ECONOMETRÍA II 1. La Econometría de Series de … · contrapartes muestrales de los términos de...

ECONOMETRÍA II

1. La Econometría de Series de Tiempo

Econometría II – Notas de clase

2

1.1. Análisis Univariado de Series de Tiempo

1.1.1. Series de Tiempo Estacionarias q Análisis univariado: se identifica cada variable exclusivamente con su

pasado, analizando su estacionariedad y descomponiendo sus elementos cíclicos y tendenciales.

q ¿Qué entendemos por “proceso estacionario”?

(i) Proceso Estocástico Discreto (PED): una sucesión de variables aleatorias { }ty , donde t = -∞, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ∞.

(ii) Estacionariedad. Consideremos el PED { }∞∞ -T1- y,...,y,...,y,...y

y centrémonos en dos de sus miembros: yt y yt-k. Este PED se denomina “estacionario” de un tipo particular si determinadas propiedades estocásticas de yt y yt-k no dependen de t y t-k (su ubicación absoluta en la secuencia) pero sólo de k (su separación relativa en la secuencia). - Estacionariedad estricta. Se verifica si las distribuciones de yt y

yt-k (conjunta y marginal) no dependen de t pero sólo de k, i.e. )z(f)z(f

ktt yy −= para todo z, y )w,z(f

ktt y,y − depende sólo de

k y no de t. - Estacionariedad débil o en covarianza. Se verifica cuando los

dos primeros momentos de yt y yt-k dependen posiblemente de k pero no de t, i.e. )y(E)y(E ktt −= y )y(Var)y(Var ktt −= ∀ k, y

)y,y(Cov ktt − depende posiblemente de k pero no de t.

k,t)y,y(Cov)y,y(Cov

t)y(Var

t)y(E

kkssktt

2yt

t

∀γ==

∀σ=

∀δ=

−−


3

q Series de tiempo estacionarias (en el sentido débil): se podrán modelar a través de especificaciones ARMA. Su objetivo es explicar el componente cíclico de la serie (o su componente estacionario) a través de su pasado por medio de diferentes tipos de relaciones.

ARMA(p,q): ),0(d.i.iyy 2tt

q

1jitit

p

1iit ε

=−−

=σ∼εε+ε+α= ∑∑

q ¿Por qué es importante trabajar con series estacionarias? - En el trabajo empírico, cuando analizamos la estacionariedad en media

de una serie, la gran pregunta es:

tEstacionaria en tendencia (ET)

YEstacionaria en diferencias (ED)

- Esta distinción hace referencia a la transformación que debemos realizar

para garantizar la estacionariedad del proceso. - ¿Qué riesgo corremos si ignoramos esta distinción?

* Comparemos los procesos Xt y Wt. ¿Qué elementos conforman estos procesos? ¿De dónde proviene la tendencia determinística de Xt? ¿Qué implican los resultados de la simulación propuesta?

q Condiciones para la estacionariedad.

- Empecemos con el ejemplo más sencillo: un AR(1) → t1tt yy ε+α= − .

* En este caso notaremos que el proceso es estacionario si y sólo si .1<α


4

- Proceso MA finito: combinación lineal finita de ruidos blancos → estacionario por definición.

- Generalicemos ahora nuestros resultados para un proceso ARMA(p,q):

[ ])Lz1(

1...

)Lz1(1

)Lz1(1

)q(MAy

)q(MA)Lz1)...(Lz1)(Lz1(y

)q(MA)L...L1(y

yy

p21tt

tp21t

tp

p1t

t

q

1jitit

p

1iit

−−−ε+=

ε+=−−−

ε+=α−−α−

ε+ε+α= ∑∑=

−−=

- Condición para la estacionariedad de un proceso ARMA(p,q):

Las raíces características del polinomio de rezagos del componente AR(p) son menores a uno en valor absoluto.

- De las ecuaciones anteriores:

tp

p1t )q(MA)L...L1(y ε+=α−−α−

Estacionario si 1z1 <

Estacionario si 1z1 < y 1z2 < ...etc.

Polinomio de rezagos

Estacionario


5

pp1 L...L1 α−−α− → 0...zz p

1p1

p =α−−α− −

tp21t )q(MA)Lz1)...(Lz1)(Lz1(y ε+=−−−

- * Veamos un ejemplo de todo esto considerando un proceso AR(2). - En la práctica, el análisis de estacionariedad no pasa por la

construcción de ecuaciones características y el cálculo de sus raíces. No obstante, se basa en los resultados que acabamos de ver.

- Si partimos de la ecuación característica 0...zz p1p

1p =α−−α− − ,

¿cómo esperamos se comporten los coeficientes si alguna de las (p) raíces es igual a 1?

- Podemos, entonces, preguntar si es que se cuenta con suficiente

evidencia estadística para aceptar que p

*1 j

j 1

1 0=

α = α − =∑ . Esto es,

precisamente, lo que hace el test que veremos más adelante.

