Post on 21-May-2017
DEBER1.- A partir de la definición de Ampere demuestre que la permeabilidad del vacío
es 4 πx 10−7 H
m
∮l
1µB dl=∮
sJ ds+ d
dt∮sξ E ds
Campo eléctrico es cero en cualquier conductor
∮lB dl=µI
∫0
2π
B iф rdф iф=µI
2
Br∫0
2π
dф=µI
Br (2π )=µI
B= µI2πr
iф
F=q v x B
v= dt
F=q ( dt )x ( µI2πr )iф
F=I l iz xµI2 πr
iф
F=µ I 2l2πr
Si dos alambres paralelos separados a una distancia de 1m llevan la
misma corriente y la fuerza por unidad de longitud es 2 x10−7 Nm2
entonces la corriente es 1A
F=µ I 2l2πr
⇒µ=(2x 10−7 Nm2 ) (2π ) (1m )
(1)2(1)
3
µ=4 πx10−7 Hm
2.-Una carga puntual q dentro de un campo eléctrico uniforme Eo ix está a una
distancia x de un plano conductor conectado a tierra.
a) Para qué valor de x la fuerza sobre la carga vale cero.
b) Si la carga está en una posición igual a la mitad del valor calculado en (a).
¿Cuál es el valor mínimo de la velocidad inicial necesaria para que la carga
continúe hasta x = infinito?
E enel plano=−σ2E
i x
∑ F=0
4
|r−r1=F|
F1=q . E0 ix
F2=q2
4.π . E0 . d2 i x
a)
Fx=q . E0−q2
4.π .E0. (2 x )2
0=q . E0−q2
16.π . E0 . x2
x2 . q . E0=q2
16. π . E0
x02= q16.π .E0 . E0
x0=√ q16.π .E0. E0
b)
v (x0 )=−E0 . x0−q
16.π . E0 . x0=−12 √ q .E0π . E0
v (x0 )=−E0 .√ q16.π .E0 .E0
− q
16.π . E0 .√ q16.π . E0 . E0
=−54 √ q .E0π . E0
5
V ( x02 )=−58 √ q .E0π . E0
12m. v2+q .v (x )=cte
Para v=0en x=x0
12m. v0
2+q . v ( x02 )=0+q . v (x0)
12m. v2>q[v (x0 )−v ( x02 )]
12m. v2>q√ q . E0π .E0 [−12 + 5
8 ]
12m. v2> q
8 √ q . E0π .E0
v0>12 √ qm [ q .E0π . E0 ]
14
6
3.- Considérese que en el interior de una esfera de radio R existe distribuida una
carga Q con una densidad ρ = A(R - r), 0 < r < R, estando dada ρ en culombios por
metro cúbico. Determínese la constante A en función de Q y R. Calcúlese el
campo eléctrico en el interior y en el exterior de la esfera.
ρ=qv
v=4 π R3
3
ρ=A (R−r)
A=3Q
4 π R3(R−r)
∮ Ɛ Eds =q
7
q = ʃρ dv= ∫0
2π
∫∫0
π
∫0
a
A (R−r ) r2 senθdθd ∅
q= A R4
12 (cos θ)ǀ π0
∅ ǀ2 π0
q= A R4π3
R< r
∮ Ɛ Eds =q
∮ Ɛ Eds= ∫0
2π
∫∫0
π
∫0
a
A (R−r ) r2 senθdθd ∅
4πƐEr2=(A r3 ) (4 R−3 )4 π
12
R> r externo
∮ Ɛ Eds =q
4πƐEr2= A R4 π3
Exterior
E= A R3 π3Ɛ r2(4 π )
8
E= A R3
12Ɛ r2
Interior
E= A R4
12Ɛ r2
4. Una sustancia aislante de forma hemisférica y radio R lleva distribuida
uniformemente sobre su superficie curva una carga Q. Calcular el campo eléctrico
en el centro de la superficie plana que limita el hemisferio.
