Introducción

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Curso

May 13, 2020

Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Introducción

Contenido

1 IntroducciónConceptos básicos del las ecuaciones diferenciales

2 Ecuaciones de variables separables.

Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Introducción

Noción de una ecuación diferencial

Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0

Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,

etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o

derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)

Ejemplos:1

y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x

2

y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e

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Noción de una ecuación diferencial

Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0

Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,

etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o

derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)

Ejemplos:1

y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x

2

y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e

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Noción de una ecuación diferencial

Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0

Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,

etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o

derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)

Ejemplos:1

y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x

2

y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e

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Noción de una ecuación diferencial

Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0

Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,

etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o

derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)

Ejemplos:1

y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x

2

y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e

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Noción de una ecuación diferencial

Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0

Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,

etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o

derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)

Ejemplos:1

y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x

2

y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e

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Noción de una ecuación diferencial

1

y ′ = 1 + ex , y(0) = 1

2

u′ −√

t − 3u = 0

3

(y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0

4

∂2z∂x2−∂2z∂x∂y

= sin z

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Noción de una ecuación diferencial

1

y ′ = 1 + ex , y(0) = 1

2

u′ −√

t − 3u = 0

3

(y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0

4

∂2z∂x2−∂2z∂x∂y

= sin z

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Noción de una ecuación diferencial

1

y ′ = 1 + ex , y(0) = 1

2

u′ −√

t − 3u = 0

3

(y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0

4

∂2z∂x2−∂2z∂x∂y

= sin z

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Noción de una ecuación diferencial

1

y ′ = 1 + ex , y(0) = 1

2

u′ −√

t − 3u = 0

3

(y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0

4

∂2z∂x2−∂2z∂x∂y

= sin z

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Orden de una ecuación diferencial

El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación

En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −

√t − 3u = 0, orden 1,

5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y

6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −

∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.

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Orden de una ecuación diferencial

El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación

En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −

√t − 3u = 0, orden 1,

5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y

6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −

∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.

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Orden de una ecuación diferencial

El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación

En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −

√t − 3u = 0, orden 1,

5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y

6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −

∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.

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Orden de una ecuación diferencial

El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación

En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −

√t − 3u = 0, orden 1,

5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y

6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −

∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.

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Orden de una ecuación diferencial

El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación

En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −

√t − 3u = 0, orden 1,

5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y

6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −

∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.

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Orden de una ecuación diferencial

El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación

En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −

√t − 3u = 0, orden 1,

5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y

6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −

∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.

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Orden de una ecuación diferencial

El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación

En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −

√t − 3u = 0, orden 1,

5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y

6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −

∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.

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Orden de una ecuación diferencial

El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación

En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −

√t − 3u = 0, orden 1,

5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y

6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −

∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.

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Orden de una ecuación diferencial

El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación

En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −

√t − 3u = 0, orden 1,

5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y

6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −

∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.

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Solución de una ecuación diferencial

Solución de una ecuación diferencial

Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.

Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación

(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces

(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2

− (2x)2 = 4 − 4x2

2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t

En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t

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Solución de una ecuación diferencial

Solución de una ecuación diferencial

Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.

Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación

(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces

(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2

− (2x)2 = 4 − 4x2

2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t

En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t

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Solución de una ecuación diferencial

Solución de una ecuación diferencial

Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.

Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación

(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces

(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2

− (2x)2 = 4 − 4x2

2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t

En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t

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Solución de una ecuación diferencial

Solución de una ecuación diferencial

Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.

Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación

(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces

(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2

− (2x)2 = 4 − 4x2

2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t

En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t

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Solución de una ecuación diferencial

Solución de una ecuación diferencial

Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.

Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación

(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces

(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2

− (2x)2 = 4 − 4x2

2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t

En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t

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Solución de una ecuación diferencial

Solución de una ecuación diferencial

Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.

Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación

(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces

(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2

− (2x)2 = 4 − 4x2

2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t

En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t

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Introducción

Grado de una ecuación diferencial

Grado de una ecuación diferencial

Si una una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en su m’asalta derivada, se llama grado de la ecuaci|’on el exponente más alto de la másalta derivada.

