UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS · Sistemas de dos ecuaciones con dos...
Transcript of UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS · Sistemas de dos ecuaciones con dos...
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Método de igualación.
Método de reducción.
Método de sustitución
Método de eliminación Gaussiana.
Método de GAUSS-JORDAN
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: conjunto de ecuaciones que tienen
exponente uno y su representación gráfica es una recta.
2X +3Y =4
3X+7Y=-2
ecuaciones
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: Son expresiones definidas de la
siguiente manera
a1.x1 + a2.x2 +… + an. xn =b
sus variables están elevadas al exponente uno, donde:
x1, x2, , …xn: son variables de la ecuación
a1, a2, … , an: son coeficientes de las variables.
b: término independiente o constante.
ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS.
Esta definida dela forma a x + a y = c
Donde:
x, y : son variables. a, b: son coeficientes. c: son términos independientes o
constantes
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
TIPOS DE SISTEMA DE ECUACIONES.
La resolución de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de
número reales que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema, el
mismo valor de las variables debe satisfacer todas las ecuaciones.
Única Solución: Las variables tienen una respuesta satisfactoria. X=N°,
Y=N° Son llamados sistema compatible determinado y gráficamente las
rectas se cortan en un solo punto, es decir tienen un punto en común.
Infinitas Soluciones: En este sistema “X” y “Y” son iguales a cero, 0=0
Son llamados sistema compatible indeterminado y gráficamente las rectas
se solapan (una sobre la otra), tienen infinitos puntos en común.
Sin Solución: En este caso no se cumple la igualdad en el resultado
obtenido, 3=5, 0=4, dos líneas paralelas la recta no se corta son llamados
sistema incompatibles o inconsistente gráficamente las rectas son paralelas
no tienen punto común de intersección.
NOTA: LOS SISTEMA COMPATIBLE O CONSISTENTE SON AQUELLOS SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES QUE TIENEN UNO O INFINITAS SOLUCIONES.
NOTA: LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEOS SON SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES DONDE TODOS LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES O CONSTANTES SON CEROS Y
SIEMPRE TIENEN AL MENOS UNA SOLUCIÓN TRIVIAL (SUS VARIABLES SERAN IGUAL A CERO)
MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA SISTEMA DE ECUACIONES.
o Método de Sustitución: Consiste en despejar en una de las ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente para a
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
continuación sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistema
con más de dos incógnitas la seleccionada debe ser sustituida por su valor
equivalente en todas las ecuaciones excepto en las que hemos despejado
3x+y =22
4x-3y=-1
Despejando Y
Y=22-3X
Sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación para así
obtener una ecuación en donde la única incógnita sea X entonces
4x-3(22-3x) = -1
4x-66+9x = -1
13x =65
X=5
Si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las
ecuaciones originales obtendremos
3(5) +y = 22
Y = 22-15
Y=7
o Método de Igualación: Se puede entender como un caso particular del
método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos
ecuaciones y a continuación se igualan entre sí, aparte derecha de ambas
ecuaciones.
Despejamos ambas:
3x+y = 22
4x-3y =-1
Y= 22-3x
(-1) -3y = -1 -4x (-1)
Y = 1+4x / 3
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
Ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda por lo que se
puede afirmar que las partes derechas también son iguales.
22-3x= 1+4𝑥
3
3(22-3x) = 1+4x
66-9x = 1+4x
-9x-4x= 1-66
(-1) -13x = -65 (-1)
X = 65/13
X=5
Ahora que tenemos a X sustituimos en una de las ecuaciones originales y
buscamos el valor de Y.
o Método de Eliminación o Reducción: Consiste en transformar una de las
ecuaciones de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una
misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. Si
suman las dos ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación
de dicha incógnita. 2x-3y=5
5x+6y =4
2 { 2x +3y = 5
{5x+ 6y =4
-4x -6y= -10
5x+6y =4
X=-6
2(-6) +3y=5
-12 +3y = 5
Y = 17/3
GUIA DE EJERCICIOS. MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA SISTEMA DE
ECUACIONES.