d E z=dEcosθ
dq=σds
dE= dq4 πε R2
dE= σds4 πε R2
ds=r2 senθdθd ∅
9
ds=R2 senθdθd ∅
E z=14 πε∫
σ R2 senθdθd ∅R2
cosθ
E z=σ4 πε∫0
π2
∫0
2π
senθ . cosθdθd ∅
E z=σ (2π )4πε ∫
0
π2
senθ .cosθdθ
E z=σ2 ε∫0
π2sen 2θ2
dθ
E z=σ4 ε (−cosπ+cos0
2 )
E z=σ4 ε
σ= q2π r2
E z=Q
8 πεr 2
5.- Un dipolo de momento p = Qa, está alineado paralelamente a un campo
eléctrico a lo largo del eje x. El campo no es uniforme y varia linealmente a lo largo
del eje x, siendo (dE/dx) = k. Calcular la fuerza que actúa sobre el dipolo.
10
dE=Kdx
∫ dE=∫Kdx
E=K∫ dx
E=Kx
E=Fq
F=(Kx )q
K= 14πε
q=Qa
F=( 14 πε x)Qa
11
F= Qa4 πε
6.- Dos cargas q igualadas y positivas se encuentran separadas una distancia 2a
la fuerza que ejercen sobre una carga de prueba pequeña colocada a la mitad de
la distancia entre ellas es cero. Si la carga de prueba se desplaza una pequeña
distancia hacia cualquiera de las cargas. Determina la dirección de la fuerza que
actúa sobre ella, es un equilibrio Estable o Inestable? determinar las frecuencias
de oscilación de la carga de prueba Q que tiene una masa M
F13=F23EN LACARGA 3
k q,Qx2
= k q ,Qx2
12
x2=(a−x )2
x=(a−x )
2 x=a
x=a2
F13=F23 EN LACARGA 3
kq1Qa2
= k q1q2a2
4
Qa4
=q1a2
Q= 14q1
Q=−14q1TIENE EQUILIBRI ESTABLE
7.- Sea un dipolo eléctrico y un punto que se encuentra a una distancia r del centro
del dipolo y a lo largo de su eje. Demostrar que para grandes valores de r, el
campo eléctrico es:
13
E= 1 p2 πξor 3
E=E1+ E2
E1 y=E2 y=0
E1=−q4πε r1
2
E1=−q
4πε (r−a)2
E2=q
4πε r22
E2=q
4πε (r+a)2
E= q4 πε (r+a )2
− q4 πε (r−a )2
14
E= q4 πε
( 1(r+a )2
− 1(r−a )2
)
E= q4 πε ( r
2+2ar+a2−r2+2ar−a2
( r2−a2)2 )
E=q4 πε ( 4ar
(r 2−a2 )2 )
E= qπε
ar(r2−a2 )2
ρ=2aq
E= ρr2 πε ( r2−a2)2
Sir≫a
E= ρr2 πε ( r2 )2
E= ρ2 πεr 3
8.- Una varilla de vidrio se dobla en forma de semicírculo de radio R, en la mitad
superior se distribuye uniformemente una carga Q positiva y en el inferior se
15
distribuye uniformemente una carga Q negativa. Determinar el campo eléctrico en
el centro del semicírculo.
dq=λds
dE= 14 πξ r2
dq
d E x=dEcosθ
d E x=λ
4 πξ r2cosθ
ds=λdθ
E=∫−π2
π2
d E x
E=∫−π2
π2
λ4 πξ r2
cosθrdθ
16
E= λ4 πξ r2
r∫−π2
π2
cosθdθ
E= λ4 πξr (sen π2 +sen π
2 )E= λ
4 πξr(1+1 )
E= λ4 πξr
(2 )
E= 2 λ4 πξr
E= 2 λ4 πξr
9.- Un disco de radio Ro lleva una carga por unidad de área σy tiene un orificio de
radio a cortado de su centro. Calcular el campo eléctrico en un punto sobre el eje
del disco y una distancia b de su centro.
