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DISEO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGN 2_________________________________________________________________________________________________________

ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003

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9. DISEO DE COLUMNAS DE HORMIGN ARMADO

9.1 Introduccin

Los elementos estructurales sometidos principalmente a carga axial de compresin se

conocen con el nombre genrico de columnas o pilares. Cuando hay presencia deflexin y esta es importante se le denomina viga- columna . En el primer caso setienen como ejemplo tpico los bloques de hormign a compresin y los pedestales; enestos no hay presencia de flexin y la columna trabaja prcticamente a carga axial. En elsegundo caso se tienen los elementos verticales tpicos en los edificios columnas lascuales pueden ser cortas si su resistencia es controlada por las dimensiones de la secciny la capacidad mecnica de sus materiales o esbeltas si la resistencia es controlada porsus deformaciones laterales ( pandeo ).

En el estudio de la flexin del hormign armado se introdujo el concepto de seccintransformada fisurada y no fisurada y para ello se utilizo el ejemplo de las columnascargadas axialmente. El lector debe revisar nuevamente este concepto para entender la

metodologa de trabajo en el diseo de columnas de hormign armado. De la revisin delos temas anteriores se concluye que: La resistencia de una columna cargada axialmentese determina con la ecuacin 9.1, con la inclusin de un factor de reduccin deresistencia . Los factores que afectan la resistencia de las columnas son mas bajosque los de vigas ya que las columnas, a diferencia de estas, son parte vital de laestabilidad de una estructura ( la falla de una viga es localizada y no produce colapso dela estructura, por el contrario la falla de una columna la afecta parcial o totalmente conuna alta posibilidad de colapso).

( ) yscsgn fAfAAP ...85.0 += ( 9.1 )

Ya que es poco probable en la practica encontrar columnas en donde la excentricidadsea nula se recomienda realizar su diseo para una excentricidad mnima que varia deacuerdo al tipo de amarre transversal. Si la columna tiene amarres rectangulares laexcentricidad mnima es del 10% de la dimensin de su seccin en la direccin

perpenticular al eje de la flexin. Si tiene amarre en espiral es de un 5%.

Con el fin de simplificar y garantizar un diseo confiable de columnas conexcentricidad mnima el cdigo ACI ( NSR ) especifica una reduccin del 20 % de lacarga axial para columnas con amarres y un 15% para columnas con espirales. En estoscasos las ecuaciones de diseo son la 9.2 y la 9.3.

Columnas con amarres:

( )( )yssgcn fAAAfP ..85.0.80.0. += ( 9.2 )

Columnas con espiral:

( )( )yssgcn fAAAfP ..85.0.85.0. += ( 9.3 )


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En donde el valor de depende de como es el comportamiento de la columna en lafalla. Si controla la compresin t< 0.002 => = 0.65 en columnas con amarresy = 0.70 en columnas con espiral. Si controla la traccin t> 0.005 => =0.90 en ambos casos. Para zonas de transicin ( es decir hay agotamiento simultaneo

por compresin y traccin ) 0.002 < t < 0.005 el valor de = 0.48 + 83 t para

columnas con amarres y = 0.48 + 83 t para columnas con espiral. El valor de ladeformacin t es el de la capa de acero en la cara mas traccionada de la seccin.

9.2 Comportamiento y falla de columnas cargadas axialmente

Cuando una columna corta con amarres transversales se somete a una carga decompresin axial cercana a la falla ( caso tpico de las cargas inducidas por sismos ofuertes impactos ), parte del hormign que recubre el refuerzo se desprende y el acerolongitudinal queda por tanto sin confinamiento lateral permitiendo as su pandeo y el

posterior colapso de la columna. Este fenmeno conocido como descascaramiento puede evitarse si los amarres transversales estn dispuestos de tal forma que su bajoespaciamiento evite el pandeo lateral del elemento.

Si se considera ahora una situacin similar a la anterior pero ya la columna tieneamarres en espiral, el hormign del recubrimiento tambin se desprender pero elncleo de hormign continuara vertical y si la espiral tiene bajo espaciamiento lacolumna continuara soportando carga adicional superior a la que produce eldesprendimiento del recubrimiento. Esta situacin demuestra la efectividad de la espiralcorrectamente espaciada para confinar el hormign en la columna y lo que es masimportante permite avisar con suficiente holgura la proximidad de la falla una vez sedesprenda el recubrimiento.

Figura 9.1 Comportamiento bajo carga axial de columnas con amarres y en espiral

Comportamiento conamarrestransversales

Comportamiento con bajacuanta de espiral

Comportamiento con altacuanta de espiral

Comportamiento concuanta delACI

Carga

Acortamiento

Desprendimientodel recubrimiento


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La practica que se ha difundido a nivel general es despreciar cualquier aumento deresistencia una vez se alcance el desprendimiento del recubrimiento ya que una vez se

presente este fenmeno la columna pierde su confiabilidad en servicio, afirmacinimportante de los propietarios y usuarios de los edificios, a pesar de que aun funcione ycontinu funcionando bien por un determinado tiempo de servicio.

Por esta razn recomienda disear la espiral para lograr una resistencia de la columnajusto por encima de la que produce el desprendimiento del recubrimiento, permitiendoas mantener en posicin la columna y permitir grandes deformaciones sin producircolapso lo que en definitiva se traduce en mayor confiabilidad cuando se produzcansobrecargas excepcionales en la estructura.

Figura 9.2 Definicin de variables en columnas con espiral

La ecuacin que define la cantidad optima de refuerzo en espiral recomendada en loscdigos de construccin tiene en cuenta las recomendaciones anteriores y su deduccines la siguiente: la resistencia de la capa de hormign que recubre el refuerzo esta dada

por la expresin: ( )cgc AAf ..85.0 en donde Ac es el rea del ncleo cuyo permetro

esta definido por el borde exterior de la espiral. Se puede demostrar que la resistencia dela espiral de cuanta s es: ycs fA ...2 . Igualando las dos tensiones y resolviendo para

hallar la cuanta de la espiral se obtiene:y

c

c

g

sf

f

A

A

1425.0

= . Para mantener mayor

seguridad en s se recomienda usar la siguiente expresin:

y

c

c

g

s

f

f

A

A 145.0

= ( 9.4 )

Una vez se determine el porcentaje de la espiral se debe seleccionar su dimetro yespaciamiento ( paso ) con las siguientes ecuaciones:

nucleo

espiral

sV

V

spasoelparahormigondenucleodelvolumen

espiralladevueltaunadeVolumen==

).(.......

......

db

dc

s


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67

( )

( )( )

22 .

.4

.4/.

..

c

bcesp

c

bcesp

sds

ddA

sd

ddA =

=

( 9.5 )

En estas formulas Aesp es el rea transversal del refuerzo en espiral, dc es eldimetro del ncleo de hormign, db el dimetro de refuerzo en espiral como seindica en la figura 9.2. El procedimiento de calculo es sencillo: se asume un dimetro

para la espiral y se halla el paso requerido s . Si los resultados no son adecuados sepuede ensayar otro dimetro hasta lograr los valores correctos.

9.3 Requisitos constructivos en columnas de hormign armado

Los cdigos y normas de construccin ( ACI-318 y NSR-98 ) especifican algunaslimitaciones en dimensiones, refuerzo, restriccin lateral y otros conceptos relativos aldiseo de las columnas de los edificios. A continuacin se presentan las que son masimportantes para el diseo estructural.

El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser inferior al 1 % del rea totalde la columna min= 0.01 Ag. Se ha comprobado que columnas que tienencantidades de refuerzo menores del 1% fallan sbitamente en forma similar auna columna sin refuerzo. El valor del 1% cubre tambin problemas de tensionesinternas debidas a la fluencia y la retraccin del hormign en servicio. Enalgunos casos se permiten cuantas inferiores al 1% si por razonesarquitectnicas o constructivas las dimensiones son tales que prcticamente conellas se soporta holgadamente toda la carga aplicada. Sin embargo se especificaque en ningn caso la cuanta sea inferior al 0.5% de Ag.

El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser mayor del 8% de la seccintotal de la columna. Con esto se previene la congestin del refuerzo y lasdificultades en el acabado final del hormign. En la practica se han encontrado

los problemas anteriores aun con cuantas del 5% y 6%. El uso de cuantas altasno solo afecta la apariencia final del hormign sino tambin su capacidad decarga. Cuando se van a utilizar empalmes al traslapo es recomendable no superarla cuanta del 4%. En ningn caso se deben usar paquetes de barras para altascuantas de refuerzo.

El numero mnimo de barras longitudinales en una columna es de 4 parasecciones con amarres rectangulares o circulares, 3 para amarres triangulares y 6

para secciones con espiral. La disposicin de las barras afectara la resistencia aflexin de las columnas cargadas excntricamente.

Por lo general no se especifica una seccin mnima de columna, sin embargopara dar un adecuado recubrimiento y espaciamiento al refuerzo es obvio que lasmnimas dimensiones son de aproximadamente 200 mm o 250 mm. En edificios

es aconsejable disminuir las dimensiones al mximo para lograr mayoresespacios y donde sea posible tratar de ocultar las columnas dentro de los muros.

Cuando se utilizan columnas con amarres, estos no deben tener dimetrosmenores que la barra # 3 para refuerzo longitudinal menor o igual a la # 10. Para

barras longitudinales mayores a la # 10 o paquetes de barras se deben usaramarres # 4. Se pueden usar mallas electro soldadas o alambre corrugado conreas equivalentes.


