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PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS. PROFESOR: ANTONIO PIZARRO. http://ficus.pntic.mec.es/apis0004 1) Hallar el exponente al que hay que elevar 7 para obtener 3 . 2401
Solucin: Piden hallar x para que 34777724017 3
43 43 ==== xxxx .
2) Calcular el logaritmo en base 9 de los siguientes nmeros:
a) 3; b) 9; c) 243; d) 811 ; e)
91 .
Solucin:
a) ( )21123333393log 229 ====== xxx xxx .
b) log . 19999 === xx x
c) ( )255233332439243log 52529 ====== xxx xxx .
d) ( ) 2244233
313
8119
811 42
42
9 ======= xxx xxxlog .
e) ( ) 1222233
313
919
91log 222
29 ======= xxx xxx .
3) Hallar x en:
a) ; b) ; c) 225log =x 8256log =x 2181log =x .
Solucin: a) 52525225log 2 ==== xxxx
0>x. Pero la base x de un logaritmo, por
definicin, debe ser positiva, es decir, . Luego x=5.
b) 222562568256 8 88*
8 ====== xxxx0>x
log . Pero la base x de un logaritmo, por definicin, debe ser positiva, es decir, . Luego x=2. Nota *: Ya sabemos que (vase los problemas de radicales):
==cero) o negativo positivo, sea que igual da (aimpar esn si a
negativo) es (a 0ay par esn si existe nopositivo) es (a 0ay par esn si
n
n
n
axax
c) 65618181812181log 22
1 ===== xxxx . 4) Calcular 8log20 .
Solucin: El logaritmo 8log20 no es exacto, pues
( ) 23220 2528208log === xxx y esta ecuacin exponencial ( ) 232 252 = x no se puede resolver algebraicamente, pues las bases y 2, no son la misma. As, para calcularlos aplicamos la frmula del cambio de base del logaritmo a, por ejemplo, base el nmero e (logaritmo neperiano):
522
0,347067425435223576135539909932,99573227873125848182108399179641,03972077
20ln8ln
20log8log
8log20 ====e
e
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PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS. PROFESOR: ANTONIO PIZARRO. http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
5) El logaritmo de 0,3 en una cierta base es 31 . Se pide:
a) Hallar dicha base. b) Calcular el logaritmo de 0,09 en dicha base.
Solucin: a) Piden hallar x para que 313,0 =xlog . Pues vamos, con nimo y alegra a
hallar esa base x que nos piden, VINGA!:
( ) ( ) ( ) 0,0273,03,03,03,0313,0log 33
33331 ====== xxxxx .
b) log . Como los decimales, al ilustre profesor que escribe, no le gustan mucho, ya que prefiere operar, y por tanto ensear, con fracciones o radicales, pues resulta que:
( ) 09,0027,009,0027,0 == xx
2323
2
2
3
3
027,0 103
103
103
103
103
103
1009
10002709,0log
=
=
=
=
=
xxxx
x
Como ya tenemos una ecuacin 23
103
103
=
x
(ecuacin viene del latn equal, es
decir, igualdad) con la misma base, a saber por el lector miope 103 , igualamos los
exponentes. Luego 3223 == xx .
Observacin: Los siguientes ejercicios puede, segn el libro de referencia que utilice el alumno/a, que las ecuaciones exponenciales y logartmicas se estudien al ver las funciones logartmicas y exponenciales, all, en la mayora de los centros educativos, por el segundo trimestre.
6) Resolver la ecuacin: 3221 12 =
x .
Solucin: Este es el uno de los dos tipos clsicos (de los que han cado en los exmenes durante toda la vida) para resolver ecuaciones exponenciales. Consiste, como has visto en el ejercicio 1 y en el anterior en ingenirselas (un poco de ingenio por parte del lector, por favor) para que en los dos miembros de la equal (igualdad) tengan la misma base. Pos vamos all:
[ ] ( ) 5125121512112 2222223221 ====
+ xxxx . Y ahora, pos igualamos los exponentes y san sacab:
22
44215251222 512 =====+=+ xxxxxx .
7) Resolver la ecuacin: . 233 2 =+ xxSolucin: Este es el otro de los dos tipos clsicos (de los que han cado en los exmenes durante toda la vida) para resolver ecuaciones exponenciales. Consiste en hacer un cambio de variable.
