Ejemplos de Columnas

Estabilidad de Sistemas Estructurales

25/10/2016EstabilidadPágina 1

Pandeo de Columnas• Un tubo circular hueco de la

aleación de aluminio 2014-T6 tiene:– un diámetro exterior de 150

mm y– un diámetro interior de 100

mm• Si está articulado en ambos

extremos, encuentre la carga axial máxima que se le puede aplicar al tubo sin que se pandee.

• La longitud del tubo es de 6 m.

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• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2

• 𝐸𝐸2014−𝑇𝑇𝑇 = 73.1 × 109 Pa• 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 414 MPa

Estabilidad

Solución• 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋 𝑟𝑟𝑒𝑒2 − 𝑟𝑟𝑖𝑖2 = 𝜋𝜋 0.0752 − 0.052 = 9.817 × 10−3 m2

• 𝐼𝐼 = 𝜋𝜋4𝑟𝑟𝑒𝑒4 − 𝑟𝑟𝑖𝑖4 = 𝜋𝜋

40.0754 − 0.054 = 1.994 × 10−5 m4

• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2 73.1×109 (1.994×10−5)

1×𝑇 2 = 399,613 N

• 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴

= 399,𝑇139.817×10−3

= 40 MPa < 414 MPa → OK

25/10/2016Página 3 Estabilidad

Pandeo de Columnas• Un tubo circular hueco de la

aleación de aluminio 2014-T6 tiene:– un diámetro exterior de 150

mm y– un diámetro interior de 100

mm• Si está articulado en un

extremo pero empotrado en el otro, encuentre la carga axial máxima que se le puede aplicar al tubo sin que se pandee.

• La longitud del tubo es de 6 m.

25/10/2016Página 4

• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2

• 𝐸𝐸2014−𝑇𝑇𝑇 = 73.1 × 109 Pa• 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 414 MPa

Estabilidad

Solución• 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋 𝑟𝑟𝑒𝑒2 − 𝑟𝑟𝑖𝑖2 = 𝜋𝜋 0.0752 − 0.052 = 9.817 × 10−3 m2

• 𝐼𝐼 = 𝜋𝜋4𝑟𝑟𝑒𝑒4 − 𝑟𝑟𝑖𝑖4 = 𝜋𝜋

40.0754 − 0.054 = 1.994 × 10−5 m4

• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2 73.1×109 (1.994×10−5)

0.7×𝑇 2 = 815,537 N

• 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴

= 815,5379.817×10−3

= 83 MPa < 414 MPa → OK

25/10/2016Página 5 Estabilidad

Pandeo de Columnas• Se construye una columna con

cuatro ángulos de acero A992, que tienen una celosía como se muestra.

• La longitud de la columna es de 25 ft y se asume que los extremos están conectados con pasadores.

• Cada ángulo tiene un área de 𝐴𝐴 = 2.75 in2, y momentos de inercia de 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 2.22 in4.

• Encuentre la distancia 𝑑𝑑 entre los centroides 𝐶𝐶 de los ángulos para que la columna pueda soportar una carga axial de 𝑃𝑃 =350 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 sin pandearse.

• Desprecie el efecto de la celosía

25/10/2016Página 6 Estabilidad

Solución

• 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 4 2.22 + 2.75 𝑑𝑑2

2= 8.88 + 2.75𝑑𝑑2

• 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴

= 3504(2.75)

= 31.8 ksi < 𝑓𝑓𝑦𝑦 → OK

• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2(29000)(8.88+2.75𝑑𝑑2)

1 25×12 2 → 𝑑𝑑 = 6.07 in

25/10/2016Página 7 Estabilidad

Pandeo de Columnas• Se construye una columna con

cuatro ángulos de acero A992, que tienen una celosía como se muestra.

• La longitud de la columna es de 40 ft y se asume que los extremos están empotrados.

• Cada ángulo tiene un área de 𝐴𝐴 = 2.75 in2, y momentos de inercia de 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 2.22 in4.

• Encuentre la distancia 𝑑𝑑 entre los centroides 𝐶𝐶 de los ángulos para que la columna pueda soportar una carga axial de 𝑃𝑃 =350 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 sin pandearse.