Ecuación característica

Raíces de la ecuación característica


6

q Estadísticos que caracterizan procesos estacionarios

(a) Función de Autocovarianza (FAC) La FAC de un PED { } y t es una función igual a:

k,t)y,y(Cov kttk ∀=γ − (1.)

(b) Función de Autocorrelación Simple (FAS) La FAS de un PED { } y t es una función igual a:

( )( ) ( ) k,t

yVaryVary,yCov

k-tt

k-ttk ∀=ρ (2.)

Nótese que, si la serie es estacionaria, las varianzas serán constantes a lo largo del tiempo, es decir, Var(yt) = Var(yt-k), con lo cual el denominador de (2.) es simplemente Var(y) o 0γ , por lo que:

o

kk γ

γ=ρ (3.)

Para estimar la FAS de orden k de un PED, se pueden utilizar las contrapartes muestrales de los términos de varianza y covarianza:

( )( )

( ) ( )∑∑

∑

+==

+==ρT

1kt

2k-t

T

1t

2t

T

1ktk-tt

k

y-yK-T

1y-y

T1

y-yy-yk-T

1

ˆ (4.)

no obstante, hay que observar que, asintóticamente )T( ∞→ ,


7

∑∑+==

≈≈−

T

1kt

T

1t,

T1

kT1

por lo tanto, podemos reescribir (4.) como:

( )( )

( )∑

∑

+=

+==ρT

1kt

2k-t

T

1ktk-tt

ky-y

y-yy-yˆ (5.)

lo que equivale a estimar el coeficiente de la ecuación que relaciona yt y yt-k.

(c) Función de Autocorrelación Parcial (FAP)

La FAP de un PED { } y t es igual a su FAS, pero corregida por los rezagos intermedios, ya que indica el efecto marginal que cada t-k tiene sobre t. En adelante, denominaremos a la FAP como kφ .

Para estimar la FAP de orden k de un PED es necesario correr una regresión que relacione yt y yt-k pero en presencia de los rezagos intermedios. Así, por ejemplo, para hallar la FAP de orden 1 (que es igual a la FAS del mismo orden, ya que no habrían rezagos intermedios), se corre la regresión:

t11t1t y~y~ ε+φ= −

donde y~ es la desviación de y respecto a su media. Para estimar la FAP de orden 2, se requiere correr la regresión:

t22-t21-tt y~y~y~ ε+φ+λ=


8

donde φ2 es la FAP de orden 2, pero λ no es la FAP de orden 1. Algo similar ocurre si queremos estimar la FAP de orden 3 corriendo la regresión:

t33-t32-t1-tt y~y~y~y~ ε+φ+τ+λ=

siendo φ3 la FAP de orden 3, pero teniendo en cuenta que ni λ ni τ son las FAP de orden 1 y 2, respectivamente.

q La FAC, FAS y FAP de algunos procesos

(i) Un proceso AR(1): t1tt yy ε+α= − Antes de analizar el comportamiento de las funciones de autocorrelación hay que establecer la relación que existe entre yt y los errores de la ecuación. Podemos plantear ésta a dos niveles:

- La relación de yt con errores futuros (sucesivos reemplazos...):

( ) 0y0s

ts-k-ts

tk-t =

εεαΕ=εΕ ∑

∞

=

En este caso el valor esperado planteado va a ser siempre igual a 0 ya que se relacionan errores (ruidos blancos) no contemporáneos.

- La relación de yt con errores presentes o pasados:

( ) 2k

0sk-ts-t

sk-tty ε

∞

=σα=

εεαΕ=εΕ ∑

En este caso el valor esperado planteado se hace distinto de cero siempre que s = k (momento en el cual se relacionan dos errores contemporáneos), siendo k la distancia que hay entre yt y tε .


9

Este análisis demuestra que yt va a tener relación con los errores pasados y presentes, pero nunca con los futuros.

(a) Análisis de la FAC

2

22yo

1 α−

σ=σ=γ ε

( ) ( ) 0yyyy 0t1-t2

1-t1-tt1 +αγ=ε+αΕ=Ε=γ

( ) ( ) 02

1t2-t2-t1-t2-tt2 0yyyyy γα=+αγ=ε+θΕ=Ε=γ

Y así sucesivamente, por lo que, en general, se puede decir que:

0k0k

k ≥∀γα=γ

Además, y como 1<α , puede observarse que a medida que k crece, la FAC converge a cero a una tasa α . (b) Análisis de la FAS

Como vimos previamente 0

kk γ

γ=ρ , de forma tal que:

10 =ρ

α=γ

αγ=

γγ=ρ

0

0

0

11


10

2

0

02

0

22 α=

γγα

=γγ

=ρ

Y en general,

0kk

0

kk ≥∀α=

γγ=ρ

De forma tal que a medida que k crece la FAS converge a cero a la misma tasa α . (c) Análisis de la FAP Para hallar la FAP(k) es necesario estimar los coeficientes de una regresión que relacione yt con el k-ésimo rezago y todos los intermedios.

t1-t1t yy ε+φ=

Para una muestra lo suficientemente grande, el desvío de yt respecto a la media es igual a yt dado que E(yt) = 0.

