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MEDIDAS DE DISPERSIÓN
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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
Medidas de Posición, Dispersión y Forma
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Cuando disponemos de una distribución de frecuencias asociada a cierta variable estadística, ésta puede resumirse por unas medidas que dan una idea general de cómo es la distribución sin tener que tratar todos los datos con frecuencias absolutas o relativas. Dichas medidas se pueden dividir en:
Medidas de posición; estas medidas dan una idea de en qué valores se distribuye la variable estadística: medias aritmética, geométrica y armónica, mediana, moda y cuantiles.
Medidas de dispersión; estas medidas tratan de medir el grado de esparcimiento de la variable estadística en torno a una medida de posición, indicándonos lo representativa que es ésta. A mayor dispersión, menor representatividad de la medida de posición y viceversa. Veremos como ejemplos, entre otros, la varianza, el recorrido y el coeficiente de variación de Pearson.
Medidas de forma; se distinguen principalmente dos medidas que estudian la simetría de una distribución (coeficiente de asimetría de Fisher) y el grado de semejanza de la misma a la distribución campaniforme de Gauss o también llamada normal (coeficiente de curtosis de Fisher).
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Medidas de Dispersión
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Las medidas de dispersión nos informan sobre el grado de separación o dispersión de los datos. Existen medidas de dispersión absoluta y medidas de dispersión relativa.
Las medidas de dispersión absoluta dependen de las unidades de medida de la variable. Las medidas de dispersión relativa carecen de unidades de medida y normalmente vienen definidas por cociente.
Medidas de Dispersión Absolutas.
a) Reocorrido o Rango
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
1max mini i rR x x x x
b) Intervalos intercuantílicos:- Intervalo intercuartílico:- Intervalo semiintercuartílico:- Intervalo intercuartílico relativo:- Intervalo 10-90 por 100:- Intervalo 7-93 por 100:
13 QQI
3 12
Q Q
3 1Q QMe
19 DD
93 7P P
Medidas de Dispersión
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c) Desviación Absoluta respecto a la Media Aritmética (da)
d) Varianza (var(x))
e) Desviación Típica (s)
Medidas de Dispersión Relativa.
f) Coeficiente de Variación de Pearson (cv(x))
Dada una variable estadística X, con N datos, siendo:
- x1, x2, x3, ….., xn los diferentes datos- n1, n2, n3, ….., nn las frecuencias absolutas
Medidas de Dispersión
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Desviación Absoluta respecto a la Media Aritmética
N
nxxd
i
r
ii
a
1
Promedio de la suma de las distancias de cada uno de los datos a la media aritmética en valores absolutos. Mide cómo de separado están cada uno de los datos respecto a la media.
Varianza
Promedio de la distancia de cada uno de los datos respecto a la media, al cuadrado. También mide cómo de separados están los datos respecto a la media.
N
nxxXs
r
iii
1
2
2 )var(
Medidas de Dispersión
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Desviación Típica
Se corresponde con la raíz cuadrada de la Varianza.
Coeficiente de Variación de Pearson
Cociente entre la desviación típica y la media. Permite comparar dispersiones entre variables estadísticas distintas.
N
nxxXss
r
iii
1
2
2 )var(
xsxcv )(
Medidas de Dispersión
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Es interesante repasar las propiedades de la varianza:
a) La varianza es siempre un valor no negativo: 20 s
b) La desviación cuadrática media de una variable estadística respecto a una constante k se hace mínima cuando k coincide con la media aritmética, en cuyo caso se obtiene la varianza:
r
iii nkx
NkS
1
21)(
c) Si a una variable estadística X la sometemos a un cambio de origen y de escala de la forma Y=a+bX, entonces la varianza de la variable Y se puede calcular como:
222xy sbs
d) Cálculo de la varianza a través de los momentos respecto al origen:
r
iii xnx
Naas
1
22212
2 1
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El cálculo de estos parámetros se simplifica mucho si nos apoyamos en una Tabla Estadística.
xi ni ii nx xxi ii nxx 2)( xxi ii nxx 2)(
N ii nx ii nxx ii nxx 2)(
Nnx
x ii
N
nxxd
ii
a
N
nxxXs
r
iii
1
2
2 )var(2ss x
sxcv )(
Medidas de Dispersión
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Ejemplo 1. Notas de Examen
xi ni ii nx xxi ii nxx 2)( xxi ii nxx 2)(
8 , 6 , 4 , 4 , 5 , 5 , 0 , 2, 9 , 10 , 4 , 8 , 9 , 2 , 1 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7
0123456789
10
11203341221
N=20
0140
1215247
161810
107
Nnx
x ii
35,520107
x
5,354,353,352,351,350,350,651,652,653,654,65
5,354,356,70
4,051,052,6
1,655,37,3
4,65
43
N
nxxd
ii
a
15,22043
ad
Medidas de Dispersión
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Ejemplo 1. Notas de Examen
xi ni ii nx xxi ii nxx 2)( xxi ii nxx 2)(
8 , 6 , 4 , 4 , 5 , 5 , 0 , 2, 9 , 10 , 4 , 8 , 9 , 2 , 1 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7
0123456789
10
11203341221
N=20
0140
1215247
161810
107
5,354,353,352,351,350,350,651,652,653,654,65
5,354,356,70
4,051,052,6
1,655,37,3
4,65
43
28,6218,9211,225,5231,8230,1230,4232,7237,02313,3221,62
28,6218,9222,45
05,4680,3671,69
2,72314,0526,6521,62
142,6
Nnxx
s ii
)(2
128,7206,1422 s
67,2128,72 ss
499,035,567,2)var(
xsxc
La media es muy representativa
Medidas de Dispersión
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Ejemplo 2. Peso de los alumnos
xi ni ii nx xxi ii nxx 2)( xxi ii nxx 2)(
Nnx
x ii
75,81201635
x
N
nxxd
ii
a
4,22048
ad
75,4 85,2 79 87,3 82 84 86,2 80 78,3 81,3 76,2 83,1 82,9 80 80,6 89,8 83,9 82,4 83,9 78,4
Intervalo
[75,78)[78,51)[81.84)[84,87)[87,90]
76,579,582,585,588,5
26831
N=20
153477660
256,588,5
1635
5,252,250,753,756,75
10,513,5
611,256,75
48
27,565,0630,56314,0645,56
55,1330,38
4,542,1945,56
177,8
889,8208,177)(2
Nnxx
s ii9816,2889,82 ss
03647,075,818916,2)var(
xsxc
La media es aún más representativa que la media del ejemplo anterior