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FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
El flujo gradualmente variado (FGV) es aqul cuya profundidad vara a lo largo
de la longitud del canal, lo que implica las siguientes condiciones:
El flujo es permanente, es decir, que las caractersticas idr!ulicas delflujo permanecen constantes en el intervalo de tiempo considerado"
#as lneas de corriente son pr!cticamente paralelas, esto es, que la
distri$uci%n idrost!tica de la presi%n prevalece so$re la secci%n del
canal"
&dem!s de las condiciones mencionadas con anterioridad, el desarrollo te%rico
del FGV esta$lece las siguientes ip%tesis:
#a pendiente del fondo del canal es uniforme y peque'a, adem!s no
ocurre arrastre de aire al interior del flujo" #a curva de distri$uci%n de velocidades tiene la misma forma en
cualquier secci%n del canal, por lo tanto, el coeficiente de energa es
constante"
#a perdida de energa m!s importante es la de fricci%n"
e esta manera, es posi$le descri$ir el FGV en canales prism!ticos con una
varia$le dependiente, tal como la profundidad de la secci%n del flujo, o en su
defecto, la profundidad del flujo (tirante idr!ulico)* en funci%n de la longitud del
canal, es decir, considerando la coordenada espacial + como varia$le
independiente"
ara deducir la Ecuaci%n in!mica del Flujo Gradualmente Variado y o$tener
as la variaci%n de la profundidad del flujo, con respecto a la longitud en un
canal donde el agua circula a superficie li$re y en condiciones permanentes,
por lo general, se utiliza la ecuacin de la energa" -o o$stante, es !si"le!"tener esta #is#a e$resin a artir de las ecuaci!nes de %!ntinuidad &M!#entu# de 'aint Venant, las cuales s!n c!nsecuenciade la alicacinde l!s rincii!s de la %!nser(acin de la Masa & de la %!nser(acin de
la %antidad de M!(i#ient!$ajo ciertas ip%tesis simplificatorias"
Ecuaci!nes de 'aint Venant
#as ecuaciones de .aint/Venant en 0 son un conjunto de ecuaciones
diferenciales, que modelan los cam$ios de caudal y nivel de un lquido a
lo largo del espacio unidimensional y el tiempo de manera no
permanente en un canal a superficie li$re o a$ierto"
El flujo es unidimensional e incompresi$le, osea, con densidadconstante" El tirante idr!ulico y la velocidad del flujo varan s%lo en la
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direcci%n del eje longitudinal del canal" #a velocidad es uniforme y la
superficie li$re es ori1ontal a travs de cualquier secci%n perpendicular
al eje"
#as lneas de flujo no tienen curvatura pronunciada, esto significa que el
flujo vara gradualmente a lo largo del canal, de forma que las
aceleraciones verticales puedan considerarse desprecia$les" #o anterior
implica que la distri$uci%n de presiones sea idrost!tica"
El fondo del canal es fijo y de pendiente peque'a, de modo que la
profundidad del flujo y el tirante son apro+imadamente idnticos, de tal
suerte que los efectos de socavaci%n y deposici%n son desprecia$les"
#os coeficientes de resistencia para flujo uniforme permanente
tur$ulento son aplica$les de forma que relaciones como la ecuaci%n de
2anning pueden utili1arse para descri$ir los efectos de resistencia"
Vista de perfil longitudinal
La ecuacin de c!ntinuidad
#a ecuaci%n de continuidad en forma conservativa puede escri$irse en
trminos del caudal y del !rea de la siguiente manera:
3 de manera no conservativa en trminos de la velocidad media
longitudinal y la profundidad as:
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La ecuacin de #!#entu#
#a ecuaci%n de momentum en forma conservativa puede escri$irse en
trminos del caudal , !rea , profundidad , pendiente del canal , pendiente
de fricci%n y de la gravedad de la siguiente manera:
3 de manera no conservativa en trminos de la velocidad media
longitudinal as:
onde:
&(+,t) !rea idr!ulica (m4)
5(+,t) el gasto (m67s) que circula por &
V(+,t) la velocidad media (m7s) en la direcci%n del flujo
y(+,t) tirante idr!ulico (m)
.f(+,t) pendiente de fricci%n
.o pendiente del fondo del canal
g aceleraci%n de la gravedad (m7s4)
Ecuaci!n dina#ica del )lu*! gradual#ente (ariad!
