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7/24/2019 Estudio y Solucin de Ecuaciones Difierenciales y Sus Aplicaciones
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FIM-UNCP ECUACIONES DIFERENCIALES
ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
METODOS Y PROCEDIMIENTO DE SOLUCION
PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS
ECUACIONESDIF
ERENCIALESPA
RAINGENIERIA
MECANICA
U
N
IV
E
R
S
ID
A
D
N
A
C
IO
N
A
L
D
E
L
C
E
N
T
R
O
D
E
L
P
E
R
U
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ECUACI ONES D I FERENCI ALES PARA I NGENI ERI A MECANI CA
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Ecuaciones DiferencialeS
Ejercicios de Ecuaciones DiferencialesEjercicios de Ecuaciones Diferenciales SeparablesEcuaciones Diferenciales SeparablesEcuaciones Diferenciales HomogneasEjercicios de Ecuaciones Diferenciales HomogneasEcuaciones Diferenciales Con Coeficientes LinealesEjercicios de Ecuaciones Diferenciales Con Coeficientes LinealesEjercicios de Ecuaciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales ExactasEcuaciones Diferenciales Transformables a ExactasEjercicios de Ecuaciones Diferenciales Transformables a ExactasEcuaciones Diferenciales LinealesEjercicios de Ecuaciones Diferenciales LinealesEcuaciones Diferenciales de BernoulliEjercicios de Ecuaciones Diferenciales de BernoulliEcuaciones Diferenciales de RicattiEjercicios de Ecuaciones Diferenciales de Ricatti
Bibliografa
INDICE
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!
Ejemplos:
ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuacin se llama diferencial porque contiene una o ms derivadas
diferenciales. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Eneste
trabajo se estudiarn las Ecuaciones diferenciales Ordinarias, que sonaquellas
que contienen una o ms derivadas de una funcin de una sola variable
independiente.
Las ecuaciones diferenciales tambin se pueden clasificar por el orden y
elgrado. El orden de una ecuacin diferencial es el de la mayor
derivada involucrada en la expresin y el grado el de la potencia de laderivada de
mayor orden.
Este estudio se centrar en las ecuaciones diferenciales ordinarias de
Primer Orden y Primer Grado, es decir ecuaciones que contienenfunciones que
se han derivado una sola vez, con respecto a una variable independientey dicha
derivada est elevada a la potencia uno.
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En las funciones de ambos ejercicios se deriv la variable " y "con respecto a la variable " x " una sola vez x/y y esa derivada
est elevada a la potencia unidad.
Si en el ejercicio "b " se despeja x/y, la ecuacin queda comosigue:
En general suele expresarse una ecuacin diferencial ordinariade primer orden y primer grado de la siguiente manera:
La primera ecuacin est dada en forma explcita, es decir se ex-presa claramente que la funcin " y " fue derivada con respecto ala variable independiente " x ", y la solucin debe expresarse dela misma forma.
La segunda ecuacin est dada en forma implcita, es decir noseala cual es la variable independiente, por lo tanto dicha varia-
ble puede elegirse a conveniencia y la solucin debe darse tam-bin en forma implcita.
Existen diferentes mtodos para resolver este tipo de ecuacio-nes, en este trabajo se presentarn los mtodos de solucin delas ecuaciones diferenciales: Separables, Homogneas, Con Co-eficientes Lineales, exactas, Lineales, de Bernoulli y de Riccati.
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ECUACIONES DIFERECIALES SEPARABLES
Tambin llamadas de variables separables, si la ecuacin est expresada de lasiguiente forma:
f (x.y) es una constante o una funcin slo de " x ", entonces dicha ecuacinsera equivalente af (x)=y/x, puede resolverse integrando directamenteambos lados de la ecuacin, usando los mtodos ordinarios de integracin.
Si en la ecuacinM(x,y)dx +N(x,y)dy = 0, se puede escribir "M " como
una funcin solo de "x " y "N " como una funcin solo de "y ", se obtendra de
manera equivalenteM(x)dx +N(y)dy = 0 , la cual se llama ecuacin de variablesseparables ya que puede escribirse tambin as:
y su solucin se obtiene integrando directamente ambos miembros de laecuacin as:
Est solucin se llama " Solucin General de la Ecuacin Diferencial"
La constante de integracin se escribe de la forma ms conveniente, as enmuchos ejercicios, mltiplos de constantes o combinaciones de constantessuelen sustituirse por una sola constante.