α=φ== 1)1(FAS)1(FAP Lo mismo se aplica en el caso de que k = 2, usando el modelo

t2-t21-tt yyy ε+φ+λ=

Debido a que el proceso en cuestión es un AR(1), ningún regresor excepto el primer rezago tendrá un efecto marginal significativo sobre yt. En otras palabras, luego de controlar por el primer rezago, ningún otro de orden superior tendrá un efecto significativo.


11

Concluimos entonces que:

1k0)k(FAP

)1(FAP 1>∀=

α=ρ=

¿Qué sabemos hasta ahora?

- Los coeficientes de correlación simple de un proceso AR(1) estacionario convergen a cero conforme aumente el grado de los mismos.

- Sólo el primer coeficiente de correlación parcial de un AR(1) estacionario es distinto de cero.

* Verifiquemos esto generando un proceso AR(1) estacionario.

(ii) Un proceso AR(2): t2t21t1t yyy ε+α+α= −−

Tomando la esperanza de la serie podemos comprobar que ésta es igual a cero (siempre que el modelo no tenga constante). Así:

( ) ( ) ( )2-t21-t1t yyy Εα+Εα=Ε

dado que se trata de una serie estacionaria, las tres esperanzas de la expresión anterior son iguales, por lo que E(yt) sólo puede ser igual a cero. (a) Análisis de la FAC Tal como se hizo en el caso del proceso AR(1), utilizaremos las ecuaciones de Yule-Walker. En términos generales (usando el k-ésimo rezago):


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k-ttk-t2-t2k-t1-t1k-tt yyyyyyy ε+α+α=

( ) ( ) ( ) ( )k-ttk-t2-t2k-t1-t1k-tt yyyyyyy εΕ+Εα+Εα=Ε

obteniéndose la siguiente expresión, para todo k>0

2-k21-k1k γα+γα=γ

por lo que se puede concluir que la FAC también sigue un proceso autorregresivo. * Veamos este resultado con algo más de detalle de modo que nos quede claro como es que, tomando en cuenta que pp γ=γ− , se obtiene lo

siguiente: 2

22110 εσ+γα+γα=γ

12011 γα+γα=γ

02112 γα+γα=γ

Resolviendo este sistema de ecuaciones es posible hallar γ0, γ1 y γ2.

))1)((1(

)1(21

222

22

0α−α−α+

σα−=γ ε

2

011 1 α−

γα=γ

( )0

2

2122

2 11

γ

α−α+α−α

=γ


13

(b) Análisis de la FAS

Utilizando las relaciones anteriores tenemos que:

2

1121

0

11 1 α−

α=ρα+α=γγ=ρ

2

21

22110

22 1 α−

α+α=α+ρα=

γγ

=ρ

Así, en general:

0k 2-k21-k10

kk >∀ρα+ρα=

γγ=ρ

A partir de estas expresiones, es posible demostrar que la FAS de un AR(2) converge a cero, bajo diferentes formas (directa u oscilatoria), dependiendo de los valores que tomen 1α y 2α . De hecho, la condición de estacionariedad para yt nos indica que las raíces características de

2-k21-k1k ρα+ρα=ρ deben caer dentro del círculo unitario por lo que la secuencia { }sρ es convergente.

(c) Análisis de la FAP

La estimación de la FAP requiere, otra vez, la estimación de un conjunto de ecuaciones donde el último rezago incluido es el del orden respectivo de la FAP a estimar. Así:

t1-t1t yy ε+φ= , se usará para hallar la FAP(1) = φ1

t 2-t21-tt yyy ε+φ+λ= , se usará para estimar la FAP(2) = φ2


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Nótese que la FAP(2) es igual, por definición, a 2α , mientras que la FAP(1) no es igual a 1α . Si es cierto, no obstante, que FAP(1) = FAS(1). Si deseamos hallar la FAP(3):

t3-t32-t21-t1t yyyy ε+φ+λ+λ=

donde observaremos que, de acuerdo a la especificación del modelo (de orden 2), φ3 es cero. Esto será además cierto para todo k > 2.

¿Qué sabemos hasta ahora? Generalizando estos resultados para procesos AR(p) estacionarios tenemos que:

- La FAC y la FAS convergen a cero. - La FAP es igual a cero ∀ k > p.

Diagnóstico

- Ausencia de una FAS convergente: evidencia en contra de la estacionariedad de la serie.

- ¿Hasta qué orden es la FAP significativa?: orden de autorregresión (AR) de la serie.