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8onsideramos el perfil del flujo gradualmente variado en la longitudelemental d+ de un canal a$ierto, la altura total so$re el plano de referencia en
la aguas arri$a es:
g
VyzH
2cos
2
++=
Ecuaci%n 9 0
onde:
: es la altura total en ft"
1: es la distancia vertical del fondo del canal so$re el datum en ft"
y: es la profundidad de la secci%n del flujo en ft"
: es el !ngulo de la pendiente del fondo"
: es el coeficiente de energa"
V: es la velocidad media del flujo a travs de la secci%n en ft7seg"
.e supone que y son constante a lo largo del tramo del canal en
consideraci%n, y por ello la ecuaci%n 9 0 se puede escri$ir as:
EzH
g
VyzH
+=
++=2
2
Ecuaciones 9 4 y 6
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=ntroduciendo el diferencial d+
( )dx
dyF
dx
dE 21=
8on estos resultados la ecuaci%n 9 < se convierte en:
( )20
1 Fdx
dySSf +=
Ecuaci%n 9 >
2
0
1 F
SS
dx
dy f
=
Esta ecuaci%n se llama la ECUACIN DINAMICA DEL FLUJO
GRADUALMENTE VARIADO, y representa la variaci%n de la profundidad de
flujo con la distancia ? a l! larg! del )!nd! del canal+
TI,O' DE ,ERFILE'
INTRODU%%ION
#a curva que forma la superficie del agua en un flujo gradualmente
variado, que sirve como transici%n de un estado dado de flujo al flujo uniforme
o viceversa, se llama ,er)il de Flu*!+ #a forma que toman los perfiles de flujo
depender! de la pendiente del fondo .@ y de la pendiente de la rasante deenerga .f en el tramo del canal $ajo an!lisis, y puede ser $osquejada si se
conocen las profundidades crticas (yc), normal (yo) en el canal, y la 1ona en
que se encuentra la profundidad de flujo real (y) en el tramo estudiado"
En el flujo uniforme se cumple la f%rmula de 2anning (despejando .o):
3
4
0
2
0
22
3
4
0
2
0
2
0
RA
Qn
R
VnS ==
Ecuaci%n 9 A
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onde V@, B@ y &oson par!metros del flujo uniforme"
#a pendiente de la rasante de energa, o gradiente de energa (. f),
puede ser o$tenida de la f%rmula de 2anning, si se acepta su valide1 en el flujogradualmente variado:
3
4
2
22
3
4
22
RA
Qn
R
VnSf ==
Ecuaci%n 9 C
onde V, & y B son par!metros correspondientes a la profundidad real(y) en el tramo en estudio (todas son varia$les)"
8omo el 5 es constante, y tanto el !rea como el radio idr!ulico
aumentan con Dy, de la comparaci%n entre las f%rmulas A y C, resulta que:
arafSSyy 00
arafSSyy 00
#a pendiente del fondo del canal .@para canales cuyo leco desciende
en la direcci%n del flujo, es positiva y puede clasificarse como su$crtica (. @
.c), crtica (.@ .c) o supercrtica (.oH .c)" .i el canal es ori1ontal, entonces
la pendiente del fondo es nula (.@ @), si el leco del canal asciende en la
direcci%n del flujo, se trata de una pendiente adversa (.@ @)"
ara las pendientes positivas es posi$le determinar una profundidad
normal (y@) y una profundidad crtica (yc)* mientras que para las pendientes
ori1ontal y adversa, el valor de (y@) no e+iste" En el primer caso se an
determinado las siguientes relaciones, para flujo uniforme:
endiente .u$crtica .@ .c I@H Ic F@ 0
endiente 8rtica .@ .c I@ Ic F@ 0
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endiente
.upercrtica
.@H .c I@ Ic F@ H 0
#8: #nea de rofundidad 8rtica
#-: #nea de rofundidad -ormal
.@ > .c , I@
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Ta"la - ./ %lasi)icacin de l!s ,er)iles de Flu*!