"
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Ejemplo 1:xdx + 3ydy = 0
La estructura de esta ecuacin encaja dentro de la frmula:
M(x)dx +N(y)dy = 0 ; por lo tanto la solucin puede obtenerse aplicandodirectamente los mtodos de integracin ya conocidos.
Ejemplo 2:
Haciendo transposicin de trminos la ecuacin puede escribirse como:2ydy = (5x+ 3)dx
Integrando miembro a miembro queda:
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Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden comprobarse, si sederiva la funcin obtenida, debe encontrarse la ecuacin original, asprocediendo a derivar la solucin anterior, se tiene:
Solucin Particular de una Ecuacin Diferencial
Si se suministran condiciones inciales en el ejercicio propuesto, entoncesser posible encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial.
Ejemplo 3:
Hallar la solucin particular de la ecuacin diferencial:
Sujeta a la condicin inicial:
y(0) = 4 , es decir y = 4 cuando x = 0
Integrando miembro a miembro, se obtiene la solucin general.
#
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Para obtener la solucin particular se sustituyen los valores de"x " y de
"y " de la siguientemanera:
Luego la solucin particular es:
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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Separables
Ejercicio 1:
Paso 1: Separar variables
Paso 2: Integrar el lado izquierdo de la igualdad por cambio de variables y
el lado derecho por tablas.
Paso 3: Transponer trminos y aplicar propiedades de los logaritmos
Ejercicio 2:
Paso 1: Separar variables
Paso 2: integrar ambos lados despus de dividir los polinomios
$%
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:Paso 3: transponer trminos y aplicar propiedades de loslogaritmos
Ejercicio 3:
Paso 1: transponer trminos
Paso 2: integrar el lado izquierdo de la ecuacin usandomtodos de integracin por partes y el lado derecho por
cambios de variable
Paso 3: transponer trminos
Ejercicio 4:
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Paso 1: escribir y como dx/dy sacar .x. como factor comn en el denominador de lafraccin del lado derecho. Separar variables
Paso 2: integrar el lado izquierdo de la ecuacin por tablas y el lado por
cambio de variable
Paso 3: sacar mnimo comn denominador de ambos lados de la ecuaciny aplicar propiedades de los logaritmos
Ejercicio 5:
Paso 1: sacar factor comn "t" en el numerador de la fraccin del lado
derecho y transponer trminos para separar variables
Paso 2: integrar el lado izquierdo de la ecuacin por tablas y el lado
derecho por cambio de variable
$
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Paso 3: aplicar la condicin inicialy(2)= 2
Ejercicio 6:
Paso 1: transponer trminos y separar variables
Paso 2: integrar por tablas ambos lados de la ecuacin
Paso 3: buscar la inversa de la funcin logartmica
Ejercicio 7:
Paso 1: rescribir la ecuacin
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Paso 2: separar variables
Paso 3: integrar por tablas
Ejercicio 8:
Paso 1: separar variables
Paso 2: Integrar lado izquierdo por sustitucin trigonomtrica (o
directamente por tablas); lado derecho por tablas
Paso 3: despejar "y"
Ejercicio 9:
Paso 1: rescribir la ecuacin
$!
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Paso 2: Separar variables
Paso 3: integrar por tablas ambos lados de la ecuacin
Ejercicio 10:
Paso 1: Separar variables
Paso 2: Integrar lado izquierdo de la ecuacin usando el mtodo de integracin
por partes y el lado derecho por tablas.
Paso 3: Calcular la inversa
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Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
Paso 2: Derivar con respecto a "y" e igualarlo a "N"
Paso 3: Despejar (y) G e integrar con respecto a "y"
Sustituir (y) G en el paso "1"
Solucin general
Ejercicio 3:
Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
Paso 2: Derivar este resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N"
Paso 3: Despejar (y) G e integrar con respecto a "y"
Sustituir el resultado en el paso "1"
Solucin General
$"
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Ejercicio 4:
Sujete a la condicin inicial y( 0) =1
Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Integrar "N" con respecto a "y"
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "x" e igualarlo con "M"
Paso 3: Despejar (y) G e integrar con respecto a "x", luego sustituir la
condicin inicial y(0)=1.