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El espaciamiento centro a centro de los amarres no debe ser mayor que: a) 16veces el dimetro de las barras longitudinales b) 48 veces el dimetro de losamarres y c) la menor dimensin de la columna.

Figura 9.3 Separacin de los amarres en columnas

Los amarres deben estar dispuestos de tal forma que en cada esquina de laseccin una barra longitudinal sirva de soporte lateral al amarre para estesujetarse de el con un gancho menor o igual a 135. Se recomienda que ninguna

barra longitudinal sea colocada a una distancia libre mayor de 150 mm de cadabarra de soporte lateral. La figura 9.4 ilustra este requisito grficamente paradiferentes secciones de columna. Las secciones de la figura 9.4 con amaresadicionales interiores son alternativamente costosas. Cuando las barraslongitudinales se dispongan en circulo, se deben colocar tambin amarrescirculares y ninguna barra debe amarrarse o restringirse individualmente. El ACI

permite disear columnas sin amarres cuando por ensayos y anlisis estructuralse comprueba que estos no son necesarios sin afectar la resistencia y facilidad deconstruccin. Ya que existe poca evidencia experimental sobre elcomportamiento de las columnas con barras empalmadas o paquetes de barras derefuerzo el ACI especifica colocar amarres adicionales en cada extremo delempalme y recomienda aplicar requisitos adicionales en aquellas regiones dondelos empalmes son cercanos a la base de la columna. Los amarres no deben

16 db

S < 48 de

Min. ( b , h )

h

b


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colocarse a mas de la mitad de su separacin en la parte superior de las zapatas olosas de piso ni mas de la mitad de su separacin por debajo de las losas.

El cdigo ACI y la norma NSR recomiendan que la separacin mnima deespirales sea de 25 mm y la mxima de 75 mm. Cuando sean necesarioempalmar barras longitudinales se debe usar soldadura o traslapo.

Figura 9.4 Disposicin tpica de amarres en columnas

Max.150mm

Max. 150 mmMax. 150 mm

> 150 mm > 150 mm > 150 mm

Max. 150 mm Max. 150mm


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Ejemplo 9.1 Disear una columna corta con amarres transversales cargada axialmentecon un Pu = 2800 kN. Considerar fc = 28 MPa y fy = 350 MPa.

Solucin: El procedimiento mas rpido es asumir una cuanta inicial de refuerzo ydeterminar con ella las dimensiones requeridas. Sea = 0.02 ( Por lo general se asume

un valor entre 0.01 y 0.03 )Si PuPn despejando Agde la ecuacin 9.2 se tiene:

( )35002.02802.085.02885.080.070.0102800 3

+

g

A

22 .160000.400:.164886 mmAmmhbrSeleccionammA gg ===

Para esta seccin la cantidad de refuerzo se debe determinar nuevamente con 9.2 =>

( )2885.0350

101602885.0

80.070.0

102800 33

stA 2.3654mmAst

Con barras # 9 ( 645 mm2) => 3654 / 645 = 5.7 barras => 6 # 9Ast= 3870 mm2

Si se asumen amarres transversales # 3

16 x 28.7 = 459 mm 48 x 9.5 = 456 mm Menor dimensin de columna = 400 mm

Figura 9.5 Seccin transversal de columna del ejemplo 9.1

h = 400 mm

b = 400 mm

70 mm

70 mm

260 mm

70 mm 260 mm 70 mm

Estribos # 3 @ 400 mm

=> Usar amarres # 3 cada 400 mm


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Ejemplo 9.2 Una columna de hormign armado soporta en servicio una carga axialmuerta y viva de Psd= 820 kN y Psv= 1360 kN. Determinar su refuerzo longitudinal lacuanta de la espiral y el dimetro de su seccin si f c= 28 MPa y fy= 420 MPa.

Solucin: Pu = 1.2 x 820 + 1.5 x 1360 = 3024 kN Si = 02.0

( )42002.02802.085.02885.085.075.0103024 3

+

g

A 2.149525 mmAg

El dimetro de la columna es: mmD .4361495254

=

=

Usar D = 450 mm

Para este dimetro la columna tiene una seccin de: 22 .1590434/450 mmAg ==

El refuerzo requerido es:( )2885.0420

1590432885.085.075.0

103024 3

st

A => 2.2419 mmAg

Con barras # 7 ( 387 mm2 ) se tienen: 2419 / 387 = 6.25 barras => Usar 8 # 7 queequivalen a un Ast= 3096 mm

2. El .Pn = 3195 kN > Pu = 3024 kN => Cumple!

Considerando un recubrimiento libre de hormign de 40 mm => El rea del ncleo de lacolumna es: Ac= ( 370 )

2/ 4 = 107521 mm2

La cuanta mnima de espiral es: 0144.0420

281

107521

15904345.0min =

=

Si se asume un espiral de dimetro igual a la barra # 3 => despejando s de 9.5:

( )mms .52

3700144.0

5.93707142 =

= Usar espiral # 3 con paso de 50 mm.

Figura 9.6 Seccin de columna del ejemplo 9.2

450 mm 370 mm

Espiral # 3 conpaso de 50 mm


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9.4 Columnas sometidas a compresin y flexin uniaxial

9.4.1 Generalidades

Las columnas sometidas solo carga axial son excepcionalmente escasas en el diseo

estructural, por lo general siempre existe la posibilidad combinar la carga axial conflexin aun cuando esta no sea producida por accin externa alguna. La flexin sepresenta por la continuidad de las estructuras que permite la transmisin de tensionesentre las diferentes componentes de la edificacin. Por ejemplo la carga vertical y lateralen un edificio inicialmente acta en las losas de piso, estas la transmiten a las vigas lascuales a su vez la llevan a las columnas para finalmente desplegarla en la cimentacin.Esta secuencia en la transmisin de tensiones es la que da origen a la interaccin de lasdiferentes solicitaciones en el interior de una estructura. Las losas pueden recibir lacarga y transmitirla en una o en dos direcciones, las vigas pueden estar sometidas aflexin uni o biaxial mas cortante y torsin igualmente las columnas columnas con la

particularidad de que en estas la carga axial es importante. Es requisito fundamental enel diseo de una columna considerar la flexin aunque el anlisis de tensiones indique

esta no esta presente o su magnitud no es importante; la razn de esto es que siempreexisten desfases en la construccin que inevitablemente introducirn excentricidadesadicionales a las inicialmente consideradas en los clculos.

Cuando un elemento de hormign armado se somete a una combinacin de carga axialmas flexin ( Mu , Pu ) como se indica en la figura 9.7 es conveniente reemplazar elsistema por uno estticamente equivalente que representa la carga axial aplicada a unadeterminada distancia del eje de la columna. Esta distancia, llamada e: excentricidad ,se determina como la relacin entre el momento y la carga axial: e = M / P .

Figura 9.7 Excentricidad equivalente en columnas

Las columnas se pueden clasificar en funcin de la excentricidad equivalente, aquellascuyo valor de e es pequeo se conocen como columnas sometidas principalmente acarga axial y su falla se iniciara por agotamiento del hormign a compresin. De otra

parte cuando e es alto la flexin controla el comportamiento y la falla se iniciara porla fluencia del refuerzo en la cara mas traccionada de la seccin.

P

M

P

e = M / P


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En el estudio de las columnas, a diferencia de las vigas, el comportamiento antes dealcanzar la resistencia del elemento no es importante desde el punto de vista del diseo.La fisuracin del hormign aun en casos de altas excentricidades y las deflexioneslaterales bajo cargas de servicio generalmente no son factores determinantes en sudiseo estructural. Sin embargo para continuar una metodologa de trabajo ya iniciada

en el caso de la flexin se presentara aqu una resumen del comportamiento de lascolumnas excntricas antes de alcanzar su resistencia estructural. El lector puedecontinuar con el numeral 9.4.5 si a su juicio lo considera conveniente.

9.4.2 Comportamiento de columnas bajo carga excntrica

Los primeros intentos por tratar de modelar el comportamiento de las columnasexcntricas mostraron grandes dificultades en la adopcin de expresiones adecuadas que

permitieran a los ingenieros interpretar matemticamente el problema. Solo el anlisiselstico y el principio de superposicin permiti encontrar una expresin racional parala flexin y la carga axial. Las tensiones por flexin y fuerza axial en cualquier punto deuna columna se pueden representar por la ecuacin 9.6:

( )

===

2

.1

...

r

ye

A

P

I

yeP

A

P

I

yM

A

Pfc ( 9.6 )

En donde r2= ( I / A ) . Cuando la excentricidad es nula => fc= P / A y se tiene lacolumna concntrica. El signo positivo es traccin y el negativo compresin. Paraencontrar la excentricidad que produce tensin de compresin nula en una de las carasde la columna => de la ecuacin 9.6 fc = 0.0 y se despeja el valor de e

y

re

r

ye

A

P2

2

.10 =

=

Esta excentricidad es la distancia del centroide de la seccin al punto donde terminatericamente la compresin, este punto se conoce como punto Kern . Si el proceso serepite para cada eje de la seccin se encuentra una regin o rea interior de la columnala cual se denomina rea Kern . Cualquier carga aplicada dentro de esta regin solo

produce tensiones de compresin en la columna, si la carga se aplica fuera de esta rease producir traccin en la cara opuesta a la donde se plica la carga. Por ejemplo parauna seccin rectangular de b = h = 400 mm el rea Kern es la indicada en la figura 9.8.

mme .67.6620012

400

200

40040012

4004002

3

==

=

Este valor es aproximadamente el 17 % de la dimensin de la seccin. Considerando lasotras caras y hallando el rea Kern se encuentra que el tercio medio de la seccinrepresenta la regin donde solo hay tensiones de compresin. En otras palabras si laexcentricidad e < h / 6 se puede concluir que la seccin no tiene tensiones detraccin en ningn de sus puntos y esta sometida solo a compresin.


