Ecuaciones Diferenciales2[1]Fefefe

Ecuación diferencial ordinaria

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.

Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.

Introducción

Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es

La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:

Donde los ai representan funciones dependientes de t.

Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.

Definiciones

Ecuación diferencial ordinaria

Si y es una función desconocida:

de x siendo y(n) la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma

es llamada una ecuación diferencial ordinara (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales,

la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

es llamada una ecuación diferencial explícita.

Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el termino fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.

Soluciones

Dada una ecuación diferencial

una función u: I ⊂ R → R es llamada la solution o curva integral de F, si u es n veces derivable en I, y

Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general.

Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. Una solución singular es una solución que no puede ser derivada de la solución general.

PRACTICA Nº 1

I. Determinar en los siguientes ejercicios que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales respectivas.

1. y=e−x(3cosx-2senx); y ' '+2 y '+2 y=0

Hallando las derivadas

y '=−e−x (3 cosx−2 senx )+e− x (−3 senx−2 cosx )¿−5e−x cosx−e−x senx¿e− x(5 cosx+senx )y '=−e−x (5 cosx+senx)

y ' '=e−x (5cosx+senx )−e− x (−5 senx+cosx )4 e−x cosx+6e− x senxe− x(4 cosx+6 senx )y ' '=e−x(4cosx+6 senx)

y ' '+2 y '+2 y=e−x (4 cosx+6 senx )+e−x (−10 cosx−2 senx )+e−x (6 cosx−4cosx )

y ' '+2 y '+2 y=o

2. y=e2 x (c 1cos2 x−c 2cos2x ) ; y ' '−4 y '+8 y=0….∗¿

hallando las derivadas : y ' , y ' ' ’

y '=2 e2 x (c1cos2 x−c 2 sen2−c1 sen2 x−c 2cos 2x )

y ' '=−8 e2x (c 1 sen2x+c 2 cos2x )

reemplazando en la ecuacion

y ' '−4 y'+8 y=−8e2 x (c 1 sen2 x+c2cos2x )+8 e2 x (c1 cos2 x−c2 sen2 x)

−8 e2x (c 1cos 2 x−c2 sen2 x−c 1 sen2x−c2 cos2 x)

y ' '−4 y'+8 y=0

3. y=x2 lnx ;x y ' ' '=2

hallando y ' ' ' :

y '=2 xlnx+x2 1x=2 xlnx+x

y ' '=2lnx+2x 1x+1=2lnx+3

y ' ' '=2 1x

reemplazando

x y ' ' '=2

4. x=(t +1 ) et+c1 ; y ' ' e y '

( y '+2 )=1y=t2 et +c2

dydtdxdt

= 2 t e t+t 2e t

(t +1 ) et +e t =t e t(2+t )e t(2+ t)

y ' e y '

( y '+2 )=t et (t+2)

t et ( t +2 )=dydx

5. y= c 2−x 22x

; ( x+ y )dx+xdy=0

( x+ y )+x y '=0

y '=(−2 x ) (2 x )−(c 2−x 2 ) (2 )=−2 x2−2c24 x2

y '= −12 x 2

(x 2+c 2)

reemplazando :

( x+ y )+x y '= c 2−x22 x

+x ( −12 x2

( x2+c 2 ))=0

6. (t−a )2+( x−b ) 2=c 2; (1+( x' ) 2)3=( c x ' ' ' ) 2

x '= a−t√c 2−(t−a ) 2

x ' '= −c 2( c2−(t−a ) 2 )3 /2

reemplazando

(1+( a−t ) 2

c2−(t−a )2 )3= c6( c2−( t−a ) 2 )3

=( −c3( c2− (t−a ) 2 )3

7. x=2 cosh 2 t−3 senh 2 t ; x ' '−4 x=0

x '=4 senh 2 t−6 cosh 2 t

x ' '=8cosh2t−12 sen h t

reemplazando

x ' '−4 x=8 cos h 2t−12 sen ht−4 (2cosh 2 t−3 senh 2 t )=0

8. x=s+arcsen ( s ); x= y '+arcsen( y ')

y= s22

−√1−s 2

y '=s (1+ 1

√1−s2)

(1+ 1√1−s2

x=s+arcsen ( s )= y '+arcsen( y ')

y+arcsen ( y ' )=s+arcsen(s)

II. Para cada una de las siguientes soluciones generales encuentre una ecuación de la que es solución.

1. x (t )=c1+c 2t +c 3t 2

x '=c 2+2tc 3

x ' '=2c 3

x ' '−2c=0

2. y=c1 cos (3 x )+c 2 sen (3 x)

y '=−3c 1 sen3 x

y ' '=−9 c 1cos3 x−9 c2 sen3 x

y ' '+9=0

3. y=Acos h x+Bsenx+x

y '=−Asenx+Bcosx+1

y ' '=−Acosx−Bsenx

Y ' '+Y −X=0

4. w ( a )=Asena+cosa

w '=Acosa−sena

w ' '=−Asena−cosa

w ' '=−w

w ' '+w=0

5. x (t )=c1cos2 t+c 2 sen2 t+c3 cosh 2 tc 4 senh 2t

x '=−2 c1 sen2 t +c2cos2 t−2c3 senh 2t +2c 4cosh2 t

x ' '=−4 c1cos2t−4c 2 sen2 t+4 c 3 cosh 2t +4 c 4 sen h2 t

x4−16 x=0

III. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales mediante el método de separación de variables

1. dydx

=sen5 x

dy=sen5 xdx

∫ dy=∫sen5 xdx+c

y=−15

sen5 x+c

c= y+1 /5 cos5x

2. dydx

=( x+1 )2

∫ dy=∫ ( x+1 )2 dx+c

(x+1 ) 3+c

c= y−1/3e−ex

3. dx+e3 x dy=0

∫ e−3 x+∫ dy=c

e−3 x+ y=c

c= y− e−3 x

4. xlnx y '− y=x 3(3 lnx−1)

1lnx ( y '− 1

xlnx ) y¿= 1lnx

(x2 (3 lnx−1 )

= x 3lnx

y=x 3+clnx

5. dydx

+2 yx=0

∫ dyy

=−∫2 xdx+c

lny=−x2+c

c=lny+x2

6. dydx

=e3x+2

dy=e3 x−e2 y dy

∫ e−2 y dy=∫ e3 x dx+c

c=−12

e−2 y−13

IV. Resolver los problemas PVI

1. dxdt

=4 ( x 2+4 )

x ( π4 )=1

=4 ( x 2+1 )

arctg (x )=4 t +c

reemplazando

x ( π4 )→ t=π

arctg (1 )=4 ( π4 )+c

π4=π+c

c=−3 π4

arctg (x )=4 t−3π4

2. dxdt

= y 2−1x2−1

y (2 )=2

ln ( y−1 )−12

ln ( y2−1 )=ln ( x−1 )−12

ln ( x2−1 )+c

c=ln( y−1x−1 )+ 1

2ln ( x 2−1

y2−1)

si : y (2 )=2

→ c=ln (1 )+ 12

ln (1 )=0

ln ( y−1 )+ 12

ln ( y 2−1 )=ln ( x−1 )−12

ln (x2−1)

3. dxdt

+2 y=1

y (0 )=52

dy=(1−2 y ) dx

si: y (0 )=5/2

ln (2 y−1 )=x+c

ln 4=0+c→ c=0,69

ln (2 y−1 )=x−0,69

4. dxdt

− y2=−9

y ( 13 )=1

dy=( x2−9 ) dx

c=ln ( y−3 )−12

ln ( y2−9 )−x

si : y (13 )=1

ln 2−12

ln 8=13+c

c=−12

ln2−13

ln ( y−3 )−12

( y 2−9 )=x−( 12

ln 2+ 13 )

5. dxdt

=2 x+1y

y (−2 )=−1

y 2=x 2+x+c

(−1 ) 2=(−2 ) 2−2+c

c=−1

y 2=x (x+1 )−1

Función Homogénea

Sea la función Z = ƒ(x,y), se dice que es homogénea de grado "n" si se

verifica que f( tx, ty)= tⁿf( x, y) ; siendo "n"un número real. En muchos casos se

puede identificar el grado de homogeneidad de la función, analizando el grado de cada término

La ecuación diferencial M( x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es homogénea sí M y N son funciones homogéneas del mismo grado

PRACTICA Nº2

I. Determinar si las funciones dadas y si son establesca el grado

1. 4 x2−3 xy+ y 2= f (x , y )

f ( γx , γy )=4 ( γx )2−3 (γ y ) (γ x )+( γ y )2

f ( γx , γy )=γ 2(4 x2−3 xy+ y2)

es homogeneade grado2

2. x3−xy+ y 3= f (x , y )

f ( γx , γy )= (γx ) 3−( γx ) (γy )+( γy ) 3

f ( γx , γy )=γ 3 ( x3+ y3 )−γ 2 xy

no es homogenea

3. f ( x , y )=ex

f ( γx , γy )=eγx

no es homogenea

4. f ( x , y )=exy

f ( γx , γy )=exxxy

f ( γx , γy )=ex/ y γ0

no es homogenea

5. f ( x , y )=tgx

f ( γx , γy )=tg(γx)

no es homogenea

II. Resolver los siguientes ejercicio por el método de ecuaciones homogéneas.

1. ( x2−2 y2 ) dx+xydy=0

y=uxdy=udx+xdu

x2 (1−2 u 2 ) dy+ x2 udy=0

dx−2u 2dx+u2dx+uxdu=0

(1−u2 ) dx+udxdu=0

+ u1−u 2

integrando ambos mienbros

ln x2u2−1

reemplazando el valos deu :

k= x 4y2−x 2

2. x y '= y+2x e− y/ x

dy=udx+xdu

x (udex+xdu )=x (u+2e−2 ) dx

− du2e−4 =0

lnx−e y / x

3. xy 2dy−( x3+ y 3 ) dx=0

dy=udx+xdu

x3 u 2 (udx+xdu )−x3 (1+u 3 ) dx=0

u 2du−dxx

lnx= y 33 x 3

x=ex 3

3 x 3 . k

4. ( x+ y3 ) dx+(3 y 5−3 y 2 x ) dy=0

x=za ;dx=a za−1 dz

dy=udz+zdu

aplicando la sustitucion se obtiene

( z3+u3 z 3 ) 3 z 3dz+3 (z 5 ) (u 5−u 2 ) dy=0

+ u 5−u21+u6

integrando ambos miembros

6 ln 3√ x+ ln x 6+ y 6x6

−2arctg( yx )3=c

5. ycosxdx+(2 y−senx ) dy=0

z=senx

dz=cosxdx

aplicandole al ploblema

ydz+(2 y−z ) dy=0

nuevamente realizamosotra sustitucion

dy=udz+zdu

uzdz+(2 uz−z ) dy=0

integrando ambos miembros

lnx+ senx2 y

III. Demuestre que con la ayuda de la sustitución y=vx, puede resolverse cualquier ecuación de la forma

ynf ( x ) dx+H ( x , y ) ( ydx−xdy )=0

Donde h ( x ,Y ) es homogeneaen x , y

solucion:

yn f ( x ) dx+H ( x , y ) ( ydx−xdy )=0

realicemos la sustitucion :

dy=vdx+xdv

vn xnf ( x )dx+xm H ( d , u ) (vxdx−x ( vdx+xdu ) )=0

vn xn f ( x )dx=xm H (1, v ) ( x 2dv )

F ( x )=H ( v )+c

F ( x ' )=xn−m f ( x )

reemplazando el valor de y

F ( x )=h yx+c

IV. Resolver los siguientes ejercicios por el método de ecuaciones reducibles a homogéneas.

1. ( y−2 )dx− ( x− y−1 ) dy=0

l 1≠ l2 →∃ p ( h ,k )∈ l1 ∩l2ç

l 1: y−2=0l 2: x− y−1=0

x=3 ; y=2

wdz−( z−w ) dw=0

realizamos las sustitucion

z=uw , dz=udw +wdu

w (udw+wdu )−(uw−w ) dw=0

du=−dww

integrando :

u+lnu=c

devolviendo los valores iniciales

x−3y−2

+ ln ( y−2 )=c

l 1≠ l2 →∃ p ( h ,k )∈ l1 ∩l2

l 1: ( x−4 y−9 )=0

l 2: ( 4 x+ y−2 )=0

x=1 ; y=−2

( z− yw ) dz+ ( yz+w ) dw=0

z=uwdz=udw +wdu

w (u−4 ) (udw+wdu )+w (4u+1 ) dw=0

+ u−4u 2+1

integrando ambos miembros :

lnw+12

ln (u2+1 )−4 arctg (u )=c

ln ( ( y+2 ) 2+( x−1 ) 2 )− yarctg ( x−1y+2

3. (2 x− y ) dx+ (4 x+ y−6 ) dy=0

l 1≠ l2 →∃ p ( h ,k )∈ l1 ∩l2

l 1:2 x− y=0l 2: 4 x+ y−6=0

x=1 ; y=2

(2 z−w )dz+( 4 z+w )cw=0

realizamos las sustitucion

w=uzdw=udz+zdu

z (2−u ) dz+z ( 4+u ) (udz+zdu)=0

+ 4+u(u+2 )(u+1)

integrando

ln x+ y+32 x+ y−4

4. ( x−4 y−3 )dx= ( x−6 y−5 ) dy=0

l 1≠ l2 →∃ p ( h ,k )∈ l1 ∩l2

l 1: x−4 y−3=0l 2: x−6 y−5=0

x=1 ; y=−1

( z−4 w ) dz−(4−6 w ) dw=0

dw=udz+zdu

z (1−4 u ) dz−4 (1−6 u ) (udz+zdu )=0

+ 6u−1(3 u−1 )(2 u−1)

integrando ambos miembros :

ln ( (2 x−x+1 )23 x−x+2 )=c

5. (2 x+3 y−5 ) dx+ (3 x− y−2 ) dy=0

l 1≠ l2 →∃ p ( h ,k )∈ l1 ∩l2

l 1:2 x+3 y−5=0l 2:3 x− y−2=0

x=1 ; y=1

(2 z+3 w ) dz+(3 z−w )dw=0

du=udz+ zdu

z (2+3u )dz+z (3−u ) (udz+zdu )=0

+ u−3u 2−6u−2

integrando

lnz+ 12

ln (u2−6 u−2 )=c

ln ( ( y−1 )2−6 ( y−1 ) ( x−1 )−2 ( x−1 ) 2 )=c

6) (3 x+2 y+7 )dx−(2x− y )dy=0

l 1≠ l2 →∃ p ( h ,k )∈ l1 ∩l2

l 1:3 x+2 y+7=0

l 2:2 x− y=0

x=1 ; y=−2

(3 z+2u )dz−(2 z−w ) du=0

w=uzdw=uz+zdu

z (3+2u )dz−z (2−u ) (udz+zdu )=0

+ uu 2+3

integrando

8) (9 x−4 y+4 ) dx−(2 x− y+1 ) dy=0

l 1≠ l2 →∃ p ( h ,k )∈ l1 ∩l2

l 1:9 x−4 y+4=0l 2:2 x− y+1=0

x=0 ; y=1

(4 z− yw )dz− (2 z−w )=0

reemplazando la sustitucion :

du=udz+ zdu

z (9−4u ) dz−z (2−u ) (udz+ zdu )

+ u−2(u−3 )2

integrando

ln ( z )+ln (u−3 )− 1u−3

ln (3 x+ y−1 )+ x3 x− y+1

9) (x + y + 1) dx + (2x + 2y - 1) dy = 0 Es una E.D. no homogénea.

