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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

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Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la queintervienen derivadas de una o más funciones.Según el número de derivadas, las ecuacionesdiferenciales se dividen en:Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas quecontienen derivadas respecto a una sola variableindependiente.Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas quecontienen derivadas respecto a dos o más variables.

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Ejemplos

es una ecuación diferencial ordinaria, donde y = f(x) esla variable dependiente, x la variable independiente e

12' xyy

dx

dyy '

0

v

u

x

u

La expresión

es la derivada de y con respecto a x.La expresión

es una ecuación en derivadas parciales.

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Ejemplos

Crecimiento de bacterias: La cantidad de bacteriasen un cultivo crece a un ritmo que es proporcional alnúmero de bacterias presente.

kQdt

dQ

Qdt

dQ07,0

Crecimiento de inversiones: Una inversión crece auna razón igual al 7% de su tamaño.

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Ejemplos

Cambio de temperatura: La razón a la que cambiala temperatura de un objeto es proporcional a ladiferencia entre su propia temperatura y la del medioque lo rodea.

donde M es la temperatura del medio que le rodea y kes una constante positiva.

)( QMkdt

dQ

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Orden de la ecuación

Se llama orden de la ecuación al de la derivada másalta.

Ejemplos:

a) y ' = y es una ecuación diferencial ordinaria deprimer orden.b) y '' = y es una ecuación diferencial ordinaria desegundo orden.

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Soluciones de ecuaciones diferenciales

Una función es solución de una ecuación diferencial

si reemplazada, ella y sus derivadas o diferenciales,

según corresponda, en la ecuación diferencial, se

obtiene una identidad.

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Verificación de la solución cuando está dada como función explícita

Obtenida la solución explícita y = f(x) de la ecuacióndiferencial:1) Se deriva f respecto de su variable independientehasta el orden de derivación que aparezca en laecuación diferencial.2) Se reemplaza en la ecuación diferencial y por f(x) yy’, y’’,…,y(n) respectivamente por las derivadas f’(x),f’’(x), …, f(n)(x), obtenidas a partir de la solución.

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Verificación de la solución cuando está dada como función explícita

3) Se opera algebraicamente sobre la ecuación en la

cual se efectuaron los reemplazos, habiendo quedado

únicamente en función de la variable independiente.

De esta manera, debe llegarse a una identidad.

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Verificación de la solución cuando está dada como función implícita

Cuando en la solución no es posible o no esconveniente despejar la variable dependiente, se llevatoda la función a la forma implícita F(x,y) = 0.Se deriva F(x,y) = 0 hasta el orden requerido por laecuación diferencial y se reemplaza en ésta solamentey’ y las demás derivadas que aparezcan. No sereemplaza la variable dependiente y. Se obtiene asíuna expresión algebraica que contiene las variables xe y. Al operar debe llegarse a una identidad.

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Solución General de una Ecuación Diferencial de Primer Orden

La solución de una ecuación diferencial de primerorden es general, cuando se obtiene calculando una“primitiva” de dicha ecuación diferencial, sindeterminar el valor de la constante deintegración.

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Solución General de una Ecuación Diferencial de Primer Orden

Interpretación geométrica.La solución general de una ecuación diferencial seinterpreta geométricamente como una familia decurvas integrales.

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Ejemplo

Para la ecuación diferencial xy’ + y = 0 queremosobtener la familia de curvas integrales asociadas a susolución general.Sea

x

Cy

su solución general.Construimos una tabla de valores para graficarcualquiera de las funciones, por ejemplo la quecorresponde a C = 1

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Ejemplo

x

xy

1

xy

2

xy

1

-2 -1/2 -1 1/2

-1 -1 -2 1

-0,1 -10 -20 10

0,1 10 20 -10

1 1 2 -1

2 ½ 1 -1/2

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Ejemplo

Una solución particular de una ecuación diferenciales una solución en que no aparecen constantes adeterminar.Una forma posible de obtener una solución particulares a partir de la solución general fijando condicionesiniciales que permiten la sustitución de los parámetrospor valores numéricos concretos.

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Ejemplo

Interpretación geométrica.Se interpreta como una curva determinada de lafamilia de curvas integrales obtenidas como solucióngeneral.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Nos dedicaremos a mostrar cada una de las

principales técnicas de resolución de ecuaciones

diferenciales de primer orden.

Recordemos la forma general que adoptan estas

ecuaciones diferenciales ),(' yxfy

0)',,( yyxFó

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Ecuaciones de Variables Separables

Una ecuación diferencial es de variables

separables cuando puede ser llevada a la forma

),(' yxfy

dyyNdxxM )()(

donde M es función solamente de la variable x y N es

de la variable y.

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Ecuaciones de Variables Separables

Para resolver esta ecuación diferencial se integranambos miembros:

dyyNdxxM )()(

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Ecuaciones Diferenciales Exactas

Una ecuación diferencial exacta es una expresión del

tipo: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, donde la forma

diferencial dada es exacta.

