Post on 26-Jun-2015
Ecuación de la recta
Prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta
Las ecuaciones del tipo
y = mx + b
representan rectas en el plano
2Prof. Mónica Lordi
Ecuación explícita de la rectaLlamaremos ecuación explícita de la recta a la expresión
y = mx + b
En esta ecuación se pueden distinguir los siguientes elementos:
Recuerda: las expresiones de la forma
y = mx + brepresentan rectas en el
plano
m = pendiente
b = ordenada al origen
x = variable independiente
y = variable dependiente
Ejemplos
• y= 3x+8
• y= x – 7 3
2
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Pendiente
En las ecuaciones • y = 4x , la pendiente es m =
4
y = 4x
y = 3x , la pendiente es m = 3
y = 2x , la pendiente es m = 2
y = x . la pendiente es m = 1
y = 3x
y = 2x
y = x
Se puede observar que la pendiente m
determina la “inclinación” de la
recta respecto del eje X
Observa las siguientes gráficas
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Ordenada al origenObserva, en la gráfica
La recta de ecuación
y= x + 2 , la ordenada al origen es b = 2
y = x + 2
2
1
0
-1
y = x + 1, la ordenada al origen es b = 1y = x + 1
y = x - 1
y = x – 1, la ordenada al origen es b = -1
La ordenada al origen b determina la
intersección de la recta con el eje Y
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Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las ecuaciones de siguientes rectas:
• y = 3x - 11m = 3
b = -11
• y = -5x + 20m = -5
b = 20
3
2• y = x m =
3
2
b = 0
Veamos un ejemplo:
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Otros ejemplos de rectas
-4-3-2-1012345678910
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
y
-3-2-10123456789
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
y
• Recta creciente, ya que la pendiente es positiva.
• La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x.
• Cuando x=0, la ordenada al origen es igual a 1.
• Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa.
• La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x.
• Cuando x=0, la ordenada al origen es igual 4.
xy 21 xy 4
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Otras formas de ecuaciones lineales
• Forma implícita: Ax + By + C = 0
• Forma segmentaria: Si una recta corta a los ejes en los puntos P = (p,0) y Q = (0,q) su ecuación en forma segmentaria es:
1q
y
p
x
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FORMA SEGMENTARIA
pq
1q
y
p
x
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Si la recta está escrita de otra forma, podemos escribirla en forma explícita y
luego identificar m y bEjemplo 1:
Determinar la pendiente y la ordenada al origen en la ecuación 2x + y – 8 = 0
y = -2x + 8
Se despeja y (de la misma forma que se
despeja cualquier ecuación)
2x + y = 0 + 8
Luego, m = -2 y b = 8
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Ejemplo 2:
Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación 4x – 8y + 16 = 0
y8
16
8
x4
Despejamos y
4x + 16 = 8y
y8
16
8
x4
y22
x1
m =
2
12
1
b = 2
4x – 8y + 16 = 0
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Ejemplo 3:
Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación
y8
16
8
x4
2
1Despejamos y
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Ejercicio 1: Encontrar la pendiente y la ordenada al
origen de las siguientes rectas:
012y3x9 )f
014y2x7 )e
04yx2 )d
08yx3 )c
1x5
2y )b
1x3y )a
012y3x9 )f
014y2x7 )e
04yx2 )d
08yx3 )c
1x5
2y )b
1x3y )a
g)13Prof. Mónica Lordi
Cálculo de la pendiente de una recta
Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta
queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas
y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos,
es decir:
(x1, y1) y (x2 ,y2 )
la pendiente m
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• Cuando se tienen dos puntos de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 )
(x2 , y2)
(x1 , y1)
y2 – y1
x2 – x1
m =y2 – y1
x2 – x1
la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadasy la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir:
16
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(x2 , y2)
(x1 , y1)
x2 – x1
y2 – y1
Cálculo de la pendiente de una recta
x1 x2
y1
y2
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Ejemplo 1 • Calcular la pendiente de la recta que
pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)
Identificamos los valores de x1 , y1 ,
x2 , y 2
x1 y1x2 y2
Reemplazamos estos valores en la
fórmula
m =y2 – y1 =x2 – x1
14 – 2
9 – 7 =
12
2= 6
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Ejemplo 2• Calcular la pendiente de la recta que
pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)
Identificamos los valores de x1 , y1 ,
x2 , y 2
x1 y1 x2 y2
Reemplazamos estos valores en la
fórmula
m =y2 – y1 =x2 – x1
-3 – 1
9 – (-5) =
-4
14=
-2
7
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Ejemplo 3 Encontrar la pendiente de la recta del gráfico:
En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta:
(5,0)
(0,4)( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)
x1 y1 x2 y2
Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
Reemplazamos estos valores en
la fórmula
m =y2 – y1
x2 – x1
0 – 4
5 – 0
-4
5= =
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Ejercicio 2
I) Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
• A) (3 , -6) y (-2 , -2)• B) (7 , -9) y (0 , -1)• C) (-3 , -4) y el origen• D) (3 , -4) y ( 2 , -6)
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II) Encontrar las pendientes de las rectas graficadas:
A) B)
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Puntos que pertenecen a una recta
¿Cómo determinar cuando un punto pertenece
2
1
0
-1 -1 1 2 3
o no pertenece a una recta?
