Villena - Ecuaciones 2do Orden.pdf

Moiss Villena Muoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden

2.1

Objetivos. Se persigue que el estudiante:

Encuentre soluciones generales y/o particulares de Ecuaciones Diferenciales de segundo orden

Determine Estabilidad dinmica cuantitativa y/o cualitativamente.

2.1 Ecuacin Diferenciales de segundo

orden con coeficientes constantes.

2.2 Ecuaciones diferenciales de orden superior

2.3 Anlisis Cualitativo

2

1


2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Una ecuacin diferencial de segundo orden es de la forma:

)()()( xgyxqyxpy =++ Si 0)( =xg se llama Ecuacin homognea caso contrario; es decir, si

0)( xg se llama Ecuacin no homognea. Una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es

de la forma:

)( xgcybyay =++ donde , y a b c IR y 0a

2.1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGNEA

Una ecuacin diferencial de Segundo Orden con coeficientes constantes homognea es de la forma:

0 =++ cybyay La funcin " ", solucin general de la ecuacin diferencial anterior, es de la

forma

yrxkexy =)( (Por qu?). Donde " " es una constante que da la generalidad

de la solucin. k

Entonces el objetivo ahora ser hallar el valor de r .

Bien, de la solucin general tenemos: rx

rx

ekry

krey2=

=

Reemplazando en 0 =++ cybyay tenemos: [ ] 0 02

2

=++=++

cbrarke

ckebkreeakrrx

rxrxrx

Ahora bien, porque si no tuviramos las solucin trivial y como tambin , entonces

0k0rxe 02 =++ cbrar . A esta expresin se la denomina

Ecuacin Auxiliar y es til para hallar r . Observe que la ecuacin auxiliar es una ecuacin cuadrtica cuyas raices se las puede determinar empleando la formula general

2


aacbbrr

24,

2

21=

Aqu se presentan tres casos. Caso I

Discriminante positivo [ ]042 > acb . Entonces y son races reales y diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones fundamentales

1r 2r

xr

xr

ekxy

ekxy2

1

22

11

)(

)(

==

La solucin General estara dada por la combinacin lineal de las soluciones fundamentales

xrxr ekekxy 21 21)( += Caso II

Discriminante cero [ ]042 = acb . Entonces y son races reales e iguales.

1r 2r

En este caso la solucin General sera: rxrx xekekxy 21)( += Caso III

Discriminante negativo [ ]042


Hallando las races tenemos 26

0)2)(6(===+

rrrr

Por tanto:

xx

x

x

ekekxy

ekxy

ekxy

22

61

222

611

)(

)(

)(

+===

Podemos comprobar que efectivamente esta es la funcin que satisface la ecuacin diferencial dada. Obtengamos la primera y la segunda derivada

xx

xx

ekeky

ekeky2

26

1

22

61

436

26

+==

Luego, reemplazando

00

01212824436 226

12

26

12

26

1=

=++ xxxxxx ekekekekekek

Ejemplo 2

Encuentre la solucin general para 032 =+ yyy , 1)0(1)0( == yy SOLUCIN:

En este caso la ecuacin auxiliar sera 0132 2 =+ rrHallando las races tenemos

211

413

4)1)(2(493

21 ==

=

=

rr

r

r

Por tanto, la solucin general sera: xx ekekxy 21

21)( += Como las condiciones iniciales estn dadas debemos encontrar las constantes y 1k 2k

Como 1)0( =y entonces 21

02

01

21

1)0(

)(21

21

kkekeky

ekekxy xx

+=+=+=

Obteniendo la primera derivada:

xx ekekxy 21

21 21)( +=

4


Como 1)0( =y entonces

21

02

01

21

211

21)0(

21)(

21

21

kk

ekeky

ekekxy xx

+=

+=

+=

Resolviendo simultneamente

+=+=

21

21

211

1

kk

kk tenemos: 02 =k y 11 =k

Por tanto, la solucin particular es: xexy =)(

Ejemplo 3

Encuentre la solucin general para 044 =++ yyy SOLUCIN:

En este caso la ecuacin auxiliar sera 0442 =++ rr

Hallando las races tenemos 22

0)2)(2(

21 ===++rr

rr

Por tanto, la solucin general sera:xx xekekxy 22

21)(

+=

Ejemplo 4

Encuentre la solucin general para 0136 =++ yyy ; 1)0(;1)0( == yySOLUCIN: En este caso la ecuacin auxiliar sera