Ejemplos:1 (y ′′′)2

− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0 es orden 3 y grado 2.2 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex es de orden 2 y grado 1.3 (y ′′)3 + (y ′)2 = 4x2

− 4 es orden 2 y grado 3.

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Grado de una ecuación diferencial

Grado de una ecuación diferencial

Si una una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en su m’asalta derivada, se llama grado de la ecuaci|’on el exponente más alto de la másalta derivada.

Ejemplos:1 (y ′′′)2

− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0 es orden 3 y grado 2.2 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex es de orden 2 y grado 1.3 (y ′′)3 + (y ′)2 = 4x2

− 4 es orden 2 y grado 3.

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Grado de una ecuación diferencial

Grado de una ecuación diferencial

Si una una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en su m’asalta derivada, se llama grado de la ecuaci|’on el exponente más alto de la másalta derivada.

Ejemplos:1 (y ′′′)2

− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0 es orden 3 y grado 2.2 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex es de orden 2 y grado 1.3 (y ′′)3 + (y ′)2 = 4x2

− 4 es orden 2 y grado 3.

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Grado de una ecuación diferencial

Grado de una ecuación diferencial

Si una una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en su m’asalta derivada, se llama grado de la ecuaci|’on el exponente más alto de la másalta derivada.

Ejemplos:1 (y ′′′)2

− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0 es orden 3 y grado 2.2 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex es de orden 2 y grado 1.3 (y ′′)3 + (y ′)2 = 4x2

− 4 es orden 2 y grado 3.

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Introducción

Curva integral de una ecuación diferencial

La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama una curvaintegral de la ecuación diferencial

Hemos visto que la función

u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación u′ + u = e−t . Puede verificarse que también lo esla función

u1(t) = (t + 1)e−t

y que para cualquier constante C la a función

uC(t) = (t + C)e−t

también es solución de a ecuación diferencial dada.

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Curva integral de una ecuación diferencial

La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama una curvaintegral de la ecuación diferencial

Hemos visto que la función

u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación u′ + u = e−t . Puede verificarse que también lo esla función

u1(t) = (t + 1)e−t

y que para cualquier constante C la a función

uC(t) = (t + C)e−t

también es solución de a ecuación diferencial dada.

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Curva integral de una ecuación diferencial

La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama una curvaintegral de la ecuación diferencial

Hemos visto que la función

u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación u′ + u = e−t . Puede verificarse que también lo esla función

u1(t) = (t + 1)e−t

y que para cualquier constante C la a función

uC(t) = (t + C)e−t

también es solución de a ecuación diferencial dada.

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Curva integral de una ecuación diferencial

La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama una curvaintegral de la ecuación diferencial

Hemos visto que la función

u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación u′ + u = e−t . Puede verificarse que también lo esla función

u1(t) = (t + 1)e−t

y que para cualquier constante C la a función

uC(t) = (t + C)e−t

también es solución de a ecuación diferencial dada.

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Introducción

Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales

Se dice que la ecuación

u′ + u = e−t

u(0) = 1

es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales

Más ejemplos:

u′(t) = u√

t − 3

u(1) = 2 (1)

y ′′ + y = 0

y(1) = 3

y ′(1) = −4 (2)

y ′(t) = 2√

y

y(0) = 0 (3)

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Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales

Se dice que la ecuación

u′ + u = e−t

u(0) = 1

es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales

Más ejemplos:

u′(t) = u√

t − 3

u(1) = 2 (1)

y ′′ + y = 0

y(1) = 3

y ′(1) = −4 (2)

y ′(t) = 2√

y

y(0) = 0 (3)

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Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales

Se dice que la ecuación

u′ + u = e−t

u(0) = 1

es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales

Más ejemplos:

u′(t) = u√

t − 3

u(1) = 2 (1)

y ′′ + y = 0

y(1) = 3

y ′(1) = −4 (2)

y ′(t) = 2√

y

y(0) = 0 (3)

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Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales

Se dice que la ecuación

u′ + u = e−t

u(0) = 1

es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales

Más ejemplos:

u′(t) = u√

t − 3

u(1) = 2 (1)

y ′′ + y = 0

y(1) = 3

y ′(1) = −4 (2)

y ′(t) = 2√

y

y(0) = 0 (3)

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Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales

Se dice que la ecuación

u′ + u = e−t

u(0) = 1

es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales

Más ejemplos:

u′(t) = u√

t − 3

u(1) = 2 (1)

y ′′ + y = 0

y(1) = 3

y ′(1) = −4 (2)

y ′(t) = 2√

y

y(0) = 0 (3)

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Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera

Si en una ecuación diferencial todas las condiciones están relacionadas conun sólo valor de la variable independiente, se trata de un Problema deValores Iniciales.

y ′′ + y = 0

y(1) = 3

y ′(1) = −4

Si en una ecuación diferencial las condiciones están relacionadas con dos omás valores de la variable independiente, se trata de un Problema deValores a la Frontera.

y ′′ + y = 0

y(0) = 1

y ′(1) = 5

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Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera

Si en una ecuación diferencial todas las condiciones están relacionadas conun sólo valor de la variable independiente, se trata de un Problema deValores Iniciales.

y ′′ + y = 0

y(1) = 3

y ′(1) = −4

Si en una ecuación diferencial las condiciones están relacionadas con dos omás valores de la variable independiente, se trata de un Problema deValores a la Frontera.

y ′′ + y = 0

y(0) = 1

y ′(1) = 5

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Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera

Si en una ecuación diferencial todas las condiciones están relacionadas conun sólo valor de la variable independiente, se trata de un Problema deValores Iniciales.

y ′′ + y = 0

y(1) = 3

y ′(1) = −4

Si en una ecuación diferencial las condiciones están relacionadas con dos omás valores de la variable independiente, se trata de un Problema deValores a la Frontera.

y ′′ + y = 0

y(0) = 1

y ′(1) = 5

Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Introducción

Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera

Si en una ecuación diferencial todas las condiciones están relacionadas conun sólo valor de la variable independiente, se trata de un Problema deValores Iniciales.

y ′′ + y = 0

y(1) = 3

y ′(1) = −4

Si en una ecuación diferencial las condiciones están relacionadas con dos omás valores de la variable independiente, se trata de un Problema deValores a la Frontera.

y ′′ + y = 0

y(0) = 1

y ′(1) = 5

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Introducción

Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial

Soluciones explícitas

La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación diferencial

y ′′ + y = 0,

la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”

Soluciones implícitas

La relaciónx2 + y2 = 25

define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial

y ′y + x = 0,

a saber, define las soluciones: y1(x) =√

25 − x2 y y1(x) =√

25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.

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Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial

Soluciones explícitas

La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación diferencial

y ′′ + y = 0,

la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”

Soluciones implícitas

La relaciónx2 + y2 = 25

define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial

y ′y + x = 0,

a saber, define las soluciones: y1(x) =√

25 − x2 y y1(x) =√

25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.

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Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial

Soluciones explícitas

La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación diferencial

y ′′ + y = 0,

la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”

Soluciones implícitas

La relaciónx2 + y2 = 25

define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial

y ′y + x = 0,

a saber, define las soluciones: y1(x) =√

25 − x2 y y1(x) =√

25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.

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Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial

Soluciones explícitas

La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación diferencial

y ′′ + y = 0,

la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”

Soluciones implícitas

La relaciónx2 + y2 = 25

define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial

y ′y + x = 0,

a saber, define las soluciones: y1(x) =√

25 − x2 y y1(x) =√

25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.

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Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial

Soluciones explícitas

La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación diferencial

y ′′ + y = 0,

la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”

Soluciones implícitas

La relaciónx2 + y2 = 25

define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial

y ′y + x = 0,

a saber, define las soluciones: y1(x) =√

25 − x2 y y1(x) =√

25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.