(iii) Un proceso MA(1): 1ttty −βε−ε=

Nótese que un proceso de medias móviles es siempre estacionario porque es una combinación lineal de ruidos blancos, y estos, por definición, son estacionarios. Tomando la esperanza y la varianza a la expresión anterior se puede verificar que:

( )( ) )1yV

0yE2( 22 2 2

t

t

β+σ=σ+σ=

=

εβεε


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222y0 )1( εσβ+=σ=γ

( ) ( )( )[ ] 22t1t1tt1tt1 yy ε−−−− βσ−=βε−εβε−εΕ=Ε=γ

( ) ( )( )[ ] 0yy 3t2t1tt2tt2 =βε−εβε−εΕ=Ε=γ −−−−

( ) 0yy 3tt3 =Ε=γ −

y así sucesivamente, por lo que podemos generalizar este resultado diciendo que:

1k 0k >∀=γ

(b) Análisis de la FAS Si recordamos la fórmula para la FAS tenemos que:

10 =ρ

20

11

1 β+

β−=γγ=ρ

00

22 =

γγ

=ρ

por lo que generalizando se tiene que:

1k 0k >∀=ρ

(c) Análisis de la FAP

Dado que el modelo de medias móviles sólo evidencia una relación entre yt y los errores presentes y pasados, es necesario realizar un proceso de inversión a fin de rescatar la relación entre la primera y sus propios valores pasados.


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1ttt y −βε+=ε

y rezagando sucesivas veces:

t 1 t 1 t 2y− − −ε = +βε

t 2 t 2 t 3y

(...)− − −ε = +βε

por lo que:

( )t t t 1 t 2 t 3y y y− − − ε = +β +β +βε

3t3

2t2

1ttt yyy −−− εβ+β+β+=ε

De donde se puede despejar yt para obtener:

t3t3

2t2

1tt yyy ε+εβ−β−β−= −−−

de lo que podríamos deducir que, si continuáramos reemplazando los rezagos de εt, yt estaría en función de su propio pasado:

∑∞

=− ε+β−=

1stst

st yy

La ecuación anterior es la representación AR de un proceso MA. Para que dicha representación sea estacionaria, sabemos ya que debe cumplirse que β sea menor a uno en valor absoluto. En este caso, se dice que el proceso MA es invertible. Esto además implica que la FAP de un proceso MA(1) invertible converge a cero, bajo diferentes formas, dependiendo del signo de β. * ¿Cómo quedaría la FAP si representamos el MA: 1ttty −βε+ε= ?


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¿Qué sabemos hasta ahora? Generalizando estos resultados para procesos MA(q) invertibles tenemos que:

- La FAC y la FAS son iguales a cero ∀ k > q. - La FAP converge a cero de distintas formas dependiendo de los

signos de los coeficientes β.

En resumen: Función de

autocorrelación simple (k) Función de autocorrelación

parcial (k)

AR(p) Converge a 0, k → ∞ Igual a cero para k > p

MA(q) Igual a cero para k > q Converge a 0, k → ∞

FAP → idea del orden AR. FAS → idea del orden MA.

(iv) Un proceso ARMA(1,1): 1tt1tt yy −− βε−ε+α=

El proceso ARMA (1,1) será estacionario cuando 1<α , es decir, cuando la parte AR de la serie lo sea, mientras que será invertible toda vez que 1<β .


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No es difícil darse cuenta que:

( ) 0y t =Ε

( )

)2y2y2y(

y)y(Var

1tt1t1tt1t2

1t22

t2

1t2

2tt

−−−−−− εβε−εαβ−εα+εβ+ε+αΕ=

Ε=

de modo que:

2222t

2t 2)y(Var)y(Var εεε αβσ−σβ+σ+α=

)1(

)21()y(Var

2

22

tα−

αβ−β+σ= ε


)1(

)21()y(Var

2

22

t0α−

αβ−β+σ==γ ε

( ) )yyy(yy 1t1t1tt2

1t1tt1 −−−−− βε−ε+αΕ=Ε=γ

2

22

011

))(1(εε σ

α−

β−ααβ−=βσ−αγ=γ

( ) ( )2t1t2tt2t1t2tt2 yyyyyy −−−−−− βε−ε+αΕ=Ε=γ

12 αγ=γ

Generalizando, la FAC de un proceso ARMA (1,1) tiene el siguiente comportamiento:


19

1k 1kk >∀αγ=γ −

(b) Análisis de la FAS y la FAP

10 =ρ

( )( )

αβ−β+

β−ααβ−=γγ=ρ

21

120

11

10

1

0

22 αρ=

γαγ=

γγ=ρ

Generalizando:

1k 1k0

1k

0

kk >∀αρ=

γαγ=

γγ=ρ −

−

Las expresiones anteriores nos permiten verificar que el comportamiento de la FAC y la FAS de un ARMA (1,1) es muy similar al de un AR(1): decrece a una tasa α. Nótese, sin embargo, que ello ocurre desde el momento en que k>1, o mejor dicho, a partir del momento en que k es mayor que el orden de la parte MA; ello es así porque, como hemos visto antes, la FAC y FAS del MA se hace cero para todo k mayor que su orden, por lo que en el comportamiento de estas funciones sólo prima el componente AR de la serie.

