría Aplicada - Series de Tiempo · Econometría Aplicada Series de Tiempo Introducción I...

Econometría Aplicada

Econometría AplicadaSeries de Tiempo

Víctor Medina

Series de Tiempo

Introducción

En esta parte del curso veremos análisis de series de tiempo y procesosestocásticos.

I Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones xt, donde tindica el tiempo de ocurrencia de la observación.

I Por ejemplo, observaciones de xt hechas en t = 1, 2, 3, . . . , NI El tiempo puede ser medido en cualquier unidad (ej. minutos, días,

meses, años, etc.)I Una serie de tiempo se dice discreta cuando el conjunto de

observaciones se hace en un conjunto discreto de periodos, por ejemplo,en intervalos fijos de tiempo (diarias, mensuales, trimestrales, anuales,etc.).

I Una serie de tiempo es continua cuando las observaciones se realizansobre un intervalo continuo de tiempo, por ejemplo, [0, T ]. Lasobservaciones en sí pueden seguir siendo discretas.

I A nosotros nos interesará estudiar series de tiempo discretas contiempo equiespaciado.

Introducción

I Las observaciones sucesivas en el tiempo son, en general, noindependientes.

I Esto significa que las observaciones pasadas pueden ser usadas parapredecir futuras observaciones.

I Si, dadas las obsevaciones x1, ..., xt−1, la observación xt se puedepredecir exactamente, la serie de tiempo se dice determinística.

I Si las observaciones futuras no se pueden predecir exactamente, entoncesse dice que la serie de tiempo es estocástica.

I En series estocásticas, las observaciones futuras tendrán una distribuciónde probabilidad. Si las observaciones son dependientes, entonces estadistribución de probabilidad será dependiente de las observacionespasadas.

Econometría AplicadaEjemplos

Ejemplos

Tipo de Cambio USD-Peso Chileno

12−1989 12−1999 12−2009fecha

Diferencia Tipo de Cambio USD-Peso Chileno

12−1989 12−1999 12−2009fecha

Inflación Chile

12−1959 12−1979 12−1999fecha

PIB Chile

12−2007 12−2009 12−2011 12−2013 12−2015fecha

Diferencia trimestral del PIB Chile

12−2009 12−2011 12−2013 12−2015fecha

IPSA Bolsa de Santiago

12−2005 12−2007 12−2009 12−2011 12−2013 12−2015Fecha

Diferencia diaria IPSA Bolsa de Santiago

−300

−200

−100

12−2005 12−2007 12−2009 12−2011 12−2013 12−2015Fecha

Acción Google

12−2004 12−2009 12−2014Fecha

Diferencia diaria Acción Google

12−2004 12−2009 12−2014Fecha

Objetivos de las series de tiempo

Entre los objetivos de la series de tiempo podemos mencionarI Describir y resumir observaciones de series de tiempoI Ajustar modelos con dimensiones reducidasI Realizar predicciones

Econometría AplicadaProcesos Estacionarios y No Estacionarios

Procesos Estacionarios y No Estacionarios

Variables estacionarias y no estacionariasEn los gráficos presentados además de la serie misma, vimos también ladiferencia en la variable, o el cambio de la variable de un periodo a otro

∆yt = yt − yt−1

Notamos que hay algunas series que al restarle a cada observación el valordel periodo anterior, la serie resultante tiende a estar acotada entre dosvalores, sin embargo para otras no parece tan claro.

I ¿Qué serie representa variables estacionarias y cuales son noestacionarias?

Se dice que yt es estacionario si su esperanza y varianza son constante a lolargo del tiempo, y además si la covarianza entre dos valores de la seriedepende sólo del largo de tiempo que separa esos dos valores (y no delmomento que es evaluado)

I En otras palabras, la serie de tiempo yt es estacionaria si para todo tI E(yt) = µ (media constante)I var(yt) = σ2 (varianza constante)I cov(yt, yt+s) = cov(yt, yt−s) = γs (covarianza depende de s, no de t)

Modelo autorregresivo de orden 1 AR(1)

I Supongamos que la serie yt es una variable económica que observamosen el tiempo. En línea con la mayoría de las variables económicas,asumimos que yt tiene naturaleza estocástica porque no podemospredecirla perfectamente.

I Las series de tiempo univariadas son ejemplos de procesosestocásticos donde la variable y está relacionada con sus valores pasadosy valores actual y pasados del error (no tenemos variables explicativasx’s)

I El modelo autorregresivo de orden 1, AR(1), es un modelo de series detiempo univariado útil para explicar la diferencia entre estacionario yno estacionario. Viene dado por:

yt = ρyt−1 + vt, |ρ| < 1

Donde los errores vt son independientes, con media cero y varianza σ2v.