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Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial

Soluciones explícitas

La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)

es una solución de la ecuación diferencial

y ′′ + y = 0,

la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”

Soluciones implícitas

La relaciónx2 + y2 = 25

define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial

y ′y + x = 0,

a saber, define las soluciones: y1(x) =√

25 − x2 y y1(x) =√

25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.

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Ejemplos

Solución explícita

La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)

es una Solución Explícita de la ecuación

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0

En efecto:

y ′ = cos x + 1

y ′′ = −sen x

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x

= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0

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Ejemplos

Solución explícita

La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)

es una Solución Explícita de la ecuación

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0

En efecto:

y ′ = cos x + 1

y ′′ = −sen x

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x

= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0

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Ejemplos

Solución explícita

La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)

es una Solución Explícita de la ecuación

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0

En efecto:

y ′ = cos x + 1

y ′′ = −sen x

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x

= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0

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Ejemplos

Solución explícita

La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)

es una Solución Explícita de la ecuación

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0

En efecto:

y ′ = cos x + 1

y ′′ = −sen x

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x

= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0

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Ejemplos

Solución explícita

La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)

es una Solución Explícita de la ecuación

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0

En efecto:

y ′ = cos x + 1

y ′′ = −sen x

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x

= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0

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Ejemplos

Solución explícita

La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)

es una Solución Explícita de la ecuación

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0

En efecto:

y ′ = cos x + 1

y ′′ = −sen x

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x

= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0

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Ejemplos

Solución explícita

La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)

es una Solución Explícita de la ecuación

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0

En efecto:

y ′ = cos x + 1

y ′′ = −sen x

(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x

= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0

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Ejemplos

Solución implícita

La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)

es la Solución Implícita de la ecuación diferencial

3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)

Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:

3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)

Derivemos ahora implícitamente la relación (4):

sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0

(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0

(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0

verificando que se satisface (??)

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Ejemplos

Solución implícita

La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)

es la Solución Implícita de la ecuación diferencial

3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)

Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:

3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)

Derivemos ahora implícitamente la relación (4):

sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0

(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0

(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0

verificando que se satisface (??)

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Solución implícita

La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)

es la Solución Implícita de la ecuación diferencial

3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)

Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:

3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)

Derivemos ahora implícitamente la relación (4):

sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0

(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0

(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0

verificando que se satisface (??)

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Ejemplos

Solución implícita

La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)

es la Solución Implícita de la ecuación diferencial

3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)

Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:

3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)

Derivemos ahora implícitamente la relación (4):

sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0

(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0

(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0

verificando que se satisface (??)

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Solución implícita

La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)

es la Solución Implícita de la ecuación diferencial

3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)

Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:

3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)

Derivemos ahora implícitamente la relación (4):

sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0

(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0

(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0

verificando que se satisface (??)

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Ejemplos

Solución implícita

La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)

es la Solución Implícita de la ecuación diferencial

3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)

Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:

3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)

Derivemos ahora implícitamente la relación (4):

sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0

(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0

(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0

verificando que se satisface (??)

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Ejemplos

Solución implícita

La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)

es la Solución Implícita de la ecuación diferencial

3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)

Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:

3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)

Derivemos ahora implícitamente la relación (4):

sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0

(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0

(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0

verificando que se satisface (??)

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Ejemplos

Solución implícita

La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)

es la Solución Implícita de la ecuación diferencial

3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)

Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:

3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)

Derivemos ahora implícitamente la relación (4):

sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0

(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0

(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0

verificando que se satisface (??)

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Introducción

Ecuación diferencial lineal de orden n

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma

an(x)dnydxn

+ an−1(x)dn−1ydxn−1

+ · · ·+ a2(x)d2ydx2

+ a1(x)dydx

+ a0(x)y = b(x) (7)

en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .

Observamos las siguientes características:

La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.

ai(x) depende sólo de x .

No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .

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Ecuación diferencial lineal de orden n

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma

an(x)dnydxn

+ an−1(x)dn−1ydxn−1

+ · · ·+ a2(x)d2ydx2

+ a1(x)dydx

+ a0(x)y = b(x) (7)

en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .

Observamos las siguientes características:

La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.

ai(x) depende sólo de x .

No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .

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Ecuación diferencial lineal de orden n

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma

an(x)dnydxn

+ an−1(x)dn−1ydxn−1

+ · · ·+ a2(x)d2ydx2

+ a1(x)dydx

+ a0(x)y = b(x) (7)

en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .

Observamos las siguientes características:

La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.

ai(x) depende sólo de x .

No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .

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Ecuación diferencial lineal de orden n

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma

an(x)dnydxn

+ an−1(x)dn−1ydxn−1

+ · · ·+ a2(x)d2ydx2

+ a1(x)dydx

+ a0(x)y = b(x) (7)

en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .

Observamos las siguientes características:

La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.

ai(x) depende sólo de x .

No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .

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Ecuación diferencial lineal de orden n

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma

an(x)dnydxn

+ an−1(x)dn−1ydxn−1

+ · · ·+ a2(x)d2ydx2

+ a1(x)dydx

+ a0(x)y = b(x) (7)

en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .

Observamos las siguientes características:

La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.

ai(x) depende sólo de x .

No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .

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Ecuación diferencial lineal de orden n

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma

an(x)dnydxn

+ an−1(x)dn−1ydxn−1

+ · · ·+ a2(x)d2ydx2

+ a1(x)dydx

+ a0(x)y = b(x) (7)

en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .

Observamos las siguientes características:

La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.

ai(x) depende sólo de x .

No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .

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Ejemplos

Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Ejemplos

Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Ejemplos

Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Ejemplos

Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Ejemplos

Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Ejemplos

Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Ejemplos

Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Ejemplos

Ejemplos de ecuación diferenciales lineales

y ′′ − y = 2

xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x

y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1

Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales

y ′′ − cos y = x

y ′ − y2 = x3

y ′′y ′ − y = x

(y ′)2 + y = 1

xy ′′ + ln y = tan x

xy ′ + y = x4y3

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Introducción

Separación de variables

Decaimiento radioactivo

Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:

El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.

El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.

dAdt

= −kA (8)

en donde

A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .

K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.

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Separación de variables

Decaimiento radioactivo

Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:

El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.

El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.

dAdt

= −kA (8)

en donde

A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .

K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.

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Separación de variables

Decaimiento radioactivo

Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:

El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.

El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.

dAdt

= −kA (8)

en donde

A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .

K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.

Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Introducción

Separación de variables

Decaimiento radioactivo

Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:

El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.

El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.

dAdt

= −kA (8)

en donde

A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .

K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.

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Decaimiento radioactivo

Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:

El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.

El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.

dAdt

= −kA (8)

en donde

A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .

K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.

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Decaimiento radioactivo

Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:

El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.

El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.

dAdt

= −kA (8)

en donde

A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .

K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.

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Decaimiento radioactivo

Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:

El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.

El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.

dAdt

= −kA (8)

en donde

A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .

K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.

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Introducción

Método de separación de variables

Problema

Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.

Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):

1A

dA = −Kdt∫1A

dA =

∫−Kdt

ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2

ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1

A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC

Solución general

A(t) = eCe−Kt

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Método de separación de variables

Problema

Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.

Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):

1A

dA = −Kdt∫1A

dA =

∫−Kdt

ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2

ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1

A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC

Solución general

A(t) = eCe−Kt

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Método de separación de variables

Problema

Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.

Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):

1A

dA = −Kdt∫1A

dA =

∫−Kdt

ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2

ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1

A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC

Solución general

A(t) = eCe−Kt

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Problema

Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.

Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):

1A

dA = −Kdt∫1A

dA =

∫−Kdt

ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2

ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1

A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC

Solución general

A(t) = eCe−Kt

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Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.

Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):

1A

dA = −Kdt∫1A

dA =

∫−Kdt

ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2

ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1

A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC

Solución general

A(t) = eCe−Kt

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Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.

Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):

1A

dA = −Kdt∫1A

dA =

∫−Kdt

ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2

ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1

A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC

Solución general

A(t) = eCe−Kt

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Método de separación de variables

Problema

Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.

Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):

1A

dA = −Kdt∫1A

dA =

∫−Kdt

ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2

ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1

A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC

Solución general

A(t) = eCe−Kt

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Problema

Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.

Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):

1A

dA = −Kdt∫1A

dA =

∫−Kdt

ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2

ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1

A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC

Solución general

A(t) = eCe−Kt

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Método de separación de variables

A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:

A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(910

) = −16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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Método de separación de variables

A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:

A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

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A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:

A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:

A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:

A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:

A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:

A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

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9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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Método de separación de variables

A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:

A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

9 t

A(15) = 20e−156 ln 10

9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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Método de separación de variables

A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:

A(0) = 20, Condición inicial

A(0) = e0eC = eC

eC = 20

A(6) = 18, Condición adicional

A(6) = e−6K eC = e−6K 20

18 = 20e−6K

1820

= e−6K

ln(1820

) = −6K

− K =16

ln(9

10) = −

16

ln(109)

A(t) = 20e−16 ln 10

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9 = 20(9

10)

52 ≈ 15.37g

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Introducción

Método general de separación de variables.

Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal

y ′(x) = f (x , y) (9)

Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :

f (x , y) = f1(x)f2(y),

entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx

= f1(x)f2(y) (10)

de donde, si f2(y) , 0,dy

f2(y)= f1(x)dx (11)

es decir,

f1(x)dx −1

f2(y)dy = 0 (12)

o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)

la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +

∫N(y)dy = C (14)

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Método general de separación de variables.

Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal

y ′(x) = f (x , y) (9)

Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :

f (x , y) = f1(x)f2(y),

entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx

= f1(x)f2(y) (10)

de donde, si f2(y) , 0,dy

f2(y)= f1(x)dx (11)

es decir,

f1(x)dx −1

f2(y)dy = 0 (12)

o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)

la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +

∫N(y)dy = C (14)

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Método general de separación de variables.

Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal

y ′(x) = f (x , y) (9)

Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :

f (x , y) = f1(x)f2(y),

entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx

= f1(x)f2(y) (10)

de donde, si f2(y) , 0,dy

f2(y)= f1(x)dx (11)

es decir,

f1(x)dx −1

f2(y)dy = 0 (12)

o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)

la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +

∫N(y)dy = C (14)

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Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal

y ′(x) = f (x , y) (9)

Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :

f (x , y) = f1(x)f2(y),

entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx

= f1(x)f2(y) (10)

de donde, si f2(y) , 0,dy

f2(y)= f1(x)dx (11)

es decir,

f1(x)dx −1

f2(y)dy = 0 (12)

o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)

la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +

∫N(y)dy = C (14)

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Método general de separación de variables.

Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal

y ′(x) = f (x , y) (9)

Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :

f (x , y) = f1(x)f2(y),

entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx

= f1(x)f2(y) (10)

de donde, si f2(y) , 0,dy

f2(y)= f1(x)dx (11)

es decir,

f1(x)dx −1

f2(y)dy = 0 (12)

o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)

la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +

∫N(y)dy = C (14)

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Método general de separación de variables.

Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal

y ′(x) = f (x , y) (9)

Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :

f (x , y) = f1(x)f2(y),

entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx

= f1(x)f2(y) (10)

de donde, si f2(y) , 0,dy

f2(y)= f1(x)dx (11)

es decir,

f1(x)dx −1

f2(y)dy = 0 (12)

o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)

la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +

∫N(y)dy = C (14)

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Método general de separación de variables.

Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal

y ′(x) = f (x , y) (9)

Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :

f (x , y) = f1(x)f2(y),

entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx

= f1(x)f2(y) (10)

de donde, si f2(y) , 0,dy

f2(y)= f1(x)dx (11)

es decir,

f1(x)dx −1

f2(y)dy = 0 (12)

o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)

la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +

∫N(y)dy = C (14)

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Método general de separación de variables.

Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal

y ′(x) = f (x , y) (9)

Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :

f (x , y) = f1(x)f2(y),

entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx

= f1(x)f2(y) (10)

de donde, si f2(y) , 0,dy

f2(y)= f1(x)dx (11)

es decir,

f1(x)dx −1

f2(y)dy = 0 (12)

o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)

la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +

∫N(y)dy = C (14)

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