Dinámica de la red Dinámica de la red FononesFonones

Fallas de la aproximación estática para elFallas de la aproximación estática para el cristal

Propiedades térmicas del equilibrio:Calor específico:

Las vibraciones de la red son la principal causa de absorción decalor y dan cuenta del calor específico observado tanto de metalescomo de aisladores.

Expansión térmica:Las vibraciones (anharmónicas) hacen que el volumen del sólidodependa de la temperatura.

Fusión:Un sólido se funde cuando el valor cuadrático medio de la posiciónde un átomo es una cierta fracción del espaciado interatómico(criterio de Linderman 1910)

Fallas de la aproximación estáticaFallas de la aproximación estática

Propiedades de transporte:Propiedades de transporte:La resistividad de los metales:

L d d i d l i ti id d l t t (T) d bLa dependencia de la resistividad con la temperatura ρ(T) se debeescencialmente a la interaccion de los electrones con lasvibraciones de la red (fonones)vibraciones de la red (fonones).

C d ti id d té i d i l dConductividad térmica de aisladores:Se debe al intercambio de fonones desde el extremo caliente al frio.

Transmisión del sonido

SuperconductividadSuperconductividad(Onnes 1911)

Fallas de la aproximación estática: Propiedades de transporteFallas de la aproximación estática: Propiedades de transporte

S d b l i t ió l t ó f ó (BCS 1957)Se debe a la interacción electrón-fonón (BCS 1957)

Interacción con la radiación:Reflectividad de los cristales iónicos:

Tiene un máximo en frecuencias del infrarrojo que no corresponde aenergías electrónicas sino a las fluctuaciones en el momento dipolarcreado por las vibraciones iónicas.

Fallas de la aproximación estática: Interacción con la radiaciónFallas de la aproximación estática: Interacción con la radiación

Dispersión inelástica de Luz:La luz laser dispersada por el sólido tienen un corrimiento enp pfrecuencia (Raman).

Dispersión de Rayos X:Dispersión de Rayos X:La intensidad de los picos es menor que la predicha por un modeloestático Además hay un fondo de radiación en direcciones que noestático. Además hay un fondo de radiación en direcciones que nosatisfasen la ley de Bragg.

Dispersión de inelástica de neutrones:Intercambian energía y momento con las vibraciones

La aproximación armónicaLa aproximación armónica

Desviación de la posición de equilibrio

Posición de un átomo cuya posición media es el vector de la RBmedia es el vector de la RB

Si las interacciones son debidas a un potencial (r).que actúa entre pares de átomos a distancia r La energía potencial del cristal se escribe como:átomos a distancia r. La energía potencial del cristal se escribe como:

La aproximación armónicaLa aproximación armónica

Si l (R) hi d di l d d d l i ió dSi los u(R) son chicos podemos expandir alrededor de la posición de equilibrio usando Taylor en varias variables:

Tomando y en U, tenemos:y

Energía potencial en posiciones de Energía potencial armónicaEnergía potencial en posiciones de

equilibrio(Fuerza ejercida sobre un átomo por l t ) 0

armónica

los otros)=0

La aproximación armónicaLa aproximación armónica

Fuerza en la dirección ν que ejerce el átomo R al moverse en la dirección µ sobre el átomo R’sobre el átomo R’.

La aproximación adiabáticaLa aproximación adiabática

Para un sólido general, el potencial no puede representarse como una suma de potenciales de a pares. p p

La fuerza entre átomos proviene de la deformación de la estructuraLa fuerza entre átomos proviene de la deformación de la estructura electrónica producida por el desplazamiento iónico.

Aproximación adiabática: La estructura electrónica se deforma instantáneamente siguiendo la deformación iónica (mión<< melectrón o g ( ión electrónvión ~105 cm/s<<velectrón =vF ~108 cm/s

se toma como punto de partida con

ajustado a los experimentos o tomados de cálculos de la estructura electrónica

Paso a paso:Paso a paso:

Empecemos por el ejemplo más simple de una cadena monoatómica con interacciones sólo a primeros vecinos

Potencial de interacción entre dos átomos separados xPotencial de interacción entre dos átomos separados x

Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica

Un análogo mecánico es:

KK

Con ecuaciones de movimiento:Con ecuaciones de movimiento:

Si la cadena es muy larga lo que pase en los bordes no afectará al interior, tomamos como condiciones de contorno las periodicas ya que notomamos como condiciones de contorno las periodicas ya que norompen la invariancia de traslación.

Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica

Proponemos soluciones de la forma con las condiciones iódiperiódicas entero

Reemplazando en las ecuaciones de movimiento:

Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica

Esto determina una relación entre ω y k (relación de dispersión):

Los movimientos de las partículas estarán dados por:

Ahora k no puede ser arbitrario (además de su discretización) porque dos soluciones con k1 y k2 que solo difieren en 2π/a representan en realidad la misma dinámica de las partículas.

Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica

Podemos restringir -π/a < k < π/a, primera zona de Brillouin.

N puntos = N modos normales

Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica

C d k hi l l ió d di ió h li lCuando k es chico la relación de dispersión se hace lineal

Corresponde a ondas en un medio continuo. No hay dispersiónla velocidad de grupo y de fase son iguales y dan la g p y g yvelocidad del sonido en el medio

v=

En k=π/a la velocidad de grupo se anula ondas estacionarias

vg

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛MKa

g

k

Cadena Cadena DiatómicaDiatómica

Cadena Cadena DiatómicaDiatómica

Cadena Cadena DiatómicaDiatómica

Cadena Cadena DiatómicaDiatómica

Cadena Cadena DiatómicaDiatómica

Cristal monoatómico tridimensionalCristal monoatómico tridimensional

Las simetrías de D son:

1-

2-2Los puntos de una red de Bravais están en centros de inversión.

3-

Un desplazamiento rígido de todos los átomos no cambia la energía totaltotal.

Cristal monoatómico tridimensionalCristal monoatómico tridimensional

L i d i i tLas ecuaciones de movimiento son:

Las condiciones periódicas:

dirección.cadaencristal delsdimensione , , 321

NNN321

aaa

celdas de total número

3 21

NNNN =321

321

k 1era zona de Brillouin

Cristal monoatómico tridimensionalCristal monoatómico tridimensional

Matriz Dinámica

D(k) es simétrica real y tiene 3 autovalores reales y tres autovectores ortonormales(para cada k)autovectores ortonormales(para cada k).

Tres ramas acústicas k<<π/a

Cristal monoatómico tridimensional: Ejemplo PbCristal monoatómico tridimensional: Ejemplo Pb

Cristal Cristal poliatómicopoliatómico tridimensionaltridimensional

Para un cristal con p átomos en el motivo habrá 3Np grados de libertad lo que lleva a 3 ramas acústicas y 3(p 1) ramas ópticaslibertad , lo que lleva a 3 ramas acústicas y 3(p-1) ramas ópticas

Ejemplo 2 átomos por celdaEjemplo 2 átomos por celda

KBr

Transformación a coordenadas normalesTransformación a coordenadas normales

V l di á i d l d té i d t f ió dVeamos la dinámica de la red en términos de una transformación de coordenadas que convierta el problema en osciladores desacopladosdesacoplados.

Para la cadena monoatómica:Para la cadena monoatómica:

lid dddi ió*1/ ikna AAAA ∑ realidaddecondicióncon /k

kk

iknaknkn

AAeAN

uAu ∑ ==→−

Teniendo en cuenta que:

22211 )'()'( NjN -jNa

keN

eN k

kanninakki ≤<=== ∑∑ −− nn'kk'

πδδ22NaNN kn

Transformación a coordenadas normalesTransformación a coordenadas normales

T l t f ió iTenemos la transformación inversa:

∑ −iknaA 1 ∑=n

iknankeu

NA

∑∑ ==−=−+

kkk

nnn

AAkMuuKU )(21....)(

222

1ω

−=kn

MUTL

∑=−

kkk

AAMT 2

=∂∂

=−kk

AMALP

∑ ⎬⎫

⎨⎧

+=

∂

−kk

k

AAkMPP

H

A

)(1 2ω∑⎭⎬

⎩⎨ +=

−k

kkAAkM

MH )(

2ω

Transformación a coordenadas normalesTransformación a coordenadas normales

C d i t d il d d l dCorresponde a un sistema de osciladores desacoplados con coordenadas Ak y momentos Pk coordenadas normales.

Las ecuaciones de movimientos son :

LLd ∂⎞⎛ ∂kk

kk

AkAAL

AL

dtd )(0 2ω−=→=

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−kk ⎠⎝

Análoga a la de un oscilador armónico xx 2ω−=

Transformación a coordenadas normalesTransformación a coordenadas normales

P l l d i t l t idi i l átPara el caso general de un cristal tridimensional con p átomos con celda, las coordenadas normales adquieren un índice de rama (o polarización)polarización)

λk

Aó tiacústicas

p3....,3,2,1=λ

Primera Zona

ópticasacústicas

{ }1 { }∑ += λλλ

λλ ω 2 )(21

kkkkk AAPPH { }∑ −−

λλ

,)(

2 kkkkk

Cuantificación Cuantificación FononesFonones

RRepaso…Para un oscilador armónico:

Paso a operadores de creación y destrucción

E t i li bi d i t t ió

Cuantificación Cuantificación FononesFonones

Esto implica un cambio de interpretación.