I Veremos que |ρ| < 1 implica que yt es estacionario.

Modelo autorregresivo de orden 1 AR(1)Podemos expresar el modelo de la siguiente manera

yt = ρyt−1 + vt

= ρ(ρyt−2 + vt−1) + vt

= ρty0 +t−1∑i=0

ρivt−i

I Esperanza

E(yt) = E(ρty0 +t−1∑i=0

ρivt−i)

= ρty0 +t−1∑i=0

ρiE(vt−i)

= ρty0 = 0

si t es suficientemente grande (o pensar que la serie no tiene un t = 0,sino que sigue infinitamente a t = −∞)

I Varianza

var(yt) = var(ρty0 +t−1∑i=0

ρivt−i)

=t−1∑i=0

ρ2ivar(vt−i)

= σ2v

t−1∑i=0

y si recordamos que∑t−1

i=0 αi = 1−αt

1−α , luego

var(yt) = σ2v

1− ρ2t

1− ρ2 = σ2v

11− ρ2

si t es suficientemente grande y |ρ| < 1 (sino no converge)

Modelo autorregresivo de orden 1 AR(1)I Autocovarianza

cov(yt, yt+s) = cov(ρty0 +t−1∑i=0

ρivt−i, ρt+sy0 +

t+s−1∑j=0

ρjvt+s−j)

= cov(t−1∑i=0

ρivt−i,

t+s−1∑j=0

ρjvt+s−j)

= ρscov(t−1∑i=0

ρivt−i,

t−1∑i=−s

ρivt−i)

= ρscov(t−1∑i=0

ρivt−i,

t−1∑i=0

ρivt−i)

= σ2vρs

t−1∑i=0

= σ2v

1− ρ2

Obs. no depende de t, sino que de la distancia s.

I Podemos definir la función de autocovarianzas

γ(yt, yt+s) = cov(yt, yt+s)

en el caso donde sólo dependa de la distancia o lag s, γ(s) = γ(yt, yt+s)(fijarse que γ(0) = var(yt))

I Tambíen podemos definir la función de autocorrelación (ACF)

r(yt, yt+s) = cov(yt, yt+s)√var(yt)var(yt+s)

y nuevamente, en el caso que sólo dependa de s,

r(s) = r(yt, yt+s) = γ(s)γ(0)

Para AR(1), tenemos que r(s) = γ(s)γ(0) = ρs

Modelo autorregresivo de orden 1 AR(1) con constante

I En la realidad es difícil encontrarse con procesos de media cero.Podemos incluir un término µ de la siguiente manera

yt − µ = ρ(yt−1 − µ) + vt

o expresado de otra forma

yt = α+ ρyt−1 + vt, |ρ| < 1

con α = µ(1− ρ)I Extendiendo la serie, tenemos

yt = α+ ρyt−1 + vt

= α+ ρ(α+ ρyt−2 + vt−1) + vt

= ρty0 + α

t−1∑i=0

ρi +t−1∑i=0

ρivt−i

Modelo autorregresivo de orden 1 AR(1) con constante

I Esperanza. Si utilizamos la última expresión, rescatamos que

E(yt) = α

1− ρ = µ

I Varianza

var(yt) = var(ρty0 + α

t−1∑i=0

ρi +t−1∑i=0

ρivt−i) = σ2v

11− ρ2

I Autocovarianza

cov(yt, yt+s) = σ2v

1− ρ2 = γ(s)

I Autocorrelación (ACF)

r(s) = γ(s)γ(0) = ρs

Obs. La ACF debiera ir decayendo a medida que aumentamos el lag s

Gráficamente modelo autorregresivo de orden 1 sin y con constante

Modelo autorregresivo de orden 1 AR(1) con constante y tendenciatemporal

I Otra extensión al modelo es considerar que AR(1) fluctua entorno a unalinea recta, es decir

yt − µ− δt = ρ(yt−1 − µ− δ(t− 1)) + vt, |ρ| < 1

que también puede ser expresado de la siguiente manera

yt = α+ λt+ ρyt−1 + vt

donde α = µ(1− ρ) + ρδ y λ = δ(1− ρ)I Esperanza

E(yt) = µ+ δt

I Varianzavar(yt) = σ2

1− ρ2

I ¿Es estacionario?

Modelos de caminata aleatoria (Random Walk)

Para el caso especial en que ρ = 1, tenemos que

yt = yt−1 + vt

al cual se le conoce como random walk. Su nombre proviene porque laserie pareciera caminar para arriba o para abajo sin seguir ningún patrónaparente.