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PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS. PROFESOR: ANTONIO PIZARRO. http://ficus.pntic.mec.es/apis0004La ecuacin anterior es . Realizando el cambio , la ecuacin
exponencial ( ) queda como la siguiente ecuacin de segundo grado en y: ; cuya soluciones son y=1, y=-2. Deshaciendo el cambio, se tiene que
( ) 0233 2 =+ xx02 =
xy 3=33 2 + xx
02 =2 + yy
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03313 0 ==== xy xx . 23 == xy . Esta solucin es imposible pues las funciones exponenciales son siempre
positivas. 8) Resolver la ecuacin: . 08214272 23 =+ xxxSolucin: Otro ejemplito del segundo tipo de ecuacin exponencial clsico (del que te pondr tu ilustrsimo profesor en el prximo examen) para resolver ecuaciones exponenciales. Consiste, recuerda, en hacer un cambio de variable. La ecuacin anterior es ( ) ( ) 08214272 23 =+ xxx
( ). Realizando el cambio ,
la ecuacin exponencial
xy 2=( ) 08214272 23 =+ xxx
08147 23 =+ yyy queda como la siguiente
ecuacin de tercer grado en y: : Aplicamos el mtodo de Rufinni para factorizar (poner como producto de factores) el primer miembro . Ya sabemos que debemos que las posibles races que sean nmeros enteros se encuentran entre los divisores de 8, a saber:
8147 23 + yyy8,4,2,1 .
Probando con x=2 queda: 1 -7 14 -8 2 2 -10 8 1 -5 4 0 Luego: ( )( )4528147 223 +=+ yyyyyy
452 + yy. Sigamos descomponiendo el
polinomio :
( ) ( )
====+
=====
122
235
428
235
235
295
216255
1241455 2
y
Por tanto, la ecuacin de tercer grado en y queda as: ( )( ) ( ) 041208147 23 ==+ yyyyyy As, si tenemos varios productos igualados a 0, al menos uno de ellos es 0. Luego:
( )( ) ( )
======
==+404
101202
041208147 23
yyyyyy
yyyyyy
Las soluciones de la ecuacin son y=1, y=2, y=4. Deshaciendo el cambio, se tiene que
08147 23 =+ yyy
02212 0 ==== xy xx . 122 === xy x .
22242 2 ==== xy xx . 9) Resolver la ecuacin: 6324
24 1
1 = + xx .
PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS. PROFESOR: ANTONIO PIZARRO. http://ficus.pntic.mec.es/apis0004 Solucin: Este es otro ejemplo del segundo tipo de ecuacin exponencial clsico (del que te pondr tu ilustrsimo profesor en el prximo examen) para resolver ecuaciones exponenciales, lo que pasa es que ste ejemplo est un poco escondido. Vamos a encontrarlo. Recuerda que consiste en hacer un cambio de variable.
63242
4 11 = + xx . Ya sabemos que las soluciones de una equal no cambian si
multiplicamos ambos miembros por una cantidad no nula (no nula quiere decir distinta de cero). Multipliquemos ambos miembros por el denominador : 12 x
( )21263244226324
14
2632242
242632422
463242
4
2111
1111
1111
11
1
==
===++
+
+
+
xxxxx
xxxx
xxxx
xx
x
Como hay denominadores, multiplicamos ambos miembros por el denominador 2:
( )( ) 0826328
8263280263288126328822263288
22126322482
212632424
21263244
2
2222
222
=====
=
==
xx
xxxxxxxx
xxxxxx
xy 2= Realizando el cambio , la ecuacin exponencial ( ) 082632 2 = xx08638 2 = yy
8 queda como la siguiente ecuacin de segundo grado en y: Luego
( ) ( ) ( )
====+
=
===+==
81
162
166563
816128
166563
166563
16422563
16256396963
828846363 2
y
Deshaciendo el cambio, se tiene que 32282 3 ==== xy xx .
812 == xy . Esta solucin es imposible pues las funciones exponenciales son siempre
positivas.
10) Resolver el sistema: .
=+=38133
yx
yx
Solucin: La primera ecuacin es una ecuacin exponencial del primer tipo, es decir, para resolverla necesito en ambos miembros la misma base, para despus igualar los exponentes. La segunda ecuacin es una ecuacin con dos incgnitas x e y de toda la vida. As:
8133 = yx
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PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS. PROFESOR: ANTONIO PIZARRO. http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
===++=++=
=+=
=+=
=+= +
21432343
4
333
3333
38133 44
yyyyyx
yx
yxyxyx
yxyxyx
Si 21=y , entonces
27
2814
21 =+=+=x .