Lo contrario ocurrirá en el caso del FAP: a partir del k>1 primará el comportamiento del componente MA, porque la FAP de la parte AR se hace cero.

Así: FAS ARMA (1,1) ≈ FAS AR(1) para todo k>1 FAP ARMA (1,1) ≈ FAP MA(1) para todo k>1


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Generalizando para los modelos ARMA de orden mayor podemos decir que, en el caso de un modelo ARMA (p,q) se tiene que:

FAS ARMA (p,q) ≈ FAS AR(p) qk >∀ FAP ARMA (p,q) ≈ FAP MA(q) pk >∀

q Estimación de modelos univariados (i) Procesos AR - En el caso de un AR(1) es posible estimar el coeficiente autorregresivo utilizando MICO:

∑

∑

−

−=α2

1t

1ttMCO

y

yyˆ

Al respecto, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

1. “Xt”, la variable explicativa, es en realidad Yt-1, y en general, Xt+j =Yt+j-1

Por lo que al verificar la relación existente entre la variable explicativa y el error, se observa que:

( ) 0)y(Cov,xCov t1ttt =ε=ε −

( ) 0)y(Cov,xCov 21jt1jttjt ≠σα=ε=ε ε

−−++

Por lo tanto, sólo hay ausencia de correlación contemporánea, pero no con los valores futuros de las X’s.


21

2. Las variables explicativas no son exógenas, son endógenas rezagadas o predeterminadas.

3. Por lo anterior, el estimador MICO es sesgado, es decir, ( ) α≠αΕ ˆ . Esto se debe a que el vector de errores no es independiente en media del valor realizado de yt-1.

* Ante esto es indispensable verificar las propiedades asintóticas del estimador. Partamos de:

∑∑

∑∑ ∑

−

−

−

−− ε+α=

ε+α=α

21t

t1t2

1t

t1t2

1t

y

y

y

yyˆ

y verifiquemos si MICO p

α̂ →α

* Además, podemos verificar la distribución asintótica de dicho estimador:

?)ˆ(TdMICO →α−α

De los resultados obtenidos se desprende que es apropiado usar MICO para estimar modelos de series de tiempo siempre que tengamos muestras grandes. Asimismo, podemos hacer inferencia de la manera habitual apelando a la normalidad asintótica de MICOα̂ .

(ii) Procesos MA

- Una alternativa sencilla es usar la representación AR de un MA, lo que además tiene la ventaja de facilitar la interpretación de resultados (siempre es más fácil interpretar la relación entre la variable y sus valores pasados que con los respectivos errores).


22

- Sin embargo, surge el problema de que la representación AR de un MA es infinita, por lo que no podría ser estimada. Cabe recordar, no obstante, que si un MA se puede representar como un AR, o mejor dicho si es invertible, deberá ser cierto que 1<β , por lo que los rezagos más alejados tendrán cada vez menor relevancia para explicar el valor presente de la variable en cuestión. Una aproximación del punto de corte relevante nos lo da el siguiente teorema:

Teorema de Said y Dickey (1984): Un proceso ARMA (p,q) se puede aproximar por un ARMA(n,0), donde n no debe ser mayor a T1/3.

De esta forma, el valor T1/3 será utilizado para establecer el grado de correlación de la serie con su pasado, a fin de garantizar errores no correlacionados en la ecuación final estimada.

(iii) Procesos ARMA

Para estimar un modelo de este tipo se propone un proceso de estimación en dos etapas:

(i) Hallar la representación AR(p) que se ajusta mejor a la serie que se analiza.

(ii) Verificar que los errores de la ecuación estimada no estén correlacionados; de lo contrario incorporar elementos MA a fin de resolver este problema.

De esta manera, se privilegiarán aquellos modelos con menor cantidad de términos MA y, muy probablemente, de menor grado (más parsimoniosos, como lo explicaremos más adelante).


23

q Box-Jenkins (1976) (i) Identificación: análisis gráfico de la serie, inspección del correlograma.

- Presencia de valores extremos (outlayers). - No estacionariedad. - Presencia de cambios estructurales.

Corregidos todos estos problemas será necesario inspeccionar el correlograma de la serie, específicamente la FAS y la FAP. La primera nos permitirá establecer los posibles términos MA presentes en el modelo, mientras que la segunda hará lo propio con los términos AR.

