Sistemas de ecuaciones...Sistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas 1. Método...
Transcript of Sistemas de ecuaciones...Sistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas 1. Método...
Sistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas
1. Método de igualación
1) 𝑎 + 𝑏 = 9𝑎 − 𝑏 = 1
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Suele ser mejor utilizar la que tenga los coeficientes iguales, positivos o lo más pequeños posible. Por ejemplo, vamos a igualar por la a:
𝑎 = 9 − 𝑏𝑎 = 1 + 𝑏
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
9 − 𝑏 = 1 + 𝑏 Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
9 − 𝑏 − 9 = 1 + 𝑏 − 9
−𝑏 = −8 + 𝑏
−𝑏 − 𝑏 = −8 + 𝑏 − 𝑏
−2𝑏 = −8
𝑏 = 4 Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑎 = 1 + 𝑏 Podemos cambiar la b por 4 que es su valor:
𝑎 = 1 + 4
𝑎 = 5 Con lo que la solución del sistema es (+5, +4)
2) 2𝑥 − 𝑦 = 9
3𝑥 − 7𝑦 = 19}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la x:
2𝑥 = 9 + 𝑦3𝑥 = 19 + 7𝑦
}
𝑥 =9 + 𝑦
2
𝑥 =19 + 7𝑦
3
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
9 + 𝑦
2=
19 + 7𝑦
3
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
3 · (9 + 𝑦) = 2 · (19 + 7𝑦)
27 + 3𝑦 = 38 + 14𝑦
−11𝑦 = 11
𝑦 = −1 Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑥 =9 + 𝑦
2
Podemos cambiar la 𝑦 por −1 que es su valor:
𝑥 =9 + (−1)
2
𝑥 = 4
Con lo que la solución del sistema es (+4, −1)
3) 5𝑥 + 𝑦 = 57𝑥 − 𝑦 = 13
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:
𝑦 = 5 − 5𝑥−𝑦 = 13 − 7𝑥
}
Multiplicamos la segunda ecuación por −1:
𝑦 = 5 − 5𝑥𝑦 = −13 + 7𝑥
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
5 − 5𝑥 = −13 + 7𝑥 Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
−12𝑥 = −18
𝑥 =−18
−12
𝑥 = +3
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑦 = 5 − 5𝑥
Podemos cambiar la 𝑥 por 3
2 que es su valor:
𝑦 = 5 − 5 ⋅ (+3
2)
𝑦 = 5 −15
2
𝑦 =10
2−
15
2
𝑦 = −5
2
Con lo que la solución del sistema es (+3
2, −
5
2)
4) 11𝑥 + 13𝑦 = 2313𝑥 + 11𝑦 = 25
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:
13𝑦 = 23 − 11𝑥11𝑦 = 25 − 13𝑥
}
𝑦 =23 − 11𝑥
13
𝑦 =25 − 13𝑥
11
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
23 − 11𝑥
13=
25 − 13𝑥
11
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
11 · (23 − 11𝑥) = 13 · (25 − 13𝑥)
253 − 121𝑥 = 325 − 169𝑥
48𝑥 = 72
𝑥 =72
48
𝑥 =3
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑦 =23 − 11𝑥
13
Podemos cambiar la 𝑥 por 3
2 que es su valor:
𝑦 =23 − 11 (
32)
13
𝑦 =23 −
332
13
𝑦 =
462 −
332
13
𝑦 =
132
13
𝑦 =
132
131
𝑦 =1 · 13
2 · 13
𝑦 =1
2
Con lo que la solución del sistema es (+3
2, +
1
2)
5) 11𝑥 + 13𝑦 = 2313𝑥 + 11𝑦 = 25
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:
13𝑦 = 23 − 11𝑥11𝑦 = 25 − 13𝑥
}
𝑦 =23 − 11𝑥
13
𝑦 =25 − 13𝑥
11
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
23 − 11𝑥
13=
25 − 13𝑥
11
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
11 · (23 − 11𝑥) = 13 · (25 − 13𝑥)
253 − 121𝑥 = 325 − 169𝑥
48𝑥 = 72
𝑥 =72
48
𝑥 =3
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑦 =23 − 11𝑥
13
Podemos cambiar la 𝑥 por 3
2 que es su valor:
𝑦 =23 − 11 (
32)
13
𝑦 =23 −
332
13
𝑦 =
462
−332
13
𝑦 =
132
13