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Luego la solucin al sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas es x=27 , y=
21 .
11) Resolver las siguientes ecuaciones logartmicas: a) ( ) 22log =xb) 2 04loglog =xc) 9loglog 25 = xx d) log 2log100loglog10log 5555
25 +=+ xx
e) ( )
=+3
log59loglog 333xxx
Solucin: Todas estas ecuaciones son ecuaciones logartmicas, pues como el lector puede comprobar, interviene la palabra log de logaritmo. Este tipo de ecuaciones se resuelven muy fcilmente, estn tiradas!, ya que basta poner los dos miembros con logaritmos en la misma base para luego igualar las expresiones de dentro. Resolvmoslas: a) El primer miembro ya lo tengo todo como logaritmo en una base (10) , sin embargo el segundo miembro 2 no lo tengo como logaritmo en base 10. Pues pongmoslo:
ya que . Luego: 210log2 = 21210log210log 2 ===( ) ( ) 210log2log22log == xx
Y ahora que tenemos los dos miembros con logaritmos en la misma base, igualamos las expresiones algebraicas de dentro: log . ( ) 1022100100210210log2 22 =+==== xxxxxb)
24441
44
44144
14
104
10log4
log04
log04loglog04loglog2
22222
02
022
2
=======
=====
xxxxxxx
xxxxx
Sin embargo la solucin x=2 si es vlida pues 4log2log2 tiene sentido pues son logaritmos de nmeros positivos, pero la solucin x=-2 no es vlida pues
no tiene sentido ya que ( ) 4log2log2 ( )2log no existe. (Ya sabe el lector que la funcin logaritmo en cualquier base slo existe para valores positivos, es decir, el dominio de la funcin logaritmo es ( )+,0 ).
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( )00001,0
1000001
10110
1010101010
101010loglog9log9loglog
551
959
95
59
95
995
59
959
95101
9251
92
51
92
59
2
5
2
525
====
==
===
=====
xxx
xxxxx
xx
xx
xx
xxxx
d)
( )
=====
======+=+
5050
0505
51050
1010501050log10log
2100log10log
2log100log10log2log100loglog10loglog
2
22
25
255
25
552
555552
5
xxx
xxxx
xxxxxxxxxx
xxxx
2log100loglog10loglog 55552
5 +=+ xxAhora observamos las dos soluciones que hemos obtenido x=0 y x=5, y las substituimos en la ecuacin inicial , obteniendo:
, que no tiene sentido pues el logaritmo de 0 en cualquier base no existe (el dominio de la funcin logaritmo es ( )).
2log100log0log10log0log 55552
5 +=+
+,0 , en el que todo tiene sentido pues
son logaritmos de nmeros positivos. 2log100log5log10log5log 5555
25 +=+
Conclusin: La solucin a la ecuacin logartmica es x=5. e)
( ) ( )
( )( )
=====
=
=====
==
=
=
=+
=+
8199909
0
0909927279
2727
279
27
32732439
3log
2439log
3log3log9log
3log3log9loglog
3log59loglog
222
3335
33
35
333333
xxxx
x
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
Ahora observamos las dos soluciones que hemos obtenido x=0 y x=81 y las
substituimos en la ecuacin inicial ( )
=+3
log59loglog 333xxx , obteniendo:
( ) 0log50log0log30log509log0log 333333 =+
=+
( )+,0
, que no tiene
sentido pues el logaritmo de 0 en cualquier base no existe (el dominio de la funcin logaritmo es ).
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PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS. PROFESOR: ANTONIO PIZARRO. http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
( ) 27log5247log9log381log5819log81log 333333 =+
=+ , en el
que todo tiene sentido pues son logaritmos de nmeros positivos.