17
ds=∫0
2π
∫0
a
rdrdϕ
ds=a2(2 π)2
ds=∫0
2π
∫0
a
rdrdϕ
ds=R02(2π )2
ds=R02 π
ds=π (R02−a2)r2 sindrdϕ
r1=¿R02¿
r=a
18
E= 14 πε∫
σ|r−r1|3
|r−r1|3 ds
E= 14 πε
σ
|a−R0|3 (a−R0) π (R0
2−a2)
E= 14 ε
σ
|a−R0|3 (a−R0)(R0
2−a2)
E=(a−R0)(R0
2−a2)σ
4 ε|a−R0|3
E=(R0
2−a2)σ4 ε|a−R0|
10. un disco circular de radio a tiene una carga por unidad de área σ. Calcular el
Campo eléctrico en un punto del eje Y a una distancia b del disco.
E= 14 πε∫ds
σ|r−r1||r−r1|
3 d l
19
E= 14 πε∫−∞
∞ b−R(√b2−R2 )3
E= 14 πε
[∫−∞
∞ bσ(√b2−R2 )3
ix−∫−∞
∞ Rσ(√b2−R2 )3
iy ]
dl=dy
cosθ= b
(√b2−R2 )3
tgθ= Rb
dRy=bse c2θdθ
E= 14 πε [∫−π
2
π2 bσ (bsec2θ )
(b/cosθ )3dθix−∫
−π2
π2 σbtgθ (bsec2θ )
(b/cosθ )3dθ iy ]
E= σ4 πε
[senθix+cosθiy ]∨
π2
−π2
E= σ2 πε
ix
20
11.-Una línea de carga de longitud 2l consiste en dos partes, una mitad que
lleva una carga por unidad de longitud +λ y otra con una carga por unidad de
longitud – λ. Calcular el campo eléctrico a una distancia Y de la línea de carga
y a lo largo de sus bisectriz perpendicular.
∫E .ds=qε
dr=r2 senθdθd∅=qε
∫0
2π
∫0
π
Er2 senθdθd∅= qε
Er2∫0
π
senθdθd∅=qε
Er2 (−cosπ )+ (cos0 )2π= qε r2
E4 π= qε r2
21
E= q4 πεr 2
ir
E= 14 πε∫
ƛr−r 1dl¿¿ ¿
cosθ= ƛ√¿¿¿
dl=dy
√¿¿
√¿¿
tangθ= Rƛ
R=ƛtanθ
dy=ƛ sec2θdθ
E= 14 πε
⌊∫−π2
π2 ƛθ ( sec2θdθ ix )
ƛ2
cos3θ
−∫−π2
π2 ƛθtangθ (σsec2θdθ ) iy
ƛ3
cos3θ
⌋
22
E= 14 πε
⌊∫−π2
π2 θ ( sec2θ dθ ix )
ƛ2−∫
−π2
π2 θ (senθ dθ ) iy
ƛ3⌋
E= 14 πε
⌊senθπ2
−π2
ix+cosθ
π2
−π2
iy ⌋
E= 14 πε (1− (−1 ) )iy
E= 24 πε
iy
E= 12 πε
iy
12.- Una esfera aislante tiene una carga por unidad de volumen uniforme, sea r el
vector que va del centro de la esfera a un punto arbitrario P dentro de la esfera,
demostrar que el E en P está dado por:
E= Pr3 ε0
q=∮Dd s
q=D∫0
2π
∫0
π
r2sin θdθ dϕ
q=Dr2 (−cosθ )| ϕ| 02π
0
π
23
q=Dr2 (1+1 )|2π .0
q=4π D r2
q=∫vρdv
q=∫0
2π
∫0
π
∫0
r
r2 sinθ dr dθdϕ
q=ρ rZ
Z |∫02 π
∫0
r
sin θdodϕ0
r
q=ρ rZ
Z ∫02π
(−cosθ )| dϕ0π
q=ρ rZ
Z (1+1 )ϕ| 0
2π
q=4 π ρ rZ
Z
q=ρ
4 π ρ rZ
Z=4 π D r2
D= ρr3
E=D30
= ρr3 ε 0
24
13.- Deduzca la fuerza por unidad de longitud que ejercen entre si dos líneas
paralelas con corrientes I1 e I2 respectivamente y separación d.
