Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de

uno interior llamado centro.

Ecuación de la circunferencia de centro C(a,b) y radio r: la distancia

de un punto X(x,y) cualquiera de la circunferencia al centro C(a,b)

tiene que ser r.

d(X,C) = r, 2 2

x a (y b) r,

2

2 2 2x a (y b) r ,

2 2 2

x a (y b) r

Desarrollando, 2 2 2 2 2

x 2ax a y 2by b r ,

2 2 2 2 2x y 2ax 2by a b r 0

que se puede escribir

2 2x y Ax By C 0

ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA

2 2 2 2 2x y 2ax 2by a b r 0

2 2x y Ax By C 0

La ecuación de una circunferencia se puede escribir

2 2 2

x a (y b) r , que desarrollado nos da

, que se puede escribir de la forma

, comparando las dos últimas expresiones

2 2 2

2a A

2b B

a b r C

Aa

2

Bb

2

2 2 2r a b C,

2 2

2 A Br C 0

2 2

2 2 2r a b C 0,

Aa

2

Bb

2

2 2

2 A Br C 0

2 2

¿Qué condiciones tiene que cumplir

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 para que sea

la ecuación de una circunferencia?

CONCLUSIÓN: un polinomio de 2º grado en xy es la

ecuación de una circunferencia si:

a) Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.

b) No tiene término xy.

2 2x y Ax By C 0

c) Se tiene que cumplir: 2 2

02 2

A BC

d) Si se cumplen todas las condiciones anteriores entonces

2 2

2 2

A Br C 2 2

A BCentro : ,

Ejemplo 1: escribir la ecuación de la circunferencia

de centro C(-1,2) y radio 3

2 2 2

x ( 1) (y 2) 3 2 2

, x 1 (y 2) 9 2 2

, x 2x 1 y 4y 4 9 0,

2 2x y 2x 4y 4 0

Ejemplo 2: de los siguientes polinomios averigua cuales

corresponden a circunferencias, halla su centro y su radio.

a) x2 + y2 – 4x + 6 = 0

b) 3x2 + 3y2 – 12x + 6y – 12 = 0

c) x2 + y2 + 4x – 6y + 13 = 0

e) 4x2 + 4y2 + 4x – 8y – 95 = 0

2 2 2

x a (y b) r Circunferencia de centro C(a,b) y radio r:

d) x2 + y2 + 8x – 4y – 5 = 0

a) x2 + y2 – 4x + 6 = 0

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales y no tiene término xy.

2 2

2 2

A BC

2

240 6

2

4 0 6 2

No es la ecuación de una circunferencia

Otra forma: intentemos escribir la ecuación de la forma

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

X2 – 4x = (x – 2)2 – 4, luego la ecuación se puede escribir

(x – 2)2 – 4 + y2 + 6 = 0, (x – 2)2 + y2 + 2 = 0, (x – 2)2 + y2 = -2

Conclusión: no es la ecuación de una circunferencia porque el 2º

miembro es negativo

b) 3x2 + 3y2 – 12x + 6y – 12 = 0

2 2

2 2

A BC

2 24 2

42 2

( ) 4 1 4 ( )

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales y no tiene término xy.

Si dividimos toda la ecuación por 3 se obtiene

x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0

9

Es la ecuación de una circunferencia de r = 3

Otra forma, la ecuación x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 se puede escribir así :

(x – 2)2 – 4 + (y + 1)2 – 1 – 4 = 0 , (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9

Aa

2

B, b

2

4

2

2Ahora se halla el centro:

2

2 1 C(2,-1)

Es la ecuación de la circunferencia de C(2,-1) y r = 3

b) 3x2 + 3y2 – 12x + 6y – 12 = 0

Es la ecuación de la circunferencia de C(2,-1) y r = 3

1) Marcamos el centro C(2,-1)

2) Señalamos los puntos P(5,1), Q(2,2),

R(-1,-1) y S(2,-4)

3) Dibujamos la circunferencia

c) x2 + y2 + 4x – 6y + 13 = 0

2 2

2 2

A BC

2 24 6

132 2

4 9 13

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales y no tiene término xy.

0

No es la ecuación de una circunferencia

Otra forma, la ecuación se puede escribir como :

(x + 2)2 – 4 + (y – 3 )2 – 9 +13 = 0 , (x + 2)2 + (y – 3)2 = 0

No es la ecuación de una circunferencia, porque el radio sería 0

La ecuación (x + 2)2 + (y – 3)2 = 0 sólo la cumple el punto (-2,3)

d) x2 + y2 + 8x – 4y – 5 = 0

2 2

2 2

A BC

2 28 4

52 2

( )

16 4 5

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales y no tiene término xy.