Solucin general
Si y(0) =1 entonces la solucin particular es:
Ejercicio 5:
Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo con "N"
$&
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$#
ECUACIONES DIFERECIALES HOMOGNEAS
La ecuacin diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0es homognea s M y N
son funciones homogneas del mismo grado, o tambin si la ecuacin puedeescribirse como:
Definicin de funcin Homognea:
Sea la funcin Z = f (x, y) , se dice que es homognea de grado " n " si severifica que f (tx,ty) = t n f (x, y) ; siendo " n " un nmero real. En muchos casosse puede identificar el grado de homogeneidad de la funcin, analizando elgrado de cada
trmino:
f (x, y) consta de trestrminos, el
grado de cada trminose obtiene
sumando los exponentes de las variables, as:
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Por lo tanto la funcin es homognea de grado 4.
Entonces la .(x ,y) es Homognea de grado 0.
Si se determina que en la ecuacin M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 ; M y N sonfunciones homogneas del mismo grado, o si la ecuacin puede escribirsecomo:
$'
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El cambio de variabley = v.x x = v.y transforma la Ecuacin Homognea enEcuacin Separable
Ejemplo 1:
M yN son funciones homogneas de grado 3.
Probando:
SeaM =f (x,y) entonces:
Visto de otra maneraf(x,y)=x+y, ambos trminos de la ecuacin sonde
grado 3 por lo tantof(x,y)es homognea de grado 3.
%
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Por lo tanto "N" es homognea de grado 3
Se puede enfocar tambin de la siguiente manera:
Luego el cambio de variable:
Su derivada es:
dy=vdx +xdv
Transforma la ecuacin en separable
Reduciendo trminos semejantes se tiene:
$
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Integrando se obtiene:
Devolviendo el cambio de variable se tiene:
Siy = v.x entonces:
Ejemplo 2:
Rescribiendo la ecuacin se tiene:
Despjese:
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Se aprecia que:
El cambio de variabley = v.x ; dy = vdx +xdv
Transformar la ecuacin en separable:
Transponiendo dx :
Simplificando:
Transponiendo trminos de nuevo:
Integrando:
Intgrese arctg(v) usando mtodo de integracin por partes, comenzando
con el cambio de variable se tiene:Cambio de variable:
arctgv = u
Derivando:
( $) * $
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Resulta:
La integral
Se resuelve por:
Cambio de variables:
Sustituyendo en la integral se obtiene:
Regresando el cambio de variable
Por lo tanto la integral
Sustituyendo este resultado en la integral (a) se concluye que
!
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Simplificando y devolviendo el cambio
Se obtiene:
Buscando la inversa de la funcin logartmica resulta:
+( $) * $
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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Homogneas
Ejercicio 1:
Paso 1: Hacer transposicin de trminos
Paso 2: Aplicar el cambio de variable
Para obtener:
Paso 3: Integrar lado izquierdo por sustitucin trigonomtrica y lado derecho
por tablas para obtener, despus de revertir el cambio de variable
Ejercicio 2:
Paso 1: Hacer transposicin de trminos
Paso 2: Aplicar el cambio de variable.
Para obtener:
"
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Paso 3: Integrar lado izquierdo y derecho por tablas, despus dividir ambos
trminos del numerador de la fraccin entre u2, luego revertir el cambio de
variable.
Equivalente a:
Ejercicio 3:
Paso 1: Hacer transposicin de trminos
Paso 2: Aplicar el cambio de variable.
Para obtener:
Paso 3: Integrar ambos lados de la ecuacin por tablas, despus de dividir
ambos trminos del numerador de la funcin del lado derecho entre "u" para
obtener luego de revertir el cambio de variable.
Equivalente a:
&( $) * $
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Ejercicio 4:
Paso 1: Hacer transposicin de trminos para obtener:
Paso 2: Aplicar el cambio de variable
Para obtener:
Paso 3: Integrar lado izquierdo por tablas y lado derecho por cambio de
variable (u+1 = t) para obtener, despus de revertir el cambio de variable
Equivalente a:
Equivalente a:
Ejercicio 5:
#
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Paso 1: Transponer trminos y aplicar el cambio de variabley = vx
Para obtener:
Paso 2: Integrar lado izquierdo por tablas y lado derecho por cambio de
variable para obtener.
Paso 3: Aplicar en propiedades de los logaritmos y revertir el cambio devariable para obtener.
Equivalente a:
Ejercicio 6:
Paso 1: Hacer transposicin de trminos y aplicar el cambio de variable
t = uy dt = udy +ydu para obtener.
Paso 2: Integrar lado izquierdo por tablas y lado derecho mediante el
cambio de variables para obtener despus de revertir el cambio
de variable.