• Desprecie el efecto de la celosía

25/10/2016Página 8 Estabilidad

Solución

• 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 4 2.22 + 2.75 𝑑𝑑2

2= 8.88 + 2.75𝑑𝑑2

• 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴

= 3504(2.75)

= 31.8 ksi < 𝑓𝑓𝑦𝑦 → OK

• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2(29000)(8.88+2.75𝑑𝑑2)

0.5 40×12 2 → 𝑑𝑑 = 4.73 in

25/10/2016Página 9 Estabilidad

Pandeo de Columnas• El ángulo de acero A992 tiene

un área de sección transversal de 𝐴𝐴 = 2.48 in2 y un radio de giro con respecto al eje 𝑥𝑥 de 𝑟𝑟𝑥𝑥 = 1.26 in, y respecto al eje 𝑦𝑦de 𝑟𝑟𝑦𝑦 = 0.879. El menor radio de giro ocurre respecto al eje 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 y es 𝑟𝑟𝑎𝑎 = 0.644 in.

• Si el ángulo se usará para una columna articulada en sus extremos, de 10 ft de longitud, encuentre la carga axial máxima que se puede aplicar a través de su centroide 𝐶𝐶, sin ocasionar el pandeo.

25/10/2016Página 10 Estabilidad

Solución• Rige el menor radio de giro, 𝑟𝑟 = 0.644 in.

• 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾𝑐𝑐

2 = 𝜋𝜋2 290001× 10×12

0.644

2 = 8.243 ksi < 𝑓𝑓𝑦𝑦 → OK

• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴 = 8.243 2.48 = 20.4 kip

25/10/2016EstabilidadPágina 11

Pandeo de Columnas• Una columna de

acero A992 tiene una longitud de 5 m y está empotrada en ambos extremos.

• Si la sección transversal tiene las dimensiones mostradas, encuentre la carga crítica.

25/10/2016EstabilidadPágina 12

Solución

• 𝐼𝐼 = 112

(0.1) 0.05 3− 112

0.08 0.03 3 =8.617 × 10−7 m4

• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2(200×109)(8.𝑇17×10−7)

0.5×5 2 =272,148 N

• 𝜎𝜎 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴

= 272,1480.1 0.05 − 0.08 0.03

=

104.67 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑎𝑎 < 𝑓𝑓𝑦𝑦 → OK

25/10/2016EstabilidadPágina 13

Pandeo de Columnas• Dos canales de acero se emplearán en

conjunto de una celosía para formar una columna de 30 ft de largo para un puente, la cual se asume que estará conectada por pasadores en sus extremos.

• Cada canal tiene un área de sección transversal de 𝐴𝐴 = 3.10 in2 y momentos de inercia 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 55.4 in4 e 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 0.382 in4. El centroide 𝐶𝐶 de su área se ubica en la figura.

• Encuentre la distancia adecuada 𝑑𝑑entre los centroides de las canales para que el pandeo ocurra con respecto a los ejes 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦′ − 𝑦𝑦𝑦 ante la misma carga.

• ¿Cuál es el valor de la carga crítica?• Desprecie el efecto de la celosía.• 𝐸𝐸𝑠𝑠𝑠𝑠 = 29000 ksi; 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 50 ksi

25/10/2016EstabilidadPágina 14

Solución• 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 2 55.4 = 110.8 in4

• 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 2 0.382 + 2 3.10 𝑑𝑑2

2= 0.764 + 1.55𝑑𝑑2

• Para que la columna se pandee respecto a ambos ejes al mismo tiempo, la inercia 𝐼𝐼𝑦𝑦 debe ser igual a 𝐼𝐼𝑥𝑥.

• 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 𝐼𝐼𝑥𝑥 → 0.764 + 1.55𝑑𝑑2 = 110.8 → 𝑑𝑑 = 8.43 in

• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2(29000)(110.8)

1 30×12 2 = 244.7 kip

• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴

= 2452 3.10

= 39.5 < 𝑓𝑓𝑦𝑦 → OK

25/10/2016EstabilidadPágina 15

Pandeo de Columnas• Una columna de

acero A992 W200x46 de 9 m de longitud está articulada en ambos extremos.

• Encuentre la carga axial permisible que la columna puede soportar si se empleará un F.S. de 2 contra el pandeo.