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Figura 9.8 rea Kern en una columna

En las primeras ediciones del cdigo ACI se indicaba que si la relacin e / h 1.0 sepoda utilizar en los clculos la seccin elstica sin fisurar. En opinin de muchosinvestigadores de la poca esta recomendacin no solo era imprecisa sino poco realistarespecto al comportamiento real de la columna ya que para esta cantidad la fisuracin enla cara traccionada de la columna deba ser severa. En ediciones posteriores el ACIreconoci el hecho y propuso utilizar la seccin sin fisurar si e / h 2 / 3. Sinembargo aun para esta condicin la fisuracin era severa y muchos diseos realizadoscon esta especificacin fueron adecuados no por la limitacin en e / h sino por laaplicacin de los factores de minoracin de resistencia que permitan lograr altosmrgenes de seguridad.

9.4.3 Columnas excntricas sometidas a bajas excentricidades

Los ensayos realizados en la Universidad de Illinois por los investigadores Richart yOlson en el ao de 1938 mostraron que la capacidad de carga de las columnas dehormign armado no disminuye tan rpidamente a medida que aumenta la excentricidadtal como lo haba predicho el mtodo anterior al calcular fc. Sobre estas bases el ACInuevamente modifico la expresin de diseo de las columnas y adopto una ecuacin

h = 400 mm

b = 400 mm

rea Kern

133 mm

Si la carga se aplicaen esta zona no seproduce traccin en

la columna


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consistente con los nuevos resultados experimentales. La expresin indica que larelacin entre las tensiones axiales reales por compresin ( fa ) y las admisibles ( Fa )mas la relacin entre las tensiones axiales por flexin real ( fb ) y las admisibles ( Fb)deben ser menor o igual a la unidad, expresada matemticamente es la 9.7.

0.1+b

b

a

a

Ff

Ff ( 9. 7 )

Los valores de fa y fb se obtienen de las cargas, Fa = ( 0.225fc+ fs.g ) donde es igual a 1.0 para columnas en espiral y 0.80 en otros casos. Fb= 0.45.fc.

La forma de la ecuacin 9.7 es similar a la que se usa en el diseo de estructuras

metlicas. En el limite superior cuando 0.1=+b

b

a

a

F

f

F

fes la ecuacin de una lnea recta

la cual se muestra en la figura 9.9. Se debe resaltar que en la practica es este limite

superior es el que se usa en el diseo y el campo de aplicacin de 9.7 esta limitado arelaciones e / h 2 / 3.

Figura 9.9 Tensiones admisibles en columnas a compresin excntricas ACI-318-56

Por ejemplo si una columna de hormign armado de b = h = 400 mm y una cuanta del0.02 con fc= 28 MPa y fy= 420 MPa esta sometida a una carga axial de 1000 kN y unmomento de 75 kN.m => se verifica que:

Cumpleh

eme


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76

MPafa .25.6400400

101000 3=

= MPaFa .70.1402.042028225.0 =+=

MPafb .03.712/400400

20010753

6

=

= MPaFb .60.122845.0 ==

La relacin de tensiones es: Cumple


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77

Las tensiones dadas por la expresin 9.8 se indican en la figura 9.11. Dependiendo delvalor de fc,min la seccin puede estar totalmente comprimida ( fc > 0.0 ) otraccionada ( fc < 0.0 ). En este ultimo caso si fc,min es menor que el modulo derotura del hormign fr la seccin esta en rango elstico no fisurado y los clculos delas tensiones internas se pueden hacer utilizando el concepto de la seccin transformada.

En caso contrario la seccin esta fisurada.

Figura 9.11 Tensiones en columnas excntricas en rango elstico no fisurado

Por medio de la ecuacin 9.8 se puede determinar aquel valor de la excentricidad para lacual la seccin esta fisurada. Este valor de se denomina excentricidad limite y sedetermina igualando las tensiones resultantes en la cara traccionada al valor fr .

tttt

rcI

heP

A

P

I

hM

A

Pff

.2

..

.2

.===

( ) ( )

hP

IfAPe trt

.

..2lim

+= ( 9. 9 )

Por ejemplo para una columna de b = h = 400 mm con fc = 28 MPa y sometida a unacarga axial P = 1000 kNla excentricidad limite es:

( ) ( ) ( )

mme .102400101000

12/4002862.010160/101000.2lim

3

433

=

+=

El resultado indica que la seccin se mantiene en rango elstico sin fisurar si el

momento flector no supera el valor de 1000 x 0.102 = 102 kN.m. Este calculo se realizosin considerar la presencia del acero de refuerzo, en el siguiente ejemplo se muestracomo son los clculos completos.

Ejemplo 9.3 Se requiere determinar la excentricidad limite de una columna dehormign armado de dimensiones b = 300 mm y h = 500 mm la cual esta sometida auna carga de compresin P = 1500 kN. La seccin esta reforzada con 4 # 8 colocadassimtricamente como se indica en la figura 9.12. Utilizar fc = 21 MPa y fy = 420 MPa.

+= =P

f fb fa+ fb

fcmax


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Solucin: Para determinar la elim. se requiere conocer las propiedades de Ate Itde laseccin transformada no fisurada


2.150000500300 mmAg == 929.9214790204000

==n

2.16632081608160150000 mmAt =++=

4623

1037782008160212

500300mmIT =+

=

MPafr .8.22162.0 ==

mme .119500101500

1037788.2166320

1015002

(lim)3

63

=

+

=

Si la columna se somete a momentos flectores M 1500 x .119 = 179 kN.m se puedeconcluir que la seccin trabaja elsticamente sin fisurar.

9.4.4 Columnas sometidas a grandes excentricidades

Si la excentricidad en una columna supera el valor de e ( lim) nuevamente, al igualque en vigas, parte de la seccin se hace ineficaz para soportar las tensiones generadas

por las cargas y la situacin cambia totalmente respecto al caso anterior. La figura 9.13muestra la seccin de una columna sometida a una carga axial con gran excentricidad sise define kt como la altura de la zona comprimida, dc la distancia del borde mas

( 9 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2

( 9 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2

200 mm

200 mm

300 mm

500 mm


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comprimido al eje central de la columna y d s la distancia del borde mas traccionadoal eje central de la columna se tiene por clculos estticos lo siguiente:

Figura 9.13 Tensiones en columnas excntricas fisuradas

Del equilibrio de la seccin y tomando momentos respecto al eje de la carga =>

( ) ( ) 0.03

=+

++ ddeCde

kCedT csc

tcs

Ahora por semejanza de tringulos:( )t

s

t

c

kd

nf

k

f

= c

t

ts fk

kd

n

f.

=

==

t

tcsss

k

kdfAnfAT .... ( ) c

t

tss f

k

dkAnC ...1.2

= b

fkC ct

c.

2

.=

Reemplazando en la ecuacin de equilibrio se obtiene:

( ) 0.02

....1223

..2

.

2....

=

+

+

+

hedf

k

dkAn

he

kb

fked

h

k

kdfAn

c

t

ts

tct

t

tcs

Sean:

+= ed

hfAn cs

2... ( )

+=

2...12

hedfAn cs 2

. c

fb=

y 2

he = Se obtiene una expresin mas simplificada para resolver kt:

0.0.3

...

=

+

t

ttt

t

t

k

dkkk

k

kd

Esta es una ecuacin cbica para hallar el valor de kt , organizando trminos

e kt dc

ds

d

dCs

n.As

( 2n 1) As

T

fc

fs/ nd - k


17/55



80

( ) ( ) 0.0......3

23 =++++ ddkkk ttt

Una vez conocido el valor de kt se determinan las tensiones en el hormign fc yen las dos capas de acero para finalmente determinar la carga admisible.

Ejemplo 9.4 Una columna de b = h = 450 mm esta reforzada con seis barras # 9 comose indica en la figura 9.14. Determinar la carga axial admisible en rango elsticofisurado para una excentricidad e = 480 mm. fc= 21 MPa y fy= 280 MPa.


Solucin: Inicialmente se determinara la posicin del eje neutro kt y luego las cargasinternas T , Cc y Cs para finalmente calcular Padm .

929.9214790

204000==n As= As= 3 x 645 = 1935 mm2

2.1741519359 mmAt == ( )2 .328951935.192 mmAt ==

La tensin admisible a compresin del hormign es: fc= 0.45 x 21 = 9.45 MPa

+= edh

fAn cs

2

... = 9 x 1935 x 9.45x ( 225 60 + 380 )=90 x 106

( )

+=

2...12

hedfAn

cs =(18 1 ).1935 x 9.45 x ( 60 + 380 225 ) =67 x 106

2

. cfb= = ( 450 x 9.45 ) / 2 = 2126

2

he = = ( 380 225 ) = 155

60 mm

60 mm

450 mm

450 mm

P (adm)

380 mm

390 mm


18/55



81

( ) ( ) 0104010351.10671090.1552126.3

2126 886623 =++++ ttt kkk

0105517.221543.465 423 =++ ttt kkk

Al resolver la cbica se encuentra que la raz correcta es kt = 168 mm .