L1 // L2: ab=a'

b' =λ⇔ 11=2

∴ λ=1

Entonces: (1 *(2x + 2y) + 1) dx + (2x + 2y - 1) dy = 0… (1)

L1: x + y + 1 = 0

L2: 2x + 2y – 1 = 0 2x + 2y = 1…. (2)

Reemplazando (2) en (1):

(1*(1) + 1) dx + (2x + 2y - 1) dy = 0

2dx + (2x + 2y - 1) dy = 0

22 x+2 y−1

+ dydx

Realizamos la sustitución:

z= 2x + 2y – 1

dz= 2dx + 2dy ⇔ dy = dz2 - dx

Reemplazando:

dx = 0

−( z−2 ) dx = 0

Integrando ∫z

(z−2) dz - 2 dx

z + 2 ln . (z - 2) – 2x = 0

Sustituyendo los valores iniciales

∴ (2y - 1) + 2 ln .∨2 x+2 y – 3∨¿= C

10) (2x + y) dx – (4x + 2y - 1) dy = 0 Es una E.D. no homogénea.

L1 // L2: ab=a'

b' =λ⇔ 21=−4

−2=λ

∴ λ=2

Entonces: (2 *(4x + 2y)) dx - (4x + 2y - 1) dy = 0… (1)

L1: 2x + y = 0

L2: 4x + 2y – 1= 0 4x + 2y = 1…. (2)

(2*(1)) dx - (4x + 2y - 1) dy = 0

2dx + (4x + 2y - 1) dy = 0

24 x+2 y−1

+ dydx

Realizamos la sustitución:

z= 4x + 2y – 1

dz= 4dx + 2dy ⇔ dy = dz - 2dx

Reemplazando:

−2 dx

dx = 0

1+ z dz – 4dx = 0

Integrando ∫z

(1+z ) dz - 4 dx

z - ln . (1+z) – 4x = 0

Sustituyendo los valores iniciales

V) Demostrar que el cambio de variables: x = α 1u + α 2 v , y = u + v

∴ (2y - 1) - ln .∨4 x+2 y∨¿= C

Transformará la ecuación.

(a1x + b1y + c1) dx + (a2 + b2 + c2) dy = 0…. (1)

Es una ecuación en la que las variables u y v son separables, si α 1 y α 2son

raíces de la ecuación:

α 1 α2 + ¿¿+b1¿α + b2 = 0…. (2)

Y si α 1≠ α 2.

Solución:

Dado que α 1 y α 2 son raíces de la ecuación (2) entonces:

a1α 12 + ¿+b1¿α 1 + b2 = 0

a1α 12 + ¿+b1¿α 2 + b2 = 0

Haciendo el cambio de variables:

x= α 1u + α 2 v dx = α 1 du + α 2 dv

y= u+v dy = du + dv

Reemplazando en la ecuación (1):

(a1 ( α1 u+α 2 v )+b1 (u+v )+c1 ) ( α1 du+α 2 dv )+ (a2 (α 1u+α2 v )+b2 (u+v )+c2 )(du+dv ) = 0

(a1α 1u+a1 α2 v+b1u+b1 v+c1) ( α1 du+α 2 dv )+(a2α 1u+a2 α2 v+b2u+b2 v+c2)(du+dv ) = 0

a1α 12 (udu )+b1 α1 (udu )+a1 α2

2 (vdv )+b1 α2 (vdv )+a2α 1 (udu )+b2 (udu )+a2 α2 (vdv )+0+b2 (vdv )+a1 α 1α 2 (udv )+a1α 1 α2 (vdu )+b1 α2 (udv )+b1 α1 (vdu )+c1 α 1du+c1 α 2dv+a2 α1 (udv )+a2 α2 (vdu )+b2 (udv )+b2 ( vdu )+c2 du+c2 dv

(udu ) (a1α 12+b1 α1+a2 α1+b2 )+ (vdv ) (a1α 2

2+b1 α2+a2α 2+b2 )+¿

[u (a1 α1 α 2+b1 α2+a2α 1+b2 )⏟+k1

(c1α 2+c2)⏟k2

]dv+[v (a1α 1 α2+b1 α 1+c2 α 2+b2)⏟+(c1 α1+c2)⏟k4k3

]du= 0

Donde:

k1=a1 α1 α 2+b1 α2+a2α 1+b2

k 2=c1α 2+c2

k3=a1 α 1α 2+b1 α1+c2 α2+b2

k 4=c1 α 1+c2

Luego:

[u(k1+k2)]dv+[ v ( k3 )+k 4 ] du = 0

v (k3 )+k4

+ duu ( k1 )+k2

= 0 Ecuación de variables separables

Integrando

∫ dvv (k 3 )+k4

+∫ duu ( k1 )+k 2

ln|v (k 3+k4)|+1k1

ln|u (k1+k2)|=C

I.Seleccionar entre las siguientes ecuaciones las que son exactas y resolverlas.

1. (x2− y )⏟M ( x, y)

dx− xdy⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = -1

∂ N∂ x (x,y) = -1 .... Es una EDE (ecuación diferencial exacta).

Luego, sea una función f : R2→R, tal que:

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x dx = M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(x2− y )dx + g(y)

f ( x , y ) = x3

3 - xy + g(y) …. (#)

Derivando (#) con respecto a y:

∂ f ( x , y )∂ y⏟

N ( x, y)

= -x + g’(y) −x=−x+g’ ( y )

g' ( y )=0

g(y) = c ; c = cte

Reemplazando en (#):

f ( x , y )= x3

3−xy+c

3−xy

2. y (x−2 y )⏟M (x , y )

dx−x2dy⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = -2 ∂ N

∂ x (x,y) = -2x …. No es una EDE

3. (x2+ y2)⏟M (x , y)

dx−xy dy⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = 2y ∂ N

∂ x (x,y) = -y …. No es una EDE

4. (x2+ y2)⏟M (x , y)

dx−2 xy dy⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = 2y ∂ N

∂ x (x,y) = -2y …. No es una EDE

5. (x+ ycosx)⏟M (x , y)

dx−senx dy⏟N (x, y)

∂ M∂ y (x,y) = cosx

∂ N∂ x (x,y) = cosx .... Es una EDE

Sea una función f : R2→ R, tal que:

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∂ f (x , y)∂ x dx = M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(x+ ycosx) dx + g(y)

f ( x , y ) = x2

2 + ysenx + g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y⏟

N ( x, y)

= senx + g’(y) senx=senx+g ’ ( y )

g' ( y )=0

g(y) = c ; c = cte

f ( x , y )= x2

2+ ysenx+c

6. (1+e2 θ)⏟

M (x , y)

dp+2 p e2θ dθ⏟N( x, y)

∂ M∂θ (p,ө) = 2 e2θ

∂ N∂ x (p,ө) =2 e2θ .... Es una EDE

Sea una función f : R2→ R, tal que:

∂ f ( p , θ)∂ p

=M ( p , θ ) ; ∂ f ( p ,θ)∂ p

=N ( p ,θ)

∫ ∂ f (p ,θ)∂ p dp = M (p,ө) + g(ө)

f ( p , θ ) dp=¿ ∫(1+e2θ)dp + g(ө)

f ( p , θ ) = (1+e2θ ) p + g(y) …. (#)

∂ f ( p ,θ )∂ θ⏟

N (x , y)

= 1+e2θ + g’(y) 2 e2θ p=2e2θ p+g’ (θ )

2+ ysenx

g' (θ )=0

g(ө) = c ; c = cte

f ( p , θ )=(1+e2 θ) p+c

7. 1⏟M (x , y)

dx−√a2−x2⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 0 ∂ N

∂ x (x,y) = x

√a2−x2 …. No es una EDE

8. (2 x+3 y+4)⏟M ( x, y)

dx−(3 x+4 y+5)dy⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = 3

∂ N∂ x (x,y) = 3 .... Es una EDE

Sea una función f : R2→R, tal que:

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x dx = M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(2x+3 y+4)dx + g(y)

f ( x , y ) = x2+3xy+4x + g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y

= 3x + g’(y)

3x + 4y + 5 = 3x + g’(y) g’(y) = 4y + 5 g(y) = 2y2 + 5y

f ( x , y )=x2+3xy+4 x+2 y2+5 y

∂∂ y

k=(1+e2 θ) p

9.(4 x3 y3+ 1

⏟M (x , y)

dx−(3 x4 y2− 1y)dy

⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = 12x3y2 = ∂ N

∂ x (x,y) = 12x3y2.... Es una EDE

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x dx = M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(4 x3 y3+ 1x)dx + g(y)

f ( x , y ) = x4 y3+ ln x + g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y

= 3 x4 y2+ g’(y)

3 x4 y2−1y = 3 x4 y2 + g’(y) g’(y) =

⇔ g(y) = −ln y

f ( x , y )=x4 y3+ ln x -ln y

(x √x2+ y2− y )⏟M ( x, y)

dx−( y √ x2+ y2− x)dy⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) =

xy−√ x2+ y2

√x2+ y2 = ∂ N∂ x (x,y) =

xy−√ x2+ y2

√x2+ y2 .... Es una EDE

k=x2+3 xy+4 x+2 y2+5 y

k=x4 y3+ ln x -ln y

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x dx = M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫ ( x√ x2+ y2− y ) dx + g(y)

f ( x , y ) = 26(x2+ y2)

32−xy + g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y

= x √x2+ y2−x + g’(y)

x √x2+ y2−x= x √x2+ y2+ g’(y) g’(y) = 0 ⇔ g(y) =c ; cte.

f ( x , y )=26(x2+ y2)

32−xy + c

10. (x+ y+1)⏟M (x , y)

dx−[−(x− y−3)]dy⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = 1 ∂ N

∂ x (x,y) = -1 …. No es una EDE

11. (x+ y+1)⏟M(x , y)

dx−¿¿ = 0

∂ M∂ y (x,y) = 1

∂ N∂ x (x,y) = 1 .... Es una EDE

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

k=26(x2+ y2)

32−xy

∫ ∂ f (x , y )∂ x dx = M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(x+ y+1)dx + g(y)

f ( x , y ) = x2

2+xy+x + g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y

= x + g’(y)

x - y - 3 = x + g’(y) g(y) = − y2

2 - 3y

f ( x , y )= x2

2+xy− y2

2 - 3y

II. Resolver por el método de las ecuaciones exactas.

1. (tanx−senx . seny )⏟M(x , y)

dx+cosxcosy⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = - cosysenx

∂ N∂ x (x,y) = - cosysenx .... Es una EDE

2+ xy− y2

2 - 3y

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x dx = M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(tanx−senxseny) dx + g(y)

f ( x , y ) = ln (cosx )+senycosx+ g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y

= cosxcosy + g’(y)

cosxcosy = cosxcosy + g’(y) g’(y) = 0⇔ g(y) =c ; cte.

f ( x , y )=ln|cosx|+senycosx+c

2. ( y2 cosx−3 x2 y−2 x)⏟M (x , y)

dx+¿¿ = 0

∂ M∂ y (x,y) = 2ycosx-3x2

∂ N∂ x (x,y) = 2ycosx-3x2 .... Es una EDE

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x dx = M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫( y2 cosx−3 x2 y−2 x ) dx + g(y)

∂∂ y

k=ln|cosx|+senycosx

f ( x , y ) = y2 senx− x3 y−x2+ g(y) …. (#)

Derivando a (#) con respecto a y:

∂ f ( x , y )∂ y

= 2ysenx – x3 +g’(y)

2ysenx = 2ysenx – x3 + g’(y) g’(y) = −x3⇔ g(y) =- yx3

f ( x , y )= y2 senx−x3 y−x2− y x3

3. (2 x+ ysen ( xy )−5 y4)⏟M (x , y)

dx−¿¿ = 0

∂ M∂ y (x,y) = - ycos(xy) – 20y3 – sen(xy) ¿

∂ N∂ x (x,y) = - ycos(xy) – 20y3 – sen(xy)

.... Es una EDE

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x

dx = ∫M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(2x− ysen ( xy )−5 y4) dx + g(y)

f ( x , y ) = (x¿¿2+cos ( xy )−5 x y4)¿ + g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y

= = - xsen(xy) – 20xy3 + g’(y)

– 20xy3 - xsen(xy) = - xsen(xy) – 20xy3 + g’(y) ⇔ g’(y) = 0 ⇔ g(y) =c ; cte.

k= y2 senx−x3 y−x2− y x3

f ( x , y )=x2+cos ( xy )−5 x y 4+c

4. (2 x y2+ y ex)⏟M(x , y)

dx+(2 x y2+ex−1 )⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 4xy + ex ¿

∂ N∂ x (x,y) = 4xy + ex .... Es una EDE

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x

dx = ∫M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(2x y2+ y ex) dx + g(y)

f ( x , y ) = x2 y2+ y ex+ g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y

= 2 x2 y+ex + g’(y)

2 x2 y+ex−1 = 2 x2 y+ex + g’(y) ⇔ g’(y) = − y ⇔ g(y) = − y2

f ( x , y )=x2 y2+ y ex− y2

k=x2+cos ( xy )−5 x y 4

k=x2 y2+ y ex− y2

5. (sen ( xy )+xycos (xy))⏟M (x , y)

dx+¿¿ = 0

∂ M∂ y (x,y) = 2ycos(xy) - x2ysen(xy) ¿

∂ N∂ x (x,y) =.2ycos(xy) - x2ysen(xy)

.... Es una EDE

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x

dx = ∫M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(sen (xy )+xycos (xy )) dx + g(y)

f ( x , y ) = xsen (xy) + g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y = x2cos(xy) +g’(y)

x2cos(xy) = x2cos(xy) + g’(y) ⇔ g’(y) = 0 ⇔ g(y) =c ; c = cte.