(ii) Estimación:

- Los modelos que arroja la primera etapa son estimados verificando la significancia de incluir las diferentes combinaciones de términos identificados a partir del correlograma. Aquellos que pasen esta primera prueba serán sometidos al análisis de correlación de errores y al de parsimonia.

Correlación de errores → prueba de Ljung-Box (1978). Recuerden la Ho: no hay correlación hasta de orden k.

( ) ( ) qpk2k

1j

2j

j-T2TTQ −−

=χ∼

ρ+= ∑

Parsimonia → criterios de Akaike y Schwartz (iii) Diagnóstico:

Someter el modelo elegido a todas las pruebas tradicionales. Verificar, especialmente, si todavía se observa autocorrelación en los errores.

ECONOMETRÍA II

1. La Econometría de Series de Tiempo


2

1.1. Análisis Univariado de Series de Tiempo

1.1.2. No estacionariedad en varianza

q ¿De qué hemos estado hablando hasta ahora? - La mayoría de series de tiempo asociadas a variables económicas

exhibe una media y/o una varianza que no se mantiene constante en el tiempo.

- Sabemos que lo anterior implica que dichos procesos no pueden

ser caracterizados como estacionarios. Por lo mismo, la metodología sugerida por Box y Jenkins requiere una extensión si deseamos modelar estas series.

- En el capítulo anterior hemos lidiado con series cuya media no es

constante en el tiempo. Hemos visto que la extensión pertinente a la metodología de Box y Jenkins pasa por transformar la serie de modo que se garantice su estacionariedad. Además, hemos discutido cómo dicha transformación puede ser la remoción de una tendencia lineal o la primera diferencia de la serie, dependiendo de si ésta exhibe sólo una tendencia determinística (ET) o también (o sólo) una tendencia estocástica (ED), respectivamente.

- Frente a esta distinción, y a la necesidad de implementar

transformaciones distintas según sea el caso, hemos visto cómo detectar una raíz unitaria en la ecuación característica del polinomio de rezagos del proceso. Frente a la presencia de una raíz unitaria, el efecto de los shocks pasados no se diluye y es esto, precisamente, lo que le imprime una tendencia estocástica a la serie. Un proceso con raíz unitaria caracteriza, por tanto, a una serie ED.


3

- En lo que sigue nos concentraremos en la extensión pertinente para lidiar con procesos cuya varianza no es constante (i.e. procesos heterocedásticos).

q Partamos del proceso:

t t ty = µ + ε

donde µt es la parte determinística y εt la aleatoria. Asumamos, además, que el error de la ecuación depende de una variable cualquiera xt, de forma tal que:

t t tv xε =

siendo vt un ruido blanco con media 0 y varianza σ2. De lo anterior se desprende que la varianza de εt no es constante. Al respecto, debemos considerar dos situaciones. (i) Si xt es conocida (observable en t) y σ2 es constante: En este caso,

2 2t t t t tV(y x ) V( x ) x= ε = σ

y podemos suponer que la variable x está en función de µ:

( )tt hx µ=

por lo que:

( ) ( )2 2t t tV y x h= µ σ

Sabiendo ello, se puede transformar el proceso a fin de estabilizar la varianza (que no dependa de t). Así, se plantea una transformación de yt, g(yt), vía una aproximación de Taylor alrededor de µt:


4

( ) ( )'t t t t t

t tg(y ) g( ) y - g y

y

≈ µ + µ =µ

( )

( ) ( )

2'

t t t t tt t

2' 2 2

t tt t

V g(y ) x g y V(y x )y

g y hy

= =µ

= µ σ =µ

Entonces, para estabilizar la varianza la transformación a aplicar deberá ser tal que garantice que:

( ) ( )'

tt t t

1 g y

y h

= =µ µ

de forma tal que la varianza de la serie transformada sea igual a σ2. Por ejemplo, si yt tiene una desviación estándar proporcional a su nivel, es decir, h(µt)=µt, entonces:

( )' t

t t t

1 g y

y

= =µ µ

por lo que:

( )t tg y Ln(y )= es decir, se tiene una transformación logarítmica de la serie a través de la cual se garantizaría la estabilidad de su varianza.


5

(ii) Si no se cumple algunas de las dos condiciones anteriores: La principal dificultad con la estrategia anterior es que asume una causa específica para la heterocedasticidad. Comúnmente, no se tienen razones teóricas que justifiquen la elección de determinada secuencia {xt}. Por lo mismo, se puede optar por modelar la volatilidad de una serie sobre la base de un proceso autorregresivo. Antes de formalizar dicho proceso y ver a qué variable se refiere, veamos por qué puede resultar interesante modelar la varianza condicional de una serie. q ¿Para qué modelar la varianza condicional? Hasta ahora, hemos modelado la media condicional de una variable aleatoria (condicional a los valores realizados de los regresores: las X’s que pueden ser los valores pasados de la misma variable como en un modelo AR). Ahora revisaremos las técnicas diseñadas para modelar y predecir la varianza condicional de un proceso. ¿Por qué nos puede interesar modelar su varianza condicional? Por definición, la varianza condicional toma en cuenta información pasada. Si bien la varianza incondicional (o de largo plazo) de un proceso puede resultar constante, la varianza condicional frecuentemente depende del valor realizado de shocks pasados. Entender la naturaleza de esta dependencia temporal nos puede ayudar a explicar fenómenos como:

(i) “Colas anchas”: La evidencia indica que los retornos de muchos activos se caracterizan por tener una distribución con una alta probabilidad de ocurrencia de eventos extremos.