19/55



82

magnitud de la carga axial. Por lo general el acero a compresin en columnasexcntricas llevadas a la falla alcanza la tensin de fluencia, excepto cuando: a) el nivelde carga axial es bajo, b ) se utiliza acero de alta resistencia y c) cuando las dimensionesde la columna son tales que d es grande. En la practica es frecuente suponer que As esta en fluencia y luego por relaciones geomtricas de las deformaciones

comprobar esta hiptesis.

Cs

Figura 9.15 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excntricas

Del equilibrio de fuerzas horizontales en la figura 9.15 se tiene:

0= TCCP csn 0....85.0. =+ sscssn fAabffAP

sssscn fAfAbafP .....85.0

+= ( 9.10 )

Por lo general el acero a compresin esta en fluencia => f s= fy

Tomando momentos alrededor del acero a traccin se obtiene:

( ) 02

... =

adCddCeP

csn

( ) ..2

...85.0. ddfAa

dbafeP sscn +

= ( 9.11)

Las expresiones 9.10 y 9.11 definen la capacidad a flexin y carga axial de columnasexcntricas con refuerzo asimtrico. Sin embargo estas ecuaciones en la practica no sontiles porque se acostumbra referenciar la excentridad al eje central de la columna e .Para lograr mayor aplicacin a las anteriores ecuaciones es necesario referir laexcentricidad a un punto denominado el centroide plstico de la seccin. Este puntoesta localizado de tal forma que la carga externa produce una condicin de falla solo por

d

e

Pn

d

b

h

As

As

c

s

s

c

T

Cs

Cca

Cs

Cc

T

0.85.fc


20/55



83

carga axial. La figura 9.16 ilustra la forma de ubicar el centroide plstico en unacolumna con refuerzo asimtrico de dimensiones b y h .

Figura 9.16 Localizacin del centroide plstico de una seccin de columna

De la definicin: ystcco fAAfP ..85.0 += : Carga axial en la columna

Por sumatoria de momentos respecto al eje del refuerzo a traccin se tiene:

( ) "..2

. 21 dPddCh

dCo

=+

Reemplazando valores y despejando d se obtiene:

( ) ( )( )

yssc

ssc

fAAhbf

ddfAhdhbfd

..85.0

..2/...85.0

+++

= ( 9.12 )

Cuando la seccin esta reforzada simtricamente As = As y el valor de la ecuacin9.12 se reduce considerablemente convirtindose en la 9.13.

2

)(. ddd

= ( 9.13 )

De nuevo considerando la figura 9.15 pero ahora realizando sumatoria de momentosrespecto al centroide plstico de la seccin se obtiene:

( ) ....2

...85.0. dfAdddfAda

dbafeP sssscn ++

= ( 9.14 )

Reemplazando 9.13 en 9.14 para columnas con refuerzo simtrico

C2

C1

C3

Po

Carga localizada en elcentroideplstico

As

As

b

h

d"

d

d

h / 2


21/55



84

Figura 9.17 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excntricas

+

+

=

2..

2..

22...85.0. hdfAdhfAahbafeP sssscn ( 9.15)

Las ecuaciones 9.10, 9.14 y 9.15 son las relaciones de equilibrio bsicas para columnasrectangulares sometidas a flexo-compresin. En estas ecuaciones es necesario recordarque parte del hormign de la zona comprimida ha sido desplazado por el acero y esto nose ha considerado en las anteriores ecuaciones por el pequeo efecto que tiene en losresultados; sin embargo para cuantas altas, mayores al 4 %, su efecto es importante y esnecesario considerarlo en los diseos. Lo que se hace es reemplazar el valor de fs

por ( fs 0.85.fc) logrando as compensar la carga de la misma manera como se hadisminuido el valor de la resistencia a compresin.

Para una determinada columna la carga axial determinada con la ecuacin 9.10 no debeser mayor que la obtenida con la 9.2. Dependiendo de la magnitud de la excentricidad se

pueden considerar tres tipos de comportamientos en las columnas:

Cuando la excentricidad de la carga axial es alta, la falla se inicia por fluenciadel acero a traccin ( fs= fy). El acero a compresin puede estar en fluencia ( fs= fy) dependiendo de la deformacin del hormign a compresin (c= 0.003)hiptesis que se debe comprobar por compatibilidad de deformaciones.

Cuando la excentricidad es baja el hormign alcanza inicialmente su mximadeformacin (c= 0.003) antes de que el acero a traccin inicie la fluencia. Enestos casos la seccin de la columna estar totalmente comprimida.

Cuando la rotura se produce por la accin simultanea de fluencia del acero atraccin y mxima deformacin del hormign a compresin se llega a lacondicin intermedia.

Las ecuaciones de compatibilidad para comprobar si el acero en ambas caras de unacolumna esta o no en fluencia se obtienen del perfil de deformaciones de la figura 9.17.Por semejanza de tringulos se obtiene:

d

e

Pn

d

b

h

As

c

s

sT

Cs

Cc

a

Cs

Cc

T

0.85.fc

d"

C.P


22/55



85

Despejando s , s y reemplazando fs= Es. s , fs= Es. s

( )yscs

fc

cdEf

= .. ( 9.16 )

( )yscs f

c

dcEf

=

.. ( 9.17 )

Para una columna rectangular con refuerzo simtrico el anlisis de su comportamiento anivel de resistencia se logra utilizando las ecuaciones 9.10 y 9.15 comprobando lashiptesis de las deformaciones con 9.16 y 9.17. Por lo general para una determinadaexcentricidad e o una carga axial Pn son datos del problema: las dimensiones de

la seccin, la cantidad y distribucin del refuerzo, el recubrimiento y la resistencia delos materiales ( b, h, d, d, As, As, f c, fy) las incgnitas son : la profundidad del ejeneutro c , las tensiones en los aceros fsy f s y Pn o e .

El procedimiento de anlisis para una seccin y excentricidad conocidas es el siguiente:inicialmente se asume una profundidad del eje neutro c . Se determina luego la alturadel bloque de Whitney usando la expresin a = 1.c , se calculan las tensiones en losaceros a traccin y a compresin con 9.16 y 9.17 y luego la carga axial P n con laecuacin 9.10, calcular finalmente la excentricidad correspondiente a esta carga usandola ecuacin 9.15 y comparar este valor con la e inicial. Si son aproximadamenteiguales se tiene la capacidad de carga axial de la columna, en caso contrario se debenrepetir los clculos anteriores usando un nuevo valor de c . Si la excentricidadobtenida es mayor que la indicada se debe asumir un valor mayor de c y viceversa.Este proceso converge rpidamente y es muy simple con la ayuda de una calculadora

programable o una hoja de calculo.

Ya que el procedimiento anterior es largo y laborioso mas aun cuando no se dispone deeficientes herramientas de calculo como las calculadoras programables de grancapacidad y computadores porttiles, es practico utilizar tablas o grficos que resuelvan

s

c

s

d

c

d Para el triangulo OAB =>

( )cdcsc

=

Para el triangulo OCD =>

( )

ddc

sc

=

O

A B

C D


23/55



86

rpidamente el problema. De estas ayudas la mas conocida es el diagrama deinteraccin de columnas los cuales son grficos similares al mostrado en la figura 9.18y donde se relacionan los momentos y las cargas axiales para diferentes:

a) Disposiciones en la colocacin del refuerzo ( en dos o cuatro caras )

b) Resistencia de los materiales ( f cy fy)c) Dimensiones de recubrimientos ( d y d )d) Secciones de columna ( rectangular y circular)

Figura 9.18 Forma tpica del diagrama de interaccin y perfiles de deformacin

Ejemplo 9.5 Se requiere analizar el comportamiento de la columna de la figura 9.19utilizando un hormign de fc = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa.


Pn

Mn= Pn.e

Columna sin excentricidad,solo compresin ( e = 0 )

Columna con excentricidadpequea. Controla la compresin

Condicinintermedia

Columna con grandeexcentricidad

Zona a compresin

Zona a traccion

h = 400 mm

b = 400 mm

d= 65 mm

d= 65 mm

4 # 9

4 # 9


24/55



87

Solucin: primero se determina la capacidad de la seccin sometida a compresin puracon la ecuacin 9.2. Luego se asumen diferentes valores de c determinando los

puntos que definen el diagrama de interaccin de la columna .

a) Capacidad de la columna solo a carga axial e = 0 .

( ) ( ) kNNPno .6774.106774420645864584004003585.03 ==+=

El valor expresado en trminos de tensiones: MPaA

P

g

no .42400400

106774 3=

=

El valor adimensional es: 21.135400400

106774 3

=

= cgno

fA

P

b) Determinacin de los valores de Pn y Mn para diferentes valores de c .

Este procedimiento se facilita con un programa o una hoja de calculo como se indica acontinuacin. Ya que el valor de c puede variar desde 0.0 hasta infinito ( cuandola columna es una viga ) se asumirn valores arbitrarios hasta lograr que Mn 0.0 paraas graficar los puntos del primer cuadrante del diagrama. Las figuras 9.20, 9.21 y 9.22muestran los tres tipos de grficos de interaccin mas utilizados.