1. 3X + Y = 22
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
4X - 3Y = -1
2. X + 3Y = 9
-2X + Y = -4
3. 2X + 3Y = 8
3X – Y = 1
4. X + Y = 5
X – Y = 1
5. 6X - 3Y = -15
3X + Y = 0
6. X - 2Y = 5
Y - 3X = 5
7. 3X + 2Y = 7
2X - 3Y = 9
8. 4X + 3Y = 11
5X - 2Y = 8
9. 5X + 6Y = 39
8X - 7Y = -4
10. 3X + 2Y = 21
5X - 3Y = 16
11. X + Y = 1
X - Y = 7
12. 3X + Y = 22
4X - 3Y = -1
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
RESOLUCIÓN DE m de ECUACIONES LINEALES CON n INCÓGNITAS.
Conjunto finito de ecuaciones lineales
Se escribe:
a11.x1 + a12.x2 +… + a1n.xn = b1
a21.x1 + a22.x2 +… + a2n.xn = b2
a31.x1 + a32.x2 +… + a3n.xn = b3
.
.
.
am1.x1 + am2.x2 +… + amn.xn = bm
Donde:
x1: es la incógnita o variable 1≤ i ≤ n.
aij: coeficiente que acompaña a las incógnitas
i: número de ecuaciones, 1≤ i ≤ m
j: número de incógnitas a la cual multiplica 1≤ j≤ n.
a11 representa el coeficiente que acompaña a la primera variable ubicada
en la primera ecuación,
a32 representa el coeficiente que acompaña la segunda variable ubicada
en la tercera ecuación.
b1: término independiente o constante 1≤ i ≤ m
MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA.
DEFINICIÓN DE UN SISTEMA TRIANGULAR: ES UN SISTEMA EN EL
CUAL TODOS LOS COEFICIENTES DE LA LINEA DIAGONAL NO SON
NULOS, Y NULOS TODOS LOS SITUADOS DEBAJO DE ELLA.
SON SISTEMAS TRIANGUALES LOS SIGUIENTES:
2X + Y + Z = 2
-Y - 3Z = 4
2Z = 8
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
X + Y – Z = -3
2Y - 4Z = 10
3Z = 6
3X - 2Y –Z = 4
3Y + Z= 10
-2Z = -2
Este método consiste en transformar el sistema de ecuaciones
original hasta obtener un sistema triangular .La idea es obtener un sistema
equivalente aplicando el método de reducción para conseguir que las
diversas ecuaciones sean tales que en una de ellas sólo aparezca una
incógnita ; en otra aparezca dos incógnitas ; entre las que se encuentran la
que ha permanecido en la ecuación anterior; en otra ecuación aparezca tres
incógnitas , entre las que se encuentre las dos que han permanecido en la
ecuación anterior ; y así sucesivamente.
Cuando el sistema quede triangulado la resolución será más sencilla.
OBSERVACIONES: Debemos tener presente lo siguiente:
Si el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas el
sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y admite una única
solución.
Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas el
sistema resulta COMPATIBLE INDETERMINADO y como
consecuencia admitirá infinitas soluciones.
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
Si tiene una ecuación en donde todos los coeficientes son nulos y el
término independiente diferente de cero, el sistema es
INCOMPATIBLE y como consecuencia no tiene solución.
Si el sistema es homogéneo éste será SIEMPRE COMPATIBLE.
Aquí se hace el mismo razonamiento anterior, con la condición que
la solución es trivial sí el número de ecuaciones coincide con el
número de incógnitas.
Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas,
el sistema admite soluciones diferentes de la trivial, Se dice que es
INDETERMINADO.
TEOREMA: UN SISTEMA HOMOGÉNEO DE ECUACIONES LINEALES,
QUE TIENE MÁS INCÓGNITAS QUE ECUACIONES, SIEMPRE TIENE UN
NÚMERO INFINITO DE SOLUCIONES.
EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSIANA Consiste en reducir un
sistema de ecuaciones lineales a otro que es más fácil de resolver y que tiene el
mismo conjunto de soluciones que el original.