Reemplazando en (#): f ( x , y )=xsen( xy)+c

6. ( y exy+4 y3)⏟M (x , y)

dx+( xexy+12 x y2−2 y )⏟ dyN( x, y) = 0

∂∂ y

k=xsen(xy )

∂ M∂ y (x,y) = exy+xy exy+12 y2 ¿

∂ N∂ x (x,y) =.exy+xy exy+12 y2 ... Es una EDE

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f ( x , y)∂ x

=¿ ∫( y exy+4 y3) dx + g(y)

f ( x , y ) = 4 y3 x+exyg(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y

= 12 x y2+xe xy + g’(y)

⇔ g’(y) = −2 y ⇔ g(y) = y2

f ( x , y )=4 y3 x+exy− y2

7. (1+tgysenx)⏟M (x , y)

dx+(−cosx sec2 y)⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = senxsec2x ¿

∂ N∂ x (x,y) = senxsec2x .... Es una EDE

k=4 y3 x+exy− y2

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x

dx = ∫M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(1+tgysenx) dx + g(y)

f ( x , y ) = x+tgycosx + g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y = - sec2ycosx +g’(y)

- cosxsec2y = - sec2ycosx + g’(y) ⇔ g’(y) = c ; c = cte.

8. (sen ( xy )+xycos(xy))⏟M (x , y)

dx+¿¿ = 0

∂ M∂ y (x,y) = 2ycos(xy) - x2ysen(xy) ¿

∂ N∂ x (x,y) =.2ycos(xy) - x2ysen(xy)

.... Es una EDE

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y ) ; ∂ f (x , y )∂ y

=N (x , y )

∫ ∂ f (x , y )∂ x

dx = ∫M (x,y) + g(y)

f ( x , y )=¿ ∫(sen (xy )+xycos (xy )) dx + g(y)

∂∂ y

k=x+ tgycosx

f ( x , y ) = xsen (xy) + g(y) …. (#)

∂ f ( x , y )∂ y = x2cos(xy) +g’(y)

x2cos(xy) = x2cos(xy) + g’(y) ⇔ g’(y) = 0 ⇔ g(y) =c ; c = cte.

Reemplazando en (#): f ( x , y )=xsen( xy)+c

III. Determinar la función M(x,y) de tal manera que la siguiente EDO sea exacta:

M (x , y ) dx+[ xex y+2xy+ 1y ] dy=0

La condición necesaria y suficiente para que la ecuación dada sea una EDO exacta es que se cumpla lo siguiente

∂ M ( x , y )∂ y

=N (x , y )

Aplicando dicha condición, tenemos:

N (x , y )∂ x

= y ex+xy ex+2 y− 1x2 =

∂ M ( x , y )∂ y

∂ f (x , y)∂ y

=N ( x , y )=x ex y+2 xy+ 1x

Integrando miembro a miembro

∂∂ y

k=xsen(xy )

f ( x , y )= y2 x ex+x y2+ xx2 +g(x )

Derivando con respecto a x

∂ f ( x , y )∂ x

= y2 ex+ y2 x ex+ y2− yx2 + g’(x)

Igualando expresiones

M (x , y )=c+ y2 ex+ x y2 ex+ y2− yx2 =

∂ f ( x , y )∂ x

Finalmente se obtiene

( x , y )= y2e x+x y2ex+ y2− y x−2+c

∂ M ( x , y )∂ y

=xy ey2−x2

2 ; N (x , y )∂ x

=− y ey2− x2

2 (− x)

Cumple con la condición de ED exacta

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y )=x ey2− x2

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ x ey2− x2

2 dx+g( y )

f ( x , y )=−ey2−x2

2 +g' ( y )

Por propiedad se tiene que

∂ f (x , y)∂ y

=N ( x , y )

∂ f (x , y)∂ y

= ∂∂ y

(−ey2− x2

2 +g ( y ))=− y ey2− x2

2 +g' ( y )

y ey2−x2

2 = y ey2− x2

2 +g' ( y )

g(y) = c

f ( x , y )=−ey2−x2

2 +g' ( y )=−ey2−x2

2 +c=k

2. (2 y−3 x)⏟M (x , y)

dx+x⏟ dyN ( x, y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 2 ≠ ∂ N

∂x (x,y) = 1

Hallamos el factor integrante

FI = e∫ 1

x dx=eln x= x

Multiplicando el F.I. a ambos miembros

x [(2y - 3) dx + x dy = 0]

(2 xy−3 x2)⏟M (x , y)

dx+x2⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 2x ¿

∂ N∂ x (x,y) = 2x

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y )=2 xy−3 x2

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ (2 xy−3 x2 ) dx+g ( y )

f ( x , y )=x2 y−x3+g( y)

Derivando respecto a y

∂ f (x , y)∂ y

=x2+g ' ( y )=N (x , y )

x2=x2+g '( y)

g(y) = C

f ( x , y )=x2 y - x3+c=k

3. (x− y2)⏟M( x, y)

dx+2 xy⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = - 2y ¿

∂ N∂ x (x,y) = 2y

Hallando el factor integrante

FI = e∫ 1

2 xy (−4 y )dx=e−2 ln x= x-2

Multiplicándolo en ambos miembros

( 1x− y2

x2 )⏟M (x , y)

dx+ 2 yx⏟

N ( x, y)

∂ M∂ y (x,y) =

−2 yx2 =

∂ N∂ x (x,y)

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ ( 1x− y2

x2 )dx+g ( y )

f ( x , y )=ln|x|+ y2

x+g( y)

∫ ∂ f ( x , y )∂ y

dx=2 yx

+g' ( y )=2 yx

g(y) = C

f ( x , y )=ln|x|+ y2

4. ( y+lnx)⏟M ( x, y)

dx+(−x )⏟ dyN (x , y ) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 1 ≠

∂ N∂ x (x,y) = -1

FI = e−∫ 2

x dx=e−2 ln x= x-2

Multiplicándolo en la ecuación inicial

( yx2 +

lnxx2 )dx

⏟M ( x, y)

+ dyx⏟

N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) =

∂ N∂ x (x,y)

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ ( yx2 −

lnxx2 )dx+g ( y )

f ( x , y )=− yx

+−lnxx

+−1x

+g( y )

∫ ∂ f ( x , y )∂ y

dx=−1x

+g' ( y )=−1x

g(y) = C

f ( x , y )=− yx

−lnxx

−1x+c=k

5. ( y+lnx)⏟M ( x, y)

dx+(−x )⏟ dyN (x , y ) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 1 ≠

∂ N∂ x (x,y) = -1

FI = e−∫ 2

x dx=e−2 ln x= x-2

( yx2 +

lnxx2 )dx

⏟M ( x, y)

+ dyx⏟

N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) =

∂ N∂ x (x,y)

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ ( yx2 −

lnxx2 )dx+g ( y )

f ( x , y )=− yx

+−lnxx

+−1x

+g( y )

∫ ∂ f ( x , y )∂ y

dx=−1x

+g' ( y )=−1x

g(y) = C

f ( x , y )=− yx

−lnxx

−1x+c=k

6. (3 x2+ y2)⏟M ( x, y)

dx+(−2 xy )⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 2y ≠

∂ N∂ x (x,y) = -2y

FI = e−∫ 1

2 xy (4 y )dx=e−2 ln x= x-2

Multiplicándolo en ambos miembros

(3+ y2

x2 )⏟M (x , y)

dx+ 2 yx⏟

N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) =

2 yx2 =

∂ N∂ x (x,y)

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx=∫3+ y2

x2 dx+g ( y )

f ( x , y )=3 x+ y2

x+g ( y )

∫ ∂ f ( x , y )∂ y

dx=−2 yx

+g' ( y )=−2 yx

g(y) = C

f ( x , y )=3 x+x−1 y2+c=k

7. (xy+2 y2)⏟M (x , y)

dx+(3 xy−x2)⏟ dyN (x , y ) = 0

∂ M∂ y (x,y) = x – 4y ≠

∂ N∂ x (x,y) = 3y – 2x

F.I. = 3x – 7y = x (3y – x) f ' (x )f (x) - y (x – 2y)

g '( x)g(x )

f ( x )=1x

; g ( y )= 1y2

F . I .= 1x y2

( 1y−2

x )⏟M (x , y)

dx+( 3y− x

y2 )⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) =

−1y2 =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂ x

=( 1y−2

x )=M ( x , y )

f ( x , y )= xy−2 ln|x|+g ( y)

∂ f ( x , y )∂ y

dx=−xy2 +g' ( y )=N (x , y )

3y− x

y2 =−xy2 +g' ( y )

g(y) = 3ln y

f ( x , y )= xy−2lnx+3 lny+c=k

8. (2 y+3 xy2)⏟M( x, y)

dx+(−x )⏟ dyN (x , y ) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 2 – 6xy ≠

∂ N∂ x (x,y) = - 1

3 - 6xy = - x f' (x )

f (x) - y (2 – 3xy)g '( x)

Igualando obtenemos

∫ f '(x )f (x)

dx = ∫ 1x

dx ; ∫ g' (x)g( x)

dy= ∫ −2y

ln ( f ( x ) )=ln ( x ) ; ln ( g ( y ) )=−2 ln ( y )

f ( x )=x ; g ( y )= y−2

Donde el factor integrante

F . I .= xy2

x y−2¿

( 1y−2

x )⏟M (x , y)

dx+( 3y− x

y2 )⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) =

−1y2 =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂ x

=( 1y−2

x )=M ( x , y )

f ( x , y )= xy−2 ln|x|+g ( y)

( 2 xy

−3 x2)dx⏟M (x , y)

y2 )dy⏟

N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) =

−2xy2 =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y )=2 xy

−3 x2

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ (2 xy

−3 x2)dx+g ( y)

f ( x , y )= x2

y−x3+g( y )

∂ f (x , y)∂ y

=−x2

y2 +g' ( y )=−x2

g(y) = C

f ( x , y )= x2

y−x3+c=k

9. ( ydx )⏟M ( x, y)

dx+x (x2 y−1)⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 1 ≠

∂ N∂ x (x,y) = 3x2y – 1

2 - 3x2y =x (x2 y−1) f ' (x )f (x)

- y g '( x)g(x )

f ( x )= 1x3

; g ( y )= y

F . I .= yx3

Multiplicándolo en la función inicial

x3 )⏟M (x , y)

dx+( y2− yx2 )⏟

N (x, y)

∂ M (x , y)∂ y =

2 yx3 =

∂ N (x , y )∂ x =

∂ M (x , y)∂ y

=∂ N (x , y )∂ x

Al ser una ecuación exacta se procede directamente

∂ f (x , y)∂ x

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx=∫ y2

x3 dx+g ( y )

f ( x , y )=− y2

2x2 +g( y)

∂ f ( x , y )∂ y

dx=− yx2 +g' ( y )= y2− y

g' ( y )= y2

g ( y )= y3

f ( x , y )=− y2

2 x2 + y3

10. ( y+x3 y )+2 x2⏟M (x , y)

dx+(x+4 x y4+8 y3)⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 1 + x3 ≠

∂ N∂ x (x,y) = 1 + 4y4

x3 – 4y4= (x+4 x y4+8 y3) f '(x )f (x )

–(( y+x3 y )+2 x2) g '( x)g(x )

Donde obtenemos que

∫ f '(x )f (x)

dx = ∫ x2 dx ; ∫ g' (x)g( x)

dy= ∫ 4 y3 dy

ln ( f ( x ) )= x3

3 ; ln ( g ( y ) )= y4

f ( x )=ex 3

3 ; g ( y )=e y4

F . I .=ex3

Multiplicándolo ambos miembros

( y+x3 y )+2 x2⏟M( x, y)

dx+ex3

(x+4 x y4+8 y3)⏟N (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = e

( 4 y3 ) ( y+x3 y+2 x2 )+ex3

3+ y 4

(1+x3) = ∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂x

( 4 y3 ) ( y+x3 y+2 x2 )

