SISTEMAS LINEALESHOMOGENEOS

DEFINICION SE LLAMA SISTEMA LINEAL CON COEFICIENTES

CONSTANTES AL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN:

'1 11 1 12 2 1 1

'2 21 1 22 2 2 2

'1 1 2 2

( )

( )

.

.

.

( )

n n

n n

n n nn n nn

x a x a x a x b t

x a x a x a x b t

x a x a x a x b t

DONDE ES LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y SON FUNCIONES DE (VARIABLE DEPENDIENTE).

(t),1 i ix x i n

SISTEMAS Y ECUACIONES LINEALES

TODA ECUACIÓN LINEAL DE COEFICIENTES CONSTANTES

( ) ( 1) '0 1 1  ( )n n

n na y a y a y a y b t

DONDE “” ES LA VARIABLE INDEPENDIENTE E “” LA DEPENDIENTE, SE PUEDE TRANSFORMAR EN UN SISTEMA LINEAL DE ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES LLAMANDO CON LO QUE SE LLEGA AL SISTEMA

1 2

2 3

1

.

.

'

'

.

'n n

X X

X X

X X

1 11 2

0 0 0 0

( )' n nn n

a a a b tX X X X

a a a a

LA SOLUCIÓN DE EN EL SISTEMA SERÁ LA SOLUCIÓN DE EN LA ECUACIÓN DIFERENCIAL. TODO SISTEMA LINEAL

X AX B

SE PUEDE TRANSFORMAR MEDIANTE ELIMINACIÓN ( POR COMBINACIONES LINEALES DE ECUACIONES Y DERIVADAS DE ELLAS) EN UNA ECUACIÓN LINEAL DE ORDEN EN ALGUNA DE LAS VARIABLES .

RESOLVIENDO ESTA ECUACIÓN Y HALLANDO LAS DEMÁS VARIABLES

SE TIENE RESUELTO EL SISTEMA. ESTE MÉTODO DE ELIMINACIÓN NO SE PUEDE SISTEMATIZAR Y PUEDE RESULTAR EN OCASIONES MUY COMPLICADO.

jX , j i

EJEMPLO 5 SECCION 8.1 SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA (6) EN EL EJEMPLO 2 VIMOS QUE

21

1

1tX e

6

2

3

5tX e

SON SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES DE (6) EN ;

POR LO TANTO, Y FORMAN UN CONJUNTO FUNDAMENTAL DE

SOLUCIONESEN EL INTERVALO.

( , ) 1X 2X

EN CONSECUENCIA, LA SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA EN EL INTERVALO ES

2 61 1 1 1 1 2

1 3

1 5t tX c X c X c e c e

SE VIO EN EL EJEMPLO 5 DE LA SECCION 8.1 QUE LA SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA HOMOGENEO

ES:

DEBIDO A QUE AMBOS VECTORES SOLUCION TIENEN LA FORMA

1 3'

5 3X X

2 61 1 2 2 1 2

1 3

1 5t tX c X c X c e c e

1

2

, 1, 2iti

kX e i

k

DONDE Y SON CONSTANTES,SE MOTIVA A PREGUNTAR SIEMPRE SI SIEMPRE ES POSIBLE ENCONTRAR UNA SOLUCION DE LA FORMA

(1)

PARA EL SISTEMA LINEAL HOMOGENEO GENERAL DE PRIMER ORDEN (2)DONDE “A” ES UNA MATRIZ DE CONSTANTES .

1

2

.

.

.

t t

n

k

k

X e Ke

k

'X AXn n

1 2 1k ,k , 2

DEMOSTRACION

( ) 0A K

LO PRIMERO ES DETERMINAR NUESTRA VARIABLE DEPENDIENTE QUE TENDRA LA FORMA SIGUIENTE:

X AX

DE (1) OBTENEMOS QUE

tX Ke

DERIVANDO PARA “” OBTENEMOS X’

tX K e

IGUALAMOS CON

Y SUSTITUIMOS “X”

X AX

QUEDANDO ASI

t tK e AKe

DIVIDIMOS LA ECUACION ENTRE

te

OBTENEMOS

K AK

AGRUPANDO A UN LADO DE LA ECUCION

( ) 0A K

VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOS

TEOREMA 8.7SOLUCION GENERAL,

SISTEMAS HOMOGENEOS

SEAN VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES “A” DEL SISTEMA HOMOGENEO (2), Y SEAN LOS VECTORES PROPIOS CORRESPONDIENTES.

