Fibras ópticas

En primer lugar, realizo la elección de ejes de modo que el eje X, cuando X=0 nos encontremos en la superficie inferior de la lámina dieléctrica, es decir en la interfase conductor-dieléctrico y cuando X=2a nos encontremos en la superficie superior de la lámina dieléctrica.

Divido el dibujo anterior en las tres superficies y llamo:

Medio I : conductor perfecto, con índice de refracción n1

Medio II : lámina dieléctrica, con índice de refracción n2

Medio III : medio dieléctrico que rodea a la lámina, con índice de refracción n3

La propagación de la onda se realiza en la dirección del eje Z.

Estudio de los modos.Esta guía no va a soportar modos TEM porque se necesitan dos conductores a

diferente potencial.Por simetría tampoco va a soportar los modos híbridos, por ser plana, las

componentes no se mezclan.Únicamente tendremos modos TM y TE que son los que estudiaré:

Ejercicio nº 2. 1/14

Fibras ópticas

De forma general, para una onda que se propaga por el eje Z, los campos vienen dados por:

Campo eléctrico:

con componentes transversales

Campo magnético:

con componentes transversales

Queremos conocer las constantes de propagación (β) de los modos.

Como el problema tiene simetría de traslación, obtengo los campos para ez, hz y después obtengo el resto.

Tendré que resolver:

[1]

[2]

El laplaciano de las componentes transversales se escribe como:

En este problema en particular, conforme me muevo en el eje Y, los campos

serán los mismos, no varían, por tanto , en cambio en X si que depende de cual

sea mi posición, por tanto las ecuaciones [1] y [2] se simplifican en:

[3]

[4]

Tengo que resolver las ecuaciones [3] y [4] para los campos y de cada medio, las ecuaciones serían:

(Los subíndices I, II, III se refieren al medio I, medio II y medio III respectivamente)

Ejercicio nº 2. 2/14

Fibras ópticas

Medio I

[5.1]

[5.2]

llamo

en nuestro caso el medio I es un conductor perfecto, los campos en su interior son nulos, por tanto y .

Medio II

[6.1]

[6.2]

llamo

Medio III

[7.1]

[7.2]

llamo

Dependiendo de si γ y Г son positivas o negativas, las soluciones para ez y

serán exponenciales reales o complejas.

Al resolver las ecuaciones de onda [5.1] a la [7.2] y razonando qué soluciones son válidas para que las ondas queden guiadas en la lámina dieléctrica y por el contrario se atenúen según se alejan de esta, se obtiene la ecuación para e z y hz en cada medio. Se toman los resultados ya razonados en clase.

Medio IEste medio por tratarse de un conductor perfecto, los campos en su interior van a

ser nulos, por tanto y

Ejercicio nº 2. 3/14

Fibras ópticas

Medio II En este medio queremos que la onda se propague, por tanto la solución debe

contener exponenciales complejas (sen y cos) para ello se debe cumplir que:

La solución general sería del tipo:

[8.1]

[8.2]

Medio IIIEn este medio queremos que la onda se atenúe conforme se aleja de la lámina,

por tanto la solución debe contener una exponencial real negativa, de modo que conforme x aumente, la onda se atenúe, por tanto la condición válida para ese caso es que:

La solución general sería del tipo:

Para que esta onda se haga 0 para el término que debe sobrevivir es el segundo que es una exponencial real decreciente, por tanto C1 = C2 = 0 y queda:

[9.1]

[9.2]

Una vez conocidos y podemos obtener el resto de componentes ( , , ,) a partir de las expresiones:

[10]

[11]

Ejercicio nº 2. 4/14

Fibras ópticas

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno para medios lineales, isótropos, homogéneos y no dispersivos en una interfase son:

En nuestro caso tenemos dos interfases; del medio I (conductor) al medio II (dieléctrico) y del medio II (dieléctrico) al medio III (dieléctrico):

Interfase conductor - dieléctrico

En caso de que el medio 1 sea un conductor perfecto, las ecuaciones se simplifican a:

Interfase dieléctrico - dieléctrico

En caso de que ambos medios sean dieléctricos; , las ecuaciones se simplifican a:

Ejercicio nº 2. 5/14

Fibras ópticas

Modos TM

Implica hz = 0

Con lo que las expresiones [10] y [11] se simplifican quedando:

[12]

[13]

pero como se ha comentado anteriormente, los campos no varían con el eje Y, por tanto el operador siendo , se puede escribir como

y las ecuaciones [12] y [13] quedan:

[14]

[15]

Medio I Medio II Medio III

A partir de ez obtengo ex y hy para cada medio.