Para c = d= 65 mmfs = 0.0

( )MPaMPaf

ss420.254201246.020400001246.0

335

65335003.0 >===

=

kNNCc .619106194006580.03585.0

6

===

kNNT .10841010844202580 6 ===

kNPn .4651084619 ==

( ) mkNmmkNMn .254.102542003351084)2/6580.0200(6193 ==+=

Este es el primer punto de la tabla 9.1 y corresponde e = 254 / - 465 = - 0.55 m .

Para c = h / 2 = 200 mm

( )MPaMPaf

ss420.413002025.0204000002025.0

200

200335003.0


25/55



88

kNNTCs .106510106541325806 ====

kNPn .1904106510651904 =+=

( ) ( ) mkNMn .5166520010652003351065)2/20080.0200(1904 =++=

Este es el cuarto punto de la tabla 9.1. Corresponde a un e = 0.27 m

Para c = d = 335 mm fs = 0.0

( )MPaMPaf

ss420.494002420.0204000002420.0

335

65335003.0 >===

=

kNNCc .318910318940033580.03585.06 ===

kNPn .427342025803189 =+=

( ) mkNmmkNMn .356.10356652001084)2/33580.0200(31893 ==+=

Este es el punto # 7 y corresponde a un e = 356 / 4273 = 0.08 m .

Tabla 9.1 Resumen de los resultados en los clculos de la columna del ejemplo 9.5

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS DE HORMIGN ARMADO

FLEXIN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPASDATOS DE LA SECCIN

b ( mm ) = 400 fc ( MPa)= 35 INCR." c "= 45

h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000

d( mm ) = 65 As(mm2) = 2580 ec= 0.003

d ( mm ) = 335 As(mm2) = 2580 B1= 0.80

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCIONp = 0.03225

Punto c fs fs Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fc ) Pn / ( Ag x fc )

(mm) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 65 420 0 254 -465 3.97 -2.91 0.113 -0.083

2 110 420 250 397 610 6.20 3.81 0.177 0.109

3 155 420 355 474 1309 7.40 8.18 0.211 0.234

4 200 413 413 516 1904 8.07 11.90 0.230 0.340

5 245 225 420 462 2836 7.23 17.72 0.206 0.506

6 290 95 420 411 3599 6.43 22.50 0.184 0.6437 335 0 420 357 4273 5.57 26.71 0.159 0.763

8 380 -72 420 295 4888 4.60 30.55 0.132 0.873

9 425 -130 420 223 5464 3.48 34.15 0.099 0.976

10 470 -176 420 139 6012 2.17 37.57 0.062 1.073

11 515 -214 420 42 6538 0.66 40.86 0.019 1.16812 560 -246 420 -67 7049 -1.05 44.06 -0.030 1.259


26/55



89

0

1000

2000

3000

4000

50006000

7000

8000

0 200 400 600Mn ( kN.m)

Pn(kN

)

Figura 9.20 Diagrama de interaccin dimensional de la columna del ejemplo 9.5

0

10

20

3040

50

0 2 4 6 8 10

Mn / ( Ag h ) ( MPa )

Pn/Ag(MPa

)

Figura 9.21 Diagrama de interaccin en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.5

610, 397

516, 1904

( 357, 4273 )

0, 6774

e = 0.08

e = 0.27

e = 0.55


27/55



90

0.00

0.20

0.40

0.60

0.801.00

1.20

1.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Mn / ( Ag h fc )

Pn/(Agfc)

Figura 9.22 Diagrama de interaccin adimensional de la columna del ejemplo 9.5

Si se repiten los clculos dela tabla 9.1 para las ocho cuantas de columnas se obtieneuna familia de diagramas muy tiles en el diseo estructural y que se presentan en todoslos manuales y ayudas de diseo. La figura 9.23 los ilustra para el ejemplo 9.5.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 200 400 600 800 1000

Mn ( kN.m)

Pn(kN)

Figura 9.23 Familia de diagramas de interaccin del ejemplo 9.5

= 0.01

e / h = 0.20

e / h = 0.68

= 0.08Mn


28/55



91

9.4.6 Comportamiento a nivel de resistencia. Refuerzo en todas las caras

Cuando se presentan altos momentos flectores es mas econmico concentrar parte otodo el refuerzo en las dos caras paralelas al eje de la flexin como se indica en la figura9.24. Sin embargo para pequeas excentricidades es decir alta carga axial y bajos

momentos flectores y cuando por razones arquitectnicas se requieran disminuir almximo las dimensiones de la seccin transversal de la columna es practico distribuir elrefuerzo en forma uniforme alrededor del permetro de la seccin.

Figura 9.24 Distribucin del refuerzo en columnas en dos y cuatro caras

En este caso, al existir varias capas de refuerzo, es probable que cuando se alcance laresistencia de la seccin las barras de las capas intermedias no estn en fluencia aspectoque se debe tener en cuenta cuando se analiza el comportamiento de la seccin, figura9.25. Utilizando los principios explicados en el numeral anterior se pueden construir losdiagramas de interaccin de estas secciones aplicando las ecuaciones de equilibrio ycompatibilidad. Estos diagramas son la base fundamental del diseo de las columnascon refuerzo en todas las caras. La construccin de estos se explicara mejor con elsiguiente ejemplo.

Figura 9.25 Tensiones y deformaciones en columnas con refuerzo en todas las caras

h h

Mu Mu

c

s1

s2

s3

s

Ts4Ts3

Cs1

Cc

Cs2

c

As1

As2

As3

As4


29/55



92

Ejemplo 9.6 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna delejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las cuatro caras.


Solucin: El procedimiento a seguir es similar al ejemplo anterior. En la tabla 9.2 y

figuras 9.27 a 9.30 se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 9.2 Resultados del anlisis de la columna del ejemplo 9.6

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGN ARMADO

FLEXIN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS

DATOS DE LA SECCIN

b ( mm ) = 400 fc ( MPa)= 35 INCR." c "= 45

h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000

d1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1935 ec= 0.003

d2( mm ) = 200 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8

d3(mm) = 335 As3(mm2) = 1935

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION

Punto c fs1 fs2 fs3 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fc ) Pn / ( Ag x fc )

# (mm ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 65 0 420 420 217 -736 3.4 -4.6 0.10 -0.13

2 110 250 420 420 338 177 5.3 1.1 0.15 0.03

3 155 355 178 420 406 1121 6.3 7.0 0.18 0.20

4 200 413 0 413 444 1904 6.9 11.9 0.20 0.34

5 245 420 112 225 406 2855 6.3 17.8 0.18 0.51

6 290 420 190 95 366 3635 5.7 22.7 0.16 0.65

7 335 420 247 0 320 4320 5.0 27.0 0.14 0.77

8 380 420 290 72 264 4945 4.1 30.9 0.12 0.88

9 425 420 324 130 197 5527 3.1 34.5 0.09 0.99

10 470 420 352 176 117 6081 1.8 38.0 0.05 1.09

11 515 420 374 214 24 6612 0.4 41.3 0.01 1.18

12 560 420 393 246 -82 7127 -1.3 44.5 -0.04 1.27

13 605 420 410 273 -204 7629 -3.2 47.7 -0.09 1.36

14 650 420 420 297 -339 8116 -5.3 50.7 -0.15 1.45

h = 400 mm

b = 400 mm

d= 65 mm

d= 65 mm

8 # 9135 mm

135 mm


30/55



93

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 200 400 600 800 1000

Mn (kN.m)

Pn(kN)

Figura 9.27 Diagrama de interaccin de la columna 9.6

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0

Mn / ( Ag h ) ( MPa)

(Pn/Ag)(MPa)

Figura 9.28 Diagrama de interaccin de la columna del ejemplo 9.6


31/55



94

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.201.40

1.60

1.80

2.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40

[ Mn / (Ag.h.fc)]

[Pn/(Ag.f

c)]

Figura 9.29 Diagrama de interaccin adimensional del ejemplo 9.6

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 200 400 600 800 1000Mn ( kN.m)

Pn(kN)

Figura 9.30 Diagrama completo de interaccin del ejemplo 9.6

Mn


32/55



95

Ejemplo 9.7 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna delejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las dos caras laterales.


