HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Cálculo integral

Obtener una primitiva de la función

∫

√

2 + 9 3√

x3√

x2dx

Solución:Se reorganiza la integral de esta forma (ya se verá la razón):

∫

√

2 + 9 3√

x ⋅dx

3√

x2

Dado que se tiene una raíz cuúbica en numerador y denominador, se recomienda un cambio de variable

u = 3√

x, de donde se deduce que du =dx

3 3√

x2y despejando 3du = dx

3√x2 , entonces la integral queda:

∫

√

2 + 9u ⋅ 3du

Se extraen los coeficientes de la integral para reducirla a:

3 ⋅ ∫√

2 + 9u du

Se puede hacer un nuevo cambio de variable (solo con fines ilustrativos, para visualizar mejor la integral),

t = 2 + 9u, de donde se deduce que dt = 9du y despejandodt

9 = du, entonces la integral se reescribe como:

3 ⋅ ∫√

t ⋅dt

9Extrayendo los coeficientes nuevamente:

3 ⋅ 19 ∫√

t dt

Cambiando√

t = t12 y aplicando la integral (de tabla) ∫ xndx =

xn+1

n + 1 +C se obtiene:

13 ⋅ (

t32

32+C)

Esta integral se puede simplificar en:

13 ⋅ (

2√

t3

3 +C)

Al simplificar expresiones y deshacer los dos cambios de variable:

2√

t3

9 +2C

9 =2√

(2 + 9u)3

9 +C1 =2√

(2 + 9 3√

x)3

9 +C1