Hallando las races tenemos:

irir

irr

rr

irr

rr

23232

46,

21166,

12

166,

2)13)(1(4366

,

21

21

21

21

21

=+=

=

=

==

=

En este caso 3= y 2= , por tanto la solucin general sera: [ ])2cos()2sen()( 213 xkxkexy x += Como 1)0( =y entonces

[ ][ ]

21)1(2)0(1)1(1

))0(2cos(2))0(2sen(1)0(3)0(

kkk

kkey

=+=

+=

5


Como 1)0( =y entonces[ ] [[ ] [

23121)0cos(2)0sen(1

)0(33)0sen(22)0cos(12)0(3)0(

)2cos(2)2sen(133)2sen(22)2cos(12

3)(

kkkkekkey

xkxkxexkxkxexy

=+=+= ]

]

Resolviendo simultneamente

21

1)1(23

21

1223

21

==+

=+

k

k

kk

Por tanto, la solucin general sera [ ])2cos()2sen(2)( 3 xxexy x +=

Ejercicios propuestos 2.1 Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden

1. 04 =+ yy ; 1)0(,1)0( == yy 2. 02 =+ yyy 3. 09 =+ yy 4. 044 =++ yyy ; 1)0(,1)0( == yy 5. 0= yy 6. 0= yy ; 1)0(,1)0( == yy

7. 0=+ yy ; 1)0(,1)0( == yy 8. 0=+ yy 9. 02

21 =+ yy

10. 096 =+ yyy

2.1.1.1 ANLISIS DE ESTABILIDAD DINMICA En el captulo anterior se mencion que la estabilidad dinmica de una

trayectoria se la determina con )(ty )(lm tyt .

Podemos ir analizando por casos.

Caso I, trtr ekekty 2121

)( += Si las races son reales y diferentes, estas tienen que ser negativas para que la trayectoria sea dinmicamente estable.

Caso II, rtrt tekekty21

)( += . Si las races son reales e iguales entonces r tiene que ser negativa ( ) para que la trayectoria sea dinmicamente estable 0


2.1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTE CONSTANTE NO HOMOGNEAS

Una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientse constante y trmino variable es de la forma: )(xg

)(xgcyybya =++ La Solucin General es una combinacin lineal de dos tipos de soluciones,

una solucin complementaria y una solucin particular . Cy Py

321321PARTSOL

p

COMPLSOL

c xyxyxy )()()( +=

La Solucin complementaria satisface la ecuacin homognea Cy

0=++ ccc cybyay Por tanto, para determinarla se debe resolver de acuerdo a lo mencionado anteriormente.

La Solucin particular satisface la ecuacin no homognea Py

)(xgcybyay ppp =++ Esta solucin, si es de forma polinmica o exponencial o trigonomtrica de senos y cosenos, se la puede determinar empleando el llamado Mtodo de los coeficientes indeterminados.

En estos casos, de acuerdo a la forma de , la solucin particular es deducible. Observe el siguiente cuadro.

)(xg )(xy p

Si 0111)( axaxaxaxg nnnn ++++= K entonces [ ]0111)( AxAxAxAxxy nnnnsp ++++= K Si xaexg =)( entonces [ ]xsp Aexxy =)( Si xaxaxg += cossen)( 21 entonces [ ]xBxAxxy sp += cossen)(

Note que la solucin particular aparece multiplicada por sx , esto es para el caso de que existan soluciones particulares que no sean linealmente independientes de las soluciones complementarias. Es decir, a necesidad se puede utilizar 2,1,0=s

7


Ejemplo 1

Sea Hallar la solucin General xxyyy 39'4" 2 +=++SOLUCIN:

La solucin general es de la forma Pc yyty +=)( Primero hallemos . cy

La solucin complementaria satisface la ecuacin homognea . 09'4" =++ ccc yyyLa ecuacin auxiliar es . Hallando las races tenemos 0942 =++ rr

( )

irir

irir

irr

rr

rr

rr

rr

5222524

2

5212524

1

2524

2,1

214.54

2,1

21204

2,1

2204

2,1

2)9(4164

2,1

==

+=+=

=

=

=

=

=

Por tanto [ ])5cos()5sen()( 212 xkxkexy xc +=

Segundo, hallemos Py

Como xxxg 3)( 2 += (polinomio de grado 2) entonces la solucin particular es de la forma CBxAxxy p ++= 2)( (polinomio generalizado de grado 2). Luego debemos

determinar los coeficientes A , y C . BLa solucin particular debe satisfacer la ecuacin no homognea; es decir,

xxyyy ppp 39'4"2 +=++

Hallemos la primera y la segunda derivada para CBxAxxy p ++= 2)(

Ay

bAxy

p

p

2"