I Expansión de la serie

yt = yt−1 + vt = yt−2 + vt−1 + vt = y0 +t−1∑i=0

vt−i

I EsperanzaE(yt) = y0

I Varianzavar(yt) = tσ2

Caminata aleatoria con constante y tendencia temporal

I Otra extensión no estacionaria es la que resulta si se agrega untérmino constante a la caminata aleatoria

yt = α+ yt−1 + vt

modelo conocido como caminata aleatoria con constanteI Si además agregamos una tendencia temporal, tenemos

yt = α+ δt+ yt−1 + vt

Gráficamente

I Series de tiempo interactivo

Regresiones espúreas

La principal razón de por qué es importante saber si una serie es estacionariao no estacionaria antes de realizar un análisis de regresión, es que cuando lasseries usadas son no estacionarias existe la problemática de obtenerresultados aparentemente significativos sobre data que no tiene relación.Estas regresiones se llaman espúreas.

I En otras palabras, cuando series de tiempo no estacionarias son usadasen un análisis de regresión, el resultado puede indicar una relaciónsignificativa cuando en realidad no existe.

I Estimadores de Mínimos Cuadrados (MC) pierden sus propiedades y losestadísicos t no son confiables.

I Como muchas variables económicas son no estacionarias, esimportante tener presente cómo deben ser tratadas.

I ¿Cómo podemos testear si una serie es estacionaria o no?I ¿Cómo podemos hacer regresiones cuando tenemos series no

estacionarias?

Test de estacionariedad

Existen variados test para determinar si una serie es estacionaria o no.Discutiremos uno de los más populares en econometría, test deDickey-Fuller.

1. Dickey-Fuller, sin constante y sin tendencia

yt = ρyt−1 + vt

2. Dickey-Fuller, con constante y sin tendencia

3. Dickey-Fuller, con constante y con tendencia

1. Dickey-Fuller, sin constante y sin tendencia

yt = ρyt−1 + vt

o alternativamente

∆yt = (ρ− 1)yt−1 + vt = βyt−1 + vt

Luego, la hipótesis nula puede escribirse en términos de ρ o β

H0 : ρ = 1⇔ H0 : β = 0H1 : ρ < 1⇔ H1 : β < 0

La hipótesis nula es que la serie es no estacionaria. En otras palabras, sino rechazamos la nula, concluímos que no existe evidencia para rechazar queel proceso es no estacionario. Y, por el contrario, si rechazamos la nula,concluímos que la serie es estacionaria.

2. Dickey-Fuller, con constante y sin tendencia

o alternativamente

∆yt = α+ (ρ− 1)yt−1 + vt = α+ βyt−1 + vt

H0 : ρ = 1⇔ H0 : β = 0H1 : ρ < 1⇔ H1 : β < 0

3. Dickey-Fuller, con constante y con tendencia

o alternativamente

∆yt = α+ λt+ (ρ− 1)yt−1 + vt = α+ λt+ βyt−1 + vt

H0 : ρ = 1⇔ H0 : β = 0H1 : ρ < 1⇔ H1 : β < 0

Valores críticos del test Dickey-FullerUn camino lógico para testear la hipótesis de DF, sería realizar la regresiónpor MC y luego construír el estadístico t = β/se(β).

I Desgraciadamente, el estadístico t ya no distribuye bajo una distribuciónt cuando la nula es cierta

I Problema: cuando la nula es cierta, yt es no estacionario y su varianzaincrementa a medida que la muestra crece. Este incremento altera ladistribución usual.

I Para reconocer este hecho, usualmente a este estadístico se le llama τ(tau) y su valor debe ser comparado con valores especiales (los cualescambian dependiendo del tipo de test DF que apliquemos).

Table 1: Valores críticos Dickey-Fuller

Modelo 1% 5% 10%∆yt = βyt−1 + vt -2.56 -1.94 -1.62∆yt = α+ βyt−1 + vt -3.43 -2.86 -2.57∆yt = α+ λt+ βyt−1 + vt -3.96 -3.41 -3.13Normal estándar -2.33 -1.65 -1.28

Dickey-Fuller aumentado

Una importante extensión del test de Dickey-Fuller permite la inclusión demodelos con el término del error autocorrelacionado. Esta autocorrelación esprobable que aparezca si nuestro modelo no incorporó términos anteriores dela serie yt−s que capturen la dinámica de nuestro proceso.

I Usando la versión de DF con constante, una extensión sería

∆yt = α+ βyt−1 +m∑s=1

as∆yt−s + vt

con ∆yt−s = yt−s − yt−s−1. Se agregan tantos términos de retraso comosea necesario para asegurar que los residuos no estánautocorrelacionados.

I Este test, con variaciones de constante y tendencia respectiva, se conocecomo Dickey-Fuller aumentado

I En la práctica siempre usamos el test DF aumentado

Ejemplo test Dickey-FullerConsiderando la serieInflación Chile

−2.5

12−1994 12−1999 12−2004 12−2009 12−2014fecha

Ejemplo test Dickey-Fuller ¿cuál?