Ecuaciónde Ampere :∮lB dl=u I1
∮lB iϕ .rdϕ iϕ=u I 1
Br∫0
2π
dϕ=¿u I 1¿
r=d
2πrB=πu I1
B1=u I 12πd
Ecuaci ónde Lorentz : F=q v x B
25
v= dtiz
F12=q ( lt iz) x B1
F12=I 12l iz xu I 12πd
iϕ
F12=I 2 lu I12 πd
ir
F12l
=u0 I 1 I 22 πd
ir
14.- Deduzca la fuerza por unidad de longitud que ejercen entre si dos líneas
paralelas con una carga por unidad de longitud q1/l y q2/l respectivamente y
separación d.
λ1=q1l
λ2=q 2l
l=q1λ
l=q2λ
F= q4Π ξ∫l
λ (r−r 1 )|r−r 1|
dl
26
r=ldl=dx
F= q4Π ξ∫0
l λd2dx
F= q4Π ξ d2
λ(r )0l
F= q4Π ξ d2
∗( λ ) (l )
F= qλl4Π ξ d2
Fl= qλ4Π ξ d2
Fl= q1 λ14Π ξ d2
Fl= q2 λ24Π ξ d2
27
TRABAJO EN CLASE
1.- Una varilla Semi-Infinita tiene una carga constante ʎ por unidad de longitud.
Demostrar que el campo eléctrico en el punto P forma un ángulo de 450 con la
varilla.
r=−d iyr 1=x ix
|r−r 1|=√ x2+d2
dl=dx
E= 14 πε∫
ʎ (r−r 1 )|r−r 1|
dl
E= 1
4 πε (x2+d2 )32∫ ʎ (−d iy−x ix )dx
cosθ= d√ x2+d2
28
tanθ= xd
dx=d (sec θ)2θdθ
E=−ʎ4 πε
¿
E=−ʎ4 πε
¿
∫π2
0
senθdθ=−|cosθ| 0π2
=−1
∫π2
0
cosθdθ=|senθ| 0π2
=−1
E= ʎ4 πε [ 1d ix+ 1d iy ]
tanθ=
ʎ4 πεdʎ4 πεd
=1
θ=45 °
29
2. Un disco de radio Ro lleva una carga por unidad de área σ que tiene un
orificio de radio a cortado en su centro. Calcular el campo eléctrico en un punto
sobre el eje del disco y a una distancia b de su centro.
r=b iz
r1=rcos∅ ix+r sin∅ i y
r−r1=b i z−r cos∅ i x−r sin∅ i y
|r−r1|=√r 2+b2
E= σ4 πε∫0
r
∫0
2π (b iz−rcos∅ ix−r sin∅ i y)(√r2+b2 )3
r drd∅
E=σ4 πε [∫0
r br∅ dr
(√r2+b2 )3∫ 2π0 iz−∫
0
r r2 sin∅ dr
(√r2+b2 )3∫ 2π0 ix+∫
0
r r2 cos∅ dr
(√r2+b2)3∫ 2π0 i y ]
E= σ2 ε [∫0
r br dr
(√r2+b2 )3i z]
30
u=r2+b2
du=2 rdr
E= σ4 πε∫
br
u32
du2r
E= σ2 ε [ −b
√r 2+b2 ] r0
E= σ2 ε [1− b
√r2+b2 ]
Campo eléctrico generado por un disco de radio r sobre un punto a una
distancia b en su eje radial.
Edisco radioR0=σ2 ε [1− b
√R02+b2 ]
Ediscoradioa=−σ2 ε [1− b
√a2+b2 ]Signo negativo por tener el agujero
E=Edisco radioR0+Ediscoradioa
31
E=σ2 ε [1− b
√R02+b2 ]− σ2 ε [1− b
√a2+b2 ]
E=σ2 ε [ b
√a2+b2−
b
√R02+b2 ]
3.- Considerar una nube de forma esférica y radio R cargada uniformemente
con una densidad volumétrica de carga ρ=ρ0(1− r2
R2 ) , calcular el campo
eléctrico y el potencial en el interior y exterior a la esfera.