Paso 3: Transponer trminos, resolver la ecuacin y revertir el cambio de
variable para obtener.
'( $) * $
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Ejercicio 7:
Paso 1: Hacer transposicin de trminos y el cambio de variable
y = ux dy = udx +xdu para obtener.
Paso 2: Integrar lado izquierdo aplicando el mtodo de integracin por partes y ladoderecho por tablas para obtener
Equivalente a:
Paso 3: Revertir el cambio de variable y considerar la condicin inicial para
obtener.
Ejercicio 8:
Paso 1: Transponer trminos y hacer el cambio de variable
y = ux dy = udx +xdu para obtener:
%
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Paso 2: Integrar por tablas ambos lados de la ecuacin para obtener
Paso 3: Transponer trminos y revertir el cambio de variable:
Ejercicio 9:
Paso 1: Hacer transposicin de trminos y el cambio de variabley = ux dy = udx +xdu para obtener;
Paso 2: Integrar lado izquierdo haciendo el cambio de variable ln u = t y lado derechopor tablas para obtener;
Paso 3: Revertir el cambio de variable en "t" y el cambio de variable en "u" paraobtener;
Equivalente a:
$( $) * $
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ECUACIONES DIFERECIALES CON COEFICIENTES LINEALES
Estas ecuaciones diferenciales tienen la siguiente estructura:
Tambin suelen llamarse ecuaciones diferenciales transformables ahomogneas.
Para resolver estas ecuaciones diferenciales se deben realizar algunoscambios de variables que permitan eliminar el trmino independiente delcoeficiente lineal (" c " y " f ") conseguido esto, la ecuacin se transforma enhomognea.
Ejemplo 1:
Pasos a seguir:
1. Hacer transposicin de trminos, de manera de darle la estructura
adecuada.
2. Escribir un sistema de ecuaciones en .h.y .k. con los coeficientes lineales y
encontrar los valores de .h.y .k..
Al resolver el sistema resulta:
h = 2
k =3
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3. Hacer el cambio de variables:
4. Sustituir los cambios de variables en la ecuacin.
(3x y 9)dx (xy1)dy =0
Resultando:
Efectuar operaciones y reducir trminos semejantes
Esta es una ecuacin diferencial homognea; proceder en consecuencia.
5. Efectuar un nuevo cambio de variable
6. Hacer la sustitucin en la ltima ecuacin obtenida
7. Efectuar operaciones hasta transformarla en separable
Al simplificar y reducir trminos semejantes resulta:
Al separar las variables e integrar miembro a miembro se obtiene:
( $) * $
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La integral del lado izquierdo es inmediata; la del lado derecho se resuelve porcambio de variables as:
Al sustituir los cambios en la integral resulta:
Sustituyendo este resultado en (*) e integrando el lado izquierdo de esaecuacin se obtiene:
8. Aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresin
!
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Elevar al cuadrado ambos miembros
9. Revertir todos los cambios de variables y simplificar
Solucin General.
+( $) * $
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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales
Ejercicio 1:
Paso 1: Hacer transposicin de trminos para obtener la estructura
Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones
Efectuar el cambio de variable
Sustituir estos valores en la ecuacin del paso "1" para obtener la ecuacinhomognea.
Paso 3: Resolver dicha ecuacin homognea mediante el cambio de variable.
Se obtiene la ecuacin separable
"
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Integrando ambos lados de la ecuacin y revirtiendo los cambios de variable seobtiene:
Ejercicio 2:
Paso 1: Resolver el sistema de ecuaciones
Efectuar el cambio de variable;
es decir,
Sustituir estos valores en la ecuacin original para obtener la ecuacin homognea.
Paso 2: Resolver dicha ecuacin homognea mediante el cambio de variable.