Procedimiento:
a) Conformar la matriz aumentada asociada al sistema,
b) Aplicar las operaciones elementales por filas hasta llevar la matriz a la
forma escalonada.
c) Con los elementos anteriores conformamos el nuevo sistema de
ecuaciones.
Ejemplo: Sea el siguiente sistema
𝑥 + 3𝑦 −𝑧 = 0
2𝑦 +𝑧 = 13𝑥 +7𝑦 +𝑧 = −2
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
a) Se conforma la matriz aumentada asociada al sistema.
1 3 -1 | 0
A= 0 2 1 | 1
3 7 1 | -2
b) Se aplican las operaciones elementales.
-3F1+ F3 F3
1 3 -1 | 0
A= 0 2 1 | 1
3 2 1 | -2
F3+F2F2
1 3 -1 | 0
A= 0 2 1 | 1
0 -2 4 | -2
1
5 F2 F2 ,
−1
2 F3 F3
1 3 -1 | 0
A= 0 0 5 | -1
0 -2 4 | -2
F2 < F3
1 3 -1 | 0
A= 0 0 1 | -1/5
0 1 -2 | 1
MATRIZ ESCALONADA
1 3 -1 | 0
A= 0 1 -2 | 1
0 0 1 | -1/5
NUEVO SISTEMA DE ECUACIONES
X + 3Y – Z = 0 (A)
Y – 2Z = 1 (B)
Z = -1/5 ©
Sustituyendo C en B y despejando Y , nos queda : y = 3/5
Sustituyendo C, B, en A y despejando X, nos queda : x= -2
COMPRUEBE QUE LOS VALORES DE x = -2, y= 3/5, z = -1/5, son los correctos y satisfacen
el sistema, sustituyéndolos en el sistema original.
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
GUIA DE EJERCICIOS. MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSIANA.
a) X+Y+2Z=9
2X+4Y-3Z=1
3X+6Y-5Z=0
b) 2X-4Y+3Z=11
3X+3Y-Z=2
X-Y+2Z=5
c) 2X+2Y+Z=4
X+3Y+Z=0
5X+Y+Z=12
d) 2X+5Y+Z= 27
3X+2Y+4Z=13
2X+Y-2Z=7
e) X+Y+Z=4
2X-Y+3Z=-2
3X-+2Z=1
f) 3X-4Y+2Z=-3
4X+2Y-4Z=4
2X-3Y+Z=-3
g) 3X+Y-2Z=2
X+Y –Z=1
2Z+2Y-3Z=1
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Consiste en reducir un sistema de ecuaciones lineales a otro sistema que es
más fácil de resolver y que tiene el mismo conjunto de solución que el sistema
original.
Procedimiento:
a) Conforme la matriz aumentada asociada al sistema.
b) Aplicar las operaciones elementales por filas hasta llevar la matriz a la
forma escalonada reducidas por filas .
c) Con los elementos anteriores conformamos el nuevo sistema de
ecuaciones
Ejemplo: Tomando la matriz escalonada del ejemplo anterior.
