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2. Estática de fluidos
Para un fluido en reposo:
nσ p
n
Esfuerzo en un fluido
El fluido dentro del volumen V se encuentra encerrado por una superficie S. Enun punto sobre la superficie, donde la normal unitaria que apunta hacia fuera es n, el esfuerzo es .
Presión en un fluido estático.
Ley de Pascal: La presión en un punto dentro de un fluido es isotrópica.
VS
dVpdS pnpresión de fuerza
n
dV
Presión en un fluido en un campo gravitatorio
0g p
0g VV
dVdVp
0gn VS
dVdSp
Ecuación fundamental de la hidrostática
Forma diferencial:
Forma integral:
R·gR·gR·g 21 P P P 21
C
Fluido dC
1
2
constante constante, si , 0 PP
0d· d·p-
0d·p-
12
2
1
2
1
2
1
gR·gR·g
cR·gc
cg
12
Integral de línea entre dos puntos dentro de un fluido
Medición de la presión
Determinación de la presión atmosférica (El barómetro)
Diagrama de un barómetro de mercurio. Las alturas del fluido se miden en ladirección positiva de z, la aceleración gravitatoria es hacia abajo y los puntos 1 y 2 Identifican las superficies libres de la columna de mercurio y el depósito, respectivamente
pA + rmgzA = pB + rmgzB
pA = pvapor = 0pB = patm
patm = mg(zA – zB) = mgh
z
g
El manómetro
m
c
3
2
1
Manómetro de tubo en forma de U que se utiliza para medir la presión de un fluidoen un recipiente.
g
z
Abierto
Pa + mgz1 = P2 + mgz2
P2 + cgz2 = P3 + cgz3
P3 = Pa + mg(z1-z2) + cg(z2-z3)
Sumando:h
Si c << m:
P3 = Pa + mg(z1-z2) = Pa + mgh
Fuerza de presión sobre una superficie sólida
Sólido
Fluido R
dS
n
O
S
dSpnfp
Fuerza de presión del fluido sobre la superficie sólida
S
dSpnRT
Momento de la fuerza de presión sobre la superficie sólida
S
0
TTfRT
nRnRnRR
pcp
cp
dSpdSpdSp-
:presión de centro delalrededor fuerza de momento del Cálculo
SSScp
TfR pcp
n
S
x
y
Fuerza de presión sobre una superficie plana
Sólido
Rs
dS
O
x’
z’
y’
x ix + y iy
pa (Presión sobre la superficie del fluido)
Rc (centroide de S)
c
Rs = Rc + x ix + y iy
Rs es el vector posición de un punto sobre la superficie plana.
S
dSS
1sc RR
La fuerza de presión por unidad de área que actúa sobre un elemento dS dela superficie S de un sólido es pn, donde n es la normal unitaria que apunta hacia afuera del fluido. Rs es el vector de posición del elemento de superficie dS medidodesde el origen O del sistema de coordenadas.
S
xy
S
2yy
S
2xx
c
yyyxyxcp
c
xyyxxxcp
xydSI ,dSyI ,dSxI :donde
Sp
IgIgy
Sp
IgIgx
)Sp( c nfp
Fuerza de presión sobre una superficie plana
Cálculo del centro de presión: Rcp × fp = T
Donde:pc es la presión en el centroide de la superficie plana.S es el área de la superficie plana
Centroides y momentos de inercia
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Fuerzas de presión sobre cuerpos sumergidos en fluidos
Principio de Arquímides
Sólido
Fluido
n
O
Rg
Rb
V
w
S
dVdSp gnfb
Fuerza de boyamiento
Fuerza gravitacional
V
s dVg
V
dVV
1RRg
Centro de gravedad del sólido con densidad s ctte.
V
b dVV
1RR
Centro de carena del sólido si la densidad w del fluido es ctte.
dV
R
g
.desplazado fluido den volume
del peso al igual es sumergido sólido objetoun sobre
boyamiento de fuerza La :Arquímides de Principio dV-
:Entonces
ca)hidrostáti (Condición dV-
Gauss) de teoremael (Aplicando dVp
dSp
V
w
V
w
V
S
gf
g
nf
b
b
Si la densidad del fluido y g son constantes, obtenemos: Vw gfb
El momento de la fuerza de boyamiento sobre el sólido es:
¡EUREKA!
bbb
b
fRT
fRgRgRT
V
VdSdS bbw
SS
w
Equilibrio estable
Equilibrio estático
0FRFRFR
0F FF
extextggbb
extgb
BG
M
ao
x
y
b
c
d
e
f
B’
o’f’
b’
dx
dS = x tan() dx
aofocbacde
sub
SSSsub
Vsub
dSdSdSV
L
dVV
1
RRR
RRB'
a’
c’
0 si , 0y
ydSydSVL
y
ydSydSydSVL
y
aofocb
aofocbacde
SSsub
SSSsub
B
B
B'
L
o
sub
S
2
subac
2
sub
ocaosub
SSsub
SSSsub
IV
tan
dSxV
tanLdxtanx
V
1
dxtanxxdxtanxxV
L
xdSxdS0V
L
xdSxdSxdSV
Lx
'a'acc
aofocb
aofocbacde
B'
sub
0MB
'B
VI
Ltan
x
Si LMB > 0 entonces el sistema es dinámicamente estable.
Fluidos estratificados
Equilibrio estático en fluidos estratificados
quedirección misma
la tener debe reposoen adoestratific fluidoun de densidad la de gradiente El , 0
:equilibrio decondición siguiente la obtenemos constante, doConsideran
0P
0P-
ca,hidrostátiecuación la de rotacional el Tomemos
g
g
g
gg
g
Cálculo de la presión en un fluido estratificado
z
0z
0 dzzgpzp
gdz
dp
0·g·p-
:es adoestratific fluidoun para cohidrostáti equilibrio deecuación la entonces , g eaS
zzz
z
iii
ig
z
zo
o dzzT
1Rg
exppzp
gRTp
dzdp
RT,p perfecto, gasun comooatmosféric aire el doConsideran
Atmósfera isotérmica, T=T0
0
0o zz
RTg
exppzp
La atmósfera normal
1i,idT
dz
R
g
i
i1i,i
i
i1i,iT
zzdzdT
T
pzp
Para un gas ideal
Estabilidad atmosférica
p
s
s
c
g
dz
zdT
gp
dz
zdp
pdz
zd
0dz
zd
Tensión superficial y capilaridad
El líquido se eleva en un tubo capilar a una posición de equilibrio que estádeterminada por el equilibrio de la fuerza de tensión superficial y la de gravedad,las cuales actúan sobre una columna de fluido que presenta la elevación en susuperficie.
Bibliografía
[1] JAMES A. FAY. Mecánica de Fluidos. Compañía editorial continental, S.A. Primera edición. México. 1996.
[2] WHITE, Frank. Fluid Mechanics. Fourth edition. McGraw-Hill. 2004.
[3] L. D. LANDAU, E. M. LIFSHITZ. Fluid Mechanics. Second edition. (Volume 6 of course of Theoretical Physics). Pergamon Press. 1987.