25

Es la ecuación de una circunferencia de r = 5

Otra forma, la ecuación x2 + y2 + 8x – 4y – 5 = 0 se puede escribir como :

(x + 4)2 – 16 + (y – 2)2 – 4 – 5 = 0 , (x + 4)2 + (y – 2)2 = 25

Aa

2

B, b

2

8

2 4 Ahora se halla el centro:

4

2

2

Es la ecuación de la circunferencia de C(-4,2) y r = 5

C(-4,2)

d) x2 + y2 + 8x – 4y – 5 = 0

Es la ecuación de la circunferencia de C(-4,2) y r = 5

1) Marcamos el centro C(-4,2)

2) Señalamos los puntos P(1,2),

Q(-4,7), R(-9,2) y S(-4,-3)

3) Dibujamos la circunferencia

e) 4x2 + 4y2 + 4x – 8y – 95 = 0

2 2

2 2

A BC

2 21 2 95

2 2 4

1 4 95

4 4 4

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales y no tiene término xy.

Es la ecuación de una circunferencia de r = 5

Aa

2

B, b

2

1

2 Ahora se halla el centro:

2

2

1

Si dividimos toda la ecuación por 4 se obtiene: 2 2 95x y x 2y 0

4

100

4 25

1C ,1

2

2

21 1 951 1 0

2 4 4x (y )

2

21 1001 0

2 4, x (y )

2

211 25

2, x (y )

Es la ecuación de la circunferencia de y r = 5

1C ,1

2

Otra forma, la ecuación se puede escribir como : 2 2 95x y x 2y 0

4

e) 4x2 + 4y2 + 4x – 8y – 95 = 0

Es la ecuación de la circunferencia de y r = 5 1

C ,12

1) Marcamos el centro,

1C ,1

2

2) Señalamos los puntos P(4’5,1),

Q(-0’5,6), R(-5’5,1) y S(-0’5,-4)

3) Dibujamos la circunferencia

1. Si los tres puntos están alineados, no hay ninguna circunferencia

que pase por los tres.

2. Si los tres puntos no están alineados, entonces forman un

triángulo, la circunferencia que buscamos es la que circunscribe

el triángulo.

3. Ejemplo: Hallar la ecuación de la

circunferencia que pasa por los

puntos O(0,0), A(0,6) y B(4,4)

a) Representamos los puntos.

b) Dibujamos el triángulo.

c) Hallamos las mediatrices de

dos lados.

d)El punto donde se cortan

las mediatrices es el centro de

la circunferencia

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA

POR TRES PUNTOS

e)El radio de la circunferencia es la distancia del centro a uno de los

vértices del triángulo.

Cálculo de las mediatrices: una es la recta x = 3

s : pasa por el punto = (5,2) y tiene por vector normal

al vector = (-2,4)

6 4 0 4M ,

2 2

AB 4 6,4 0

s: – 2x + 4y + C = 0, – 2 · 5 + 4 · 2 + C = 0,

– 10 + 8 + C = 0, C = 2

s: – 2x + 4y + 2 = 0, x – 2y – 1 = 0

x 3C r s

x 2y 1 0,

3 – 2y – 1 = 0, y = 1

luego C(3,1)

r = d(C,O) OA 2 23 1 10

La ecuación de la circunferencia es: (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10

2º Método: Circunferencia que pasa por tres puntos

La ecuación de la circunferencia que buscamos es de la forma:

x2 + y2 + Ax + By +C = 0

Hay que hallar A, B y C

Como pasa por los puntos (0,0), (6,0) y (4,4) se tiene que cumplir:

0 + 0 + A· 0 + B· 0 + C = 0

36 + 0 + A· 6 + B· 0 + C = 0

16 + 16 + A· 4 + B· 4 + C = 0

Luego A, B y C cumplen el sistema:

C 0

36 6A C 0

32 4A 4B C 0

C 0

6A 36

4A 4B 32

C 0

A 6

A B 8

C 0

A 6

B 2

Luego la ecuación de la circunferencia es:

x2 + y2 – 6x – 2y = 0

Que también puede escribirse como: (x – 3)2 – 9 + (y – 1)2 – 1 = 0

(x – 3)2 + (y – 1)2 = 10