Ejercicio resuelto: Integral por cambio de variable
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H K V T E X Victor Solano Mora 1 Tema: Cálculo integral Obtener una primitiva de la función 2 + 9 3 √ x 3 √ x 2 dx Solución: Se reorganiza la integral de esta forma (ya se verá la razón): 2 + 9 3 √ x ⋅ dx 3 √ x 2 Dado que se tiene una raíz cuúbica en numerador y denominador, se recomienda un cambio de variable u = 3 √ x, de donde se deduce que du = dx 3 3 √ x 2 y despejando 3du = dx 3 √ x 2 , entonces la integral queda: √ 2 + 9u ⋅ 3du Se extraen los coeficientes de la integral para reducirla a: 3 ⋅ √ 2 + 9u du Se puede hacer un nuevo cambio de variable (solo con fines ilustrativos, para visualizar mejor la integral), t = 2 + 9u, de donde se deduce que dt = 9du y despejando dt 9 = du, entonces la integral se reescribe como: 3 ⋅ √ t ⋅ dt 9 Extrayendo los coeficientes nuevamente: 3 ⋅ 1 9 √ t dt Cambiando √ t = t 1 2 y aplicando la integral (de tabla) ∫ x n dx = x n+1 n + 1 + C se obtiene: 1 3 ⋅ t 3 2 3 2 + C Esta integral se puede simplificar en: 1 3 ⋅ 2 √ t 3 3 + C Al simplificar expresiones y deshacer los dos cambios de variable: 2 √ t 3 9 + 2C 9 = 2 (2 + 9u) 3 9 + C 1 = 2 (2 + 9 3 √ x) 3 9 + C 1
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Integral resuelta paso a paso aplicando el cambio de variable para facilitar su resolución.
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HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Cálculo integral
Obtener una primitiva de la función
∫
√
2 + 9 3√
x3√
x2dx
Solución:Se reorganiza la integral de esta forma (ya se verá la razón):
∫
√
2 + 9 3√
x ⋅dx
3√
x2
Dado que se tiene una raíz cuúbica en numerador y denominador, se recomienda un cambio de variable
u = 3√
x, de donde se deduce que du =dx
3 3√
x2y despejando 3du = dx
3√x2 , entonces la integral queda:
∫
√
2 + 9u ⋅ 3du
Se extraen los coeficientes de la integral para reducirla a:
3 ⋅ ∫√
2 + 9u du
Se puede hacer un nuevo cambio de variable (solo con fines ilustrativos, para visualizar mejor la integral),
t = 2 + 9u, de donde se deduce que dt = 9du y despejandodt
9 = du, entonces la integral se reescribe como:
3 ⋅ ∫√
t ⋅dt
9Extrayendo los coeficientes nuevamente:
3 ⋅ 19 ∫√
t dt
Cambiando√
t = t12 y aplicando la integral (de tabla) ∫ xndx =
xn+1
n + 1 +C se obtiene:
13 ⋅ (
t32
32+C)
Esta integral se puede simplificar en:
13 ⋅ (
2√
t3
3 +C)
Al simplificar expresiones y deshacer los dos cambios de variable:
2√
t3
9 +2C
9 =2√
(2 + 9u)3
9 +C1 =2√
(2 + 9 3√
x)3
9 +C1