Solucin: El procedimiento tambin es similar al ejemplo 9.5. En la tabla 9.3 y figuras

9.32 a 9.35 se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 9.3 Resumen de los resultados para la columna del ejemplo 9.7

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGN ARMADO

FLEXIN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS COLUMNA TIPO L

DATOS DE LA SECCIN

b ( mm ) = 400 fc ( MPa)= 35 INCR." c "= 45

h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000

d1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1290 ec= 0.003

d2( mm ) = 155 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8

d3(mm) = 245 As3(mm2) = 1290

d4(mm) = 335 As4(mm2) = 1290


p = 0.0323

Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fc ) Pn / ( Ag x fc )

# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 65 0 420 420 420 230 -1007 3.6 -6.3 0.10 -0.18

2 110 250 250 420 420 319 -36 5.0 -0.2 0.14 -0.01

3 155 355 0 355 420 359 934 5.6 5.8 0.16 0.17

4 200 413 138 138 413 388 1904 6.1 11.9 0.17 0.34

5 245 420 225 0 225 363 2874 5.7 18.0 0.16 0.51

6 290 420 285 95 95 333 3670 5.2 22.9 0.15 0.66

7 335 420 329 164 0 293 4367 4.6 27.3 0.13 0.78

8 380 420 362 217 72 243 5001 3.8 31.3 0.11 0.89

9 425 420 389 259 130 179 5591 2.8 34.9 0.08 1.00

10 470 420 410 293 176 103 6150 1.6 38.4 0.05 1.10

11 515 420 420 321 214 12 6676 0.2 41.7 0.01 1.19

12 560 420 420 344 246 -93 7176 -1.5 44.9 -0.04 1.28

13 605 420 420 364 273 -213 7665 -3.3 47.9 -0.10 1.37

14 650 420 420 381 297 -348 8146 -5.4 50.9 -0.16 1.45

h = 400 mm

b = 400 mm

d= 65 mm

d= 65 mm

8 # 990 mm

90 mm

90 mm


33/55



96

0

1000

2000

3000

4000

50006000

7000

8000

0 100 200 300 400 500

Mn (kN.m)

Pn(kN)

Figura 9.32 Diagrama de interaccin dimensional columna del ejemplo 9.7

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

Mn / ( Ag h ) ( MPa)

(Pn/Ag)(MPa)

Figura 9.33 Diagrama de interaccin dimensional de columna del ejemplo 9.7


34/55



97

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

[ Mn / (Ag.h.fc)]

[Pn/(Ag.f

c)]


0

2000

4000

6000

800010000

12000

0 200 400 600 800 1000

Mn ( kN.m)

Pn(kN)

Figura 9.35 Familia de diagramas de interaccin columna del ejemplo 9.7

Mn


35/55



98

9.4.7 Comportamiento a nivel de resistencia. Columnas circulares

El mtodo anteriormente descrito para determinar por compatibilidad de deformacionesel comportamiento de los tres tipos de columnas rectangulares mas frecuentes en losedificios de hormign armado ( R, E y L ) se puede aplicar al caso de columnas de

forma circular ( C ). La figura 9.36 muestra como se determina c en estos casosconsiderando el mismo perfil de deformaciones visto en los ejemplos anteriores. Deforma similar la profundidad del bloque comprimido es a = B1c .

Figura 9.36 Perfil de tensiones y deformaciones para una columna circular

La principal caracterstica de esta seccin es que la zona a compresin es un segmentode circulo de altura a del cual se debe conocer su rea y posicin del centroide paradeterminar la fuerza de compresin en el hormign y el momento resultante de estafuerza respecto al centro de gravedad de la columna. De la geometra se obtiene quetanto el rea como la posicin del centroide se pueden obtener a partir del ngulo que hace la base del segmento con el radio como se muestra en la figura 9.36. El valordel ngulo depende de la altura del bloque comprimido de la seccin as:

Si a < h / 2 < 90 y se puede calcular con la ecuacin 9.18:

=

2

2cos 1

h

ah ( 9.18 )

Si a > h / 2 > 90 y se puede calcular con la ecuacin 9.19:

=

2

2cos180 1

h

ha ( 9.19 )

El rea del segmento circular se expresa en funcin de mediante la ecuacin 9.20donde esta en radianes. El momento de esta rea alrededor del centro de la

c

c=0.003

s

Cc

Cs

T1

T2


36/55



99

columna se indica con la ecuacin 9.21. Con estos parmetros se puede determinar eldiagrama de interaccin de la columna circular.

=

4

cos..2

senhA ( 9.20 )

A

senh

y

=12

.3

3

( 9.21 )

En donde y es el valor de la distancia del centroide del rea comprimida al ejeneutro. La forma del diagrama de interaccin de una columna circular se ve afectada porel numero de barras y su orientacin relativa respecto al eje neutro. Por ejemplo en lacolumna de la figura 9.36 la capacidad de momento en direccin x-x es menor que laobtenida en direccin y-y efecto que debe tener muy en cuneta el diseador de laestructura. Se recomienda que el diseo de columnas circulares se realice con eldiagrama de la direccin mas desfavorable debido al poco control que se tiene durantela construccin de la edificacin. Para casos donde el numero de barras es mayor deocho ( 8 ) el problema se reduce considerablemente por la disposicin circular delrefuerzo a flexin de la columna.

Ejemplo 9.8 Analizar en un diagrama de interaccin el comportamiento de unacolumna circular de dimetro = 400 mm . Usar los mismos datos de los ejemplosanteriores para las propiedades de lo materiales, As = 8 # 9.

Figura 9.37 Seccin de la columna del ejemplo 9.8

Solucin: La metodologa nuevamente es similar a la presentada en los ejemplos decolumnas rectangulares. Inicialmente se determina la capacidad de la columna sometidaa carga axial pura y luego se asumen varias posiciones de eje neutro y porcompatibilidad y equilibrio se obtienen las parejas de puntos ( Mn , Pn ).

400

65 mm132.5 mm

200 mm

267.5 mm335 mm


37/55



100

Capacidad a carga axial pura Excentricidad: e = 0.0

( )( ) kNPn 5752420516051601256643585.0 =+=

Para c = 65 mms1= 0.0 y fs1=0.0

( )MPaMPaf

ss42063400311.020400000311.0

65

655.132003.0 22 >===

=

( )MPaMPaf

ss420127100623.020400000623.0

65

65200003.0 23 >===

=

( )MPaMPafss 420190700935.020400000935.065

655.267003.0 24 >===

=

( )MPaMPafss 420254201246.020400001246.065

65335

003.0 25 >===

=

Se comprueba que todas las capas de acero estn en fluencia cuando c = 65 mm . Lasfuerzas resultantes en cada capa son:

Capa 1 => F1= 0.0

Capa 2 => F2= 1290 mm2* 420 MPa = 542 kN

Capa 3 => F3= 1290 mm2* 420 MPa = 542 kN

Capa 4 => F4 = 1290 mm

2

* 420 MPa = 542 kNCapa 5 => F5= 645 mm

2* 420 MPa = 271 kN

La resultante a compresin del hormign es:

kNNCc .2911029197683585.0 3 ===

Cc200 mm

a= 0.80 x 65 =52 mm

o27.42200

52200cos 1 =

=

22 .97684

74.067.074.0400 mmA =

=

y


38/55



101

La fuerza axial resultante es: Pn = 291 3 ( 542 ) 271 = -1606 kN (traccin ).

Para obtener Mn se toman momentos respecto al centro de gravedad de la columna

( )

mm

sen

y .1669768

12

27.42400

33

=

= Momento del bloque de hormign: M1= 291 x 166 = 48306 kN.mm = 48.3 kN.m

Momento de las capas de acero: M2= 0.0

M3 = 542 x ( 200 132.5 ) = 36.6 kN.m ; M4= 542 x ( 200 200 ) = 0.0 kN.m

M5= 542 x ( 267.5-200 ) = 36.6 kN.m ; M6= 271 x ( 335 200 ) = 36.6 kN.m

El momento resistente es: Mn = 48.3 +36.6 + 36.6 + 36.6 = 158.1 kN.m

La capacidad a flexin de esta columna para c = 65 mm es ( 158 kN.m , -1606 kN ).

Tabla 9.4 Resumen de clculos de comportamiento columna ejemplo 9.8

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS CIRCULARES DE HORMIGN ARMADOFLEXIN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS

DATOS DE LA SECCIN

INCR." c "= 35 D ( mm ) = 400 fc ( MPa)= 35

Es ( MPa) = 204000 d1( mm ) = 65 fy (MPa) = 420

ec= 0.003 d2( mm ) = 132.5 As1(mm2) = 645

B1= 0.8 d3(mm) = 200 As2(mm2) = 1290

A(mm2)= 125664 d4(mm) = 267.5 As3(mm2) = 1290

d5(mm) = 335 As4(mm2) = 1290As5(mm2) = 645


Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 fs5 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag

# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa)

1 65 0 420 420 420 420 158 -1611 2.5 -10.1

2 100 214 199 420 420 420 190 -941 3.0 -5.9

3 135 317 11 295 420 420 213 -159 3.3 -1.0

4 170 378 135 108 351 420 247 676 3.9 4.2

5 205 418 216 15 187 388 256 1520 4.0 9.5

6 240 420 274 102 70 242 246 2283 3.8 14.3

7 275 420 317 167 17 134 231 2938 3.6 18.4

8 310 420 350 217 84 49 209 3514 3.3 22.09 345 420 377 257 137 18 181 4029 2.8 25.2

10 380 420 399 290 181 72 148 4488 2.3 28.1

11 415 420 417 317 218 118 111 4891 1.7 30.6

12 450 420 420 340 248 156 72 5216 1.1 32.6

13 485 420 420 360 274 189 39 5459 0.6 34.1

14 500 420 420 367 285 202 31 5522 0.5 34.5


39/55



102

0

1000

2000

3000

40005000

6000

7000

0 100 200 300

Mn ( kN.m )

Pn(kN)

Figura 9.38 Diagrama de interaccin de la columna circular del ejemplo 9.8

0

5

10

15

20

2530

35

40

0 1 2 3 4 5

Mn / (Ag x h ) ( MPa)

Pn/Ag(MPa)

Figura 9.39 Diagrama de interaccin en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.8


40/55



103

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.05 0.10 0.15

Mn / (Ag x h x fc )

Pn/(Agxfc)


0

10002000300040005000600070008000

9000

0 100 200 300 400

Mn ( kN.m )

Pn(kN

)