𝑦 =
132
131
𝑦 =1 · 13
2 · 13
𝑦 =1
2
Con lo que la solución del sistema es (+3
2, +
1
2)
6) 5𝑥 − 4𝑦 =
49
6
2𝑥 + 3𝑦 = 14}
Quitamos denominadores de la primera ecuación multiplicándola por 6: 30𝑥 − 24𝑦 = 49
2𝑥 + 3𝑦 = 14}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑥:
30𝑥 = 49 + 24𝑦2𝑥 = 14 − 3𝑦
}
𝑥 =49 + 24𝑦
30
𝑥 =14 − 3𝑦
2
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
49 + 24𝑦
30=
14 − 3𝑦
2
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
2 · (49 + 24𝑦) = 30 · (14 − 3𝑦)
98 + 48𝑦 = 420 − 90𝑦
138𝑦 = 322
𝑦 =322
138
𝑦 =2 · 7 · 23
2 · 3 · 23
𝑦 =7
3
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑥 =14 − 3𝑦
2
Podemos cambiar la 𝑦 por 7
3 que es su valor:
𝑥 =14 − 3 · (
73)
2
𝑥 =14 − 7
2
𝑥 =7
2
Con lo que la solución del sistema es (+7
2, +
7
3)
7) 3𝑥 + 7𝑦 = 27𝑥 + 8𝑦 = −2
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑥:
3𝑥 = 2 − 7𝑦7𝑥 = −2 − 8𝑦
}
𝑥 =2 − 7𝑦
3
𝑥 =−2 − 8𝑦
7
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
2 − 7𝑦
3=
−2 − 8𝑦
7
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
7 · (2 − 7𝑦) = 3 · (−2 − 8𝑦)
14 − 49𝑦 = −6 − 24𝑦
−25𝑦 = −20
𝑦 =−20
−25
𝑦 =4
5
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑥 =2 − 7𝑦
3
Podemos cambiar la 𝑦 por 4
5 que es su valor:
𝑥 =2 − 7 · (
45
)
3
𝑥 =2 −
285
3
𝑥 =
105
−285
3
𝑥 =
−1853
𝑥 =
−18531
𝑥 = −18
15
𝑥 = −6
5
Con lo que la solución del sistema es (−6
5, +
4
5)
8) 4𝑥 + 6𝑦 = 11
17𝑥 − 5𝑦 = 1}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑥:
4𝑥 = 11 − 6𝑦
17𝑥 = 1 + 5𝑦}
𝑥 =11 − 6𝑦
4
𝑥 =1 + 5𝑦
17
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
11 − 6𝑦
4=
1 + 5𝑦
17
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
17 · (11 − 6𝑦) = 4 · (1 + 5𝑦)
187 − 102𝑦 = 4 + 20𝑦
−122𝑦 = −183
𝑦 =−183
−122
𝑦 =3 · 61
2 · 61
𝑦 =3
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑥 =11 − 6𝑦
4
Podemos cambiar la 𝑦 por 3
2 que es su valor:
𝑥 =11 − 6 · (
32)
4
𝑥 =11 − 9
4
𝑥 =2
4
𝑥 =1
2
Con lo que la solución del sistema es (+1
2, +
3
2)
9) 8𝑥 − 4𝑦 = 69𝑥 − 3𝑦 = 6
}
Podemos simplificar las ecuaciones dividiendo la primera entre 2 y la segunda entre 3:
4𝑥 − 2𝑦 = 33𝑥 − 𝑦 = 2
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:
−2𝑦 = 3 − 4𝑥−𝑦 = 2 − 3𝑥
}
Multiplicamos las dos ecuaciones por −1:
2𝑦 = −3 + 4𝑥𝑦 = −2 + 3𝑥
}
𝑦 =−3 + 4𝑥
2𝑦 = −2 + 3𝑥
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
−3 + 4𝑥
2= −2 + 3𝑥
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
(−3 + 4𝑥) = 2 · (−2 + 3𝑥)
−3 + 4𝑥 = −4 + 6𝑥
−2𝑥 = −1
𝑥 =−1
−2
𝑥 =1
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑦 = −2 + 3𝑥
Podemos cambiar la 𝑥 por 1
2 que es su valor:
𝑦 = −2 + 3 (1
2)
𝑦 = −2 +3
2
𝑦 = −4
2+
3
2
𝑦 = −1
2
Con lo que la solución del sistema es (+1
2, −
1
2)
10) 37,43:.80
6Sol
ba
ba
𝑎 − 𝑏 = 6𝑎 + 𝑏 = 80
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑎:
𝑎 = 6 + 𝑏𝑎 = 80 − 𝑏
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
6 + 𝑏 = 80 − 𝑏 Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
2𝑏 = 74
𝑏 = 37
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑎 = 6 + 𝑏 Podemos cambiar la 𝑏 por 37 que es su valor:
𝑎 = 6 + (37)
𝑎 = 43 Con lo que la solución del sistema es (+43, +37)