Se obtiene la ecuacin separable
&( $) * $
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Equivalente a:
Paso 3: Integrar ambos lados de la ecuacin separable y revertir los cambios devariable para obtener;
Sugerencia: resuelva la integral
Efectuando el cambio de variable
#
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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Exactas
Ejercicio 1:
Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo con "N"
Paso 3: Despejar G(y) e integrar con respecto a "y"
Sustituir G(y) en el paso "1"
Solucin general:
Ejercicio 2:
Probar el criterio de exactitud
'( $) * $
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Exactas
Ejercicio 1:
Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo con "N"
Paso 3: Despejar G(y) e integrar con respecto a "y"
Sustituir G(y) en el paso "1"
Solucin general:
Ejercicio 2:
Probar el criterio de exactitud
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Paso 3: Despejar G(y) e integrar con respecto a "y"
Sustituir G(y) en el paso "1"
Solucin general
Ejercicio 6:
Rescribir la ecuacin y probar el criterio de exactitud
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N"
Paso 3: Despejar G(y) e integrar con respecto a "y"
Sustituir G(y) en el paso "1"
Solucin general
Ejercicio 7:
!%
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Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Integrar M con respecto a "x"
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N"
Paso 3: Despejar (y) G e integrar con respecto a "y"
Sustituir G(y) en el paso "1"
Ejercicio 8:
Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N"
!$
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Paso 3: Despejar G(y) e integrarlo con respecto a "y"
Sustituir G(y) en el paso "1"
Solucin general
Ejercicio 9.
Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "y" e igualarlo a "N"
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N"
Paso 3: Despejar (y) G e integrar con respecto a "y"
Sustituir G(y) en el paso 1
Solucin General
Ejercicio 10:
Probar el criterio de exactitud
!
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:Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N"
Paso 3: Despejar G(y) e integrar con respecto a "y"
Sustituir G(y) en el paso "1"
Solucin General
!
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ECUACIONES DIFERECIALES EXACTAS
Se dice que una ecuacin diferencialM(x,y)dx +N(x,y)dy = 0 es exacta si se
verifica que:
Para resolver este tipo de ecuaciones se procede de la siguiente manera:
1. Se integraM(x,y) con respecto a .x. (cuando se integra con
respecto a .x., entonces .y. es constante) se reemplaza la constante de
integracin por una funcin de .y. (G(y)).
2. Se deriva la funcin .(x ,y) + G (y) con respecto a .y., se iguala con N (x, y)
Al despejar
Resulta:
!!
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3. Se integra ambos lados de la ecuacin anterior con respecto a .y. ,
para obtener el valor de G (y) y se sustituye este resultado en el paso "1".
El ejercicio tambin puede resolverse comenzando el proceso deintegracin en el paso " 1 " con respecto a "x".
Ejemplo 1:
Es una ecuacin diferencial exacta ya que:
Luego
Se procede a seguir los pasos de "1" a "3".
1. Se integraM(x,y) con respecto a .x .
2. Se deriva con respecto a "y"
!+
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Se iguala aN(x,y)
Despejando se obtiene:
3. Se integra el resultado anterior con respecto a .y.
Se sustituye G(y) en " 1" obtenindose
Ejemplo 2:
!"
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Es una ecuacin diferencial exacta ya que
2. Derivando F ( x, y) con respecto a "x" se tiene:
!&
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3. Integrando el resultado anterior con respecto a "x" se obtiene:
Sustituyendo el resultado obtenido en " * " se tiene:
!#
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ECUACIONES DIFERECIALES TRANSFORMABLESEXACTAS
Algunas ecuaciones diferenciales M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 pueden resultar noser exactas, es decir no se cumple que:
Pero si se da el caso de que:
No resulta ser una ecuacin diferencial exacta; probando a conseguir un
factor integrante:
!'
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Multiplicando la ecuacin por el factor obtenido resulta:
Probando el criterio de exactitud:
Por lo tanto se obtuvo una ecuacin diferencial exacta, Procediendo segn estecaso:
2. Derivando ( 1) con respecto a " y" e igualando con "N "
Simplificando se obtiene:
G(y) =y
Integrando miembro a miembro
+%
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Sustituyendo este resultado en " * " resulta:
Ejemplo 2:
Entoncesf (x,y) no es una ecuacin diferencial exacta, probando a
conseguir un factor integrante:
Multiplicando la ecuacin por el factor integrante ex se obtiene:
+$
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Resulta una ecuacin diferencial exacta, procediendo en consecuencia:
2. Derivando el resultado con respecto a " y " e igualando " N " resulta:
Reduciendo trminos semejantes se obtiene:
+
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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Transformables a Exactas
Ejercicio 1:
Rescribir la ecuacin y probar el criterio de exactitud
Paso 1: Buscar un factor integrante
Multiplicar la ecuacin por el factor integrante y probar de nuevo el criterio deexactitud.
Paso 2: Integrar "N" con respecto a "y"
Derivar el resultado con respecto a "x" e igualarla a "M"
Paso 3: Despejar G(y) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar
mtodo de integracin por partes).