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ ex3

( 4 y3 ) ( y+x3 y+2 x2 ) dx

f ( x , y )=2 ex3

+xy ex3

+g ( y )

∂ f (x , y)∂ y

=8 y3 ex3

+x ex3

+4 x y4 ex3

+g' ( y )=N (x , y)

g’(y) = 0 ; g(y) = C

f ( x , y )=2 ex3

+xy ex3

VI. Obtener para cada una de las siguientes EDOS un factor integrante y resolverlas

1. (cos2 y−senx)⏟M (x , y)

dx+−tanxsen(2 y )⏟ dyN (x , y ) = 0

∂ M∂ y (x,y) = - 2sen2y ≠

∂ N∂ x (x,y) = -sec2xsen2y

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

− ∂ N (x , y)∂ x

=sen2 y (sec2−2)

FI = e−∫ −1

tanxsen 2 ysen 2 y(sec2−2 )dx

=e∫ dx

tanx−∫ sec2 x

∴F . I .=senxcosx

(senxcosxcos (2 y )−sen2 xcosx )⏟ dxM (x , y )

+sen2 xsen (2 y )⏟ dyN (x , y )

∂ M∂ y (x,y) = −2 sen2 ysenxcosx =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y )=senxcosxcos (2 y )−sen2 xcosx

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ senxcosxcos (2 y ) dx− ∫ sen2 xcosxdx+g( y)

f ( x , y )=cos (2 y ) sen2 x2

− sen3 x3

+g( y )

Derivando respecto a “y”

∂ f (x , y)∂ y

=−sen2 xsen(2 y )+g ' ( y )=−sen2 xsen(2 y )

g(y) = C

f ( x , y )=cos (2 y ) sen2 x2

− sen3 x3

2. (3 x y3+4 y )⏟M(x , y)

dx+(3 x¿¿2 y2+2 x )⏟ dyN (x , y)

¿ = 0

∂ M∂ y (x,y) = 9xy2 + 4 ≠

∂ N∂ x (x,y) = 6xy2 + 2

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

−∂ N (x , y)

∂ x=3 x y2+2

FI = e∫ 1

(3 x¿¿2 y2+2 x)(3x y2+2 )dx=e

∫ dxx ¿

∴F . I .=x

(3 x y3+4 y )⏟ dxM (x , y)

+(3 x¿¿3 y2+2 x2)⏟ dyN (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = 9 x2 y2+4 x =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y )=3 x2 y3+4 xy

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ 3 x2 y3 dx+ ∫ 4 xydx+g( y)

f ( x , y )=x3 y3+2 x2 y+g( y )

∂ f (x , y)∂ y

=3 x3 y2+2 x2+g' ( y )=¿ 3 x3 y2+2 x2

g(y) = C

f ( x , y )=x3 y3+2 x2 y+c=k

3. ex⏟M (x , y)

dx+(e¿¿ xcot ( y )+2 ycsc( y ))⏟ dyN (x , y)

¿ = 0

∂ M∂ y (x,y) = 0 ≠

∂ N∂ x (x,y) =ex cot ( y)

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

− ∂ N (x , y)∂ x

=−e x cot ( y)

FI = e∫−1

ex (−e xcot ( y))dy=e∫ cot ( y )dy

∴F . I .=seny

( ex seny )⏟ dxM (x , y)

+ex cosy+2 y ¿¿⏟ dyN (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = ex cosy =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y )=ex seny

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ e x senydx+g ( y)

f ( x , y )=ex seny+g ( y)

∂ f (x , y)∂ y

=e x cosy+g' ( y )=¿ ex cosy+2 y

g' ( y )=2 y⇔ g ' ( y )= y2

f ( x , y )=ex seny+ y2=C

4. x dx + y dx =( x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) (dx + dy)

Podemos expresar la ecuación anterior como

x dy + y dx = (x + y)3 (dx + dy)

Se hacen las sustituciones

z = x + y ⇔ dz = dx + dy

w = xy ⇔ dw = x dy + y dx

Reemplazando en la ecuación inicial

dw = z3 dz

Integrando

∫ dw− ∫ z3 dz=C

w− z4

Devolviendo los valores iniciales

f ( x , y )=xy−(x+ y )4

5. y2⏟M (x , y)

dx+(2 x− y ey )⏟ dyN (x , y ) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 1 ≠

∂ N∂ x (x,y) = 2

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

− ∂ N (x , y)∂ x

FI = e∫−1

y (−1)dy=e

∫ dyy

∴F . I .= y

( y2 )⏟ dxM(x , y)

+(2 xy− y2 e y)⏟ dyN ( x, y)

∂ M∂ y (x,y) = 2y =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y )= y2

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ y2 dx+g ( y )

f ( x , y )=x y2+g( y)

∂ f (x , y)∂ y

=2 xy+g' ( y)=¿ 2 xy− y2 e y

g' ( y )=− y2 e y ⇔g ( y )=− y2 ey+2 y ey−2 ey

f ( x , y )=x y2− y2e y+2 ye y−2 e y=C

6. (xy−1)⏟M( x, y)

dx+(x¿¿2−xy )⏟ dyN (x , y)

¿ = 0

∂ M∂ y (x,y) = x ≠

∂ N∂ x (x,y) = 2x - y

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

−∂ N (x , y)

∂ x= y−x

FI = e∫ 1

x ( x− y )(−( x− y))dx

=e−∫ dx

∴F . I .=x−1

( y−x−1 )⏟ dxM ( x, y)

+(x− y)⏟ dyN (x, y)

∂ M∂ y (x,y) = 1 =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y )= y−1x

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ ydx+ ∫ 1x

dx+g( y )

f ( x , y )=xy−lnx+g ( y)

∂ f (x , y)∂ y

=x+g' ( y )=¿ x− y

g' ( y )=− y ⇔g ( y )=− y2

f ( x , y )=xy−lnx−− y2

7. 2 yx−e−2 x⏟M (x , y )

dx+(x)⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 2x ≠

∂ N∂ x (x,y) = 1

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

−∂ N (x , y)

∂ x=2 x−1

FI = e∫ 1

x (2x−1)dx=e

−2∫dx−∫ dxx

∴F . I .= e2 x

(2e2 x y−x−1 )⏟ dxM (x , y)

+(e2 x)⏟ dyN ( x, y)

∂ M∂ y (x,y) = 2 e2 x =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y )=2 e2 x y−1x

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ 2 e2 x y d− ∫ 1x

dx+g( y)

f ( x , y )=e2x y−lnx+g( y )

∂ f (x , y)∂ y

=e2x+g' ( y )=¿ e2x

g ( y )=k

y⏟M (x , y)

dx+(2 xy−e−2 y)⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 1 ≠

∂ N∂ x (x,y) = 2y

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

−∂ N (x , y)

∂ x=1−2 y

FI = e∫−1

y (1−2 y)dy=e

2∫dy− ∫ dyy

∴F . I .= e2 y

f ( x , y )=e2x y−lnx+k=C

( e2 y )⏟ dxM (x , y )

+(2 xe2 y− y−1)⏟ dyN (x , y )

∂ M∂ y (x,y) = 2e2 y =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂ x

=M ( x , y )=e2 y

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ e2 y dx+g ( y)

f ( x , y )=x e2 y+g( y )

∂ f (x , y)∂ y

=2 xe2 y+g' ( y)=¿ 2 xe2 y− 1y

g' ( y )=− y−1 ∴ g ( y )=−lny

9. ¿ = 0

∂ M∂ y (x,y) = 1 ≠

∂ N∂ x (x,y) = lnx+1

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

−∂ N (x , y)

∂ x=−lnx

FI = e∫ 1

xlnx (−lnx )dy=e

− ∫ dxx

∴F . I .=x−1

(1+ y x−1 )⏟ dxM (x , y)

+lnx⏟ dyN (x , y)

∂ M∂ y (x,y) = 1

x = ∂ N∂ x (x,y)

f ( x , y )=x e2 y−lny=C

∂ f (x , y)∂x

=M ( x , y )=1+ yx

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ dx+ ∫ yx+g ( y )

f ( x , y )=x+ ylnx+g( y )

∂ f (x , y)∂ y

=lnx+g' ( y )=¿ lnx

g( y )=C

f ( x , y )=x+ ylnx+c=K

10. dydx

=3 x2 y+ y2

2 x3+3 xy

(3 x2 y+ y2)⏟M(x , y)

dx−(2 x3+3 xy )⏟ dyN (x , y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 3x2 + 2y ≠

∂ N∂ x (x,y) = −6 x2−3 y

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

− ∂ N (x , y)∂ x

=9 x2+5 y

9 x2+5 y = −x (2 x2+3 y )f ' (x )f (x) –y (3 x2+ y ) g '( x)

f ( x )=x−67 ; g ( y )= y

−177

F . I .=¿ x−67 . y

−177

3 x87 . y

−67 + x

−67 . y

−37⏟

M ( x, y)

dx+¿¿

∂ M∂ y (x,y) = −30

87 . y

−177 −−3

−67 . y

−107 =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)∂x

=3 x87 . y

−107 +¿ x

−67 . y

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx=3 ∫ x87 . y

−107 dx+ ∫ x

−67 . y

−37 dx+g( y )

f ( x , y )=75

x157 . y

−107 +7 x

17 . y

−37 +g ( y )

∂ f (x , y)∂ y

=−2 x157 . y

−177 −3 x

17 . y

−107 +g ' ( y )=−2 x

157 . y

−177 −3 x

17 . y

−107

g(y) = C

f ( x , y )=75

x157 . y

−107 +7 x

17 . y

−37 +c=k

11. x dx + y dy = 3(√ x2+ y2) y2 (dx + dy)

Se hace el cambio de variable

Z2 = x2 + y2 ⇔ 2z dz = 2x dx + 2y dy

⇔ z dz = x dx + y dy

⇔ z dz = 3 z y2 dy

⇔ dz = 3 y2 dy

Integrando

∫ dz− ∫ 3 y2 dy+C

z− y3=C

Devolviendo los valores iniciales

f ( x , y )=√ x2+ y2 ¿− y3=C

12. 4 ydx+ xdy=x y2 dx

(4 y−x y2)⏟M ( x, y)

dx−x⏟ dyN ( x, y) = 0

∂ M∂ y (x,y) = 4 – 2xy ≠

∂ N∂ x (x,y) = 1

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

− ∂ N (x , y)∂ x

=3−2xy

3−2 xy = xf '(x )f (x )

–y (4−xy) g '( x)g(x )

f ( x )=x−5 ; g ( y )= y−2

F . I .=¿ x−5 . y−2

4 x−5 . y−1−x−4⏟M (x , y)

dx+¿¿

∂ M∂ y (x,y) = -

4x5 y2 =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)

∂x=M ( x , y )= 4

x5 y− 1

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ 4x5 y

dx− ∫ 1x4 dx+g( y )

f ( x , y )=−x−4 . y−1+ x−3

3+g( y )

∂ f (x , y)∂ y

=x−4 . y−2+g' ( y )=x−4 . y−2

g(y) = C

f ( x , y )=−x−4 . y−1+ x−3

13. (3 y3−xy ) dx−(x2+6 x y2)dy=x y2 dx

∂ M∂ y (x,y) = 9y2 - x ≠

∂ N∂ x (x,y) = - 2x – 6y2

⇒ ∂ M (x , y )∂ y

−∂ N (x , y)

∂ x=x+15 y2

x+15 y2= -x (x+6 y2)f ' (x)f (x )

–y (3 y2−x ) g '( x)g(x )

f ( x )=x−2 ; g ( y )= y−1

F . I .=¿ x−2 . y−1

3 x−2. y2−x−1⏟M ( x, y)

dx+¿¿

∂ M∂ y (x,y) = 6 x-2 y =

∂ N∂ x (x,y)

∂ f (x , y)

∂ x=M ( x , y )=3 x−2 y−2−x−1

∫ ∂ f ( x , y )∂ x

dx= ∫ 3 x−2 y−2dx− ∫ 1x

dx+g ( y)

f ( x , y )=−3 x−1 y2−lnx+g( y )

∂ f (x , y)∂ y

=−6 x−1 y+g' ( y )=− y−1−6 x−1 y

g' ( y )=− y−1 ∴g ( y )=−lny

f ( x , y )=−3 y2

x−lnx−lny=C

VII. Demostrar que si My−NxyN−xM

=R ( xy ), entonces el factor integrante es

μ=e ∫ R (s ) ds , donde z = xy.

Solución

Veamos que μ=μ ( xy )=μz , es decir si μ ( z )− yz=z ( x , y )

Entonces ∂ u∂ x

. ∂ z∂ x

^ ∂ w∂ y

. ∂ z∂ y

Sea z = z (x,y) = xy, queremos que μ ( z ) sea F.I. para la ED inicial.