ρ=dqdv
ρ dv=dq
∫ ρdv=∫ dq
∫ ρdv=q
32
∫ ρo(1− r2
R2 )¿
dv=q¿
∫0
2π
∫0
π
∫0
R
ρo(1− r 2
R2 )r2 sin (θ )dr dθd∅=q
q=∫0
2π
∫0
π
∫0
R
ρo(1− r2
R2 )r 2sin (θ )dr dθd∅
q=∫0
2π
∫0
π
∫0
R
r2 sin (θ )dr dθd∅−∫0
2 π
∫0
π
∫0
R r4
R2sin (θ )dr dθd∅
q=∫0
2π
∫0
π R3
3sin (θ )dθd ∅−∫
0
2π
∫0
π R3
5sin (θ )dθd∅
q=∫0
2π R3
3¿¿¿
qT=∫0
2π 2R3
3d∅−∫
0
2π 2 R3
5d∅
qT=2R3
3(2 π )−2 R
3
5(2π )
qT=8 πR3
15
∮Eε ds=qT
∮Eε r2sin (θ )dθ d∅=qT
Eε r2∫0
2π
∫0
π
sin (θ )dθd∅=qT
Eε r2¿¿
Eε r2 (2 )(2 π)=qT
E= qT4 πεr 2
v=−∫∞
r
E dl
33
v=−∫∞
r qT4 πε r2
dl
v= qT4 πεr
Interior
ρ=ρqT43πR
3=q143πr
3
qTR3
=q1r3
qTq1
=( Rr )3
q1=qT ( rR )3
∮Eε r2sin (θ )dθ d∅=q1
Eε r2∫0
2π
∫0
π
sin (θ ) dθd∅=q1
Eε r2¿¿
Eε r2 (2 )(2 π)=q1
E= q14 πεr 2
E= 14 πεr 2 ( qT r
3
R3 )
34
E=( qT r4 πεR3 )
4.- Dos conductores esféricos concéntricos y huecos tienen radios de dos y
cuatro cm respectivamente. La esfera interior lleva una carga de 12 x10−9 C y la
exterior 20 x10−9 C. Determine el potencial a las siguientes distancia respecto al
centro de las esferas 1cm, 3cm, 4cm y 5cm.
El potencial eléctrico en un punto interior de una esfera hueca de radio R
y carga Q es constante y vale lo mismo que en su superficie:
V i=k QR
El potencial eléctrico de una esfera conductora hueca de radio R y carga
Q en un punto exterior que dista r del centro de la esfera vale lo mismo
que si toda la carga estuviese concentrada en el centro de la esfera.
35
V e=k QR
Potencial cuando d=1cmV 1cm=V e−V i
V 1cm=9 x109[N .m2 .C2]⌊ −12 x10−9(C)
0.02m+20 x10−9(C)0.04m
⌋
V 1cm=−900[V ]
Potencial cuando d=2cmV 2cm=V i
V 2cm=9 x109 [N .m2 .C2 ] ⌊ 12 x10
−9 (C )0.02m
⌋
V 2cm=5400[V ]
Potencial cuando d=3cmV 3cm=V e−V i
V 3cm=9 x109 [N .m2 .C2] ⌊−12 x10
−9(C)0.03m
+20 x10−9(C)0.04m
⌋
V 3cm=900[V ]
Potencial cuando d=4cmV 4 cm=V e
V 4 cm=9x 109[N .m2 .C2]⌊ 20x 10
−9(C )0.04m
⌋
V 4 cm=4500[V ]
Potencial cuando d=5cmV 5cm=V e−V i
V 5cm=9 x109 [N .m2 .C2] ⌊−12 x10
−9(C)0.05m
+20 x10−9(C)0.05m
⌋
V 5cm=1440[V ]
36
PRUEBA
1.- Dos pequeñas esferas conductoras cada una de masa m están suspendidas
de los extremos de dos hilos aisladores de longitud l unidos en un punto. Una
carga Q1 se coloca en la esfera 1¿Cuál es la carga Q2 en la esfera 2?
