Por: Ricardo Santamaría

ll mlnmlnopL ,,

2

,,

21

La teoría de Schrodinger sobre átomos con un electrón es algo más que la predicción de los eigenvalore. A partir de estas eigenfunciones se pueden estudiar las siguientes propiedades atómicas:

Las funciones de densidad de probabilidad.Los impulsos angulares orbitales del aromo.El espín electrónico y otros efectos relativistas.La rapidez con el átomo pasa de de sus estados excitados a su

estado base.

El átomo con un electrón es el sistema ligado más simple que hay en la naturaleza.

A pesar que los eigenvalores del átomo con un electrón sólo dependen del numero cuántico n, las eigenfunciones dependen de los tres números cuánticos n, l, ya que resultan del producto de las tres funciones.

La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.

Mientras que el modelo de Bohr utilizaba un número cuántico (n) para definir una órbita el modelo de Schrödinger utiliza tres números cuánticos para describir un orbital: n, l y m

Algunas veces a n se le llama número cuántico principal, por papel que juega en la determinación de la energía total del átomo. Como el impulso angular orbital o azimutal, depende del número cuántico l, a l se llama con frecuencia numero cuántico azimutal. También que se verá si se coloca un átomo en un campo magnético externo, su energía dependerá de . Consecuentemente a se le llama en ocasiones, numero cuántico magnético.

Como las eigenfunciones describen el comportamiento del átomo, este tendrá estados con un comportamiento completamente diferente pero que, a pesar de todo, tienen la misma energía total. En física, el término que se usa para caracterizar este fenómeno es degeneración y las eigenfunciones correspondientes al mismo eigenvalor se dice que son degeneradas.

El impulso angular es una cantidad dinámica que establece las diferencias entre los sistemas tridimensionales reales, y las idealizaciones unidimensionales donde no tiene significado.

prL ..

kLjLiLL zyx

kyxjxzizypr ppppppxyzxyz

.

Para poder estudiar en mecánica cuántica, la cantidad dinámica impulso angular, se construyen los operadores asociados. Lo anterior se realiza sustituyendo p por sus equivalentes cuánticos: ,

ppL yzxzy

ppL zxyxz

ppL xyzyx

zi

yi

xi

,,

y

zz

yiLxop

z

xx

ziLyop

x

yy

xiLzop

CUANDO SE TRANSFORMAN A COORDENADAS POLARES ESFÉRICAS ESTOS OPERADORES TOMAN LAS FORMAS:

PARA HACERLO SE USARAN LAS RELACIONES DE TRANSFORMACIÓN SIGUIENTE:

coscotseniLxop

seniLxop.cotcos

iLxop

cos..senrx

sensenry ..

cos.rz

En coordenadas rectangulares, el operador para el cuadrado de la magnitud del impulso angular orbital es:

Elevando al cuadrado, se puede obtener la expresión para la magnitud del impulso angular orbital en coordenadas esféricas, de la siguiente manera.

+

+

LLLL zopyopxopop

2222

coscotseniLxop

seniLxop.cotcos

iLxop

Lop2

2

2 coscot

seni

2

2 .cotcos

seni

2

2

i

2

2

2

22

2

222

cotcot

Lop

2

22

2

222

1cotcot

Lop

2

2 1csc

sen

2

22

2

222

csccot

Lop

2

2

22

222 1

cot

senLop

2

2

22

222 1

cot

senLop

2

2

22

222 1

cos1

sensen

senLop

2

2

222 11

sensen

senLop

para demostrar que

donde

Es una eigenfunción tridimensional y

es el operador impulso angular orbital en 3 D.

ll mlnmlnopL ,,

2

,,

21.

2

2

222 11

sensen

senLop

2

2

22

222 1

cot

senLop

lllmmllnmln

rR ..,,

1..1

2

2

send

dsen

d

d

senml

1.cos1

2

2

2

2

sen

m

d

d

d

dsen

senl

1.cot

2

2

2

2

sen

m

d

d

d

d l

1.cot

2

2

2

2

sen

m

d

d

d

d l

1.cot.

2

2

2

2

sen

m

d

d

d

d l

1..1

2

2

send

dsen

d

d

senml

Una de las tres ecuaciones diferenciales que se obtuvo de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, mediante la separación de variables, es aquella que está sólo en función de Φ(φ), la cual es:

22

2

lmdd

e l

l

im

m

2222

2

l

im

l

im

l

mmidd

imdd

e

e

l

l

usando el operador diferencial en 3D y la eigenfuncion de esta manera:

2

2

22

222 1

cot

senLop

lllmmllnmln

rR ..,,

ll mlnmlnopL ,,

2

,,

21.

lll

mmllnmlnoprR

senL

,,2

2

22

22

,,

2.

1cot

ll

lllll

mmlln

mmllnmmllnmlnop

rRsen

rRrRL

.,2

2

22

,,2

,,2

22

,,

2

1

cot

Por conveniencia usaremos de ahora en adelante la notación

que para nada es diferente a los usados anteriormente. Además,

usando la ecuación en el tercer

término de esta ecuación y, considerando que la función son independientes entre ellas, la derivada parcial es equivalente a la derivada común, y tenemos:

En el primero y segundo término dentro del paréntesis, lo multiplico y divido así para poder obtener en el numerador la función original dada

rRlmln ,,

2

222

22

,,

2cot

senrR

rRrRlmlnopL

22

2

lmdd

rRlmln ,,

Como lo que está entre paréntesis a la derecha es nada más y nada menos que la ecuación diferencial polar de Schrodinger independiente del tiempo, que está sólo en función de Θ (θ), lo sustituimos inmediatamente por su valor correspondiente, y nos queda lo siguiente:

2

22

22

,,

2cot lmlnop

msenrR

dd

rRdd

rRlL

22

,,,,

2

2,,2

,,

2cot l

mlnmlnlmln

mlnopm

sendd

dd

ll

lL

2

22

2

..2

,,

2 1cot

11lmlnmlnopm

sendd

dd

llL

2

2

2

2

..2

,,

2cot.

1senm

dd

dd l

mlnmlnop llL

Simplificando esto obtenemos la solución indicada, que es la

siguiente:

ordenando tenemos

1.cot 2

2

2

2

sen

m

dd

dd l

1.1

..2

,,

2 llmlnmlnopL

1..2

,,

2 llmlnmlnopL

ll mlnmlnopL ,,

2

,,

21.

“Aquellos que no quedan impactados cuando por primera vez se encuentra con la mecánica cuántica no pueden

haberla entendido”.

Niels Henrik David Bohr (1885-1962) Físico danés