2'

=+=

Reemplazando y agrupando

03)942()98(9

3948222

22

++=++++++=+++++

xxcbAxbAAx

xxcbxAxbAxA

Si dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales

8


Entonces

=++=+

=

0942398

19

CBABA

A

Resolviendo el sistema simultneo tenemos:

91=A ,

8119=B y

72994=c

Por, tanto 72994

8119

91)( 2 += xxxy p

Finalmente la solucin general sera:

[ ]72994

8119

91)5cos()5sen()( 221

2 +++= xxxkxkexy x

Ejemplo 2 Sea Hallar la solucin General xyy 3sen64" =+SOLUCIN:

Primero hallemos . cy

La solucin complementaria satisface la ecuacin homognea . 04" =+ cc yyLa ecuacin auxiliar es . Hallando las races tenemos: 042 =+r

irir

r

r

r

2020

14

4

4

2

1

2

=+=

===

Por tanto

[ ])2cos()2sen()(

)2cos()2sen()(

21

210

xkxkxyxkxkexy

c

c+=

+=


Como xxg 3sen6)( = entonces la solucin particular es de la forma xBxAxy p 3cos3sen)( += . Luego debemos determinar los coeficientes A y . B

La solucin particular debe satisfacer la ecuacin no homognea; es decir xyy PP 3sen64" =+

Hallemos la primera y la segunda derivada

xBxAy

xBxAy

p

p

3cos93sen9"

3sen33cos3'

==


9


Igualando coeficientes, tenemos:

( ) ( ) xxxBxAxxxBxAxBxA

xyy pp

3cos03sen63cos53sen53cos03sen6)3cos3sen(4)3cos93sen9(

3sen64"

+=++=++

=+

==

0565

BA


56=A y 0=B

Por, tanto xxxy p 3cos03sen56)( +=


xxkxkxy 3sen562cos2sen)( 21 +=

Ejemplo 3

Hallar la solucin para . 2)0(',0)0(;34" 2 ==+=+ yyexyy xSOLUCIN:

Primero hallemos . cy

La solucin complementaria satisface la ecuacin homognea . 04" =+ cc yyLa ecuacin auxiliar es . Hallando las races tenemos: 042 =+r

irir

r

r

r

2020

14

4

4

2

1

2

=+=

===

Por tanto

[ ])2cos()2sen()(

)2cos()2sen()(

21

210

xkxkxyxkxkexy

c

c+=

+=


Como xexxg 3)( 2 += (combinacin lineal de polinomio con exponencial) entonces la solucin particular es de la forma xp DeCBxAxxy +++= 2)( . Luego debemos determinar los coeficientes A , , C y B D .

La solucin particular debe satisfacer la ecuacin no homognea; es decir xpp exyy 34" 2 +=+

10


Hallemos la primera y la segunda derivada

x

p

xp

DeAy

DeBAxy

+=++=

2"

2'


xx

xxx

exxDeCABxAx

exDeCBxAxDeA

3005)42(44

34444222

22

+++=+++++=+++++

Igualando coeficientes, tenemos:

==+

==

35042

0414

DCA

BA


53

81

041

=

===

D

C

B

A

Por, tanto xp exxy 53

81

41)( 2 +=


xexxkxkxy53

81

412cos2sen)( 221 +++=

Con tenemos 0)0( =y4019

2 =k

Con tenemos 2)0(' =y107

1 =k

Finalmente xexxxxy53

81

412cos

40192sen

107)( 2 ++=

Note que no es dinmicamente estable. Por qu?

Ejercicios propuestos 2.2 Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden

1. 18322 23 ++= xxxyyy2. xexyyy +=+ 2963. xxyyy 2sen32cos2 =++ 4. xyy 2=+5. xx eexyyy +=+ 82

11


6. xeyyy x 2sen54 =++ 7. 1sen13352 3 += xexyyy8. ( ) ( )

510

2070;2sencos2 === yyxxyyy

9. ( ) ( ) 3010;112 2 ==+=+ yyeeyyy xx10. ( ) ( ) 1010;sen 2 === yyexyy x11. ( ) ( ) 3030;4107 2 ==+=+ yyexyyy x

2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, si son lineales de

coeficientes constantes, podemos pensar en procedimientos anlogos.

