Post on 10-Jul-2015
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HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Cálculo integral
Obtener una primitiva de
∫ 1e2x + 4ex + 9dx
Solución:
Aplicando la propiedad de potencias que enuncia anm = (an)m, se transforma la integral en:
∫ 1(ex)2 + 4ex + 9
dx
Multiplicamos por ex en numerador y denominador (en el siguiente paso se verá el por qué):
∫ ex
ex ((ex)2 + 4ex + 9)dx
Haciendo una sustitución de ex por u, du = exdx
∫ 1u(u2 + 4u + 9)du
Aplicando fracciones parciales, donde un factor lineal es u y el otro factor cuadrático irreductible esu2 + 4u + 9, se tienen que encontrar las constantes A, B y C, tales que:
∫ 1u(u2 + 4u + 9)du = ∫ (A
u+ Bu +C
(u2 + 4u + 9))du
Para ello, vamos a sumar las fracciones del lado derecho y obtenemos:
∫ 1u(u2 + 4u + 9)du = ∫ (A +B)u2 + (4A +C)u + 9A
u(u2 + 4u + 9) du
De donde obtenemos que A +B = 0, 4A +C = 0 y A = 19 , entonces B = −19 y C = −49 , entonces la integral
queda:
∫ ( 19u+ −u − 4
9(u2 + 4u + 9))du
Separando las integrales se obtiene:
∫ 19u
du − ∫ u + 49(u2 + 4u + 9)du
Arreglando un poco para facilitar la integración:
19 ∫
1u
du − 118 ∫
2u + 8u2 + 4u + 9du