1 2, , ,  n

1 2K ,K , ,Kn

ENTONCES LA SOUCION GENERAL DE (2) EN EL INTERVALO ESTA DADA POR( , )

1 21 1 2 2 ... ntt t

n nX c K e c K e c K e

VALORES PROPIOS REPETIDOS

EN RESUMEN, NO TODOS LOS VALORESPROPIOS DE UNA MATRIZ “A”

DEBEN SER DISTINTOS; ES DECIR, QUE EN ALGUNOS CASOS LOS VALORES PROPIOS PODRIAN SER REPETIDOS.

n

n n1 2, , ,  n

EN GENERAL SI m ES UN ENTERO POSTIVO Y ES UN FACTOR DE LA ECUACION CARACTERISTICA, MIENTRAS QUE

NO ES UN FACTOR, ENTONCES SE DICE QUE ES UN VALOR PROPIO DE MULTIPLICIDAD .

1( )m 1

1( )m

2

EXISTEN 2 CASOS IMPORTANTES PARA LOS VALORES PROPIOS REPETIDOS

PRIMER CASO PARA ALGUNAS MATRICES “A” DE PODRIA SER POSIBLE ENCONTRAR

VECTORES PROPIOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES QUE CORRESPONDEN A UN VALOR PROPIO DE

MULTIPLICDAD .

n nm

1 2, ,..., mK K K

m n1

EN ESTE CASO, LA SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA CONTIENE LA COMBINACION LINEAL

1 1 11 1 2 2 ...t t t

m mc K e c K e c K e

SEGUNDO CASO SI SOLO HAY UN VECTOR PROPIO QUE

CORRESPONDE AL VALOR PROPIODE MULTIPLICIDAD , ENTONCES SE PUEDE ENCONTRAR SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES DE LA FORMA

1mm

DONDE SON VECTORES COLUMNA.

1

1 1

1 1 1

1 11

2 21 22

1 2

1 2

.

.

.

( 1)! ( 2)!

t

t t

m mt t t

m m m mm

X K e

X K te K e

t tX K e K e K e

m m

ijK

VALORES PROPIOS COMPLEJOS

SI Y SON VALORES PROPIOS COMPLEJOS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES A, ENTONCES SE PUEDE ESPERAR DE HECHO QUE SUS VECTORES PROPIOS CORRESPONDIENTES TAMBIEN TENGAN ELEMENTOS COMPLEJOS.

1 i 22 , 0, 1i i >

TEOREMA 8.8SOLUCIONES

CORRESPONDIENTES A UN VALOR COMPLEJO

SEA “A” LA MATRIZ DE COEFICIENTES CON ELEMENTOS REALES DEL SISTEMA HOMOGENEO (2), Y SEA “” UN VECTOR PROPIO CORRESPONDIENTE AL VALOR PROPIO COMPLEJO , Y REALES. ENTONCES

YSON SOLUCIONES DE (2).

1 i

11

tK e 11

tK e

TEOREMA 8.9SOLUCIONES REALES QUE

CORRESPONDEN A UN VALOR COMPLEJO

SEA UN VALOR PROPIO COMPLEJO DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES “A” EN EL SISTEMA HOMOGENEO (2) Y SEAN Y LOS VECTORES COLUMNA DEFINIDOS EN:

1 i

1B2B

1 1 1

1( )

2B K K

2 1 1( )2

iB K K

DONDE Y SON MATRICES.1K 1K

ENTONCES

(23)

SON SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES DE (2) EN .

1 1 2[ cos( ) ( )] tX B t B sen t e

2 2 1[ cos( ) ( )] tX B t B sen t e

( , )

EJERCICIOS

DETERMINE LA SOLUCION GENERAL PARA CADA SISTEMA

EJERCICIO 1

2

4 3

dxx y

dtdy

x ydt

PRIMERO AGRUPAMOS DE LA SIGUIENTE FORMA

1 2

4 3X X

BUSCAMOS ENCONTRAR

1 2det( ) 0

4 3A I

Y OBTENEMOS

(1 )(3 ) (4)(2) 0

AL HACER EL PRODUCTO OBTENEMOS

2 4 5 0

POR MEDIO DE LA RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS OBTENEMOS VALORES PARA LAMBDA. DETERMINAMOS QUE SON VALORES PROPIOS DISTINTOS.