Figura 9.41 Diagramas de interaccin para columna circular del ejemplo 9.8


41/55



104

9.4.8 Diseo a flexin y carga uniaxial de columnas cortas

En columnas, al igual que en vigas y losas, el diseo de los elementos debe cumplir conunos mrgenes de seguridad adecuados. Estos estn indicados en las normas y cdigosestablecidos. Las cargas o tensiones externas de servicio se deben amplificar utilizando

los factores y la resistencia se debe disminuir utilizando los coeficientes . Loanterior significa que si una columna esta bien diseada se debe cumplir:

un PP . y un MM . ( 9.22 )

Utilizando el mtodo de las deformaciones limites se pueden definir diferentes valorespara el coeficiente de acuerdo al comportamiento resistente de la columna.Cuando controla la traccin se cumple que: t> 0.005 y c / dt < 0.375 y el valor de = 0.90 para cualquier columna. Si controla la compresin se tiene que si: t 0.600 => = 0.75 para columna con espirales y = 0.65 enotros casos. Finalmente si las condiciones que controlan la resistencia de la columna sonintermedias se cumple que 0.002 < t< 0.005 y 0.375 < c / dt< 0.600 y el valor de se obtiene por interpolacin lineal con las siguientes expresiones:

Columna con espiral: t .6757.0 += o ( )tdc20.0

37.0 +=

Columna con amarre: t .8348.0 += o ( )tdc25.0

23.0 +=

Si se aplican estos coeficientes a los diagramas Mn , Pn obtenidos en el numeralanterior se pueden obtener los diagramas Mn , Pn que son en definitiva los

diagramas de interaccin para el diseo estructural de columnas.Ejemplo 9.9 Se requiere determinar el diagrama de interaccin de diseo de lacolumna del ejemplo 9.5. fc = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa.


h = 400 mm

b = 400 mm

d= 65 mm

d= 65 mm

4 # 9

4 # 9


42/55



105

Solucin: El procedimiento es similar al realizado en el ejercicio 9.5 pero ahora seconsidera el coeficiente en los clculos respectivos. La tabla 9.5 y la grafica 9.43

presenta los resultados obtenidos.

Tabla 9.5 Resultados del diseo de la columna del ejemplo 9.9

DISEO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGN ARMADOFLEXIN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS COLUMNA E

DATOS DE LA SECCINb ( mm ) = 400 fc ( MPa)= 35 INCR." c "= 45

h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000

d1( mm ) = 65 As1(mm2) = 2580 ec= 0.003

d2( mm ) = 335 As2(mm2) = 2580 B1= 0.8

p= 0.03225

Pn (max)= 3522

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCIONp = 0.03225

Punto c fs1 fs2 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fc ) Pn / ( Ag x fc )

# (mm) coef. ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 20 0.90 420 420 296 -1779 4.6 -11.1 0.13 -0.322 65 0.90 0 420 229 -418 3.6 -2.6 0.10 -0.073 110 0.90 250 420 357 549 5.6 3.4 0.16 0.104 155 0.77 355 420 365 1008 5.7 6.3 0.16 0.185 200 0.65 413 413 335 1235 5.2 7.7 0.15 0.226 245 0.65 420 225 300 1840 4.7 11.5 0.13 0.337 290 0.65 420 95 267 2335 4.2 14.6 0.12 0.428 335 0.65 420 0 231 2772 3.6 17.3 0.10 0.499 380 0.65 420 72 191 3171 3.0 19.8 0.09 0.5710 425 0.65 420 130 144 3522 2.3 22.0 0.06 0.6311 470 0.65 420 176 90 3522 1.4 22.0 0.04 0.6312 515 0.65 420 214 27 3522 0.4 22.0 0.01 0.6313 560 0.65 420 246 -44 3522 -0.7 22.0 -0.02 0.6314 605 0.65 420 273 -124 3522 -1.9 22.0 -0.06 0.63

Por ejemplo si la columna indicada esta sometida a las siguientes cargas externasmayoradas ( Mu = 350 kN.m , Pu = 1250 kN ) se tiene:

Excentricidad: e = ( 350 / 1250 ) = 0.28 m e / h = 0.28 / 0.40 = 0.70 > 0.2

Mu / ( bh2fc ) = ( 350 x 10 6/ ( 400 x 4002x 35 )) = 0.16

Pu / ( bh fc ) = ( 1250 x 103/ ( 400 x 400 x 35 )) = 0.22

Si se entra a la grafica de la figura 9.43 se encuentra que esta pareja de puntos esta porfuera del diagrama de interaccin y la columna no es adecuada. Se debe aumentar elrefuerzo para lograr seguridad estructural. En la grafica 9.44 se encuentra que unacuanta de 0.038 es adecuada para esta columna.


43/55



106

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.700

0.8000.9001.000

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200fi.Mn / ( bh^2fc)

fi.Pn/(bhfc)

Figura 9.43 Diagrama de interaccin de diseo de columna del ejemplo 9.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

FMn / ( bh^2fc)

FPn/(bhfc)

Figura 9.44 Diagrama de interaccin adimensional de diseo de columnas tipo E

Tipo: Efc = 35 MPafy = 420 MPa

= 0.675

P = 0.038

Tipo: Efc = 35 MPafy = 420 MPa

= 0.675


44/55



107

De la misma forma se procede con otros valores de momento y carga axial. En generalpara cualquier columna sea tipo E, R, L o C se disponen de juegos de diagramas deinteraccin que ayudan a seleccionar rpidamente las cantidades de acero requeridasmanejando las variables: recubrimientos, fc, fy. La practica en nuestro medio es la queutilizan en los Estados Unidos de Amrica. Los grficos se encuentran definidos con la

siguiente nomenclatura: Tipo de grafico: f c : fy : .

Por ejemplo la columna definida con la referencia: E4.60: 60 equivale a un tipo E (acero en las dos caras normales al eje de la flexin ), hormign de 4 ksi ( 28 MPa ),refuerzo de 60 ksi ( 420 MPa ) y coeficiente de separacin del refuerzo 0.60. Si seexpresa en el sistema internacional de unidadesE28.420: 60.

El valor de se determina con la ecuacin 9.23 y permite definir que tantorecubrimiento se le ha dado a las capas de refuerzo mas cercanas a las caras de lacolumna. Si es bajo se tiene altos recubrimientos y viceversa. Por lo general paralos valores tpicos de trabajo varia entre 0.60 y 0.75.

h

dh .2= ( 9.23 )

Para los siguientes ejemplos se utilizaran los diagramas de interaccin de las figuras9.45 a 9.53. Se recomienda al lector no utilizar diagramas de otras referencias porque noestn convenientemente actualizados.

En resumen, el diseo de una columna corta de hormign armado sometida a flexo-compresin uniaxial se puede realizar de varias formas:

Cuando se asumen las dimensiones ( b, h ) y se debe hallar el refuerzo ( Ast)

Cuando se asume el refuerzo para hallar las dimensiones Cuando no se conoce ni dimensiones ni refuerzo.

El primer procedimiento es prcticamente el mas utilizado ya que el anlisis estructuralprecede al diseo, y para realizar el anlisis se debe dimensionar la edificacin con elfin de obtener los desplazamientos y esfuerzos internos. Por lo general se procede as:

Datos : b, h, fc, fy, d, d, Pu y Mu. El primer paso es hallar la excentricidad e = Mu / Pu . Luego se determina la excentricidad relativa e / h . Si e / h < 0.1 se

recomienda usar una columna tipo C. Si 0.1 < e / h < 0.2 usar una columnatipo R y si e / h > 0.2 usar tipo E. La columna tipo L se usa cuando la

relacin entre h / b es mayor de 4.0 es decir la columna es mas una pantalla omuro estructural.

Seleccionado el tipo de columna se busca el diagrama de interaccincorrespondiente en las ayudas de diseo y se procede a determinar la cuanta derefuerzo a flexin.

Finalmente se determinan los amarres o espirales necesarios.


45/55



108

Ejemplo 9.10 La columna del primer piso de un edificio de dos plantas soporta lascargas axiales en servicio indicadas en la figura 9.46. Determinar el refuerzo requeridoen la columna Ast si por razones arquitectnicas las dimensiones deben ser: b = 400mm y h = 500 mm. Usar fc = 28 MPa y fy = 420 MPa.

Figura 9.46 Esquema del ejemplo 9.10

Revisar adems si el refuerzo obtenido es adecuado cuando no esta presente la cargaviva en la cubierta.

Solucin: El diseo se realizara primero actuando toda la carga axial y luego serevisara si este refuerzo cumple la condicin de carga viva indicada.

kNPu .23269706.16452.1 =+=

mkNMu ..4131726.11152.1 =+=

me .18.02326

413== 20.036.0

50.0

18.0>==

h

eSe recomienda columna tipo E

Sea d= 65 mm 75.074.0500

652500=

= Utilizar el diagrama: E 4.60: 75.

Para hallar la cantidad de acero se pueden resolver simultneamente las ecuaciones de

diseo 9.22, 9.10 y 9.15 o usar los diagramas de interaccin previamente construidoscomo se indico anteriormente. El primer mtodo es sin embargo un proceso largo por locual se prefiere el uso de los diagramas en lugar de utilizar las ecuaciones.