• W200x46– 𝐴𝐴 = 5.89 × 10−3 m2

– 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 15.3 × 10−𝑇 m4

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Solución• Carga crítica de pandeo. Rige el eje débil.

– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝑦𝑦𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2(200×109)(15.3×10−6)

1 9 2 = 372.85 kN

• Carga permisible– 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐

2= 372.85

2= 186.43 kN

• Esfuerzo crítico– 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐴𝐴= 372.85

5.89×10−3= 63.3 MPa < 𝑓𝑓𝑦𝑦 =

345 MPa → OK

25/10/2016EstabilidadPágina 17

Pandeo de Columnas• Una columna de acero

A992 W200x46 de 9 m de longitud está empotrada en un extremo y libre en el otro.

• Encuentre la carga axial permisible que la columna puede soportar si se empleará un F.S. de 2 contra el pandeo.

• W200x46– 𝐴𝐴 = 5.89 × 10−3 m2

– 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 15.3 × 10−𝑇 m4

25/10/2016EstabilidadPágina 18

Solución• Carga crítica de pandeo. Rige el eje débil.

– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝑦𝑦𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2(200×109)(15.3×10−6)

2 9 2 = 93.21 kN

• Carga permisible– 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐

2= 93.21

2= 46.6 kN

• Esfuerzo crítico– 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐴𝐴= 93.21

5.89×10−3= 15.83 MPa < 𝑓𝑓𝑦𝑦 =

345 MPa → OK

25/10/2016EstabilidadPágina 19

Pandeo de Columnas• La columna rectangular

de madera de 10 ft tiene las dimensiones mostradas.

• Encuentre la carga crítica de pandeo si se asume que los extremos están conectados por pasadores.

• 𝐸𝐸𝑤𝑤 = 1.6 × 103 ksi• 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 5 ksi

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Solución• 𝐴𝐴 = 4 2 = 8 in2

• 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 112

2 4 3 = 10.667 in4

• 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 112

4 2 3 = 2.667 in4 (rige)• Carga crítica de pandeo. K = 1.

– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2(1.𝑇×103)(2.𝑇𝑇7)

1 10×12 2 = 2.92 kip

• Esfuerzo crítico. La fórmula de Euler sólo aplica si 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 < 𝜎𝜎𝑦𝑦– 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐴𝐴= 2.924

8.00= 0.3655 ksi < 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 5 ksi

25/10/2016EstabilidadPágina 21

Pandeo de Columnas• La columna rectangular

de madera de 10 ft tiene las dimensiones mostradas.

• Encuentre la carga crítica de pandeo si se asume que la base está empotrada y la parte superior articulada.

• 𝐸𝐸𝑤𝑤 = 1.6 × 103 ksi• 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 5 ksi

25/10/2016EstabilidadPágina 22

Solución• 𝐴𝐴 = 4 2 = 8 in2

• 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 112

2 4 3 = 10.667 in4

• 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 112

4 2 3 = 2.667 in4 (rige)• Carga crítica de pandeo. K = 0.7.

– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2(1.𝑇×103)(2.𝑇𝑇7)

0.7 10×12 2 = 5.97 kip

• Esfuerzo crítico. La fórmula de Euler sólo aplica si 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 < 𝜎𝜎𝑦𝑦– 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐴𝐴= 5.9𝑇8

8.00= 0.746 ksi < 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 5 ksi

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Pandeo de Columnas• El ensamblaje está hecho de

dos barras de acero A992 que tienen una sección transversal circular.

• Encuentre el diámetro de cada barra al 1/8” más cercano que soportará a una carga de 𝑃𝑃 = 6 kip.

• Asuma que las barras están conectadas por pasadores en sus extremos, y emplee un factor de seguridad con respecto al pandeo de 1.8.