+
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:Cambios de variables sugeridos para cada una de las integrales:
Sustituir G (y) en el paso "2" y simplificar
Solucin general:
Equivalente a:
Ejercicio 2.
Rescribir la ecuacin y probar el criterio de exactitud.
Paso 1: Buscar un factor integrante
+!
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Multiplicar la ecuacin por el factor integrante y probar de nuevo el criterio deexactitud.
Paso 2: Integrar "N" con respecto a "y"
Derivar el resultado con respecto a "x" e igualar a "M"
Paso 3: Despejar G(y) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar
mtodo de integracin por partes).
Cambio de variable sugerido
Por lo tanto;
Sustituir G (y) el resultado en el paso "2"
Solucin general:
Equivalente a:
++
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Ejercicio 3:
Sujeta a la condicin inicial y(2) =1
Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Buscar un factor integrante
Multiplicar la ecuacin por el factor integrante y probar de nuevo el criterio deexactitud
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x"
Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N"
Paso 3: Despejar (y) G e integrar el resultado con respecto a "y"
Solucin general:
+"
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Solucin particular
Equivalente a:
Ejercicio 4:
Probar el criterio de exactitud
Paso 1: Buscar el factor integrante
Multiplicar todos los trminos de la ecuacin por el factor integrante y probar denuevo el criterio de exactitud:
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x"
Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo
+&
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Paso 3: Despejar (y) G e integrar el resultado con respecto a "y"
Sustituir (y) G en el paso 2
Solucin general
Equivalente a:
Ejercicio 5:
Probar criterio de exactitud
Paso 1: Buscar el factor integrante
Multiplicar todos los trminos de la ecuacin por el factor integrante y
probar el criterio de exactitud
Paso 2: Integrar "N" con respecto a "y"
+#
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Derivar el resultado con respecto a "x" e igualar a "M"
Paso 3: Despejar (y) G e integrar el resultado con respecto a "x" (usar mtodo deintegracin por partes)
Sustituir (y) G en el paso 2
Solucin general:
Ejercicio 6.
Probar criterio de exactitud
Paso 1: Buscar el factor integrante
Multiplicar todos los trminos de la ecuacin por el factor integrante y probar denuevo el criterio de exactitud.
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x" (usar el mtodo de integracin por partes);
+'
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Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N"
Paso 3: Despejar (y) G e integrar el resultado con respecto a "y"
Sustituir (y) G en el paso 2 y reducir trminos semejantes
Solucin general:
Equivalente a:
"%
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ECUACIONES DIFERECIALES LINEALES
Solucin de la Ecuacin Diferencial
De la misma manera la ecuacin puede escribirse como:
"$
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El primer miembro de la igualdad no es otra cosa que la derivada con respectoa " x" del producto y x, por lo tanto integrando miembro a miembro
se tiene:
"
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Solucin de la ecuacin diferencial.
Haciendo el procedimiento ms simple, se puede trabajar de la siguiente manera:
1. Identificar P(x) y Q(x)
2. Encontrar el factor integrante, en este caso x(como se obtuvo en el paso dos).
Ejemplo 2:
Recurdese que para que la ecuacin sea lineal debe tener la siguiente
estructura:yP(x)y = Q(x) , donde y denota la derivada de " y" con respecto a "x",
por lo tanto, la ecuacin dada no lleva esa estructura pero si se dividen ambos
lados de dicha ecuacin por la variable "x" se obtiene:
Siguiendo los pasos:
"
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Ejemplo 3:
yxx = y
x denota la derivada de "x" con respecto a "y", dividiendo ambos
lados de la ecuacin entre "y" se obtiene:
"!
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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales lineales
Ejercicio 1.
Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante
Resolver la integral usando primero el mtodo de integracin por cambio de variable
y luego el mtodo de integracin por partes
Resultado
CV 2. Mtodo de integracin por partes
"+
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Paso 3: Revertir los cambios de variable y despejar la variable "y"
Ejercicio 2:
Paso 1.
Identificar P(x) y Q(x) y calcular el F.I.
Paso 2: Aplicar la formula
Sugerencia: Usar mtodo de integracin por cambio de variable y mtodo deintegracin por partes.
Paso 3: Despejar la variable "y"
""
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Ejercicio 3:
Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante
Paso 2: Aplicar la formula
Resolver la integral usando el mtodo de integracin por partes
Paso 3: Despejar la variable .y.
Ejercicio 4.
Paso 1: Multiplicar toda la ecuacin por el factor 1/X para darle la estructura
de la ecuacin diferencial lineal.