endiente
del #eco
esignaci%n Belaci%n
I, In, Ic
dy7d+ ;ipo de
Flujo
Kona
0
Kona
4
Kona
6
Kona
0
Kona 4 Kona 6
ori1ontal
.@ @
/ I >In >Ic / -o ay
4 In >I >Ic Ic >I >@ .upercrtico
.uave
@Ic >@ .u$crtico
24 In >I >Ic Ic >I >@ .upercrtico
8rtica
.@.c>@
80 I>Ic In
>@ .u$crtico
84 Ic I In @ Jniforme
8rtico
86 Ic In >I >@ .upercrtico
Fuerte
.@>.c>@
.0 I >Ic >In >@ .u$crtico
.4 Ic >I >In In >I >@ .upercrtico
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&dversa
.@(In)L >Ic / -o ay
&4 (In)L >I >Ic Ic >I >@ .upercrtico
-ota: (In)L en realidad no e+iste
3$srvese que al di$ujar las lneas de profundidad crtica y profundidad
normal, como se i1o en la figura 9 0, el espacio encima del canal queda
dividido en tres 1onas:
Kona 0" El espacio encima de la lnea superior"
Kona 4" El espacio entre las dos lneas
Kona 6" El espacio de$ajo de la lnea inferior"
#8
yc .4
#-
I@
Figura 9 0
#uego, los perfiles de flujo pueden clasificarse en trece tipos diferentes deacuerdo con la naturale1a de la pendiente del canal y la 1ona en la cual seencuentra la superficie de flujo"
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Estos tipos se designan como 0, 6* 20, 24, 26* 80, 84, 86* .0, .4, .6* y&4, &6
onde la letra descri$e la pendiente: para ori1ontal, 2 para suave(su$crtica), 8 para crtica, . para empinada (supercrtica) y & para pendienteadversa, y el nMmero representa el nMmero de la 1ona"
e los trece perfiles de flujo, doce son para flujo gradualmente variado, y uno,84, es para flujo uniforme"
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%0L%ULO DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO/ M1TODODEL ,A'O DIRE%TO
Este es un mtodo sencillo, aplica$le a canales prism!ticos" ivide el canal en
tramos cortos y desarrolla los c!lculos para cada secci%n comen1ando por unaconocida (la secci%n de control por ejemplo)" .i el flujo es su$crtico losc!lculos se inician desde aguas a$ajo y se desarrollan acia aguas arri$a y sies supercrtico se parte de aguas arri$a continu!ndose acia aguas a$ajo"
;omando un tramo corto del canal, como lo ilustra la figura
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Figura 2+ Tra#! del canal ara la deduccin de l!s #3t!d!s de as!+
efinida la energa especfica (E) como
Beempla1ando (N) en (0@) y despejando :
#a pendiente de la lnea de energa en una secci%n puede calcularse segMn2anning,
y la pendiente de la lnea de energa en un tramo se o$tiene como
,r!cedi#ient! de c4lcul!
0" 8onocidos 5, $, y I en la secci%n de control, se calcula la velocidad v,
la ca$e1a de velocidad y la energa especfica
4" .e calcula la pendiente de la lnea de energa (.f) segMn la ecuaci%n(04)"
6" .e asume una profundidad segMn el perfil de flujo que se presenta* seo$tienen los valores de E y .fpara la secci%n con esta profundidad"
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