1. ∆IPCt = β · IPCt−1 + vt

2. ∆IPCt = α+ β · IPCt−1 + vt

3. ∆IPCt = α+ λt+ β · IPCt−1 + vt

Ejemplo test Dickey-Fuller

Alternativamente comando Stata dfuller

1. ∆IPCt = β · IPCt−1 + vt

2. ∆IPCt = α+ β · IPCt−1 + vt

3. ∆IPCt = α+ λt+ β · IPCt−1 + vt

Orden de integración

Hasta el momento hemos discutido si una serie es estacionaria o no.Podemos llevar nuestro análisis un paso más allá incluyendo el concepto deorden de integración

I Recordemos que si yt = yt−1 + vt es un camino aleatorio, entonces

∆yt = yt − yt−1 = vt

es estacionaria.I Series como yt, que pueden convertirse en estacionarias tomando su

primera diferencia, se les llama integradas de orden 1, denotadas porI(1)

I Las series estacionarias, se les dice integradas de orden 0, I(0)I En general, el orden de integración de una serie es el número mínimo de

veces que debe ser diferenciada para hacerla estacionaria.

Orden de integración ¿Es estacionaria?

IPC dif_IPC

−2.5

1994 1999 2004 2009 2014 1994 1999 2004 2009 2014fecha

Orden de integración

Aplicando Dickey-Fuller (pareciera que fluctúa entorno a cero)

∆(∆IPC)t = β(∆IPC)t−1 + vt

donde ∆(∆IPC)t = ∆IPCt −∆IPCt−1

Luego, podriamos afirmar que IPC es una serie I(1), ya que no esestacionaria, pero su diferencia si lo es.

Cointegración

Como regla general, series no estacionarias no deberían usarse en modelos deregresión para evitar regresiones espúreas. Sin embargo, existe una excepcióna la regla.

I Si yt y xt son variables I(1) no estacionarias, entonces cualquiercombinación lineal de ellas et = yt − β1 − β2xt también es I(1).

I En el caso particular en que et = yt − β1 − β2xt es estacionaria I(0),se dice que yt y xt están cointegradas

I Esto quiere decir que yt y xt comparten tendencias estocásticas similares(nunca diverge una muy lejos de la otra).

I Una forma de testear si yt y xt están cointegradas es ver si los erroreset = yt − β1 − β2xt son estacionarios.

I Como et son no observables, testeamos la estacionariedad de los residuosde mínimos cuadrados et = yt − β1 − β2xt usando test de Dickey-Fuller.

Testear cointegración es efectivamente testear la estacionariedad de losresiduos. Si los residuos son estacionarios, entonces yt y xt estáncointegrados. Si por el contrario, los residuos no son estacionarios, entonceslas series no están cointegradas y la relación entre ellas es espúrea.

Cointegración

El test de estacionariedad de los residuos se basa entonces en la ecuación

∆et = γet−1 + vt

donde ∆et = et − et−1. Y tal como se explicó anteriormente, se examina elestadístico t (o mejor dicho τ) arrojado por la regresión.

I Como basamos este test en valores estimados del error, los valorescríticos para τ difieren de los que vimos anteriormente:

Table 2: Valores críticos Dickey-Fuller para test de cointegración

Modelo 1% 5% 10%yt = βxt + et -3.39 -2.76 -2.45yt = β1 + β2xt + et -3.96 -3.37 -3.07yt = β1 + δt+ β2xt + et -3.98 -3.42 -3.13

Regresión sin cointegración

Hasta el momento hemos aprendido que regresiones con variables I(1) sonaceptables si éstas están cointegradas (residuos estacionarios).

I ¿Qué pasa cuando no hay cointegración entre variables I(1)?I Convertir las series no estacionarias en estacionarias.I Depende de si las variables son estacionarias en diferencia o en

tendencia.

Estacionario en diferencia de orden 1Consideremos nuevamente la caminata aleatoria

yt = α+ yt−1 + vt

que puede transformarse en estacionaria tomando la primera diferencia (I(1))

∆yt = yt − yt−1 = α+ vt

Supongamos que tenemos otra variable xt no estacionaria pero su primeradiferencia es estacionaria (I(1)). Sin embargo, no está cointegrada con yt.