"&
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Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante
Paso 2: Aplicar la formula
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"
Ejercicio 5:
Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante.
"#
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Paso 2: Aplicar la formula;
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"
Ejercicio 6:
Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante
Paso 2: Aplicar la formula
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"
"'
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Ejercicio 7.
Paso 1: Multiplicar por el factor1/X toda la ecuacin para obtener la estructura de laecuacin diferencial lineal.
Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante.
Paso 2: Aplicar en la formula
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"
&%
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Ejercicio 8:
Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante
Paso 2: Aplicar en la formula
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"
Ejercicio 9:
Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante
&$
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Paso 2: Aplicar la formula
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable .y.
Ejercicio 10:
Paso 1: Multiplicar la ecuacin por el factor 1/X para darle la estructura de laecuacin diferencial lineal.
Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante
Paso 2: Aplicar la formula
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"
&
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ECUACIONES DIFERECIALES DE BERNOULLI
Una ecuacin diferencial de Bernoulli tiene la siguiente estructura:
Tambin puede escribirse como y+P(x) y = Q(x) yn
Esta ecuacin diferencial puede transformarse en lineal si se divide
miembro a miembro entre y n , y haciendo luego un cambio de variable.
Procediendo como se indica, se obtiene:
Haciendo el cambio de variable , y derivando parcialmente con
respecto a " x" resulta:
Multiplicando miembro a miembro la ecuacin (1) por (1- n) se obtiene:
Sustituyendo en esta expresin el cambio de variable, puede escribirse
como:
Que es una ecuacin lineal en " w ", ya que (1 - n) es una constante.
Ejemplo 1:
&
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Hgase el cambio de variable , y dervese parcialmente con
respecto a "x.. En este caso n = 3 (exponente de " y " en el ejemplo dado)
quedando:
Se obtuvo una ecuacin lineal en " w ", procediendo en consecuenciase tiene:
&!
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Revirtiendo el cambio de variable
Ejemplo 2:
&+
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&"
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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
Ejercicio 1.
Paso 1: Multiplicar la ecuacin por el factor 1/X para darle la estructura de laecuacin diferencial de Bernoulli;
Multiplicar por para transformar la ecuacin de Bernoulli en ecuacin lineal
Paso 2: Efectuar el cambio de variable
Multiplicar la ecuacin por -3 y sustituir el cambio de variable
Resolver la ecuacin diferencial lineal, identificando P(x), Q(x) y calcular el factorintegrante
&&
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Paso 3: Aplicar la formula
Resolver la integral y despejar la variable "w"
Revertir el cambio de variable
Ejercicio 2:
Paso 1: Multiplicar la ecuacin por el factor
Paso 2: Hacer el cambio de variable
Multiplicar la ecuacin por "-1" y sustituir
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Paso 3: Resolver la ecuacin diferencial lineal Identificar P(x) y Q(x) y calcular elfactor integrante
Aplicar la formula
Despejar w y revertir el cambio de variable
Ejercicio 3.
Paso 1: Dividir la ecuacin entre y3
Multiplicar la ecuacin por "-2" y escribir la ecuacin lineal
&'
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Paso 2: Resolver la ecuacin lineal:
Calcular el factor integrante
Aplicar en la formula
Paso 3: Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable
Ejercicio 4:
Paso 1: Dividir la ecuacin entre
Realizar el cambio de variable
#%
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Multiplicar la ecuacin por "1/2" y escribir la ecuacin lineal
Paso 2: Resolver la ecuacin lineal.
Calcular el factor integrante
Aplicar la formula
Paso 3: Resolver la integral aplicando el mtodo de integracin por partes y revertirel cambio de variable.
Ejercicio 5.
Paso 1: Dividir la ecuacin por y2
#$
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Realizar el cambio de variable
Multiplicar la ecuacin por "-1" y escribir la ecuacin lineal
Paso 2. Resolver la ecuacin lineal:
Calcular el factor integrante
Paso 3: Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable
Ejercicio 6:
Paso 1: Multiplicar la ecuacin por .y.
#
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Realizar el cambio de variable
Multiplicar la ecuacin por "2" y escribir la ecuacin lineal
Paso 2: Resolver la ecuacin lineal:
Calcular el factor integrante
Aplicar la formula
Paso 3: Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable
#
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Ejercicio 7:
Paso 1: Multiplicar la ecuacin por .y.