íestado de vacio, sin partículas.

estado con una partícula (sin estructura interna).

estado con n partículasLa energía del sistema en un estado con n partículas es ω .(número de partículas) , ya que y

R t ió i i l

Pictoricamente:2’fonones’2ndo exciitado

Nueva representaciónRepresentación original

Pictoricamente:

Sin ’fonones’

1’fonon’

Estado fundamental

1er exciitado

Cuantificación para el cristal armónicoCuantificación para el cristal armónico

El Hamiltoniano queda:

∑ += λλλω 21ˆˆ()(1 k ︶aaH t∑ +

λ

ω,

2()(2 k

kkk ︶ aaH

Ahora los fonones tienen estructura, momento y polarización, y p

Un estado se determina por el número de fonones para cada k y λ

{ }nkλ ={ }

ppp nnnnnnnnn 333 ,......,,,.......,,......,,,,......,, 212121

kkkkkkkkk

k

λλλλλλ

222111 NNN kkkkkkkkk

Cuantificación para el cristal armónicoCuantificación para el cristal armónico

La nueva interpretación para una cadena sería

Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico

La mecánica estadística clásica predice que el calor específico de los sólidosdebería ser constante e igual a (Ley de Dulong y Petit): g ( y g y )

)2/32/3(BB

kkNpc += )(BBv

pContribuciones de la energía cinéticay potencialNúmero de celdas y potencial

Partículas por celda

Sin embargo:

Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico

V t i d l tifi ió

La energía total del cristal pensado como gas de fonones es:

Veamos entonces que es consecuencia de la cuantificación.

a e e g a o a de c s a pe sado co o gas de o o es es

∑ += λλω )21()(1 k nE ∑ +

λ

ω,

)2()(2 k

kk nE

donde da el número de fonones con (casi)momento k y polarización λ. λk

nk

La energía media (o energía interna) a temperatura T es:

1

1,)21()(

21

)(=+== ∑ βω

λλλλω nn EU

kkkk

Bosede óndistribuci 122 )(

, −βωλ e kk

kk

Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico

O más formalmente:

∑ ∑ ∏∑∞ ∞

+−−− ===

)21()(ˆ }{ ....][ kk

k n EH eeeTrZ n ωββ

βλλλ

= =0 0 ,}{ 11

12k kk

kn nn λλ

)(kλ

)(

2)(

)(2/)( )(

n eZeek

k

kkλ

λ

λλ

β

ωβωβωβ

−∞−− =∴= ∏∑∏ )(

,

1

0, 1)(

n e k

kkλωβ

λλ −

= −∏∑∏

1 )(e kλωβ − −

La energía libre es:La energía libre es:

Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico

∑ ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ − ωβ

λ

2)(

llk

eTkZTkF

∑⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−==

−λ

ωβ λ

,)(1

lnlnk

k BB eTkZTkF

⎠⎝

y la energía interna:y la energía interna:

∑ ⎟⎞

⎜⎛ +

∂λ 11)(kB

TkF

U ∑ ⎟⎠

⎜⎝

+−

=∂

=λ

ωβλ

λωβ ,

)( 21)(

kk

k

B

eU

coincidente con lo anterior

Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico

Finalmente el calor específico por unidad de volumen es:

⎞⎛∂∂ 1111 U ∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−∂∂

=∂∂

=λ

ωβλ

λω,

)( 21

11)(11

kk

k v eT

VT

UV

c

Analicemos los límites de alta y baja T

Alta T: usando

Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico

NpkT 31 ⎟⎞

⎜⎛∂∑ λ

k

VNp

kT

TVc

v

3)(

)(1,

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

≈ ∑λ

λλ

ωω

k kk

Petity Dulong deLey

Baja T:

Cambié λ por s y pase de suma en k a integral en la primera zona

A baja T los modos con dan contribuciónA baja T los modos con dan contribución despreciable porque el integrando se anula exponencialmente

Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico

Sin embargo cuando , para las 3 ramas acústicas . Los modos de larga longitud de onda contribuyen por g g y pchica que sea T. A bajas T podemos eliminar las ramas ópticas, quedarnos con el comportamiento de bajo k de las acústicas y extender la integral a infinito.

Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico

Cambiando variables aCambiando variables a

Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónicoLey de Dulong y Petit

3Tα

Modelo de Modelo de DebyeDebye

Modelo de Modelo de DebyeDebye

Modelo de Modelo de DebyeDebye

Modelo de Modelo de DebyeDebye

Modelo de EinsteinModelo de Einstein

Modelo de EinsteinModelo de Einstein

Modelo de EinsteinModelo de Einstein