Medio II

Medio III

Ejercicio nº 2. 6/14

Fibras ópticas

Aplico ahora las condiciones de contorno que me permitirán obtener la solución al problema.

Por la condición de contorno las componentes del campo eléctrico tangenciales a la interfase son continuas, particularizando a este problema las componentes tangenciales son ey y ez .

También utilizaré la condición de contorno en la interfase entre dieléctricos.

Entre el medio I (conductor) y el medio II (dieléctrico) (en X=0)

Campo eléctrico

y sustituyendo x = 0

Ejercicio nº 2. 7/14

Fibras ópticas

Entre el medio II (dieléctrico) y el medio III (dieléctrico) (en X=2a)

Campo eléctrico

igualo ezII = ezIII

utilizando la relación obtenida antes

usando la relación la expresión anterior queda:

[16]

Campo magnético

De la ecuación [15] aplicada a los medios II y III obtengo hyII y hyIII

Ejercicio nº 2. 8/14

Fibras ópticas

igualando las expresiones de hyII y hyIII y aplicando que

usando la relación la expresión anterior queda:

[17]

divido la ecuación [16] entre la [17]

Simplificando:

Ejercicio nº 2. 9/14

Fibras ópticas

puesto en términos de los índices de refración, sabiendo que :

[18]

La ecuación [18] es la ecuación para los modos TM, representando gráficamente cada miembro de la ecuación, es decir, por un lado la función:

y por otro

obtendré a partir de los puntos de corte entre ambas funciones, la incógnita que busco, que es el factor de propagación .

Ejercicio nº 2. 10/14

Fibras ópticas

Modos TE

Implica ez = 0

Con lo que las expresiones [10] y [11] se simplifican quedando:

[19]

[20]

pero como se ha comentado anteriormente, los campos no varían con el eje y, el

operador se puede escribir como y las ecuaciones [19] y [20]

quedan:

Medio I Medio II Medio III

A partir de hz obtengo ey y hx para cada medio.

Medio II

Medio III

Ejercicio nº 2. 11/14

Fibras ópticas

Aplico ahora las condiciones de contorno que me permitirán obtener la solución al problema.

Por la condición de contorno las componentes del campo eléctrico tangenciales a la interfase son continuas, particularizando a este problema la única componente tangencial que tengo para este modo TE es ey .

También utilizaré la condición de contorno en la interfase entre dieléctricos.

Entre el medio I (conductor) y el medio II (dieléctrico) (en X=0)

Campo eléctrico

y sustituyendo x = 0

como esta expresión se debería cumplir para

cualquier valor de , entonces la única solución es que:

Ejercicio nº 2. 12/14

Fibras ópticas

Entre el medio II (dieléctrico) y el medio III (dieléctrico) (en X=2a)

Campo eléctrico

igualo eyIII = eyII

utilizando la relación obtenida antes

usando la relación la expresión anterior queda:

[21]

Campo magnético

igualando las expresiones de hzII y hzIII y aplicando que

Ejercicio nº 2. 13/14

Fibras ópticas

usando la relación obtengo

[22]

si ahora divido la ecuación [21] entre la [22]

simplificando

[23]

La ecuación [23] es la ecuación para los modos TE, representando gráficamente cada miembro de la ecuación, es decir, por un lado la función:

y por otro

obtendré a partir de los puntos de corte entre ambas funciones, la incógnita que busco, que es el factor de propagación .

Ejercicio nº 2. 14/14