Decimos que: P(x,y)dx + Q(x,y)dy es una forma

diferencial exacta si existe una función u(x,y), que

llamaremos potencial, de la cual dicha expresión es su

diferencial, es decir:

du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy

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Ecuaciones Diferenciales Exactas

¿Cómo es posible reconocer que una forma diferenciales exacta?Utilizando el teorema de Schwarz y supuesto elcumplimiento de las condiciones de continuidad, elteorema nos asegura que a partir de un campo escalaru(x,y) sus derivadas parciales segundas cruzadas soniguales, es decir,

y

u

xx

u

y

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Ecuaciones Diferenciales Exactas

En nuestro caso la función u(x,y), es la función

potencial que queremos determinar. Luego, si la forma

diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy es la diferencial de

u(x,y), entonces esta diferencial coincidirá con la

diferencial dada

dyyxQdxyxPdyy

udx

x

udu ),(),(

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Ecuaciones Diferenciales Exactas

Determinamos las derivadas parciales segundas

cruzadas,

y

yxP

x

u

y

),(

x

yxQ

y

u

x

),(

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Ecuaciones Diferenciales Exactas

debiendo entonces cumplirse:

x

Q

y

P

Así pues, dada una forma diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dysi se verifica que

x

Q

y

P

siendo estas derivadas parciales continuas, entoncesdicha forma diferencial es exacta.

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Ecuaciones diferenciales lineales

Un tipo de ecuación diferencial de primer orden que

aparece con frecuencia en las aplicaciones es la

ecuación lineal. Una ecuación lineal de primer orden

es una ecuación que puede expresarse en la forma:

a1(x) y’+ a0(x) y = b(x) (1)

donde a1(x) y a0(x) sólo dependen de la variable

independiente x, no así de y, además son funciones

continuas de x en la región en que se pida integrar la

ecuación.

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Ecuaciones diferenciales lineales

Si b(x) 0, la ecuación se llama lineal no homogénea.

Si b(x) = 0, se dice que la ecuación es lineal

homogénea.

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Ecuaciones diferenciales lineales

Hay dos situaciones por las que la solución de una

ecuación lineal es casi inmediata. La primera surge

cuando a0(x) es idénticamente cero, ya que entonces

la ecuación (1) se reduce a

a1(x) y’ = b(x) (2)

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Ecuaciones diferenciales lineales

Que es equivalente a

cdx

xa

xbxy

1

)()(

La segunda es menos trivial. Si a0(x) fuese igual a la

derivada de a1(x), es decir, a0(x) = a’1(x), entonces,

los dos términos del lado izquierdo de la ecuación (1)

conforman la derivada del producto a1(x).y

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Ecuaciones diferenciales lineales

Por lo tanto la ecuación lineal (1) se convierte en:

yxadx

dyxayxayxayxa )()('')()(')( 11101

)()(1 xbyxadx

d

30

Ecuaciones diferenciales lineales

Y la solución es elemental nuevamente

cdxxbyxa )()(1

cdxxbxa

y )()(

1

1

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Ecuaciones diferenciales lineales

Pocas veces es posible reescribir una ecuación

diferencial lineal tan sencilla como (2).

La forma más sencilla consiste en dividir primero la

ecuación diferencial (1) por a1(x)

y’ + P(x) y= Q(x) (3)

donde P(x) = a0(x)/a1(x) y Q(x) = b(x)/a1(x)

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Ecuaciones diferenciales lineales

Si multiplicamos la ecuación (3) por u(x), obtenemos

u(x)y’ + u(x)P(x) y= u(x)Q(x) (4)

Determinemos u(x) de modo que el lado izquierdo de

la ecuación multiplicada por u(x) sea precisamente la

derivada del producto u(x)y

yxuyxuyxudx

dyxPxuyxu )('')()()()(')(

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Ecuaciones diferenciales lineales

Para esto u debe satisfacer:

u’(x)=u(x)P(x) (5)

La ecuación (5) es una ecuación diferencial a variables

separables, entonces,

dxxP

exu)(

)(

34

Ecuaciones diferenciales lineales

Con esta elección de u(x), la ecuación (4) se convierte

en:

cuya solución es:

cdxxQxuxu

xy )()()(

1)(

)()()( xQxuyxudx

d

Esta función es la solución general de (3)

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Ecuaciones diferenciales lineales. Método de Cálculo

1) Escribir la ecuación en la forma:

y’ + P(x) y= Q(x)

2) Calcular u(x) mediante la fórmula:

dxxP

exu)(

)(

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Ecuaciones diferenciales lineales. Método de Cálculo

3) Multiplicar la ecuación del paso 1 por u(x)

u(x)y’ + u(x)P(x) y = u(x)Q(x)

)()()( xQxuyxudx

d

4) Integrar la última ecuación y pasar u(x) dividiendo

al otro miembro, para obtener la solución.