Del grafico de la figura 9.47 obtenido con la ayuda de una hoja de calculo se marca elpunto de coordenadas ( Mu / bh2fc , Pu / bh fc ) ( 0.15, 0.42 ). Y se obtiene porinterpolacin la cuanta de refuerzo requerida que en este caso esta entre 0.03 y 0.04.Se asumir un valor intermedio de 0.035.

Pm = 645 kNPv = 970 kN

Mm = 115 kN.mMv = 172 kN.m

Pv = 482 kN


46/55



109

La cantidad de acero es => Ast = 0.035 x 400 x 500 = 7000 mm2. Utilizando barras # 10este refuerzo equivale a: 7000 / 819 = 8.5 barras => se prefiere combinar con barras # 8y por tanteos se llega a: 6 # 10 + 4 # 8 = 6954 mm2p = 0.035

00.2

0.4

0.6

0.8

1

1.21.4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Mn / ( bh^2 fc)

Pn/(bhfc)

Figura 9.47 Diagrama de interaccin de diseo. Columna del ejemplo 9.10

Para los amarres se asumen barras # 3 con el siguiente espaciamiento:

16 x db = 16 x 31.8 = 509 mm 48 x de = 48 x 12.7 = 610 mm La menor dimensin de la columna => 400 mm


COLUMNAE 28.420: 74

3# 10 + 2# 8

3# 10 + 2# 8

500 mm

400 mm

65 mm

435 mm


47/55



110

Cuando la carga axial no tiene el aporte de la carga viva de la cubierta =>

( ) kNPu .15554829706.16452.1 =+=

mkNMu ..413=

me .27.01555

413== 20.054.0

50.0

27.0>==

h

eSe recomienda columna tipo E

Para entrar al diagrama de interaccin de la figura 9.47 se requiere:

15.028500400

10413.2

6

22 =

==c

u

c

n

fbh

M

fbh

M

28.028500400

101555. 3

=

==

c

u

c

n

bhf

P

bhf

P

Con estas coordenadas se encuentra en la figura 9.47 una cuanta = 0.025 la cual esmenor que la obtenida cuando acta toda la carga axial por lo que se concluye que eldiseo es satisfactorio.

Ejemplo 9.11 Se requiere disear una columna rectangular para que soporte una cargaaxial mayorada de 2350 kN y un momento mayorado de 735 kN.m. Los materiales autilizar son: fc = 28 MPa y fy = 420 MPa. Por razones econmicas la cuanta de acerodebe ser menor o igual al 3 %. Determinar las dimensiones optimas de la seccin.

Solucin: El procedimiento es iterativo, se comienza asumiendo un valor de h elcual se va modificando a medida que se obtienen los resultados.

Un primer ensayo es hallar el rea de la seccin con la expresin aproximada:

( )( )( )

23

.128626

42003.02845.0

102350

..45.0 mm

ff

PA

yc

ug =+

=

+

Sin embargo, a diferencia de las vigas, aqu la excentricidad es importante y se debetener en cuenta en la seleccin de las dimensiones. Ya que e = 735 / 2350 = 0.31 m se concluye que la columna esta controlada por la flexin y en estos casos esrecomendable usar una seccin tipo E. Sea h = 600 mm => e / h = 0.52 > 0.20 y secomprueba que es una columna tipo E. Sea d= 75 mm => = 0.75. Si se dispone deldiagrama de interaccin E 28.420.75 se puede encontrar el valor de Pu / bhfc conocidos e / h = 0.52 y p = 0.03 . Este diagrama se presenta en la figura 9.49.

De la figura 9.49 se concluye que el valor de Pu / ( bh f c ) = 0.30 . Si se despeja elvalor del ancho de la columna se tiene: b = 466 mm el cual se aprox. a 450 mm.


48/55



111

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Mu / ( bh^2 fc )

Pu/(bhfc

)

Figura 9.49 Diagrama de interaccin columna E 28.420:75 Ejemplo 9.11

El refuerzo para esta columna esta constituido por: Ast = 0.03 x 450 x 600 = 6750 mm2que se pueden reemplazar por 8 # 9 para obtener una cuanta de p = 0.024 < 0.03.

Ejemplo 9.12 Determinar el refuerzo longitudinal y los amarres respectivos para lasdos siguientes columnas: a) rectangular que debe soportar las siguientes cargasmayoradas: Pu = 1600 kN y Mu = 150 kN.m y Vu = 73 kN. fc = 21 MPa y fy = 420

MPa y b) Una circular : Pu = 2550 kN, Mu = 85 kN.m, fc = 28 MPa y fy = 420 MPa

Solucin: a) En este caso solo se conocen las tensiones que producen las cargasexternas mayoradas y se debe encontrar las dimensiones y el refuerzo de la columna.Por criterios prcticos y econmicos se asumir una cuanta de p = 1.5 % ( por logeneral este valor esta entre el 1 % y el 2 % ).

( )2

3

.130240420015.02145.0

101600mmA

g =

+

La excentricidad es de: e = 150 / 1600 = 0.09 m la cual indica que es una columnadonde controla la carga axial. En estos casos el tipo R es adecuado por lo cual se

asumir inicialmente una seccin cuadrada con b = h = ( 130240 )

0.5

360 mm.

Sea b = h = 400 mm que representa un Ag = 160000 mm2> 130240 mm2=> cumple.La excentricidad relativa es: e / h = 0.09 / 0.40 =0.225 > 0.20 => Columna tipo E.

Sea d= 65 mm = 0.675 por lo tanto se puede interpolar linealmente los valores dela cuanta obtenidos en los diagramas de interaccin E 21.420:60 y E 21.420:75 .Se usan los siguientes datos: Pu / (bhf c ) = 0.48 y Mu / ( bh2fc ) = 0.11

e / h = 0.52P = 0.03


49/55



112

0

0.2

0.4

0.6

0.81

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Mu / ( bh^2 fc )

Pu/(bhfc

)

Figura 9.50 Diagrama de interaccin E 21.420:75

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Mu / (bh^2fc)

Pu/(bhfc)

Figura 9.51 Diagrama de interaccin E 21.420.60

La cuanta de refuerzo para esta columna es => p = ( 0.022 + 0.018 ) / 2 = 0.020. Elrefuerzo es: Ast = 0.020 x 400 x 400 = 3200 mm2que equivalen a 4 # 9 + 2 # 7 para unAst real = 4 x 645 + 2 x 387 = 3354 mm2=> Cumple.

Grafico E 21.420:75

Grafico E 21.420:60

= 0.022

p = 0.018


50/55



113


Verificando la capacidad mxima de carga axial de la columna se tiene:

( ) ( )( ) kNNPn .2187102187420335433541600002185.065.080.0.3

.max ==+=Esta capacidad es superior a la carga axial externa indicada de 1600 kN.

Para los amarres usar barras # 3 @ 400 mm que en este caso controla.

Para la cortante se tiene de la ecuacin 5.33:

kNNVc

.134101341600001.14

10160013354002117.075.0. 3

3

==

+=

En este caso Vu = 73 kN es mayor que kNVc .672. = y se debe colocar unrefuerzo transversal mnimo. Verificando con estribos # 3 cada 150 mm que representanla cantidad mnima de estribos se tiene:

kNNVs .1001010040033542014275.0. 3 ===

La capacidad a cortante de la columna se incrementa a: kNVn .234100134. =+= lacual es suficiente para atender con un alto margen de confiabilidad la cortante externa.

2 # 9 +1 # 7

2 # 9 + 1 # 7

400 mm

400 mm

65 mm

65 mm

270 mm

# 3 150 mm


51/55



114

b) Para una primera estimacin del dimetro de la columna se asumir una cuanta derefuerzo del 1.5% =>

( )2

3

.165210420015.02845.0

102550mmAg =+

= mm.460

1416.3

1652104=

=

Se considera por tanto una columna de 500 mm de dimetro. La excentricidad es de e= 85 / 2550 = 0.033 m y e / D = 0.066 valor menor que 0.1 y se confirma que lacolumna es del tipo C. Si se asume un recubrimiento de 62.5 mm => 75.0= y elgrafico de interaccin es: C 28.420:75 representado en la figura 9.53.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Mu/(bh^2 fc)

Pu/(bhfc)

Figura 9.53 Diagrama de interaccin de la columna C 28.420:75

Si se entra al diagrama de la figura 9.53 con Pu / Ag.fc = 0.55 y Mu / Ag.D.fc =0.046 => la cuanta da aprox. 1 % => se puede disminuir la seccin o considerar queel diseo es correcto. Ast = 0.01 x 165210 = 1652 mm2los cuales equivalen a 8 # 5.Para los amarres en espiral se pueden utilizar # 3 con paso de 75 mm.

Columna C 28.420:75


52/55



115

e/h=0.1

e/h=0.2

e/h=0.5

e/h=1.0

e/h=2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.001.20

1.40

1.60

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40Mu/(bh 2 fc)

Pu/(bhfc)

Figura 9.54 Diagrama de interaccin E21.420:60

e/h=0.1

e/h=0.2

e/h=0.5

e/h=1.0

e/h=2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

Mu/(bh 2 fc)

Pu/(bhfc)



53/55



116

e/h=0.1

e/h=0.5

e/h=1.0

e/h=0.2

e/h=2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30Mu/(bh 2 fc)

Pu/(bhfc)


e/h=0.2

e/h=0.5

e/h=1.0

e/h=2.0

e/h=0.1

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

Mu/(bh 2 fc)

Pu/(bhfc)



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DISEO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGN 2__________________________________

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