Diagrama de cuerpo libre
T y=T cos θ
T x=T senθ
∑ F y=0
37
T y−W=0
T y=W
T y=mg
T cos θ=mg
T cos θ= mgcosθ
∑ F x=0
F1/2−T x=0
F1/2=T x
F1/2=T senθ
F1/ 2=senθ ( mgcosθ
)
F1/2=m. g . tanθ
c=√l2−d2 /4
c=√4 l2−d22
tanθ=d /2c
38
2.- Un alambre de longitud l tiene una densidad de carga longitudinal uniforme
λ. Demostrar que la magnitud del campo eléctrico en un punto sobre el eje de
la línea de carga y a una distancia X del extremo más cercano es:
E= λ l4 π εo
1x (l+x)
r=(l+x) ix
r1=(r )i x
( r−r1 )=(l+x−r )i x
|r−r1|=(l+x−r )
d l=dx=dr→debido aquedistancia al diferencial decarga esr
E= λ4 πε∫0
l (l+x−r)(l+x−r )3
dr ix
E= λ4 πε∫0
l 1(l+x−r )2
dr ix
u=(l+x−r )
du=dr
∫0
l 1u2du=−1
u
39
E= λ4 πε ( 1
(l+x−r ) )0l
i x
E= λ4 πε [ 1x− 1
( l+x ) ] i xE= λ
4 πε [ l+ x−xx (l+x ) ] ix
E= λ l4 πε ( 1
x (l+x) ) ix
3.-Calcular el campo eléctrico generado por un disco cargado con densidad
superficial de carga igual a σ, de radio r sobre un punto situado a una distancia
b del eje del disco.
r=b izr1=rcos∅ ix+rsen∅ i y
( r−r1 )=b iz−rcos∅ ix−rsen∅ i y
|r−r1|=√r 2+b2
ds=rdrd∅
40
E= σ4 πε∫0
2π
∫0
r (b iz−rcos∅ ix−rsen∅ i y )
(r 2+b2 )32
rdrd∅
E= σ4 πε
¿
E= σ2 ε [∫0
rbr
( r2+b2 )32
dr iz ]u=r2+b2
du=2 rdr
∫ bru3 /2
du2 r
=−b√u
E= σ2 ε [ −b
√r 2+b2¿0r ] iz
E= σ2 ε [1− b
√r2+b2 ]i z
4.-Dado el campo eléctrico E=e−x sen y ix+e− xcos y i y+2 z iz encontrar la
distribución arbitraria de carga que produce el campo y la carga encerrada en
el volumen en el volumen 10−9m3 que se encuentra en el origen.
∇ . E= ρℇ
∇ . E=∂e−x sen y ix
∂ x+∂e−x cos y i y
∂ y+∂2 z i z∂ z
41
∇ . E=−e− x sen y+e−x sen y+2
∇ . E=2
ρ=∇ . E .ℇ
ρ=2ℇ
ρ=QVQ=ρV V=10−9m3
Q=2(10−9)ℇ
42
EXAMEN
1.- Una esfera tiene una carga q uniformemente distribuida en todo su volumen
calcular el campo y el potencial eléctrico en el interior y exterior de la esfera y
realizar un diagrama de campo y potencial en función de la distancia r.