Estacionario en diferencia de orden 1I Luego, si las dos series son I(1) pero no cointegradas, una regresión

adecuada entre ellas sería relacionar ∆yt y ∆xt (ambas estacionarias)

∆yt = α+ β0∆xt + et

I En general, si una serie yt es I(1), entonces ∆yt, ∆yt−1 = yt−1 − yt−2,etc. son estacionarias. Luego, el modelo anterior se puede generalizarincluyendo diferencias que se estimen relevantes, por ejemplo

∆yt = α+ θ∆yt−1 + β0∆xt + β1∆xt−1 + et

Estacionario en tendenciaConsideremos ahora el siguiente modelo

yt = α+ δt+ vt

A la variable se le dice que es estacionaria en tendencia porque se puedeestacionarizar restándole su tendencia, de la forma

yt − α− δt = vt

Estacionario en tendenciaI Si dos variables y y x son estacionarias en tendencia, un posible modelo

autorregresivo con tendencias sería

y∗t = θy∗

t−1 + β0x∗t + β1x

∗t−1 + et

donde y∗t = yt − α1 − δ1t y x∗

t = xt − α2 − δ2t (los coeficientes (α1, δ1) y(α2, δ2) pueden ser estimados por MC)

I Alternativamente a la creación de y∗t y x∗

t , podemos estimardirectamente el modelo

yt = α+ δt+ θyt−1 + β0xt + β1xt−1 + et

que no es más que el desarrollo algebráico de la ecuación anterior conα = α1(1− θ1)−α2(β0 +β1) + θ1δ1 +β1δ2 y δ = δ1(1− θ1)− δ2(β0 +β1)

Econometría AplicadaPronóstico

Pronóstico

I Los métodos de pronóstico suponen que las series son estacionarias opueden ser transformadas en estacionarias.

I Los métodos más tradicionales son1. Modelos ARIMA2. Modelos VAR (Vector Autoregression)3. Modelos de alisamiento exponencial4. Modelos de regresión uniecuacional5. Modelos de regresión de ecuaciones simultáneas

Nos concentraremos en los modelos ARIMA y supondremos que estamostrabajando con series estacionarias, o series que podemos estacionarizar endiferencia o tendencia.

Los modelos ARIMA se construyen con modelosI Promedios móviles de orden q, MA(q)I Autorregresivos de orden p, AR(p)I La combinación de estos últimos, AR(p) y MA(q) que se denominanARMA(p,q)

I Si tenemos además integración de orden d, entonces se denominanARIMA(p,d,q)

Partiremos analizando los modelos MA(q)

MA(q)Si {Zt} ∼WN(0, σ2) para t ∈ Z, entonces la serie {Xt} se dice que sigue unproceso de promedios móviles de orden q si

Xt = Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q

donde θ1, ..., θq son constantes.I Esperanza

E(Xt) = E(Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q) = 0

I Autocovarianza (considerando θ0 = 1)

γ(k) = cov(Xt, Xt+k)= E(XtXt+k)− 0= E[(θ0Zt + ...+ θqZt−q)(θ0Zt+k + ...+ θqZt+k−q)]

=q∑r=0

q∑s=0

θsθrE[Zt−sZt+k−r]

E(Zt−sZt+k−r) ={σ2 t− s = t+ k − r0 sino

Luego, utilizando el cambio de variable j = r − k, tenemos

γ(k) ={σ2∑q−k

s=0 θrθr+k k ≤ q0 k > q

Entonces

var(Xt) = γ(0) = σ2q∑r=0

y por lo tanto,

r(k) =

∑q−k

s=0θrθr+k∑q

r=0θ2

k ≤ q

0 k > q

Xt = Zt − 0.8Zt−1

Ejemplos de modelación de procesos MA

Sabemos que un proceso de promedios móviles es una suma ponderada de unnúmero fijo de eventos de ruido blanco. Algunos ejemplos de cuando unmodelo de este tipo puede adecuarse en la práctica son

I El efecto de las huelgas en alguna métrica económica, por ejemplo,productividad. Las huelgas pueden ser consideradas eventos aleatorios.La productividad en el tiempo puede verse afectada tanto por lashuelgas ocurridas en ese momento como también (en menor medida) porhuelgas que ocurrieron en periodos previos.

I Ventas de bienes durables, por ejemplo, lavadoras. La gente compranuevas lavadoras cuando la que tenían está defectuosa. La fluctuaciónen el número de fallas en el tiempo puede ser considerada como ruidoblanco. El número de personas que compra una lavadora en un periododepende tanto del numero de fallas en ese periodo como también en losanteriores (personas que aún no han reemplazado su lavadora).

I MA interactivo

Procesos Autorregresivos

Considerando {Zt} ∼WN(0, σ2) con t ∈ Z. La serie de tiempo {Xt} es unproceso autorregresivo de orden p (AR(p)) si

Xt = α1Xt−1 + α2Xt−2 + ...+ αpXt−p + Zt

donde α1, α2, ..., αp son constantes.

