DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO

La idea de valor absoluto esta relacionada directamente con la idea de distancia en la recta numérica.La distancia de un número al origen se representa por medio de un número positivo.La distancia de los números 3 y – 3 al origen ( 0 ) es la misma.Finalmente la distancia de los números 3 y – 3 al origen se representa por medio de una expresión llamada valor absoluto.

3 3 3

0- 1- 2- 3- 4- 5 1 2 3 4 5

R

3 3

El valor absoluto de un número real « x» se denota porY se define como:

x

X si

- X si x < 0

0x0x

Esto quiere decir que los números x , - x están en la misma distancia del origen

0- x x

R

x x

x

Ejemplos:

5 5 5 5 1 1

3 3 5 5

Responde :

Sea la ecuación: 4x ¿ Qué valores puede tomar x para Satisfacer la ecuación?

Respuesta: - 4 y 4

Sea la ecuación: 5 8x ¿ Qué valores puede tomar x para Satisfacer la ecuación?

Respuesta: - 3 y 13

Completa usando los símbolos: < ó >. a) |-5| _____ 0

b) |-1,01| _____ 1,02c) -|219| _____ -218d) -|-2006| _____ -2

 Propiedad N° 1

PROPIEDADES SOBRE VALOR ABSOLUTO

a a o

Propiedad N°2

2 2a a a

Propiedad N°3

Propiedad N°4

a a a

2a a a

Propiedad N°5

, . .a b a b a b

,aa

a bb b

b o

Propiedad N°6

,a b a b a b Desigualdadtriangular

Propiedad N°6

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes:

0a b b a b a b

Ejemplos:

1.resuelve:

12 3 6x

Desarrollo:

6 0

12 3 6 12 3 6x x Resolviendo las dos ecuaciones:

3 6 12 3 6 12x x 3 6 3 18x x 2 6x x

. 2;6c s

2.resuelve:

1 8x Desarrollo:

C.S = { 7 ; - 9 }

3.Resuelve:

3 2 18x x

Desarrollo:

18 0 18x x

0a b b a b a b Recuerda que:

3 2 18 3 2 18x x x x

Resolviendo las dos ecuaciones se tiene:

Los valores de x tiene que ser mayores e iguales 18 . Los valores obtenidos no satisfacen.C.S = { }

1 8x 8 01 8 1 8x x

Resolviendo las dos ecuaciones:

7 9x x 8 5x x

a b a b a b

Ejemplos:

1.Resuelve:

4 3 2 7x x

Desarrollo:

4 3 2 7 4 3 2 7x x x x

Resolviendo las dos ecuaciones se tiene:

5 2

2 35 2

. ;2 3

x x

c s

a b a b a b

Ejemplos:

1.Resuelve:

4 3 2 7x x

Desarrollo:

4 3 2 7 4 3 2 7x x x x

Resolviendo las dos ecuaciones se tiene:

5 2

2 35 2

. ;2 3

x x

c s

2.resuelve:

||x  - 1| -1| = 1

Desarrollo:

Aplicando nuevamente la propiedad de valor absoluto.

1 1 1x

1 1 1 1 1 1x x

1 2 1 0x x

0a b b a b a b

1 2 1 0x x

1 2 1 2 1 0x x x

3 1 1x x x . 1;1;3C S

Resumiendo:

Para resolver las ecuaciones con valor absoluto tienes que emplear una de las dos propiedades:

0a b b a b a b

a b a b a b

Evaluación :

Relaciona mediante una flecha la propiedad a emplear en la solución de las siguientes ecuaciones con valor absoluto.

1 2x

3 2 1x x

8 2x x

2 1 1x x

10x

a b a b a b

0a b b a b a b