6

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-0.50 -0.25 0.00 0.25

Series: R_VOLCANSample 12/19/1997 4/23/2004Observations 332

Mean -0.000453Median 0.000000Maximum 0.353932Minimum -0.478893Std. Dev. 0.087559Skewness -0.060387Kurtosis 7.649219

Jarque-Bera 299.2125Probability 0.000000

(ii) Clusters de volatilidad: cambios pronunciados tienden a

ser seguidos por cambios pronunciados (de cualquier signo) y viceversa.

-.5

-.4

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

.4

1998 1999 2000 2001 2002 2003

R_VOLCAN


7

(iii) Efectos apalancamiento (leverage effects): los cambios en el precio de acciones tienden a estar negativamente correlacionados con su volatilidad. Una caída en el precio es seguida por más volatilidad que un incremento de igual magnitud.

q La definición Tal como se indicó anteriormente, se puede optar por modelar la volatilidad de una serie sobre la base de un proceso autorregresivo. En general, esto configura un proceso ARCH (heterocedasticidad condicional autorregresiva). En general, decimos que el proceso tε sigue un modelo ARCH si:

(i) Su media condicional es igual a cero: 0)(E t1t =ε−

(ii) Su varianza condicional )(E)(Var 2t1tt1t

2t ε=ε=σ −−

depende de observaciones pasadas.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Z

SIG

2

El shock de ayer

La volatilidad hoy


8

q Un ARCH(q) - Engle (1982)

∑=

εα+α=ε −

q2

iti0tt1i

v

donde vt es un ruido blanco (media igual a 0 y varianza igual a 1) independiente de la secuencia de shocks pasados. Dada esta especificación, no es difícil darse cuenta cómo la información pasada determina la varianza condicional:

∑=

εα+α=σ=ε=ε −−−q

2iti0

2tt1t

2t1t

1i)(Var)(E

De lo anterior se desprende que los parámetros α deben ser tales que

00 >α y 0,...,0 q1 ≥α≥α para garantizar que dicha varianza sea

positiva.

Nótese que si definimos 2t

2ttv σ−ε≡ es posible rescribir el proceso

ARCH(q) como:

tq

2iti0

2t v

1i+

=εα+α=ε ∑ −

Dado que 0)v(E t1t =− , el modelo planteado corresponde a un AR(q) para el cuadrado de las innovaciones. Este proceso será

estacionario si y sólo si ∑=

<αq

i1i

1 , en cuyo caso la varianza

incondicional vendrá dada por:


9

)...(11i

)(Var)(Eq21

0q 2

i02

t2t α++α+α−

α=

=σα+α=σ=ε=ε ∑ εε ,

positiva y finita. A pesar de que los s'tε no muestran correlación serial, éstos no son independientes a través del tiempo. De acuerdo con la evidencia empírica mostrada, valores absolutos grandes (pequeños) del proceso tienden a ser seguidos por valores grandes (pequeños) de signo impredecible (clusters de volatilidad). q Un GARCH(p,q) - Bollerslev (1986) Bollerslev (1986) extendió el modelo anterior al especificar la varianza condicional como un proceso ARMA, dando origen a un modelo GARCH (p,q) de la forma:

ttt hv=ε donde:

∑ ∑= =

−− β+εα+α=q

1i

p

1iiti

2itiot hh

en el que se incorpora una estructura dinámica más compleja en la ecuación de la varianza, con componentes autorregresivos y de medias móviles. La sumatoria de los α’s y β’s debe ser menor que 1 para que el proceso no sea explosivo.


10

Se puede observar en este caso que:

∑ ∑= =

−−− β+εα+α==σ=εq

1i

p

1iiti

2itiot

2t

2t1t hh)(E

La ecuación anterior nos dice que la predicción de la varianza para este período (dada la información disponible hasta t-1) es un promedio ponderado del promedio de largo plazo (el intercepto), información sobre la volatilidad en períodos pasados (el “término ARCH”) y la predicción de la varianza de períodos pasados (el “término GARCH”). Existen dos representaciones alternativas que pueden resultar útiles para interpretar el modelo. Partamos, para fines del ejemplo, de un GARCH(1,1).