Luego:∂

∂ y(μM )= ∂

∂ x(μN )

∂u∂ y

M+u ∂ M∂ y

= ∂u∂ x

N+u ∂ N∂ x

Como z = xy -> ∂ z∂ x

= y ^ ∂ z∂ y

Reemplazando: dudz

xM +μ ∂ M∂ y

yN+μ ∂ N∂ X

. dudz

∂ M∂ x

−∂ N∂ y

yN−xM= My−Nx

yN−xM

Si R (xy) = My−NxyN−xM :

. dudz

=R(xy ), donde z = xy

du=R ( z )dz

Integrando

∫ 1u

du=∫R(z )dz

lnu=∫R(z )dz

∴μ=e ∫ R ( z) dz , donde z=xy

X. Resolver los siguientes EDOS

1. y '−2 xy=cosx−2 xsenx

y’ – (2x) y =cosx-2xsenx

FI = e∫−2 x dx=ex2

Multiplicando en la E.D. inicial.

e− x2

[y’ - 2xy] = e− x2

cosx−e−x2

2xsenx

(e¿¿−x2 . y )'=( ∫ (e− x2

cosx−e−x 2

2 xsenx )dx )' ¿

Por propiedad

e− x2

. y= ∫ [ e−x2

( senx )'+e−x2

senx ] dx+c

e− x2

. y=e− x2

. senx+c

∴ y=senx+cex2

2. (x+ y )2 y '=5−8 y−4 xy

y '+( 4x+2 ) y=5 1

(x+2)2

FI = e∫ 4

x+2 dx=e4 ln ( x+2)=(x+2)4

(x+2)4[ y '+( 4x+2 ) y=5(x+2)2]

[ ( x+2 )4 . y ] '=( ∫ 5 ( x+2 )2) '

Por propiedad(x+2)4 . y= ∫ 5(x+2)2+k

(x+2)4 . y=53(x+2)3+k

∴ y=53

+k 1(x+2)4

3. y '−2 xy=cosx−2 xsenx

y’ – (2x) y =cosx-2xsenx

FI = e∫−2 x dx=ex2

e− x2

[y’ - 2xy] = e− x2

cosx−e−x2

2xsenx

(e¿¿−x2 . y )'=( ∫ (e− x2

cosx−e−x2

2 xsenx )dx )' ¿

Por propiedad

e− x2

. y= ∫ [ e−x2

( senx )'+e−x2

senx ] dx+c

e− x2

. y=e− x2

. senx+c

∴ y=senx+cex2

4. 2√x y '− y=−sen√ x−cos√ x

y '− 12√x

y=−(sen √x+cos√ x)2√x

FI = e∫ −1

2√xdx=e−√x

e−√ x[ y '−1

2√xy ]=−e−√x (sen √x+cos√ x)

2√ x

(e¿¿−√ x . y )'=¿¿) dx))’

Por propiedad

e−√ x . y= ∫ [ ( e−√x )' ( sen√ x )+e−√x ( sen√ x )' ]dx+c

e−√ x . y=(e−√ x) ( sen√x )+c

∴ y=sen √x+c e√ x

5. ( x+1 ) y '+(2 x−1 ) y=e−2x

y '−(2 x+1x+1

) y= 1x+1

e−2 x

FI = e∫−2 x−1

x+1 dx= e2x

(x+1)3

(x+1)3 [ y '−( 2 x−1x+1

) y ]= 1(x+1)4

( e2 x

(x+1)3. y ) '=¿ dx)’

Por propiedade2 x

(x+1)3 . y= ∫ 1(x+1)4 dx+c

(x+1)3 . y= −13 (x+1)3 +c

∴ y=−13

e−2 x+c (x+1)3 e−2 x

6. y '+ y=2 xe− x+x2

y '+ y=2 xe− x+x2

FI = e∫dx=e x

Por propiedad

ex y=∫2 xdx+∫ ex x2 dx+C

ex y=x2+x2ex−2 x ex+2e x+C

∴ y=x2 e− x+x2−2 x+2+C e−x

7. xy '− y=x2 senx

y '−( 1X

) y=xsenx

Hallando el F.I

FI= 1X

Multiplicando en la ED inicial

1x( y¿¿ '−( 1

X) y )=senx ¿

( yX )

Por propiedad

=∫ senxdx+K

=−cosx+C

∴ y=−xcosx+Cx

8. ydx−4 ( x+ y6 ) dy=0

dM (x , y )dy

=1≠ dN (x , y )dx

dM (x , y )dy

−dN (x , y )dx

Hallando el F.I

FI=e∫−5 dy

y = y−5

y− 4 dx−4 ( x y−5+ y ) dy=0

dM (x , y )dy

=−4 y−5=dN (x , y)

df ( x , y )dx

=M ( x , y )= y−4

∫ df ( x , y ) dxdx

=∫ dxy4 +g( y )

f ( x , y )=x y−4+g ( y )

df ( x , y )dx

=−4 x y−5+g' ( y )=−(4 x y−5+4 y)

g' ( y )=−4 y→ g ( y )=−2 y2

∴ f ( x , y )=xy−4−2 y2=C

9. xy '−(1+ x) y=e− x sen 2x

y '+(1+x) y

x= e−x sen2 x

Hallando el F.I

FI=e∫ x +1dx

x =xe x

x ex( y¿¿ '+(1+x) yx

)=sen2 x¿

( x ex y )'=¿

Por propiedad

x ex y=∫ sen2 x dx+C

x ex y=−12

cos2 x+C

∴ y= −12 x ex cos2 x+ C

10. ( y cosx3−1 ) dx+cosx2 senxdy=0

dM (x , y )dy

=cosx3 ≠ dN (x , y)dx

=−2cosx senx2+cosx3

dM ( x , y )dy

−dN ( x , y )

dx=2cosx senx2

Hallando el F.I

FI=e∫ 2 cosx senx2 dy

cosx 2 senx =secx 2

( ycosx−secx 2) dx+senxdy=0

dM (x , y )dy

=cosx=dN (x , y )dx

df ( x , y )dx

=M ( x , y )= ycosx−secx2

∫ df ( x , y ) dxdx

=∫ ycosxdx−¿∫ secx2+g( y )¿

f ( x , y )= ysenx−tanx+g ( y )

df ( x , y )dx

=senx+g ' ( y )=senx

g' ( y )=0 →g ( y )=C

∴ f ( x , y )= ysenx−tan+C=K

11. y '−(tanx) y=cosx2

Hallando el F.I

FI=e∫ tanx dx=secx

secx( y¿¿ '−(tanx) y)=cosx ¿

( ysecx )'=¿ Por propiedad

secxy=∫ cosx dx+Cysecx=senx+C

∴ y=senx cosx+C cosx

12. y '+2xy=f ( x) f ( x )={−x ,∧0 ≤ x<10 ,∧x≥ 1

Hallando el F.I FI=e∫sen2 x dx=ex2

( y¿¿ '+2xy )=(f ( x ))ex2

y )'=¿ Por propiedad

y=∫ex2

f ( X)dx+C

Para : f(x)=x , si 0≤ x<1

y=∫ex2

y= ex2

∴ y=12+C e− x2

Para: f(x)=0 , si x≥ 1

y=∫ex2

y=C e−x2

13. xy '+ y=Lnx

y '+ 1X

y= LnXX

Hallando el F.I

FI=e∫ 1

x dx=x

x ( y '+ y)=LNx

( xy )'=¿

Por propiedad xy=xLnx−x+Cysecx=senx+C

∴ y=Lnx−1+C x−1

14. (1+e2) y '+2xy=f (x ) f ( x )={−x ,∧0 ≤ x<1x ,∧x≥ 1

Hallando el F.I

FI=e∫ 2 x

1+ x2 dx=1+x2

(1+x2)( y¿¿ ' +2xy )=f ( x ) ¿

((1+x2) y )'=¿

Por propiedad (1+x2) y=∫ f (X )dx+C

Para : f(x)=x , si 0≤ x<1

(1+x2) y=∫ x dx+C

(1+x2) y= ex2

∴ y= x2

2(1+x¿¿2)+ k1+x2 ¿

Para: f(x)=-x , si x≥ 1(1+x2) y=∫−x dx+C

(1+x2) y=−x2

∴ y= −x2

2(1+x¿¿2)+ k1+x2 ¿

15. (1+seny ) dx=¿

Hallando el F.I

FI=e∫ 1

cosy dy=secy+tany

(secy+tany)(x¿¿ '+ xcosy

)=(1+senycosy )( 2 ycosy

1+seny)¿

((secy+ tany)x )'=¿

Por propiedad (secy+tany )x=∫ 2 ydy+C

( secy+tany ) x= y2+C

∴ y= y2

2¿¿¿

XI ) Usando el método para la ecuación de Bernoulli , resolver:

1. 2 dydx

= yx+ x

− yx=x y−2

−(−12x

) y= x y−2 → n

Multiplicando por y−2= y2

y2 dydx

+(−12x ) y3= x

Multiplicando por (1−n)=3

3y2 y '+(−12 x ) y3=3

2x………………………⋕

Sea z= y3 → dzdx

=3 y2 dydx

Reemplazando en⋕

+(−32 x ) z=3

Hallando el F.I

FI=e∫−3

2 x dy=x

x−32 (z '+(−3

2 x ) z)=32

x . x−32

(z . x−32 )'

=( 32∫ x

−12 dx) '

z . x−3

2 =32∫ x

−12 dx+ K

∴ z=3 x2+K x32= y3

2. y '= xy x2+ y3

=xy+ y3 x−1

x−1− yx= y3 x−1 → n

Multiplicando por xn=x

xx '+ y x2= y3 …………………⋕

Multiplicando⋕por (1-n)=2

2 x . x−2 y x2=2 y3 ………………….. θ

z=x2 z '=2 x x '

Reemplazando enθ

z '−2 yz=2 y3

FI=e∫−2 y dy=e− y2

e− y2

( z '+2 yz )=2 y3 e− y2

(z . e− y2 )'=(2∫ y3 e− y2

dy ) '

z .e− y2

=2∫ y3 e− y2

∴ X2=Y 2+1+k e y2

3. xy '+ y=x4 y3

y '− yx−1=x3 y3→ n

Multiplicando por y−n= y−3

y−3 y ' +x−1 y−2=x3…………………⋕

Multiplicando⋕por (1-n)=-2

−2 y−3 y '−2x−1 y−2=−2 x3… ………………..θ

z= y1−n= y−2 z '=−2 y3 y '

Reemplazando enθ

z '−2 x−1 z=−2 x3

FI=e∫−2 x−1 dx=x−2

x−2 ( z'−2 x−1 z)=−2 x

( z . x−2 )'=(−∫2 xdx) '

z . x−2=− x2+K

∴ y−2=kx2−x4

I) Resolver

1) Un cristal crece 5% en un dia ¿cuándo se puede esperar que el cristal tenga el doble de su tamaño?

T(días) 0 1 X

S SO 105 So100

Considerando que

=−ks N (t )=C ekt …… …………………………..⋕

Para :

t=0 → So=C e0 t So=C

t=1 105 So100

=So ekt ln 2130

t=x2 So=So ext … X=13.94 dias

2) Se observa que cierta bacteria se duplica en 8 h ¿cual es la tasa de crecimiento?

T(días) 0 8

S SO 2So

Considerando que … ..⋕

t=82So=So e8 t … ln2=8 K → K=0.087

Tasa decreciemiento :0.087 uni /dias

N (t )=1e0.087 t

3) Se espera que la población del mundo se duplique en los siguientes 30 años ¿cual es la tasa de crecimiento?

T(días) 0 30S SO 2So

Considerando que … ..⋕

t=30… ln 2=30 K → K=0.023

N (t )=So e0.0231 t

4) Se desconoce la tasa de crecimiento de cierta especie de bacteria, pero se supone que es constante. Al comenzar el experimento, se estimo que habría alrededor de 1500 bacterias y una hora después hay 2000 ¿Cuál sería su predicción sobre el numero de bacterias que habrá en 4 horas después de iniciado el experimento?

T(días) 0 1S 1500 2000

Considerando que

=−ks N (t )=C ekt …… …………………………..⋕

Para :

t=0 → So=C e0 t 1500=C

t=12000=1500 ekt ln 43=K

t=4 X=1500 e4 t … X=4784.9

…. Luego de 4 horas Habra 4785 bacterias

Se desconoce una población inicial de bacterias que crece a una tasa constante k1. Suponga que t1 horas después las bactereias se

colocan en un cultivo diferente tal que ahora la población crece a una tasa constante K2. Determine la población de bacterias para cualquier tiempo.

T(días) 0 TS So X

Para :

t=T1 → X=So eK 1T 1 1500=C

Luego al cambiar de lugar

T(días) 0 TS So eK 2 T y

Igualando valores en T=0

Si=So eK 1 T 1donde Ti es constantes

Para t = T

y=So eK 1T 1e K 2T 2

y=So eK 1T 1+K 2 T 2

……S(t )=So eK 1T 1+K 2T 2

5) Inicialmente se tiene 0.1g de una bacteria en un contenedor grande; 2 horas más tarde se tienen 0.15g ¿ cuál es el tiempo para duplicarse para esta bacteria?

T(días) 0 2 XS 0.1 0.15 0.2

Considerando que

=−ks N (t )=C ekt …… …………………………..⋕

Para :

t=0 → So=C e0 t=0.1 g So=0.1g

t=20.15=0.1e2 t 0.2=K

t=x 0.2=0.1 ex(0.2)… X=3.45 horas

6) Un organismo que vive en un estanque se reproduce a una tasa proporcional al tamaño de su población. Los organismos también mueren a una tasa proporcional al tamaño de su población. A demás se agregan organismos continuamente a una tasa de Kg/año . Determine la ecuación diferencial que modela esta situación.

Para un año

Crecimiento del organismo S 1(t)=So ekt

Decrecimiento de la población S 2(t)=So e−kt

Adicion extra de organismos S3(t)=So ek 1 t

Sumando S1,S2Y S3

…..S123 ( t )=2So ekt+So e−kt

7) Un isotopo radiactivo tiene una vida media de t días. Se quiere tener 30g después de 30 días ¿ cuánto radioisótopo debe tenerse al inicio?

T(días) 0 T2 30S So So/2 30

Para :

t=0 → So=A 1500=C

t=t 2 So2

=So e−kt 2 ln 2t 2

t=3030=Soe−k (30)… So=30 e−(30) ln2

…. Se necesita So=30 e−(30) ln2

t 2 de radio isotopo

8) Se va a usar un radioisótopo en un experimento. Transcurrido 10 días, debe quedar solo 5%.¿cual debe ser la vida media?