1

2

5

1

SUSTITUIMOS LAMBDA EN LA MATRIZ DE LA CUAL OBTUVIMOS EL DETERMINANTE Y FORMAMOS ECUACIONES QUE NOS PERMITEN ENCONTRAR Y Y ASI OBTENEMOS

1K 2K

PARA 5

4 2 0

4 2 0

SUSTITUIMOS LA PRIMERA FILA EN LA SEGUNDA Y OBTENEMOS

4 2 0

0 0 0

OBTENEMOS UN SISTEMA CON INFINITAS SOLUCIONES

1 24 2 0k k

HACEMOS

Y OBTENEMOS

2 2k

1 1k

LUEGO SUSTITUIMOS

1

2 2 0

4 4 0

SIMPLIFICANDO NOS QUEDA

1 1 0

0 0 0

DE NUEVO OBTENEMOS UN SISTEMA CON INFINITAS SOLUCIONES

1 2 0k k

HACEMOS

Y OBTENEMOS

2 1k

1 1k

COMO

1

2

.

.

.

t t

n

k

k

X e Ke

k

HACEMOS

1

1

2K

2

1

1K

ASI OBTENEMOS QUE

51

1

2tX e

2

1

1tX e

AHORA OBTENEMOS LA SOLUCION

51 2

1 1

2 1t tX c e c e

EJERCICIO 2

2

dxx y z

dtdy

ydtdz

y zdt

AGRUPAMOS

1 1 1

0 2 0

0 1 1

X X

HACEMOS EL DETERMINANTE

1 1 1

det( ) 0 2 0 0

0 1 1

A I

OBTENIENDO ASI

det( ) (1 )(2 )( 1 )A I

COMO YA ESTA FACTORIZADO ENCONTRAMOS

1

2

3

1

2

1

CON

OBTENEMOS

1

0 1 1

0 1 0 0

0 1 2

DE TAL FORMA QUECUALQUIER VALOR DEBIDO AQUE SU COEFICIENTE ES CEROPOR COMODIDAD TOMAREMOS “1”

1k

2

3 2

0

0

k

k k

CON

OBTENEMOS

2

1 1 1

0 0 0 0

0 1 3

NOS QUEDA EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

0 0 0 0

0 3 0

k k k

k k k

k k k

DEL CUAL OBTENEMOS

1 2 3

3 2

1

3

k k k

k k

1

2

3

2

3

1

k

k

k

AHORA CON

OBTENEMOS

1

2 1 1

0 3 0 0

0 1 0

OBTENEMOS EL SISTEMA DE ECUACIONES

1 2 3

2

2

2 0

3 0

0

k k k

k

k

LAS SOLUCIONES

PUEDE SER CUALQUIER VALOR POR COMODIDAD USAMOS 2

2

3

1

0

2

1

k

k

k

3k

AHORA NUESTRA SOLUCION

21 2 3

1 2 1

0 3 0

0 1 2

t t tX c e c e c e

EJERCICIO 3

3

9 3

dxX Y

dtdy

X Ydt

SE COPIAN LOS COEFICIENTES DE CADA VARIABLE Y DE ACUERDO A QUE VARIABLE SEA LA DEPENDIENTE DE LAS ECUACIONES SE LE RESTARA

3 10

9 3Det A I

Se realiza de manera normal la matriz para saber los valores de luego se despeja obteniéndolo de la siguiente manera

3 3 9 1 0Det A I

29 3 3 9 0

2 0

HACIENDO

SE OBTIENE

1 0

1 2

1 2

3 0

9 3 0

K K

K K

AL SER MÚLTIPLO DE TRES LA SEGUNDA ECUACIÓN SE DESPEJA PARA CUALQUIER VARIABLE DESCONOCIDA PARA SABER LAS DE LA SOLUCIÓN GENERAL