21-t

21-t0

2t βσ+αε+α=σ

(i) Si sustituimos de manera recursiva la ecuación

correspondiente al rezago de la varianza, podemos expresar la varianza condicional como una suma ponderada del cuadrado de todos los residuos pasados:

∑∞

=εβα+

β−α

=σ1j

21-t

1-j02t 1

Nótese que la expresión anterior es similar al estimador de la varianza muestral pero con pesos menores para rezagos más distantes de εt, lo que parece más apropiado que utilizar ponderaciones iguales para todos los rezagos de los errores al cuadrado. El modelo, entonces, estimará estos pesos dejando que la data determine las mejores ponderaciones para predecir la varianza.


11

De lo anterior también se desprende que un modelo ARCH de orden alto puede tener una representación GARCH más parsimoniosa, que es más sencilla de identificar y estimar.

(ii) Si de nuevo definimos 2t

2ttv σ−ε≡ , notaremos que es

posible expresar un GARCH(1,1) de la forma:

1tt2

1t02t vv)( −− β−+εβ+α+α=ε

Un modelo ARMA(1,1) para el cuadrado de las innovaciones donde la raíz que gobierna la persistencia del proceso viene dada por )( β+α .

q La especificación de un modelo ARCH Para especificar un modelo ARCH se proponen las siguientes etapas:

1. Especificar correctamente la media de la serie, a través del

método de selección Box & Jenkins; estimar el modelo y recoger los residuos.

2. Analizar los residuos al cuadrado de la estimación de 1. a

través de dos procedimientos: - Observar el correlograma de los residuos al cuadrado, para

determinar qué componentes ARCH son significativos. - Llevar a cabo el ARCH-LM test, cuya hipótesis nula es que

no hay términos ARCH, es decir, dado:

( )s';,,fˆ 22-t

21-t

2t αεε=ε …

Ho: 0s' =α (no hay términos ARCH)

Para ello se utiliza el estadístico 2q

2 TR χ∼


12

¿Podremos usar este test para discriminar entre un proceso ARCH y un proceso GARCH? ¿Qué tipo de información puedo extraer del correlograma de residuos al cuadrado?

3. Con el modelo ARCH(q) elegido probar de nuevo 2 a fin de

verificar que todo el componente autoregresivo la varianza haya sido bien recogido.

Considere, finalmente, que verificar la idoneidad de un modelo GARCH (p,q) equivale a aplicar el test para un modelo ARCH(p+q) (Baltagi (1998)). q Un ARCH-M - Engel, Liluen, Robins (1987)

Este modelo permite que la media de una serie dependa, entre otras variables, de su propia varianza condicional (o su desviación estándar). El objetivo del modelo es determinar la relación existente entre la media y la varianza de la serie. Así, este tipo de modelos se utilizan para estudiar mercados de acciones, y establecer el trade-off que existe entre el riesgo (su volatilidad) y el rendimiento (su valor medio) de una acción. Así, suponiendo que la serie yt es el rendimiento adicional que se puede obtener al mantener una acción por un período largo de tiempo, y que éste se puede descomponer en:

ttty ε+µ= donde µt es la prima por riesgo necesaria para que sea atractivo mantener esa acción durante ese plazo, podemos expresar esta prima de la siguiente forma:


13

tt hδ+β=µ

siendo ht la varianza condicional del proceso. Verificar δ>0 implicaría, entonces, contrastar la hipótesis que sugiere que, a mayor volatilidad de la acción, mayor es la prima por riesgo exigida. q Modelos Asimétricos Los modelos ARCH/GARCH suelen ignorar la información relacionada con la dirección de los retornos: sólo las magnitudes interesan. No obstante, hay evidencia empírica que demuestra que las variables financieras son más volátiles ante shocks negativos que ante shocks positivos.

TARCH - Zakaian, Glosten, Jaganathan y Runkle (1993) Este modelo consiste en una especificación cuadrática de la asimetría de la forma:

21-t1-t

21-t

21-t10

2t d βσ+γε+εα+α=σ

donde: 0 si 1d 1-t1-t <ε=

d.o.m 0d 1-t = . Nótese que “las buenas noticias” tienen un impacto α1, mientras que “las malas” tienen uno α1+γ. Por tanto si 0>γ se confirma el efecto leverage; si 0<γ no hay dicho efecto sino sólo asimetría.


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EGARCH - Nelson (1991) Es una especificación logarítmica de la asimetría, de la forma:

( ) ( )1-t

1-t

1-t

1-t21-t0

2t loglog

σε

γ+σε

α+σβ+α=σ

por lo que el efecto asimétrico sería exponencial antes que cuadrático. El efecto leverage se produce siempre que 0<γ . * Intentemos modelar la volatilidad asociada a los retornos de las acciones de la empresa Volcan.

ECONOMETRÍA II 1. La Econometría de Series de … · contrapartes muestrales de los términos de...

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