T 0 10 30S So So/20 So/2

-−dx

dt=−kx ……………….⋕

Aplicando ⋕ para

t=10 So20

=So e−10 k ln 2010

=0.3=K

Entonces para t1/2

ln 20.3

=2.31 dias

Su vida media es de 2 dias

9) Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas esa cantidad disminuyo 3%. Si la rapidez de desintegración en cualquier tiempo t, es proporcional ala cantidad que queda después de 24 horas.

T 0 6 24S 100 97 X

t=0 → 100=C

t=697=100 e−6 k ln 100197

=0.3=K

t=24 X=100 e−24 k … X=88.53

…Luego de 24 horas queda 88.53 mg

10)Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del problema 10Entonces para t1/2

ln 20.3

=1365.7

Su vida media es de 1,365x104 horas

11)El Pb-209, isotopo radioactivo del plomo, se desintegro con una rapidez proporcional a la cantidad presente en un cualquier tiempo t y tiene la vida media de 3.3h . si al principio había 1 gramo de plomo ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre 90%?

T 0 3.3 XS 1 0.5 0.1

t=3.3 ln 2=K (3.3)0.21=K

t=X 0.1=e−0.21 x ln 100.21

X=10.96 horas

12)Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la To del aire es de 5o OF. Después de 1 min, el termómetro indica 55o OF ; 5 minutos después marca 30 OF.¿ cuál era la temperatura del interior?

T z 50 1.5S 0 1/2 0X

To =70 OF Tm =10 OF

C= To- Tm= 60

t=1/2 → 50=10+60ek/2

0.81=K

t=X 15=10+60 e−0.81 x 3.07=X

Luego de 1 min la temperature es de 37 OF y el tiempo es de 3.07 min para llegar a 15 OF.

13) F (t) = t2cos22t

L (F(t))(s) limb → ∞

e−st

F (t ) dt = limb → ∞

e−st

( t2 cos2 2t )dt

Haciendo una integración por partes:= lim

b → ∞

12¿¿

= limb → ∞

12 [ e−s (b )

s2+22 (2 sen2 b−scos2b )− e−sb

s ]−12 [ e−s (0 )

s2+22 (2 sen2(0)−scos 2(0))− e−s (0 )

s ]=−1

2 ( −ss2+22 )−1

2 (−1s ) = 1

2 s+ s

2(s2+4)

14) Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

i) F (t) = (t-1).(e-t + e3t)2

F (t) = (t-1).(e-2t+e6t+2e2t)

L (F(t))(s) = L (te-2t)(s) + L (te6t)(s) +2 L (te2t)(s) - L (e-2t)(s) - L (e6t)(s) -2 L (e2t)(s)

= L (t)(s+2) + L (t)(s-6) +2 L (t)(s-2) –(1

s+2+ 1

s−6+ 2

s−2¿

(s+2 )2+ 1

(s−6 )2+ 2

(s−2 )2− 1

s+2− 1

s−6− 2

L (F(t))(s) = -(s+1s+2

+ s−7s−6

−2 s−6s−2

ii) F (t) = e-t (4senh3t-5cosh3t)

F(t) = 4 e-t senh3t-5 e-t cosh3t

L (F(t))(s) = 4 L (e-t senh3t)(s) -5 L (e-t cosh3t)(s)

(s+1)2−32 −5 (s+1)

(s+1)2−32

= 7−5 s

s2+2 s−8

iii) F (t) =(t-2)te3t

F(t) = t2e3t-2te3t

L (F(t))(s) = L (t2)(s-3) -2 L (t)(s-3)

(s−3)3− 2

(s−3)2

= 2(4−s)(s−3)3

iv) F(t) = e4tsen(2t-π4 )

L (F(t))(s) = L(sen(2t-π4 ))(s-4)

= L(sen2t.cosπ4 )(s-4) - L(cos2t.sen

π4 ))(s-4)

= √22

L ( sen2t )( s−4 )−√22

L(cos2t )(s−4 )

= √22

2s2−8 s+16

- √22

s−4s2−8 s+16

v) F(t) = te-tsenh3t

L (F(t))(s) = L(tsenh3t) (s+1)

= - dds ( 3

s2+2 s−8 ) = -[-3 (2 s+2 )

(s¿¿2+2 s−8)2 ¿ ] =

6 s+6(s¿¿2+2 s−8)2 ¿

vi) F(t) = (t-1)3e-2t

F(t) = (t3-3t2+3t-1)e-2t

L (F(t))(s) = L(t3-3t2+3t-1) (s+2)

= L(t3) (s+2) -3L(t2) (s+2) +3L(t) (s+2) -L(1) (s+2)

(s+2)4 −6

(s+2)3 +3

(s+2)2 −1

L (F(t))(s) = 6−6 (s+2 )+3(s+2)2−(s+2)3

(s+2)4

vii) F(t) = tsenkt, k>0

L (F(t))(s) = L (tsenkt)(s) = - dds ( k

s2+k2 ) = - ¿

viii) F(t) = tetcos3t

L (F(t))(s) = L (tcos3t)(s-1) = - dds

L (cos3 t )(s)

Primero hallamos :

L (cos3 t )(s)= - dds ( s

s2+92 )

Luego:

L (tcos3t)(s-1) = - dds ( s−1

(s−1 )2+92 )

= -(−s2−2 s+10− (s−1 )(2 (s−1 ))

(s2−2 s+10)2¿ =( −s2+8

(s2−2 s+10)2 )=

s2−8(s2−2 s+10)2

15) Calcular la transformada de Laplace de las funciones F(t). F(t)

-1a 2a 3a 4a t

F(t) = {−1 , sia<t<2 a1 ,si 0 ≤t<a

L (F(t))(s) = ∫0

e−st F ( t ) dt +∫2 a

e−st F ( t ) dt

∫2 a

e−st F ( t ) dt=∫0

e−s(u+2 a )F (u+2a ) du = e−2 as∫0

e−4 s F (u ) du

=e−2 as L (F(t))(s)

Cambiemos: t = u + 2a

L (F(t))(s) = ∫0

e−st F ( t ) dt +e−2 as L(F (t ))(s )= 11−e−2 as∫

e−st F (t ) dt

= 11−e−2 as [∫0

e− st1 dt+∫a

e−st(−1) dt ]

eas /2

eas /2 ¿¿

L (F(t))(s) = 1s

tanh ( as2

PRACTICA N°6

1) Utilizando la definicion, calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones F(t):

a) F(t) = e(3/2)t

L (F(t))(s) = ∫0

e−st e(3/ 2)t dt= ∫0

e−(s−3 /2)t dt

= limb → ∞

e−(s−3/2)t

dt = limb→ ∞

[−e−(s+3

2 )t 1s−3/2 ]0

= limb → ∞ [−e−(s−3 /2)b

s−3/2+ 1

s−3 /2 ] = 1s−3 /2

Luego,

L (e(3/2)t)(s) = 1

s−3 /2 ; s >

b) F(t)= cosbt, b > 0

L (F(t))(s) = ∫0

e−st cosbtdt

= limb → ∞

e−st

cosbtdt ….(1) Integrando por partes

e−st

cosbtdt

Sea: u =e−st du= - e−sts dt

dv = cosbt dt v = senbt

e−st

cosbtdt = 1b

e−sb senbt+∫0

senbte−st

e−sb senbt+ sb [−1

be− st

cosbt− sb∫0

e−st

co sbtdt ]

b2+s2 [1b

e−st

− sb2 e−st co sbt ] ….(2)

=limb→ ∞ [ b2

b2+s2 ¿

L (F(t))(s) = s

b2+s2 +b

b2+s2 limm→+∞

e−ms sen(mb)− sb

b2+s2 ; b > 0 , s > 0

c) F(t)= t2e-2t

L (F(t))(s) = ∫0

e−st

t 2 e−2t dt= ∫0

t2 e−(s+2)t dt

= limm→+∞

t2 e−(s+2)t dt

= −t 2

(s+2) e−(s+2)t + 2(s+2)( −t

(s+2)e−(s+2)t + −t

(s+2)∫ e−(s+2)t dt ¿¿

= limm→+∞

¿(- −m2

(s+2)e−(s+2)m− 2 m

(s+2)2 e−(s+2)m− 2(s+2)3 e−(s+2)m+ m2

(s+2)+ 2(s+2)3

Luego,

L (t 2e−2 t)(s) = 2

(s+2)3 ; s > -2

d) F(t) = senh3t

L (F(t))(s) = ∫0

e−stsenh3tdt = lim

m→+∞∫

e−st

senh3 tdt

↔ 39−s2(e−st cosh 3 t+ s

3e−stsenh3t)

= −332−¿s2

32−¿s2

¿ lim

m→+∞e−ms(cosh3 m+ s

3senh 3 m)

⏟0 ;s>0

Luego,

e) F(t) = t2cos22t

L (F(t))(s) = ∫0

e−stt2cos22tdt = lim

b→+∞∫0

e−st t2cos22tdt

F(t) = t2/2.(1+cos4t) = t2/2 + cos4t/2

L (F(t))(s) = limb→+∞

t2dt + limb →+∞

cos 4 tdt

= limb→+∞

¿(−1

s3 e5b ¿ + limb →+∞

¿(−1

s325b ¿+12

limb→+∞

¿(−2e−5 b

s3 + 2s3 ¿ +

limb →+∞

¿(−e−b (s−4 i)

s−4 i+ 1

s−4 i¿ +

limb→+∞

¿(−e−b (s+4 i )

s+4 i+ 1

s−4 i¿

L(senh3t) = 3

s2−¿32

¿ ; s >

L (F(t))(s) = lim

b→+∞−1

s3 e5b + 1s3 +

14 ( 1

s−4 i )+ 14 ( 1

s+4 i ) = 1s3 +

s2+42 )

2) Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) F(t) = (t-1).(e−t+e3 t ¿2

F(t) = (t-1) (e-2t+2e2t+e6t)

= te-2t+2te2t+te6t-e-2t-2e2t-e6t

L (F(t))(s) = 1

(s+2)2 +2

(s−2)2 +1

(s−6)2−1

(s+2)− 2

(s−2)− 1

(s−6)

b) F(t) = e−t(4senh3t-5cosh3t)

F(t) = 4e-tsenh3t-5e-tcosh3t

L (F(t))(s) = 12

(s+1)2−32 −15 (s+1)

(s+1)2−32 = −15 s−3(s+1)2−4

c) F(t) = (t-2).te3 t

F(t) = t2e3t - 2te3t

L (F(t))(s) = 2

(s−3)3+ 2(s−3)2 =

4−2 s(s−3)3

d) F(t) = e4 t(sen2t.cosπ4 )

F(t) = e4 t (sen2t.cos

π4−¿ cos2t.sen

= √22

e4 t sen2 t−√22

e4 t cos2 t

e) F(t) = te−t senh3 t

L (F(t)) (s) = -

L ( e−t senh 3 t ) (s ) = - dds (

3(s+1 )2+9

= 36 s+6

s2+2 s+102

f) F(t) = (t−1)3e−2 t

F(t) = (t 3−1−3t 2+3 t ) e−2 t

= t 3e−2 t−e−2 t−3t 2 e−2t +3 t e−2 t

L (F(t))(s) = 6

(s+2)4 −1

s+2− 6

(s+2)3 +3

(s+2)3

g) F(t) = tsenkt , k>0

L (F(t))(s) = √2

(s−4 )2+22 −√22

( s−4 )( s−4 )2+22 =

2√2−√2 s+42 ( s−4 )2+22

L (F(t))(s) = - dds

L ( senkt )(s ) = - dds (

ks2+k2 ¿

= 2 ks

(s2+k 2)2

h) F(t) = tetcos3t

L (F(t))(s) = L (tcos3t)(s-1) = - dds ( s

s2+9 )( s−1)

= {−(s¿¿2+9)+2 s2

(s¿¿2+9)2¿¿}(s-1) =

(s−1)2−9(s+1)2+32

3) Calcular la transformada de Laplace de las funciones:

-1a 2a 3a 4a t

F(t) = {1 ;0<t ≤ a

−1 ;a<t ≤2a1 ;a<t ≤ 3 a

−1;3 a<t ≤ 4 a1 ;4 a<t

F(t) = 1 - 2¿( t−a)+2¿( t−2a)−2¿(t−3a)+2U (t−4 a)¿

L (F(t))(s) = 1s−2 e−as

s+ 2 e−2 as

s−2 e−3as

s+ 2e−4 as

b)F(t)

01 2 3 4 t

F(t) = {t ; 0<t ≤ 1

−t+2;1<t ≤ 2t−2;2<t ≤ 34−t ;3<t ≤ 4

0 ;4< t

F(t) = t+(-2t+2)¿( t−1)+(2 t−4 )¿ (t−2)+(6−2 t )¿(t−3)+(t−4)2 ¿(t−4)❑¿

L (F(t))(s) = 1s2 +2 d

ds ( e−s

s )+2 e−s

s−2 d

ds ( e−2 s

s )−4 e−2 s

s+6 e−3 s

+2 dds ( e−3 s

s )− dds ( e−4 s

s )−4 e−4 s

L (F(t))(s) = 1s2−

2e−s

s2 +2 e−2 s

s2 −2 e−3 s

s2 + e−4 s

c)F(t)

01 2 t

f ( t )={− t ,∧0<t ≤ 1t +2 ,∧1<t ≤ 2

0 ,∧2<t

F(t) = t-2t¿( t−1)+2¿ (t−1)+t ¿ (t−2)2¿(t−2)❑¿

L (F(t))(s) = 1s2 +2 d

ds ( e−s

s )+2 e−s

s− d

ds ( e−2 s

s )−2( e−2 s

L (F(t))(s) = 1s2−

2e−s

s2 + e−2 s

a) Si L (F(t))(s) = e−1/ s

s; hallar L (e−3 t . F(3 t ))(s)