Ejemplo: modelo AR(1)Anteriormente habíamos visto que un modelo AR(1) tenía la forma

Xt = α1Xt−1 + Zt

y que ademásI Esperanza E(Xt) = 0I Función de autocovarianzas, si |α1| < 1, γ(k) = σ2αk

1(1−α2

I Función de autocorrelación, si |α1| < 1, r(k) = γ(k)γ(0) = αk1

Ejemplo de modelación de procesos AR(1)

Los modelos autorregresivos asumen que el valor actual de una serie detiempo es la suma ponderada de un numero fijo de valores previos más ruidoblanco.

I Un ejemplo interesante de las ciencias forenses, es modelar las muestrasde cocaína en los fajos de billetes.

I La cocaína se transfiere de un billete a otro.I Luego, la cantidad de cocaína en un billete está relacionada a la

cantidad de cocaína en los billetes previos más ruido (que puede sercontaminación de otras fuentes).

I Notar que la posición del billete en el fajo es la que se utiliza comotiempo.

Ejemplo de modelación de procesos AR(1)

La serie de tiempo ilustra la contaminación de cocaína en 1065 billetesincautados de alguien que posteriormente fue acusado de un crimen queinvolucraba manipulación de esta droga.

Ejemplo realizado en clases: AR(2)

Xt = α1Xt−1 + α2Xt−2 + Zt

1. Calcular E(Xt)2. Calcular γ(0) = var(Xt)3. Calcular γ(1) = cov(Xt, Xt−1)4. Calcular γ(2) = cov(Xt, Xt−2)5. Calcular r(1) = cov(Xt, Xt−1)/var(Xt)6. Calcular r(2) = cov(Xt, Xt−2)/var(Xt)

I AR interactivo

Estimaciones mediante las observaciones

Supongamos que tenemos observaciones de la serie de tiempo {Xt} para losperiodos t = 1, 2, ..., N . Suponemos también que {Xt} es estacionario, luegolas estimaciones de µ, γ(k) y r(k) vienen dadas por

1. Estimamos µ con el promedio muestral

x = x1 + x2 + ...+ xNN

2. γ(k) es estimado, para el lag k, como

γ(k) =∑N−k

t=1 (xt − x)(xt+k − x)N − k

obs Algunos textos prefieren el uso de N en el denominador en vez deN − k.

3. r(k) es estimado, para el lag k, como

r(k) = γ(k)γ(0)

Las fórmulas, tanto para γ(k) como para r(k) deben ser usadas sólocuando k es considerablemente menor relativo a N , por ejemplo,k < N/3.

Correlogramas o ACF

Ya hemos visto e interpretado los correlogramas. En términos de nuestraestimaciones, estos gráficos no son más que las estimaciones r(k) paradistintos valores de k y permiten la interpretación de los coeficientes decorrelación. Por ejemplo, las siguientes figuras. La de la izquierda es unproceso AR(1) y la figura de la derecha un proceso MA(1)

Detección de un proceso MA(q)

I Como vimos anteriormente, para un proceso MA(q), r(k) = 0 para todok > q. Entonces cuando el número de observaciones es grande y la serie{Xt} es un proceso MA(q), esperariamos

1. r(1), r(2), ..., r(q) estén cerca de r(1), r(2), ..., r(q) y, por lo tanto, seandistintos de cero.

2. r(q + 1), r(q + 2), ... estén aleatoreamente distribuídos alrededor de cero.I En particular, si |r(1)| es grande y r(2), r(3), ... son cercanos a cero,

esperaríamos poder ajustar un proceso MA(1).

Ejemplo de detección de MA(q)

I Los siguientes dos correlogramas son de dos series de tiempo diferentes.Usted decide ajustar un proceso de medias móviles a cada uno, ¿Porqué?

I ¿Qué orden sugeriría para cada modelo?

Detección de un proceso AR(p)

I Vimos que la función de autocorrelación para un proceso AR(1)Xt = α1Xt−1 + Zt está dada por

r(k) = γ(k)γ(0) = αk1

I Por lo tanto, esperaríamos que los coeficientes de la estimación muestralde la función de autocorrelación r(k) sean cercados a αk1 .

I Notar que, a diferencia del modelo MA(1), los valores r(k) no caen acero luego de haber superado el orden del proceso.

I Como r(1) se espera que sea cercano a α1, el valor de r(1) puede serusado para obtener una estimación gruesa de α1.

Ejemplo de detección de AR(1)

Los siguientes dos correlogramas fueron obtenidos de dos series que se sabensiguen un proceso AR(1).

I ¿Qué valores de α1 estimaría para cada proceso?

Detección de un proceso AR(p)I Detectar el orden de un proceso AR(p) sólo a través del correlograma

puede ser difícil, ya que los r(k) en general no caen a cero luego dealgún valor (como en el caso de MA(q)).