r>R
ε∮sE ds=q
ε∫0
2π
∫0
π
E . r2 . senθdθd∅=q
ε∫0
2π
E r2 ¿¿
εE r2 (−cosπ+cos 0 )∅ ¿02π=q
εE r2 (1+1 ) (2π−0 )=q
4 πεE r2=q
43
E= q4 πεr 2
ir
V=−∫LE dl
V=−∫0
r q4 πεr2
dr
V= −q4πε
(−1r
)¿0r
V= q4πε
( 1r)
V= q4πεr
r<R
ε∮sE ds=q '
ε∫0
2π
∫0
π
E . r2. senθdθd∅=q '
44
ε∫0
2π
Er2¿¿
εE r2 (−cosπ+cos 0 )∅ ¿02π=q'
εE r2 (1+1 ) (2π−0 )=q'
4 πεE r2=q '
E= q'
4 πεr 2
ρ=dqdv
dq=ρdv
q '=∫v
❑
ρdv
q '=∫0
2π
∫0
π
∫0
r
ρ r2 senθdrdθd∅
q '=ρ r3
3¿0r∫0
2π
∫0
π
senθdθd∅
q '=ρ r3
3(−cosθ )¿0
π∫0
2π
d∅
q '=ρ r3
3(2)(2π )
q '=4 πρr3
3
E= 14 πεr 2
( 4 πρ r3
3)
E= ρr3 ε
ir
V=−∫LE dl
45
V=−∫0
r ρr3 ε
dr
V=−ρ3 ε
(−r2
2)¿0
r
V=−( ρ r2
6 ε)
0 2 4 6 8 10 120
100000000020000000003000000000400000000050000000006000000000700000000080000000009000000000
10000000000
Diagrama de Campo Electrico
0 2 4 6 8 10 120
100000000020000000003000000000400000000050000000006000000000700000000080000000009000000000
10000000000
Diagrama de Potencial Electrico
46
2. Calcular la fuerza que ejerce un disco de radio a, cargado con densidad
superficial de carga igual a σ, sobre una carga situada a una distancia b del eje
del disco.
r=b iz
r1=rcos∅ ix+rsen∅ i y
r−r1=b i z−rcos∅ i x−rsen∅ i y
|r−r1|=√r 2+b2
E= σ4 πε∬00
2π a (b iz−rcos∅ ix−rsen∅ i y )rdrd∅(√r2+b2)3
E= σ4 πε [∫0a br
(√r2+b2)3dr (∅ )
0
2π
iz−( r2 sen∅(√r 2+b2 )3 )0
2π
i x+( r 2cos∅
(√r2+b2)3 )02π
i y ]
47
E= σ4 πε [2 π∫0
a brdr
(√r2+b2)3i z]
u=r2+b2
du=2 rdr
∫0
r br
u32
du2 r
=−b
u12
E= σ2 ε [∫0
a−b
√r2+b2 ]0a
iz
E= σ2 ε [1− b
√a2+b2 ] iz
E= σ2 ε [ −b
√r 2+b2 ]0a
E= σ2 ε [1− b
√a2+b2 ]F=q E
F=qσ2 ε [1− b
√a2+b2 ]
48
3. Suponer que la densidad volumétrica de carga dentro de una región circular
cilíndrica infinitamente larga de radio a es: ρ=ρ0(1+α r2). Donde r es la
distancia radial desde el eje del cilindro. Determinar el valor del parámetro alfa
para que el campo en todas partes fuera del cilindro (r>a) sea cero.
ρ=QV
Q=ρV
ρ=¿ ρ0(1+α r2)
∴Q=∫ ρ dv
Q=∫0
L
∫0
2 π
∫0
a
ρ0(1+α r2)r dr d∅ dz
Q= ρ0∫0
L
dz∫0
2π
d∅∫0
a
(r+α r2 )dr
∮ ε E ds=Q
∫0
L
∫0
2 π
ε E ad∅ dz=Q
49
ε E a∫0
L
dz∫0
2π
d∅=¿ ρ0∫0
L
dz∫0
2π
d∅∫0
a
(r+α r2 )dr ¿
2π ε E a=π ρ0a2(1+ α a
2
2)
E=ρ0a2 ε
(1+ α a2
2)
0=ρ0a2 ε
(1+ α a2
2)
−1=α a2
2
α=−2a2
4.-Una capa semiesférica de radio R, tiene una distribución de carga uniforme
σ=1 C/m2.Calcular el campo en el centro de la esfera coincidente con la carga.
K= 14πξ
d EZ=dEcosθ
E= 14 πξ∫s
r−r 1¿ r−r1∨¿3
ds¿ dθ=ds σ
50
EZ=∫ K dQR2
dl=adθ
cosθ=∫ K σ 2π R senθ dlcosθR2
EZ=K σ2 πR
a2∫ senθ Rdθcosθ
EZ=σ2ξ0
∫0
π2
senθ(cosθdθ)
u=senθdu=cosθ dθ
EZ=σ4ξ0
∫ucosθ ducosθ
EZ=σ4ξ0 ( cosθ
2
2 )∨π /20
EZ=σ4ξ0