Por la propiedad del cambio de escala :

L (F(3t))(s) = 13

3 e−3/ s

s = e−3/ s

L (e−3 t . F(3 t ))(s) = L (F(3t))(s+3) = e−3/(s+3)

b) Si a > 0 demostrar L (F(at))(s) = 19

f ( sa )

Si L (F(at))(s) = ∫0

e−s u

a F (at )dt

Hacemos un cambio de variables:

U=at→ t =u/a y dt = 1/a du

Reemplazando:

Si L (F(at))(s) = ∫0

e−s u

a F (u ) dua = 1/a∫

e−s u

a F (u ) du

Finalmente:

L (F(at))(s) = 19

f ( sa )

c) Calcular, L (∫0

e−4 x

cos3 xdx)(s)

Usaremos la siguiente propiedad:

1/s<∫0

F (t ) dt=1s

F (s )=1s

L (F(t))(s)

Tenemos ;

L(e−4 x cos3 x )(s) = 1sL(cos3 x)(s+4)

Finalmente:

L (∫0

e−4x

cos3 xdx)(s) =

1s( s+4(s+4)2+32 )

5) En los siguientes problemas. Hallar F(t) =L-1(f(s)(t)

a) f(s)= 2 s+s

s2+6 s+34

= 2 s+s+1−1(s+3)2+52 =

2(s+3)(s+3)2+52 =

1(s+3)2+52

L-1(f(s))(t) = L-1((s+3)

(s+3)3+52 )(t)−1

sL−1 5

(s+3)2+52

= 2e−3 t cos5 t−15

sen5 t

∴F (t )=L−1¿2e−3 t cos5 t−15

sen5 t

b) f(s)= 2 s−1

s2(s+1)3

2 s−1

s2(s+1)3 = As+ B

s+1+ D(s+1)2 +

E(s+1)3 ….(1)

s4(A+C) + s3(3A+B+2C+D)+ s2(3A+3B+C+D+E)+S(A+3B)

A=5 ; B= -1 ; C= -S ; D= -4 ; E= -3

Reemplazando en (1):

f(s) =2 s−1

s2(s+1)3 = 5s+−1

s2 + −ss+1

+ −4(s+1)2 +

−3(s+1)3

L-1(f(s))(t) = L-1( 5s+−1

s2 + −ss+1

+ −4(s+1)2 +

−3(s+1)3 )

∴F (t )=s−t−5e−t−4 t e−t−32

t2 e−t

c) f(s)= e−4 s

(s+2)2

L-1(e−4 s.1

(s+2 )3❑(t)) = U4 (t) L-1(e−4 s.

1(s+2 )3❑

Pero, L-1(1

(s+2 )3¿¿❑(t) =

e−2 t . t2

L-1(f(s))(t) = L-1(e−4 s

(s+2 )3❑

¿(t) =f(t)

∴F (t )=U 4 ( t ) . 12

e−2t+8 .(t 2−8 t +16)

d) f(s)= 2

9 s2+4

s2+( 23)

L-1(f(s))(t) = 13 L-1(

s2+( 23 )

(t) = 13

sen( 2 t3 )

∴F (t )=¿L-1(f(s))(t) = 13

sen( 2 t3 )

e) f(s)= s+3

s2−8 s+20+ s−3

s2+6 s−20

=s+3+4−4(s−4)2+22 +

s−3+3−3(s+3)2−¿¿

L-1(f(s))(t) = e4tcos2t+(7/2)sen2te4t+ e3t(cosh√29 t− 6√29

senh√29 t ¿

∴F (t )=¿ e4t(cos2t+(7/2)sen2t)+ e-3t(cosh√29 t−6√2929

senh√29 t ¿

e) f(s)= (1+e2 s)2

s+2 + 2e2s

s+2 + e4 s

L-1(f(s))(t) = L-1(1

s+2)(t) +2 L-1( e2 s

s+2)(t) + L-1( e24 s

s+2)(t)

∴F(t) = e−2 t+2 U2(t)e−2(t−2)+U 4(t )e−2 (t−4 )

6) Resolver los siguientes PVI usando la tansformada de Laplace:

a) Y’(t) = f(t) ; Y(0) = Y0 ; f ( x )={a ,∧0 ≤ t ≤t 0

b ,∧t 0≤ t

Tomando Laplace: sL{y(t)}-y(0) = L{a+(b-a)U(t-t 0¿}

L{y(t)} = y (0)

s+a/s2+(b-a)e−ts

Tomando Laplace inversa: y(t)=y0+at´+(b-a)(t-t 0¿

L{y(t)} = y (0)s

+a/s2+(b-a)e−ts

s2 U(t-t 0¿

b) Y’(t) +ay(t) = f(t) ; y(0) = 0

f (t )={b ,∧0≤t ≤ a0 ,∧a ≤ t

Tomando Laplace:

L{y(t)} = bs (s+a)

− be−ts

s (s+a)

Tomando Laplace inversa:

y(t)= ba−b

ae−at−( b

ae−a( t−a ))U (t−a)

∴y(t) = ¿

c) F(t) = y’’+y ; y(0) ; y’(0)-3

f ( t )={2 ;0≤t <11;1 ≤ t

Tomando Laplace:

L{y(t)} = sy ( o )− y ' (0 )+L { y (t ) }=¿L{2-u(t-1)}

Tomando Laplace inversa:

∴y(t) = 2-2cost+3sent+ (cos8t-1)U(t-1)

PRACTICA N°7

1. ¿Toda sucesión acotada es convergente? Justificar.

Veamos, consideremos la sucesión:

X n=an ¿ ¿

n es par : (-1)n = 1

n es impar: (-1)n = -1

Luego, x: Z+¿ → Rfuncion ¿

n → X n=an¿ ¿

Rang (x) = {-1 , 1 }

La sucesión es acotada, sin embargo no es convergente, en efecto, procederemos por

el absurdo. Supongamos que la sucesión.

an¿¿

∃ limn → ∞

an=l↔ para todo ε>0 , ε=1 ,∃N=N ( ε )≥ 0

para todon ≥ N , se tiene /¿

i) Si n es par : En (∎), /1 - l/ <ε ….(α ¿

ii) Si n es impar : En (∎), /-1 - l/ = / 1 + l/ <ε ….(β ¿

Luego usando (α ) y (β ¿ se tiene:

/ ¿) + (1 + l) / ≤ /1−l/ + / 1+ l / < 1 + 1 = 2

2 < 2 no puede ser

Por lo tanto, an¿¿

2. Si ∑n → ∞

(x¿¿n)2=0 , entonces ∑n→ ∞

xn=0 ¿

Como la serie ∑n=1

xn=0 entonces converge, donde la sucesión de sumas

parciales {Sn}n≥1 converge, esto es:

∃ limn→ ∞

(limn → ∞

Sn−1=S), pero:

X n=Sn−Sn−1 → limn → ∞

xn=limn → ∞

( Sn−Sn−1)=S−S=0

Luego: ∑n → ∞

3. Si xn(nϵ N ) es acotada superiormente y creciente, entonces xn(nϵ N ) es convergente.

{Sn}n>1 es acotado superiormente, por hipótesis α=minima cota superior de la sucesion, como α−E no es cota superior, ∃ un numero entero positivo N > 0, tal que:

α−ε<Sn , para todo n>N …(a) Tenemos:

Sn<α , para todo n>N∈Z+¿ …(b)¿

α es la minima cota superior.

Si Sn ≤ Sn+1, para todo n > N …. (c) ,

( {S}n>1 es creciente por hipótesis)

Luego, Sn ≤ Sn pero n > N ………(d)

De (a), (b), (c) y (d) se tiene que:

α−ε<Sn ≤ Sn ≤ α<α+ε siempre quen>N⇒{Sn }n>1

Es convergente y su limite es la minima cota superior.

4. Calcular limn→ ∞

( 1√n2+1

+ 1√n2+2

+ 1√n2+3

+…+ 1√n2+n

Este límite se obtiene acotando:1

√n2+n≤ 1

√n2+1≤ 1

√n2+11

√n2+n≤ 1

√n2+2≤ 1

√n2+11

√n2+n≤ 1

√n2+3≤ 1

√n2+1⋮ ⋮ ⋮

1√n2+n

≤ 1√n2+n

≤ 1√n2+1

Sumando, se obtiene:n

√n2+n≤ 1

√n2+1+ 1

√n2+2+…+ 1

√n2+n≤ n

√n2+1

limn→ ∞

( n√n2+n

)≤ limn→∞

( 1√n2+1

+ 1√n2+2

+…+ 1√n2+n

)≤ limn →∞

( n√n2+n

1 ≤ limn → ∞

( 1√n2+1

+ 1√n2+2

+…+ 1√n2+n

∴ limn → ∞ ( 1

√n2+1+

1√n2+2

√n2+3+…+

1√n2+n )=1

5. Calcular: ∑n → ∞

( 1n2 + 1

( n+1 )2+¿ 1

(n+2 )2+…+ 1

(2 n )2)¿

Este limite se obtiene acotando, es decir:

1n2 ≤ 1

(n+1)2 ≤ 1(n+1)2

1n2 ≤ 1

(n+2 )2≤ 1

(n+1 )2

1n2 ≤ 1

(n+3)2 ≤ 1(n+1)2

⋮ ⋮ ⋮1n2 ≤ 1

(n+n)2 ≤ 1(n+1)2

Sumando, se obtiene:

nn2 ≤( 1

(n+1 )2+…+ 1

(n+n )2)≤ n

(n+1)2

Ahora tomando el limite:

limn → ∞

( nn2 )≤ lim

n→ ∞( 1

(n+1 )2+…+ 1

(n+n )2)≤

limn → ∞

(n+1)2

0 ≤ limn→∞

( 1n2 +

1(n+1 )2

+…+ 1(n+n )2

)≤ 0

∴ limn→ ∞ ( 1

(n+1 )2+…+

1( n+n )2 )=0

6. Calcular: ∑n→ ∞

n ! ); x∈R

Por el teorema de la razón:

n! ; an+1=

(n+1) !

Aplicando límites:

limn → ∞¿

an/¿ = limn → ∞

xn . x(n+1 )n !

= /x/ limn → ∞

( 1n+1

) = 0 ⟹<1

∴ La serie de potencias dada es absolutamente convergente.

7. Si 0 < a < 1, k ϵ N , calcular limn → ∞

(nk .0)

Por el criterio de la razón:

limn → ∞

¿ (n+1)k nk

nk . an /¿ = limn → ∞

¿1+ 1n/a

= a ( limn→∞

1+ limn→ ∞ ( 1

n )) = a (1+0)

PRACTICA N°8

1. Encuentre el conjunto de valores x para los cuales la serie ∑n ≥1

U n(x)

converge, cuando U n(x ) es:

a. Un ( x )= 1xn

Un+1 ( x )= 1xn+1

⇒/Un+1(x)Un ( x )

/¿ = ¿

xn . x/n→ ∞

/1x / < 1 ↔ /x/ < 1

b. U n ( x )= 3 an+1

3n−1¿¿

Un+1 ( x )=3 an+2

3n ¿¿

⇒/Un+1(x)Un ( x )

/¿ = ¿ 3 an+2

3n¿¿¿ = ¿3an+1 . a .3n ¿¿

a3.2 x

/n → ∞→

x/¿ < 1

↔ /a

6 x / < 1

c. Un ( x )=e−nx

Un+1 ( x )=e−(n+1) x

⇒/Un+1(x)Un ( x )

/¿ = ¿ e−(n+1 )x

e−nx /¿ = ¿ e−x /n → ∞→

/1ex /¿

↔¿ 1ex /¿ < 1

d. U n ( x )=nxn

Un+1 ( x )=(n+1) xn+1

⇒/U n+1(x)U n ( x )

/¿ = ¿

(n+1)xn+1

/¿ = ¿nx+xe . n

= ¿n+1

nxe/¿ = (1+ 1

n)¿ x /¿

en→ ∞

¿ x /¿e

¿¿ < 1

Luego,

¿x /¿e

¿ < 1

↔¿ x /¿ < e

e. U n ( x )=¿

U n+1 ( x )=¿

⇒/U n+1(x)U n ( x )

/¿ = ¿¿¿ = ¿

x+1x+2

/n→ ∞→

x+2/¿ < 1

Luego,

¿ x+1x+2

/¿ < 1 ↔ −1<1− 1x+2 < 1

↔−2< −1x+2

<0↔ 2> 1x+2

↔ x+2> 12

↔ x> 12−2

↔ x>−32

↔ x∈<−32

,+∞>¿

2. Encuentre el conjunto de valores de x para los cuales, la serie ∑n , 1

f n(x ) converge y establezca el radio de convergencia R, cuando

f n(x) es:

a. f n ( x )= xn

1+2+3+…+n

f n ( x )= xn

n(n+1) /2

f n+1 ( x )= xn+1

(n+2)(n+1)/2

⇒/ f n+1(x )f n ( x )

/¿= ¿

(n+2)(n+1)/2xn

n (n+1)/2

/¿ = ¿nx

n+2/¿

/¿/x/n→ ∞→

/x /¿ < 1

↔−1<x<1

↔ x∈<−1 ,+1>¿ , R =1

b. f n ( x )= x2 n

f n+1 ( x )= x2(n+1)

(n+1 )!

⇒/ f n+1(x )f n ( x )

/¿= ¿

x2 (n+1)

(n+1 )!x2n

/¿ = ¿

x2 n . x(n+1 ). n !