*SI TOMAMOS VALORES ENTEROS Y SENCILLOS PARA SABER NUESTRAS

1 23K K

1 21   3K K

ASI QUE UNA PARTE DE NUESTRA SOLUCIÓN GENERAL SERÁ

01 1X

1 1

3 3tC e C

AL SER DEL CASO DE “VALORES PROPIOS REPETIDOS” VALOR PROPIO DE MULTIPLICIDAD m A LA SOLUCIÓN

tX Ke

PARA QUE NO SE DE UN RESULTADO REPETIDO LA TRABAJAREMOS CON

OBTENIENDO

( )I P KA

1 2

1 2

3 1

9 3 3

K K

K K

VEMOS QUE LOS DE LA SIGUIENTE PARTE DE LA SOLUCIÓN GENERAL SERÁN LOS MISMOS ,POR LO QUE DEBEREMOS DE USAR EL TEOREMA 8.2 Y NUESTRA SOLUCIÓN QUEDARÍA DE LA SIGUIENTE MANERA

2 2

1 1

3 2X C t

Y LA SOLUCIÓN FINAL SERIA

1 2

1 1 1

3 3 2X C C t

EJERCICIO 4

6

5 2

dxX Y

dtdy

X Ydt

6 10

5 2Det a I

6 2 5 1 0

2 8 17 0

ESTE ES EL CASO DE VALORES PROPIOS COMPLEJOS ÓSEA QUE LAS SOLUCIONES DE CONTIENEN UNA PARTE REAL Y OTRA PARTE IMAGINARIA.

QUEDANDO ASÍ

1

2

4

4

i

i

SE SIGUE TRABAJANDO DE LA MISMA FORMA.

SI 1 4 i

1 2

1 2

6 4 0

5 [2 4 ] 0

i k k

k i k

SE OBTIENE

1 2

1 2

2 0       (1)

5 2 0       2

i k k

k i k

DE (1) SE DESPEJA PARA

DONDE 1 22      i k k

1 21          (2 )k y k i

Y NUESTRA PRIMERA PARTE DE LA SOLUCIÓN QUEDARÍA DE LA SIGUIENTE MANERA

AHORA SI 2 4 i

1 2

1 2

6 4 0      (3)

5 [2 4 0      (4)

i k k

k i k

SE OBTIENE

1 2

1 2

2   0

5 2 0

i k k

k i k

AL DESPEJAR PARA SE OBTIENE QUE

Y

1 22 i k k

1 1k 2 (2 )k i

LOS Y SON DE ESTA NUEVA ECUACIÓN NO CONFUNDIRLOS CON LA ANTERIOR.

1k 2k

NUESTRA SEGUNDA PARTE DE LA SOLUCIÓN GENERAL NOS QUEDARÍA DE LA SIGUIENTE FORMA

PERO YA QUE EN NUESTRA CLASE DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO QUEREMOS QUE LAS SOLUCIONES NOS QUEDEN EXPRESADAS COMO NÚMEROS IMAGINARIO UTILIZAMOS LA ECUACIÓN DE EULER POR LO QUE SE ACONSEJA EXPRESAR UNA SOLUCIÓN EN TÉRMINOS DE FUNCIONES REALES.

QUE QUEDA EXPRESADA DE LA SIGUIENTE MANERA

1 1 2

2 2 1

t

t

X B cos t B sen t e

X B cos t B sen t e

DONDE

1 1 1

1( )

2B K K

2 1 1( )2

iB K K

1

1 0 1 0

2 2 1

ik i

i

1

1

2B

2

0

1B

1

1

2K

i

1

1

2K

i

1 1 1

1 11 1( )

2 22 2B K K

i i

1

21

42B

1

1

2B

2

1 1

2 22

iB

i i

2

2

0

22

0

4

iB

i

B

LA SOLUCION TIENE LA FORMA

1 1 2 2X c X c X

LA CUAL OBTENEMOS A CONTINUACION

4 41 2

1 0 0 1cos( ) ( ) cos( ) ( )

2 1 1 2t tX c t sen t e c t sen t e

4 41 2

cos( ) 0 0 ( )

2cos( ) ( ) cos( ) 2 ( )t tt sen t

X c e c et sen t t sen t

Y FINALMENTE LA SOLUCION

4 41 1

cos( ) ( )

2cos( ) ( ) 2 ( ) cos( )t tt sen t

X c e c et sen t sen t t