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¡Muy sencillo!¡Se reemplaza las coordenadas del punto dado (x , y)
en la ecuación y = mx + b!
Ejemplo 1: Determinar si el punto (1,3)
pertenece a la recta y = -3x + 6
( 1 , 3 ) Reemplazamos x = 1 , y = 3 en la ecuación
3 = -3 • 1 + 6 y resolvemos las operaciones para verificar si hay equilibrio entre ambos miembros
3 = -3 + 6
3 = 3Por lo tanto, el punto (1,3) pertenece a la
recta y = -3x + 6 25
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( -1 , 3 ) Reemplazamos x = -1 , y = 3 en la ecuación
3 = 2 • (-1) + 1 y resolvemos las operaciones para verificar si hay equilibrio entre ambos miembros
Por lo tanto, el punto (-1,3) no pertenece a
la recta y = 2x + 1
Ejemplo 2:
Determinar si el punto (-1,3) pertenece a la recta y = 2x + 1
3 = -2 + 1
3 = -1
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Ejercicio 3: Determinar si los puntos pertenecen a la
recta dada
• A) ( , 0) ; (-2 , 7) ; (0,1 ) a la recta y = -3x + 1
• B) (-3 , 1) ; (9,9) ; (-6,1) a la recta y = x + 3
• C) (4,2) ; (-6,-7) ; (-4,-4) a la recta 3x – 4y – 4 = 0
3
2
3
1
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Ecuación de la recta a partir de dos puntos del plano
y = mx + b
(x1, y1)
(x2, y2)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
• Sean P = (x1 ,y1) y Q = (x2 , y2 ) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de la recta, es posibledeterminar su ecuación.
P(x1 , y1)
• Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente, es decir
que también se puede expresar como:
Q(x2 , y2)
R(x , y)
• Tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.
y
Entonces:
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¿Y cómo usamos esta fórmula?
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , 4) y (5, 10)
Identificamos x1 , y1 , x2 , y2
x1 y1 x2 y2
Reemplazamos estos valores en la fórmulay – y1
x – x1
=y2 – y1
x2 – x1
y – 4
x – 2
10 – 4
5 – 2=
y – 4
x – 2=
6
3
y – 4
x – 2=
2
1
Efectuamos los “productos cruzados”
y – 4 = 2x - 4 ordenamos
y = 2x – 4 +4
y = 2x Y tenemos nuestra
ecuación
30
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Otra forma de enfrentar la misma tarea
• Se calcula la pendiente:
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , -4) y (6, 12)
Identificamos x1 , y1 , x2 , y2
x1 y1 x2 y2
y2 – y1
x2 – x1
=12 – (-4)
6 – 2=
16 4 = 4
• Se reemplaza m en la ecuación y = mx + b
y = 4x + b
• Se toman las coordenadas x e y de uno de los dos puntos y se reemplaza en la ecuación y = 4x + b
(2 , -4) -4 = 4•2 + b y despejamos b
-4 = 8 + b-4 – 8 = b
-12 = b
Finalmente reemplazamos b en
y = 3x + b , quedando y = 3x – 12
=m
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Ejercicio 4 : I) Encontrar la ecuación de recta que
pasa por los puntos
• A) (3,5) y (2, 8)• B) (-2 , -3) y (5 , 3)• C) (3 , 5 ) y ( -4, 5)• D) (-1, 1) y el origen
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II) Encontrar la ecuación de recta de los siguientes gráficos
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