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Conclusin: La solucin a la ecuacin logartmica es x=81. 12) Resolver los siguientes sistemas:
a) ; b)
==+
1loglog25loglog
22
22
yxyx
==+
10999
1loglog
yx
yx; c) ( )
=+
=35logloglog
141414 5
xyx
yx
Solucin: a)
==
==
=
=
==+
2
32
2loglog
32loglog
2logloglog2loglog
1loglog25loglog
2
2
2
2
22
122
22
522
22
22
yxxy
yxxy
yxxy
yxyx
Por tanto, resolver el sistema de dos ecuaciones logartmicas se ha reducido a resolver el
sistema no lineal
==
2
322
yxxy
. Ya sabemos que para resolver un sistema de ecuaciones no
lineal, lo normal es aplicar los mtodos de sustitucin o de reduccin. Terminemos de resolver el problema:
=
=======
==
==
==
==
yx
xxxxxxy
yxxy
yxxy
yy
yxxy
yxxy
2
42222
642
322
32
2
32
232
232
2
32
2
236
3 632
22
22
Si x=4, entonces 82
162
42 ===y . Luego la solucin es x=4,y=8, las cuales tienen
sentido, ya que al sustituirlas en el sistema inicial todos los
logaritmos son de nmeros positivos.
==+
18log4log258log4log
22
22
b)
==
==
==+
10999
10
10999
10loglog
10999
1loglog 1
yx
xy
yx
xy
yx
yx
+=
=+=+=+=
+=
yx
yyyyyyyyxy
10999
1001099910100
101099910
1099910
1099910 2
22
01009992 =+ yyResolviendo la ecuacin de segundo grado en y 10 , se tiene que
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( )
==
====
100202000
101
202
201001999
201002001999
102100104999999 2
y
Si 101=y , entonces 100
101000
101
10999 ==+=x .
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Si y=-100, entonces ( )10
110
100010999100
10999100
10999 ===+=x .
Pero la solucin 10
1=x , y=-100 no tiene sentido al sustituirla en el sistema, pues en la primera ecuacin da logaritmos de nmeros negativos que no existen. Por tanto la
solucin es x=100, 101=y .
c)
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
==+=+=+++=
=+=
==
=+= +
235255355535555
355
35loglog1414
35logloglog141414 55
yyyyyyyx
xyxyx
xyxxyx
yxyx
Si y=2, entonces x=2+5=7. La solucin es x=7, y=2, pues al sustituirla en el sistema
=+=
35log7log5log141414 527
todo tiene sentido al salir logaritmo de nmeros positivos.
13) Resolver la ecuacin: 164 22 =x . Solucin: ( ) ( )
34224444164164164 42222222222
22222
=======
xx
xxxxx
14) Resolver la ecuacin: 72913 5
2 = xx . Solucin:
======
32
6533313
72913 2656
55 222
xx
xxxxxxxx
15) Resolver la ecuacin: . 10434 12 =+ xxSolucin: ( ) 010434401043441043 22112 ===+ xxxxxx4 . Realizando el cambio , la ecuacin exponencial xy 4= ( ) 0104344 2 = xx
01032 = y queda
como la siguiente ecuacin de segundo grado en y: , cuyas soluciones
son y=2,
4y
45=y .
Deshaciendo el cambio, se tiene que
214424 2
1
==== xy xx .
PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS. PROFESOR: ANTONIO PIZARRO. http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
454 == xy . Esta solucin es imposible pues las funciones exponenciales son siempre
positivas.
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16) Resolver los sistemas:
a) ; b) =+
=35322
343225yx
yx
=
=+15425
12654yx
yx
Solucin: ste es el ltimo de los problemas clsicos (insisto, de los que caen en el examen). Consiste en realizar un cambio y convertir el sistema de ecuaciones exponenciales en un sistema de ecuaciones lineal que ya sabemos resolver desde 2 de E.S.O. Despus, no olvidarse de deshacer el cambio. Resolvamos los sistemas:
a) =+
=35322
343225yx
yx
Realizando el cambio a , b el sistema anterior queda , cuyas
soluciones son . Deshaciendo el cambio, se tiene que
x2=27=b
y3=
=+=
3523425
baba
,4=a
33327322242
3
2
========
ybxa
yy
xx
.
b)
=
=+
==+
==+
=
=+=
=+ 054125
12654
55
54125
12654
515425
12654
5542512654
542512654
11 yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
x4= y5=
==+
0125126ba
ba
125,1 == ba Realizando el cambio a , b el sistema anterior queda , cuyas
soluciones son . Deshaciendo el cambio, se tiene que
355125504414
3
0
========yb
xayy
xx
.