I Para el proceso general

Xt =p∑i=1

αiXt−i + Zt

donde Zt ∼WN(0, σ2), estimaciones de αi con i ∈ {1, 2, ..., p}, dada lasobservaciones x1, ..., xN , pueden ser obtenidas minimizando

N∑t=p+1

(xt −

p∑i=1

αixt−i)2

Las estimaciones resultantes α1, α2, ..., αp son las estimaciones demínimos cuadrados.

I La estimación αp se le conoce como coeficiente de autocorrelaciónparcial de la muestra para el rezago p.

I Para obtener los coeficientes de autocorrelación parcial de la muestra,por ejemplo, en el rezago k, un proceso AR(k) se ajusta a la muestra(ecuación anterior). Luego, la estimación αk es el coeficiente deautocorrelación parcial de la muestra para el rezago k.

I El coeficiente de autocorrelación parcial para el rezago p, por ejemplo,mide la autocorrelación en el rezago p que no está considerada por lasautocorrelaciones en los rezago 1, 2, ..., p− 1.

I Los coeficientes de autocorrelación parcial pueden ser graficados enfunción del rezago, análogo al ACF (que grafica r(k) vs k). Este gráficose llama función de autocorrelación parcial (PACF).

I Para un proceso AR(p), los coeficientes αp+1, αp+2, ... deberían caer acero porque no son significativos. De esta forma, el PACF puede serusado para estimar el orden p del proceso AR(p) (de la misma maneraque el correlograma es usado para estimar el orden q del procesoMA(q)).

Ejemplo detección de un proceso AR(p)

Los siguientes dos gráficos son dos PACF de dos procesos diferentes. Elprimero es un proceso AR(1) con α1 = 0.8 y el segundo es un AR(2) conα2 = −0.6

Ejemplo: cocaína en billetes

Habíamos considerado que la serie era un proceso AR(1)

La serie de tiempo ilustra la contaminación de cocaína en 1065 billetesincautados de alguien que posteriormente fue acusado de un crimen queinvolucraba manipulación de esta droga.

Ejemplo: cocaína en billetes

EL PACF y el ACF de la serie son

Por lo tanto, preferiríamos ajustar a la data una serie de un proceso AR(2)en vez de uno AR(1).

Procesos ARMA(p,q)

I Un proceso AR(p) junto con uno MA(q) se pueden combinar paraformar un modelo ARMA(p,q)

I La serie {Xt} se dice que es un proceso ARMA(p,q) si Xt viene dado por

Xt = α1Xt−1 + α2Xt−2 + ...+ αpXt−p + Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q

donde Zt ∼WN(0, σ2)I Desde este punto de vista se puede observar que MA(q) y AR(p) son

casos particulares de procesos ARMA, obtenidos para p = 0 y q = 0,respectivamente. Es decir

I MA(q)=ARMA(0,q)I AR(p)=ARMA(p,0)I Ruido blanco=ARMA(0,0)

Ejemplo: ARMA(1,1)

Xt = α1Xt−1 + Zt + θ1Zt−1

I EsperanzaE(Xt) = E(α1Xt−1 + Zt + θ1Zt−1)

I Autocovarianzacov(Xt, Xt+k) = E(XtXt+k)

I Caso k = 0I Caso k = 1

I AutocorrelaciónI Caso k = 0I Caso k = 1

I ARMA interactivo

ARMA(p,q) con constante

I El proceso ARMA(p,q) recién visto puede ser generalizado a

Xt = c+ α1Xt−1 + α2Xt−2 + ...+ αpXt−p + Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q

con c 6= 0. A este proceso lo llamaremos ARMA(p,q) con términoconstante

I Si el proceso es estacionario, entonces la esperanza µ

µ = c

1− α1 − α2 − ...− αpI Haciendo la misma transformación vista en clases pasadas

Yt = Xt − µ

entonces Yt ∼ ARMA(p,q), ya que

Xt = c+ α1Xt−1 + α2Xt−2 + ...+ αpXt−p + Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q

= µ(1− α1 − ...− αp) + α1Xt−1 + ...+ αpXt−p + Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q

Xt − µ = α1(Xt−1 − µ) + ...+ αp(Xt−p − µ) + Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q

Yt = α1Yt−1 + α2Yt−2 + ...+ αpYt−p + Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q

I Luego tratamos Yt tal cual hemos visto hasta ahora y si queremosrescatar una expresión para Xt, entonces usamos Xt = µ+ Yt

I Notar que la función de autocorrelación r(k) es la misma tanto para Xtcomo para Yt ya que γ(k) no depende de µ

Pasos del proceso de ajuste del modelo

El modelo ARMA(p,q) con E(Xt) = µ (ARMA(p,q) con constante) tienep+ q + 2 parámetros:

α1, α2, ..., αp

θ1, θ2, ..., θq

µ, σ2

y una muestra con N observaciones {x1, x2, ..., xN}. El proceso de ajustetiene las siguientes etapas:

1. Identificación de los modelos posibles. Esta etapa puede incluir elpreprocesamiento de la data para lograr la estacionariedad (por ejemplo,diferenciar en el caso de series integradas - procesos ARIMA queveremos a continuación). Los gráficos ACF y PACF pueden ser usadoscomo ayuda para identificar los modelos apropiados. Para comparar losmodelos seleccionados un criterio muy utilizado es el AIC.