1 3 -1 | 0
A= 0 1 -2 | 1
0 0 1 | -1/5
-3F2+F1F1
1 0 5 | -3
A= 0 1 -2 | 1
0 0 1 | -1/5
2F3+F2F2, -5F3+F1F1
Se obtiene la matriz escalonada reducida por filas:
1 0 0 | -2
A= 0 1 0 | 3/5
0 0 1 | -1/5
El nuevo sistema es:
X= -2
Y= 3/5
Z= -1/5
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
Método Gauss – Jordán
1. X -2 Y+ 3Z = 11
4X + Y- Z = 4
2X - Y+ 3Z =10
2. 3X + 6Y -6Z = 9
2X - 5Y+ 4Z = 6
-X + 16Y -14 = -3
3. 3X + 6Y-6Z = 9
2X -5Y+ 4Z = 6
5X + 28Y-26Z = -8
4. X + Y- Z = 7
4X - Y+ 5Z = 4
6X + Y+ 3Z = 18
5. 2X + 4Y+ 6Z = 18
4X + 5Y+ 6Z = 24
2X + 7Y+ 12Z = 30
6. 2X + 4Y+ 6Z = 18
4X + 5Y+ 6Z = 24
3X + Y-2Z = 4
7. 3X + 6Y -9Z = 3
2X + 4Y -8Z = 0
-2X - 3Y+4 Z = 1
8. 3X + 2Y+ Z = 1
5X + 3Y+ 4Z = 2
X + Y- Z = 1
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
9. 2X - Y+ 2Z = 6
3X + 2Y- Z = 4
4X + 3Y-3 Z = 1
10. X + Y+ Z = 1
2X + 3Y -4Z = 9
X - Y+ Z = 1
11. 3X + 2Y+ Z = 1
5X + 3Y+ 4Z = 2
X + Y- Z = 1
12. X - 9Y+ 5Z = 33
X + 3Y- Z = -9
X - Y+ Z = 5
13. 2X + 3Y+ Z = 1
3X -2Y-4Z = -3
5X – Y- Z = 4
14. 3X + 2Y+ 4Z = 1
5X – Y - 3Z = -7
4X + 3Y+ Z = 2
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
UNIDAD II: VALORES Y VECTORES PROPIOS.
DEFINICIÓN DE MATRIZ: Una matriz es un cuadro rectangular de
números formados por m filas y n columnas. Los números en el cuadro son
llamados elementos de una matriz.
Los elementos de las líneas horizontales los llamaremos filas y los elementos
de las líneas verticales los llamaremos columnas.
Consideremos la siguiente matriz:
1 2 3 0 < - - - - -
A= 2 -1 4 5 < - - - - -
3 -1 2 4 < - - - - -
Las matrices serán denotadas con letras mayúsculas y sus
elementos con letras minúsculas. Este último es el caos de la matriz F.
F= a b
c d
ORDEN DE UNA MATRIZ: se define como número s de filas x
número de columnas; por tanto, una matriz de m filas y n columnas de
orden mxn.
De los ejemplos vistos anteriormente se tiene que:
A es una matriz de 3 filas y cuatro columnas. Tiene orden 3x3 - 𝐴3𝑋4
F es una matriz de dos filas y dos columnas. Tiene orden 2x2 𝐹2𝑥2
EXPRESIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN mxn: La expresión ge
Eral de una matriz cualesquiera puede escribirse empleando letras con subíndices
asi:
COLUMNAS
FILAS
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎3𝑛
am1 am2 am3 amn
Los subíndices indican la posición del número en la matriz. El primero indica la fila
y el segundo indica la columna.
𝑎23 : denota el elemento de la fila 2 y la columna 3.
𝑎41: denota el elemento de la fila 4 y la columna 1.
𝑎𝑖𝑗: denota el elemento de la fila i y la columna j.
Ejemplo:
M= 1 −1 02 4 53 −4 8
𝑎23 = 5 𝑎32 = −4 𝑎33 = 8𝑎12 = −1 𝑎21 = 2 𝑎13 = 0
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES:
Atendiendo su forma Matriz: fila, columna, cuadrada, traspuesta.
Atendiendo a los elementos Matriz: Nula, diagonal, unidad o identidad,
triangular.
OPERACIONES CON MATRICES.
SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES: La suma de dos matrices A y B del mismo
orden es otra matriz A + B del mismo orden, obtenida sumando los elementos
correspondientes de las matrices sumandos.
1 2 4𝐴 = −5 4 −2 1 −3 0
B= 1 4 32 −2 23 5 4
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
La suma de las matrices A y B vendrá dada así:
1 2 4𝐴 + 𝐵 = −5 4 −2 1 −3 0
+ 1 4 32 −2 23 5 4
= 1 + 1 2 + 4 4 + 3
−5 + 2 4 − 2 −2 + 2 1 + 3 −3 + 5 0 + 4
𝟐 𝟔 𝟕𝑨 + 𝑩 = −𝟑 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟒
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES.
1. Propiedad Asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C.
2. Propiedad Conmutativa. A + B = B + A.
3. 0 Es la matriz nula. A + 0 = A
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,
recibe el nombre de matriz opuesta, ya que: A+(-A)=0
Dos matrices son opuestas si su suma es la matriz nula o cero.