/¿ = ¿ x2

(n+1)/¿

/¿x2n→ ∞

0↔ R=∞

c. f n ( x )= xn2

f n+1 ( x )= x(n+1)2

2(n+1)

⇒/ f n+1(x )f n ( x )

/¿= ¿

x(n+1)2

2(n+1)

/¿ = x2 n

2/ x /¿ n → ∞

↔ R=0; /x/ < 1

d. f n ( x )= n+13n . n

f n+1 ( x )= n+23n+1 .(n+1)

⇒/ f n+1(x )f n ( x )

/¿= ¿n+2

3n+1 .(n+1)¿¿ = ¿(n+2)¿¿

= ¿(1+ 2

n)(x−2)

3 (1+ 2n+ 1

n2 )/¿ = ¿ x−2/¿

3¿ < 1

¿ x−2/¿< 3 ↔ −3<x−2<3↔−1< x<1

↔ x∈<−1 ,+5>¿ , R =3

e. f n ( x )= 2 . 4 . 6… ..2 n( x−2)n

4 .7 . 10 … ..(3 n+1)

f n+1 ( x )=2.4 .6…..2 (n+1)( x−2)n+1

4.7 .10 … ..(3 (n+1)+1)

⇒/ f n+1(x )f n ( x )

/¿= ¿

2.4 .6 … ..2(n+1)(x−2)n+1

4.7 .10 … ..(3(n+1)+1)2.4 .6 … ..2n(x−2)n

4.7 .10… ..(3 n+1)

/¿ = ¿2 n+23 n+4

(x−2)/¿

= ¿2+ 2

/¿x−2/¿

=¿2+ 2

/¿x−2/n→ ∞→ 2

3/ x−2/¿ < 1

Luego:

/x-2/ < 3/2 ↔ −32

< x−2<32

↔ −12

<x−2< 72

↔ x∈<−12

,+72>¿ , R =3/2

f. f n ( x )=nxn

f n+1 ( x )=(n+1) xn+1

⇒/ f n+1(x )f n ( x )

/¿= ¿(n+1 ) xn . x

n xn /¿= ¿ (n+1 )n

/¿ x /¿ n → ∞→

/x /¿1

↔ −1<x<1

↔ x∈<−1 ,+1>¿ , R = 1

g. f n ( x )= xn

f n+1 ( x )= xn+1

√n+1

⇒/ f n+1(x )f n ( x )

/¿= ¿

√n+1xn

/¿ = ¿ x−√n√n+1

/¿ = ¿ √n√n+1

/¿/x/

√1+ 1n

/¿/x/

↔ ¿1

√n+1/¿/x/n → ∞

/x /¿1

↔ −1<x<1

↔ x∈<−1 ,+1>¿ , R = 1

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando serie de potencias:

a. y´´-xy´+y =0y(0) = 1 , y’(0) = 0

Suponiendo que: y(x) = ∑n=O

an xn es solución de la E.D. luego,

reemplazando en la E.D. se tiene:

y’(x) = ∑n=1

nan xn−1

y’’(x) = ∑n=2

n(n−1)an xn−2

Reemplazando en la E.D. se tiene:

∑n=2

n(n−1)an xn−2−x∑n=1

n an xn−1

⏟+∑

an xn=0

∑n=1

nan xn

Haciendo: n−2=m↔ n=m+2

∑n=2

n(n−1)an xn−2=∑m=O

( m+2 )(m+1)am+2 xm

“m” hace de variable muda:

∑m=O

(m+2 )(m+1)am+2 . xm=∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2. xn

Luego,

∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2 . xn

⏟−∑

nan xn+∑n=O

2 a2+∑n=1

(n+2 )(n+1)an+2 . xn a0+∑n=1

(a0+2 a2 )+∑n=1

¿¿¿

↔ a0+2 a2=0∧ (n+2 )(n+1)an+2+ (1−n ) an=0 ,∀ n≥ 1

Por dato :a0=1 , a1=0 →a2=−12

n=1: (2 ) (3 ) a3+0.a1=0↔ a3=0n=2: (3 ) ( 4 ) a4−a2=0↔ a4=−1/24

n=3 : (4 ) (5 )a5−2 a3=0↔ a3=0⋮ ⋮ ⋮

Por tanto:

y ( x )=1+0 x−12

x2+ox3− 124

x4+0 x5− 1240

x6+…

b. y´´+x2y =0

y(0) = 1 , y’(0) = 1

y’(x) = ∑n=1

nan xn−1

y’’(x) = ∑n=2

n(n−1)an xn−2

∑n=2

n(n−1)an xn−2+x2 ∑n=O

∑n=0

nan xn+2

∑n=2

( m+2 )(m+1)am+2 xm

∑m=O

(m+2 )(m+1)am+2 . xm=∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2. xn

Haciendo: n+2=m:

∑n=O

an xn+2=∑m=2

am−2 xm

∑m=2

am−2 xm=∑n=2

an−2 xn

Luego,

∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2 . xn

⏟+∑

an−2 xn

2a2+6 a3 x+∑n=2

(n+2 )(n+1)an+2 . xn+∑n=2

an−2 xn=¿0❑¿

(2 a2+6a3 x )=0∧∑n=2

¿¿¿ ∀ n ≥2

Por dato :a0=1 , a1=1→a2=0n=2: (4 ) (3 ) a4+a0=0↔ a4=−1/12n=3 : (5 ) (4 )a5+a1=0 ↔ a5=−1/20

n=4 : (6 ) (5 ) a6+a2=0↔a6=0⋮ ⋮ ⋮

Por tanto:

y ( x )=1+x−0 x2+0 x3− 112

x4− 120

x5−0 x6+…

c. y´´+xy’+xy =0

y(0) = 0 , y’(0) = 1

y’(x) = ∑n=1

nan xn−1

y’’(x) = ∑n=2

n(n−1)an xn−2

∑n=2

n(n−1)an xn−2+x∑n=1

nan xn−1

⏟+∑

∑n=1

nan xn ∑n=O

an xn+1

∑n=2

( m+2 )(m+1)am+2 xm

∑m=O

(m+2 )(m+1)am+2 . xm=∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2. xn

Haciendo: n+1=m:

∑n=O

an xn+1=∑m=1

am−1 xm

∑m=1

am−1 xm=∑n=1

an−1 xn

Luego,

∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2 . xn

⏟+∑

an−1 xn

2 a2+∑n=1

(n+2 )(n+1)an+2 xn

⟹2 a2+∑n=1

[ (n+2 ) (n+1 ) an+2+n an+an−1 ] xn=¿0❑¿

(2 a2 )=0∧∑n=1

[ (n+2 ) (n+1 )an+2+n an+an−1 ] xn=0 , ∀n≥1

Por dato :a0=0 , a1=1→ a2=0n=1: (2 ) (3 ) a3+a1+a0=0↔ a3=−1/6

n=2: (3 ) ( 4 ) a4+2 a2+a1=0↔ a4=−1 /12n=3 : (4 ) (5 )a5+3 a3+a2=0↔ a5=1/40

⋮ ⋮ ⋮

Por tanto:

y ( x )=0+x−0 x2−16

x3− 112

x4+ 140

x5+ 1180

x6+…

d. y´´-xy =0

y(0) = 0 , y’(0) = 1

y’(x) = ∑n=1

nan xn−1

y’’(x) = ∑n=2

n(n−1)an xn−2

∑n=2

n(n−1)an xn−2−x∑n=O

∑n=O

an xn+1

∑n=2

( m+2 )(m+1)am+2 xm

∑m=O

(m+2 )(m+1)am+2 . xm=∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2. xn

Haciendo: n+1=m

∑m=1

am−1 xm ↔∑n=1

an−1 xn

∑n=0

(n+2)(n+1)an+2 xn

⏟−∑

an−1 xn=0

2 a2+∑n=1

(n+2 ) (n+1 ) an+2 xn

→ 2a2+∑n=1

2a2=0→ a2=0Por dato :a0=1 , a1=1

n=1: (3 ) (2 ) a3−a0=0 ↔a3=0n=2: (4 ) (3 ) a4−a1=0 ↔ a4=1/12

n=3 : (5 ) (4 )a5−a2=0 ↔a5=0n=3 : (6 ) (5 ) a6−a3=0↔ a6=0

⋮ ⋮ ⋮

Por tanto:

y ( x )=0+x+0 x2+0x3+ 112

x4+0 x5+0x6+…

e. (x2-1)y´´+3xy’= -xy

y(0) = 4 , y’(0) = 6

y’(x) = ∑n=1

nan xn−1

y’’(x) = ∑n=2

n(n−1)an xn−2

(x2+1)∑n=2

n(n−1)an xn−2+3 x∑n=1

nan xn−1+x∑n=O

an xn=0

→∑n=1

n (n−1 ) an xn−x∑n=2

n (n−1 ) an xn−2+3∑n=O

nan xn+¿

+∑n=O

an xn=0

Hacemos: n−2=m

∑n=2

( m+2 )(m+1)am+2 xm

∑m=O

(m+2 )(m+1)am+2 . xm=∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2. xn

Haciendo: n+1=m:

∑n=O

an xn+1=∑m=1

am−1 xm

∑m=1

am−1 xm=∑n=1

an−1 xn

Luego,

→∑n=2

n(n−1)an xn−∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2. xn+3∑n=1

nan xn+∑n=1

an−1 xn=0

→∑n=2

n(n−1)an xn−2 a2−6 a3 x−∑n=2

(n+2 ) (n+1 ) an+2 . xn+3 a1 x+3∑n=2

nan xn+a0+∑n=2

an−1 xn=0

Por propiedad:(−2 a2−6 a3 x+3 a1 x+a0 )+¿

+∑n=2

3 a1−6 a3 x+a0−2a2=0 n(n−1)an−(n−2 ) (n+1 ) an+2+3n an+an−1=0 ,∀n ≥ 2

Por dato :a0=4 , a1=6→ a2=2n=1: (1 ) (3 ) a1− (−1 ) (2 ) a3+a0=0↔ a3=3

n=2: (2 ) ( 4 ) a2− (4 ) (3 )a4+a1=0 ↔a4=11 /6n=3 : (3 ) (5 ) a3−(5 ) (4 ) a5+a2=0 ↔ a5=47/20

⋮ ⋮ ⋮

Por tanto:

f. (1+x2)y´´+2xy’ -2y =0

y(0) = 0 , y’(0) = 1

y’(x) = ∑n=1

nan xn−1

y’’(x) = ∑n=2

n(n−1)an xn−2

(1+x2 )∑n=2

n (n−1 ) an xn−2+2 x∑n=1

nan xn−1−2∑n=O

an xn=0

→∑n=2

n (n−1 ) an xn−2+∑n=2

n (n−1 )an xn+2x∑n=1

nan xn

−2∑n=O

an xn=0

Hacemos: n−2=m

∑n=2

( m+2 )(m+1)am+2 xm

y ( x )=4+6 x−2 x2+3 x3+116

x4+ 4720

x5−4730

x6+…

∑m=O

(m+2 )(m+1)am+2 . xm=∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2. xn

Haciendo: n+1=m:

∑n=O

an xn+1=∑m=1

am−1 xm

∑m=1

am−1 xm=∑n=1

an−1 xn

Luego,

→∑n=O

(n+2 )(n+1)an+2 . xn+∑n=2

n(n−1)an xn+2∑n=1

nan xn−2∑n=0

an xn=0

→ 2a2+6 a3+∑n=2

(n+2 ) (n+1 ) an+2 . xn+∑n=2

n (n−1 ) an xn+2 a1

+2∑n=2

nan xn−2a0−2a1 x−2∑n=2

an xn=0

Por propiedad:(2 a2+6a3 x−2 a1 x−2a0 )=0

¿Por dato :a0=0 , a1=1→ a2=0

n=1: ( 4 ) (3 ) a4+2 a2+2.2 a2−2 a2=0↔ a3=1/3n=2: (5 ) ( 4 ) a5+3 a3+2.3 a3−2 a3=0 ↔a4=0

n=3 : (6 ) (5 ) a6+4 a4+2.4 a4−2a4=0 ↔ a5=−10 /3⋮ ⋮ ⋮

Por tanto:

y ( x )=0+x+0 x2+ 13

x3+0 x4−103

x5+0 x6+…

Ecuación diferencial exacta

En donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que

donde y . Dado que F(x,y) es una función diferenciable entonces las derivadas mixtas deben ser iguales y esta es la

condición .

Método de resolución.

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable independiente de g.

Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .

Factor integrante.

Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplica por una función especial llamada factor integrante, tal que:

Sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible facilmente encontrar un factor integrante:

Factor integrante solo en función de x.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Factor integrante solo en función de y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Factor integrante solo en función de x+y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Con z = x + y

Factor integrante solo en función de x·y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Donde M * x = M·x

Cabe mencionar que:

Ecuación diferencial de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

donde y son funciones continuas en un intervalo

Método de resolución

Caso general

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

Definiendo:

lleva inmediatamente a las relaciones:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

Caso particular: α = 1

En este caso la solución viene dada por:

Ejemplo

Para resolver la ecuación:

Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

Y se resuelve ahora la ecuación:

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :

Serie de potencias

Definición

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes an son los términos de una sucesion.

Ejemplos

La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1

La serie de potencias es absolutamente convergente para todo

La serie de potencias solamente converge para x = 0

Sucesiones y series

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función Definición

Si es una función (o señal) periódica y su período es T, la serie de Fourier asociada a es:

Donde , y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica

Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p. Sean

entonces la serie converge a

En donde , y

Forma exponencial

Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

En forma más compacta:

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Perspectiva histórica

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:

— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.

Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

— análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.

Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.

La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:

— donde D es el operador diferencial, esto es, D = d / dx, entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:

Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:

— ésta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:

Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:

Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos. Hacia principios

del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Propiedades

Linealidad

Derivación

Integración

Dualidad

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal

Nota: u(t) es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Condiciones de convergencia

(que crece más rápido que e − st) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , no es una función de orden exponencial de ángulos.

Tabla de las transformadas de Laplace más comunes

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella u denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

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