Pasos del proceso de ajuste del modelo

2. Estimacion de los parámetros del modelo. En general existen 3enfoques: métodos de los momentos, minimos cuadrados no lineales, ymáxima verosimilitud.

3. Verificación del modelo escogido. Esto puede hacerse revisando losresiduos {Zt}, los cuales deben ser ruido blanco. Graficar {Zt} versus eltiempo (qué se deberia ver?) o realizar un correlograma (los residuos notienen que estar correlacionados)

(Más adelante veremos una aplicación de este estilo)

Procesos ARIMA

I En la práctica, la serie {Xt} puede no ser estacionariaI Para estacionarizar, debemos controlar por el efecto no estacionario de

la serie (tendencia, por ejemplo)I Como vimos anteriormente si consideramos las diferencias de la serie a

veces podemos rescatar estacionariedadI Orden 1: ∆Xt = Xt −Xt−1I Orden 2: ∆(∆Xt) = ∆2Xt =?

I En general, si la serie {Xt} tiene una tendencia que sigue un polinomiode grado ≤ d en el tiempo t, entonces consideramos el proceso endiferencias de orden d

Wt = ∆dXt

Luego, si {Wt} puede ser modelado usando un proceso ARMA(p,q)entonces la serie {Xt} se dice que es un modelo ARIMA(p,d,q)

Ejemplo: ARIMA(0,1,1)

Consideremos el modelo

Xt = Xt−1 + Zt − θZt−1

Luego, podemos expresar

Wt = Xt −Xt−1 = Zt − θZt−1

entonces {Wt} ∼ ARMA(0,1) y {Xt} ∼ ARIMA(0,1,1)

Ejemplo: Box-Jenkins

I La data de Box-Jenkins consiste en el total mensual de pasajerosinternacionales en EEUU, de enero 1949 a diciembre 1960

I La serie ha sido log-transformada, y la periodicidad ha sido removidaI Un gráfico se muestra a continuaciónI Podemos ver una clara tendencia, aproximadamente lineal

Ejemplo: Box-Jenkins

Ejemplo: Box-JenkinsLa primera diferencia. . .

Se ve mejor, podriamos decir entonces que el modelo ARIMA(p,1,q) esadecuado.

Pronóstico con un proceso ARMA (Box-Jenkins)

I Ahora queremos estimar valores futuros de una serie de valoresobservados.

I Supongamos que tenemos las observaciones x1, ..., xN . El problema esestimar el valor XN+h para algún entero h.

I Para simplificar asumiremos que no hay término constante.

NotaciónI Denotamos XN

N+h el pronóstico hecho en t = N para XN+hI Ejemplo, cuando h = 1 tenemos XN

N+1 que es el pronóstico de XN+1hecho en t = N

Idea generalI La idea general es reemplazar ZT = 0 para cualquier valor T > t (valor

futuro de t). Así, al periodo N , ZN+1, ZN+2, ... son reemplazados porcero. Por otra parte, Xt es reemplazado por su pronóstico para valoresfuturos de t. Por ejemplo, para un pronóstico hecho en N , XN+1 esreemplazado por XN

N+1. Es decir, el pronóstico se realiza utilizando laforma del modelo (este enfoque se conoce como Box-Jenkins)

Pronóstico de XN+1 en el periodo N

I De la definición de un proceso ARMA(p,q), sabemos que

XN+1 = α1XN+α2XN−1+...+αpXN+1−p+ZN+1+θ1ZN+...+θqZN+1−q

I Para obtener el pronóstico del periodo N + 1, hecho en el periodo N(XN

N+1), reemplazamos ZN+1 = 0, luego

XNN+1 = α1XN + α2XN−1 + ...+ αpXN+1−p + θ1ZN + ...+ θqZN+1−q

I EntoncesXNN+1 = XN+1 − ZN+1

Ejemplo: AR(1)

Consideremos que las observaciones {x1, ..., xN} siguen el proceso

Xt = 0.5Xt−1 + Zt

I Calcular el pronóstico para h = 1, en t = NI Calcular el pronóstico para h = 2, en t = NI Calcular el pronóstico para h, cualquier entero, en t = N .

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