Ejemplo

Hallar la solucin para 248'16"146 =++++ yyyyy IVSOLUCIN:

Primero, encontramos la solucin complementaria que satisface la ecuacin homognea

.

cy08'16"146 =++++ ccccIVc yyyyy

La ecuacin auxiliar sera . 0816146 234 =++++ rrrrEncontramos las races por divisin sinttica

irir

rr

rr

rr

r

rrr

r

=+=

=

==++

=

=+++

=

112

42,

2)2(442

,

022

202214420

246410464

204641812820

28161461

43

43

43

2

2

23

1

Por tanto

[ ]xkkexekekxy xxxc cossen)( 432221 +++= Segundo, la solucin particular es de la forma py Ayp = porque 24)( =xg .

12


Entonces

0

0

0"

0'

====

IVp

p

p

p

y

y

y

y

Reemplazando y calculando 3

248)0(16)0(14)0(60

248'16"146

==++++=++++

AA

yyyyy pppppIV

Por tanto [ ] 3cossen)( 432221 ++++= xkxkexekekxy xxx Observe que es dinmicamente estable, es decir que converge al nivel de equilibrio)(ty 3=y

Ejercicios propuestos 2.3 Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales

1. 09`15``7``` =+++ yyyy 2. 42```2``` =+ yyyy 3. 88`10``6``` =+++ yyyy

2.3 ANLISIS CUALITATIVO

Para ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficentes constantes, podemos utilizar el siguiente anlisis si se trata de determinar la estabilidad

2.3.1 Teorema de Routh

Sea la ecuacin polinmica de grado n 013322110 =++++++ nnnnnn ararararara KLa parte real de todas las races son negativas si y slo s los " " primeros determinantes de la siguiente nsucesin:

1a ; 20

31

aaaa ;

31

420

531

0 aaaaaaaa

;

420

531

6420

7531

00

aaaaaaaaaaaaaa

;...

Son todos positivos Nota: Si 0=ma nm >

13


Ya usted ha tenido la oportunidad de observar que para que una trayectoria , solucin de una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes y

trmino constante, sea dinmicamente estable se requiere que las races de la ecuacin auxiliar o la parte real (en el caso de las races complejas) sean todas negativas. Entonces para determinar lo anterior basta con emplear el Teorema de Routh.

)(ty

Ejemplo 1

Determine cualitativamente la estabilidad dinmica para

08'16"146 =++++ yyyyy IVSOLUCIN:

Empleando el Teorema de Routh. La ecuacin auxiliar es 0816146 234 =++++ rrrr

En este caso y adems 4=n

8161461

4

3

2

1

0

=====

aaaaa

Los cuatros determinantes seran:

61 =a ; 681684141166

20

31 ===aaaa

;

800166081410166

0 31420

531==

aaaaaaaa

6400

81410016600814100166

=

Como todos los determinantes son positivos entonces todas las races son negativas; por tanto la solucin es dinmicamente estable

Ejemplo 2

Determine cualitativamente la estabilidad dinmica para 318'27"10 =+ yyyy SOLUCIN:

Empleando el Teorema de Routh. La ecuacin auxiliar es 0182710 23 =+ rrr

En este caso y adems 3=n18

2710

1

3

2

1

0

===

=

aaaa

Los cuatros determinantes seran:

101 =a ; 2522711810

20

31 ==aaaa

;

14


518418100027101810

0 31420

531=

=

aaaaaaaa

Como los determinantes no todos son positivos entonces no todas las races son negativas; por tanto la solucin es NO dinmicamente estable.

Ejercicios propuestos 2.4 Determine si las soluciones de las ecuaciones diferenciales son trayectorias temporales convergentes o no. Emplee el teorema de Routh

1. 318`27``10``` =+ yyyy 2. 524`34``11``` =+++ yyyy 3. 22`5``4``` =++ yyyy

Miscelneos

1. Hallar la serie de Taylor alrededor de la 00 =x de la funcin xxxf cos)( = 2. Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales e indique si la solucin

complementaria converge o no. a) ( ) xexyyy x 10144 2 ++=++ b) xxyyyy sen32433 ++=+ c) tetyyy 2" +=++d) 1)0(,1)0(;1296" 3 ==++=++ yyxeyyy x

3. Un estudio de explotacin de un recurso natural, utiliza la ecuacin diferencial:

311

2 22

2=+

xa

dtdxa

dtdx

a) Probar que y atetx =)(1 = 12 )(at

etx donde 1,0 a son soluciones de la ecuacin homognea.

b) Si y 5=a 9= encuentre la solucin general e indique si la solucin converge a largo plazo.

15

Villena - Ecuaciones 2do Orden.pdf

Documents

Transcript of Villena - Ecuaciones 2do Orden.pdf