LA DIFERENCIA DE LAS MATRICES A y B se representa por A – B, y se
define así: A – B = A + (-B)
PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO. Es otra matriz obtenida
multiplicando cada uno de los elementos de la matriz por el número
Ejemplo:
1 2 4𝐴 = −5 4 −2 1 −3 0
y el escalar 3 se tiene que:
1 2 43. 𝐴 = 3. − 5 4 −2 1 −3 0
3.1 3.2 3.4= 3. (−5) 3.4 3. (−2)
3. 1 3. (−3) 3.0
𝟑 𝟔 𝟏𝟐𝟑. 𝑨 = −𝟏𝟓 𝟏𝟐 −𝟔
𝟑 −𝟗 𝟎
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.
Si h y k son nímeros reales cualesquiera y A y B matrices se tiene que:
1. Propiedad distributiva primera k (A + B) = kA + kB.
2. Propiedad distributiva segunda (k + h) A = kA + Ka.
3. Propiedad asociativa mixta k(h.A) = (kh) A
4. Elemento neutro 1.A = A
GUÍA DE EJERCICIOS MATRICES.
Dadas las matrices
A= 2 1 3
−2 0 13 2 4
B= 3 2 45 3 24 6 1
C= 2 3 −14 5 30 −2 1
ESCALARES 𝑘1 = 2 𝑘2 = 3
D= 1 3
−2 0 E=
1 3−2 0
F= −1 3 2 40 5 −3 21 2 4 5
G= 1 3 5 − 21 2 −3 2
−1 0 2 4
Encontrar:
𝑘1. 𝐴 + 𝑘2. 𝐵
𝑘1. 𝐵 + 𝑘2. 𝐶
𝐴𝑡 + 𝐶𝑡
Método para resolver sistemas aplicando inversa de una matriz.
Inversa de una matriz 2x2.
Inversa de una Matriz de tamaño nxn.
Transpuesta de una matriz.
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
GUIA DE EJERCICIOS MATRICES.
2 0 13 0 05 1 1
B= 1 0 11 2 11 1 0
C= 1 23 4
D= 2 84 10
E= 3/2 −1 0
3 −2 6/5
F=2 1/2 4
−5 0 3/2
G= 3 −5 49 8 −7
H=−2 −1 15 −7 6
I= −2 −5 −48 −9 −7
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
J= 2 −1 −35 −7 6
K=3 2 6
−2 4 6
L=2
−46
M= 3 12 2
N=−2 11 −2
O= 3 0 12 3 −2
P= 5 6
−3 2
Q= −1 03 8
R= 2 3
−5 7
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
S=0 1 2
−1 1 13 0 4
T= 4 −1 23 0 20 −1 4
U=0 1 −1
−2 0 34 2 1
V= 2 0 13 0 05 1 1
UNIDAD III: TÓPICOS DE ANÁLISIS NUMÉRICOS.
Función determinante.
Función permutación.
Definición de determinante.
Determinante de una matriz de tamaño 2x2, 3x3 y nxn.
Regla de CRAMER.
Método de Co-Factores.
Ejercicios Prácticos
CORREO ELECTRONICO: [email protected] BLOG:Yesikamedina.wordpress.com
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda
Facultad de Ingeniería. Escuela de Computación.
Asignatura: ALGEBRA LINEAL Sección: IC231 PERIODO: LAR-2014-I
Docente: ING. YESIKA MEDINA
UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES.
Espacio vectorial.
Definición de espacio vectorial y SUBESPACIO vectorial.
Realización de ejercicios.
Definición de combinación lineal.
Definición de dependencia e independencia lineal.
Definición de base vectorial y dimensionamiento.
Vectores propios: propiedades y aplicaciones.
UNIDAD V: TRANSFORMACIONES LINEAL.
Transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal.
Definición de imagen, rango y núcleo.
Transformaciones ortogonales.
Transformaciones de R2 a R2 de R3 a R3, de Rn a Rn.