Realizar el cambio de variable
Multiplicar la ecuacin por "2" y escribir la ecuacin lineal
Paso 2: Calcular el factor integrante
Paso 3: Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable
#!
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Ejercicio 8:
Realizar el cambio de variable
Quedando
Paso 2: Calcular el factor integrante
Paso 3: Calcular la integral y revertir el cambio de variable
#+
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Ejercicio 9:
Realizar el cambio de variable
Paso 2: Calcular el factor integrante
Paso 3: Calcular la integral y revertir el cambio de variable
#"
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Ejercicio 10:
Paso 1: Multiplicar la ecuacin por y2
Realizar el cambio de variables
Paso 2: Calcular el factor integrante
Paso 3: Resolver la integral (sugerencia ) y revertir el cambio de
variable
#&
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ECUACIONES DIFERECIALES DE RICCATI
Este tipo de ecuacin diferencial tiene la estructura:
En la cual si se conoce alguna raz S(x) del polinomio de segundo grado
en .y., el cambio de variable:
La transforma en una " Ecuacin Diferencial Lineal".
Ejemplo 1:
Pasos a seguir:
##
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3. Despejar z, lo cual se obtiene multiplicando miembro a miembro por
4. Resolver la ecuacin separable :
5. Revertir el cambio de variable despejando " z " de la ecuacin:
Obtenindose:
6. Sustituyendo en " 4 " resulta:
#'
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Ejemplo 2:
Pasos a seguir:
1. Realizar el cambio de variable,
2. Derivar ambos lados de la expresin anterior con respecto a .x.
3. Sustituir los valores de: y e y en el ejemplo
4. Realizar operaciones y reducir trminos semejantes
'%
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5. Multiplicar ambos lados de la ecuacin por -z
6. Transponer trminos para obtener una ecuacin diferencial lineal
7. Resolver la ecuacin diferencial
8. Solucin de la ecuacin diferencial lineal
9. Revertir el cambio de variable y sustituir en el paso anterior
Entonces:
'$
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10. Solucin general de la ecuacin diferencial:
Despejar "y" en funcin de "x"
'
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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Ricatti
Ejercicio 1.
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal.
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable
Ejercicio 2.
Paso 1: Realizar el cambio de variable
'
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Hacer las sustituciones correspondientes
Paso 2: Resolver las operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin separable,
z=1
Paso 3: Integrar miembro a miembro para obtener:
z = xc
Revertir el cambio de variable
Ejercicio 3.
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes:
Paso 2: Resolver las operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal:
z+5xz =1
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable
'!
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Ejercicio 4:
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes:
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes
z6z = 1
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable
'+
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96/101
Ejercicio 5:
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes:
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal;
Paso 3: Identificar P(x) , Q(x) y calcular el factor integrante
Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable
Ejercicio 6:
Paso 1: Realizar el cambio de variable
'"
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97/101
Hacer las sustituciones correspondientes:
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal;
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
Resolver la ecuacin lineal "z" y revertir el cambio de variable: Variable:
Ejercicio 7:
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes
'&
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98/101
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal:
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
Resolver la ecuacin lineal en .z. y revertir el cambio de variable
Ejercicio 8:
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin separable:
z= 1
'#
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99/101
''
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Paso 3: Integrar miembro a miembro.
Al revertir el cambio de variables se obtiene:
$%%
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BIBLIOGRAFA
BERMAN, G.N Problemas y Ejercicios de Anlisis Matemtico
(2daEd.)Mosc:Editorial MIR . BRAUN, M. (1990) Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones,Mxico:Grupo Editorial Iberoamericana, S.A. EDWARDS, C.H y DAVIDE Penney (1986) Ecuaciones DiferencialesElementales con Aplicaciones, Mxico: Prentice HallIberoamericana.
LARSON, Robert y HOSTELLER, Robert (1988) Clculo yGeometra Analtica
(3ra Ed.), Mxico: Mc Graw Hill. LEITHOLD, Louis (1992) El Clculo con Geometra Analtica (6taEd.), Mxico:Harla. NAGLE, Kent y SALF, Edward Fundamentos de EcuacionesDiferenciales (2da
Ed.): Wilmington, Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. ONEILL, Peter V. (1998) Matemticas Avanzadas para Ingeniera(3ra Ed.),Mxico: Compaa Editorial Continental, S.A. STEWARD, James (1991) Clculo, Mxico: Grupo EditorialIberoamericano. SWOKOWSKI, Earl (1982) Clculo con Geometra Analtica,California:
$%$