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Solución

• 𝐼𝐼 = 𝜋𝜋4

𝑑𝑑2

4= 𝜋𝜋𝑑𝑑4

𝑇4

• 𝐹𝐹𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4.392 kip• 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐵𝐵 = 3.106 kip• Barra AB

– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 3.106 × 1.8 =5.591 kip

– 𝐾𝐾 = 1; 𝐿𝐿𝐴𝐴𝐵𝐵 = 12 12cos 45°

=203.64 in

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Solución

• Barra AB– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸

𝐾𝐾𝐾𝐾 2

– 5.591 =𝜋𝜋2 29000

𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴4

641×203.𝑇4 2 → 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐵𝐵 = 2.015 → 2 1

8in

– Revisión: 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴

= 5.591𝜋𝜋4 2.125 2 = 1.58ksi < 𝜎𝜎𝑦𝑦

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Solución• Barra BC

– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 4.392 1.8 = 7.9056 kip

– 𝐾𝐾 = 1.0; 𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵 = 12 12cos 30

= 166.28 in

– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2

– 7.9056 =𝜋𝜋2 29000

𝑑𝑑𝐴𝐴𝐵𝐵4

641×1𝑇𝑇.28 2 → 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐵𝐵 = 1.986 → 2 in

– Revisión: 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴

= 7.905𝑇𝜋𝜋4 2 2 = 2.52 ksi < 𝜎𝜎𝑦𝑦 → OK

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Pandeo de Columnas• El ensamblaje está hecho de

dos barras de acero A992 que tienen una sección transversal circular.

• Si cada barra tiene un diámetro de ¾", encuentre la carga más grande que se puede soportar sin causar que alguna barra se pandee.

• Asuma que las barras están conectadas por pasadores en sus extremos.

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Solución• 𝐿𝐿𝐴𝐴𝐵𝐵 = 12

cos 45= 16.971 ft

• 𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵 = 12cos 30

= 13.856 ft• Asumiendo que la barra

más larga se pandea:– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸

𝐾𝐾𝐾𝐾 2

– 0.5176𝑃𝑃 =𝜋𝜋2 29×106 𝜋𝜋

438

4

1 1𝑇.971×12 2

– 𝑃𝑃 = 207 lbf

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Solución

• Revisión:– 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐴𝐴= 207

𝜋𝜋 38

2 = 469 psi < 𝜎𝜎𝑦𝑦

• Asumiendo que la barra BC se pandea:

– 0.73205𝑃𝑃 =𝜋𝜋2 29×106 𝜋𝜋

438

4

1(13.85𝑇×12) 2 → 𝑃𝑃 = 220 lbf

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Pandeo de Columnas• El perfil W14X30 se usa

como una columna estructural y está fabricado con acero A992.

• Se puede asumir que está articulado en ambos extremos.

• Encuentre la carga axial más grande 𝑃𝑃 que se puede aplicar sin causar el pandeo.

• 𝐴𝐴 = 8.85 in2

• 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 19.6 in4

25/10/2016EstabilidadPágina 31

Solución

• Carga crítica de pandeo

– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝑦𝑦𝑦𝑦𝐾𝐾𝐾𝐾 2 = 𝜋𝜋2(29000)(19.𝑇)

1 25×12 2 = 62.3 kip

• Revisión– 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐴𝐴= 𝑇2.33

8.85= 7.04 ksi < 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 50 ksi

25/10/2016EstabilidadPágina 32

Pandeo de Columnas• La barra de acero

A992, AB, tiene una sección transversal cuadrada. Si está articulada en sus extremos, encuentre la carga máxima 𝑃𝑃 que se le puede aplicar al marco.

• Use un factor de seguridad contra el pandeo de 2.

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Solución• Σ𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 → 𝐹𝐹𝐵𝐵𝐵𝐵 sin 30° 10 − 𝑃𝑃 10 = 0

– 𝐹𝐹𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2𝑃𝑃• Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 → 𝐹𝐹𝐴𝐴 − 2𝑃𝑃 cos 30° = 0

– 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 1.732𝑃𝑃• Carga de pandeo

– 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝐹𝐹. 𝑆𝑆. = 1.732𝑃𝑃 2 = 3.464𝑃𝑃– 𝐿𝐿 = 10 12 = 120 in

– 𝐼𝐼 = 112

1.5 1.5 3 = 0.421875 in4

25/10/2016EstabilidadPágina 34

Solución

• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐾𝐾𝐾𝐾 2 → 3.464𝑃𝑃 = 𝜋𝜋2(29000)(0.421875)

1×120 2

• 𝑃𝑃 = 2.42 kip• 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝐹𝐹. 𝑆𝑆. = 1.732 2.42 2 =

8.38 kip• Revisión

– 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴

= 8.381.5(1.5)

= 3.72 ksi < 𝜎𝜎𝑦𝑦

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