ALGEBRA SUPERIOR

FUNCIONES

TIPOS DE FUNCIONES Constantes Polinómicas Lineales

Cuadráticas Algebraicas Racionales

Radicales Funciones A Partes

Exponenciales Trascendentes Logarítmicas

Trigonométricas

Funciones Algebraicas

Las funciones algebraicas son aquellas que se obtienen al realizar un numero finito de adiciones, sustracciones ,multiplicaciones divisiones y radicaciones con las funciones constante e identidad.

FUNCIONES POLINOMICAS

Estas funciones vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones Lineales (primer grado)

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

FUNCIONES RACIONALES

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Dom: - {-4}

FUNCIONES RADICALESEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.El dominio de una función irracional de índice impar es R.

Dom:

Dom: - {2,3}El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dom: (-,2]U[3, )

Dom: (-,-4)U(-4,2]U[3, )

FUNCIONES DEFINIDAS A PARTESSon funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.Funciones en valor absoluto.Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante.Función parte entera de x.Es una función que a cada número

real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

Función signo.f(x) = sgn(x)

A continuación clasificamos las funciones según el tipo de

aplicación

FUNCION BIYECTIVA

Sea f una función de A en B, f se dice biyectiva si cumple con las siguientes propiedades:

A.- Si f es inyectiva B.-Si f es sobreyectiva

FUNCIÓN INYECTIVA: Sea f una función de A en B se dice inyectiva o uno a uno, si para todo par de elementos:

x₁,x₂ € A; f(x₁) ₌f (x₂), implica que X₁₌X₂

A B

00

000

0

0

0

o

0

0

00

o

000

000

0 0

Tambien podemos decir que una función es inyectiva , si a elementos diferentes de A corresponden imágenes diferentes de B. Es decir : V X₁, X₂ € A; X₁≠X₂ → f (X₁) ≠ f (X₂)

A B A B

INYECTIVA NO ES INYECTIVA

Gráficamente se puede distinguir cuando una función es inyectiva, si se trazan paralelas al eje de las X, estas deben cortar la gráfica en un solo punto.

N0 INYECTIVA

Esta función no es inyectiva porque al trazar paralelas al eje X se cortan en 2 puntos

FUNCION SOBREYECTIVAUna función es sobreyectiva o sobre si, “todo elemento del conjunto B es la imagen de al menos un X del conjunto A, tal que f(x) = Y” A B A

B23

1 4

5

6

Y

ZX

12345

SOBREYECTIVA NO SOBREYECTIVA

Otra manera de indicar una funcion sobreyectiva es: f: A B cuando Rec(f)=(A). (Recorrido de f es igual al conjunto de llegada). A f B A

g Baeiu

135

246

abc

Rec.(f)= BF es

sobreyectiva

G no es sobreyectiv

a

A h B A f B

2

6810

a

bc

155

7

a

b

c

H es sobreyectiva I no es sobreyectiva ya que b y c € B no son imágenes de

A

Gráficamente se puede distinguir si una función es sobreyectiva, al trazar paralelas al eje X; estas deben cortar la grafica al menos en un punto

o ox

y y

x

SOBREYECTIVANO SOBREYECTIVA

Gráficamente una función es biyectiva, cuando cualquier paralela el eje de las X esta corta la gráfica en un punto.En los siguientes diagramas ilustramos distinguiremos a las funciones biyectivas A f B A

u Babc

79

11

abc

7911

Biyectiva No Biyectiva

FUNCION INVERSASe llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.El recorrido de f−1 es el dominio de f.Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.f o f -1 = f -1 o f = x

Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, 1/f(x).

Teorema.- si F es una función biyectiva de A en B y g la función de B en A definida por: g={(y , x)/y=f(x),XEA} entonces g define una función inversa de f. Se nota f-1 , es decir que g= f-1

Observación.-La notación f-1 ≠1/f una función cuyo conjunto de salida es el conjunto de llegada de la directa (f) f:A B f-1 :B ASi la correspondencia inversa a la dada también es función entonces se cumple que:

f-1 [f(x)]=f [f-1 (x)]=X

CÁLCULO DE f-1(x)

Sabemos que f-1= { (x, y) / x=f(y) } = { (f(y), y) / si y es del dominio de f = { (x, y) / y=f-1(x), si x es del rango de f }. Pero si queremos hallar la expresión de f-1(x), es decir, cuánto vale y en función del valor de x si el par (x, y) pertenece a f-1¿qué haremos? Bien sencillo decirlo: debemos despejar y en la ecuación x=f(y).

Naturalmente, si x=f(y)es una ecuación, pues si la función viene dada por una lista de pares no será necesario ningún cálculo y si la función viene dada por una expresión más o menos compleja, tendremos que estudiarla y ver si estamos en condiciones de calcular la expresión de la función inversa. Los ejemplos que realicemos serán "sencillos" y estarán basados en los ejemplos ya representados.

Despejar, éste es nuestro problema. Si no tenemos dificultades para despejar "letras" en expresiones algebraicas, no tendremos dificultades en el cálculo de la expresión de f-1(x)a partir de la expresión de f(x).

Calcular la función inversa de:Vamos a comprobar el resultado para x = 2

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

  

24

x

y

m =0

c

Es la función definida por f (x)=c, donde c es un numero real cualquiera. El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto {c}. Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje en el punto (0;c).

FUNCIÓN CONSTANTE

Observe el comportamiento de las siguientes curvas:

Una función f es creciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces f (x1) < f (x2)

x

y=f (x)y

FUNCIÓN CRECIENTE

Una función g es decreciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces g (x1) > g (x2)

x

y=g (x)

y

y

FUNCIÓN DECRECIENTE

f(x2)

f(x1)

X1 X2

CRECIENTEX1 y X2

X1 < X2

f(x1) < f(x2)X

y

DECRECIENTEX1 y X2

X1 < X2

f(x1) > f(x2)

- - - - - - - - -f(x1)

f(x2) - - - - - - - - -

X1 X2

y

X

Función par

Una función f se dice par si ∀ x∈ D(f ) se verifica: f(x) = f(–x) (o sea, si para cualquier x del dominio de la función, es decir, para todos los valores de x para los que existe imagen, la imagen de x y la de su opuesto –x coinciden).Si nos fijamos en el gráfico, esto significa que la gráfica de la función pasa por los puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), que son simétricos respecto del eje OY. Y como esto sucede para todos los x del dominio de f, la gráfica de una función par resulta ser simétrica respecto OY.

Función impar

Una función f se dice impar si ∀x∈D(f ) se verifica: –f(x) = f(–x).Analizando el gráfico descubrimos que la gráfica de la función pasa por los puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), que son simétricos respecto del punto O. Y como esto sucede para todos los x del dominio de f, la gráfica de una función par resulta ser simétrica respecto del origen de coordenadas.

-f(x)=-[3(1)3-2(1)]=[3-2]=-1

FUNCIÓN SIGNOLa función signo es una Función matemática especial, una Función definida en partes, que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x), y no debe confundirse con la función seno (sen(x) o bien sin(x)).

La función signo puede definirse de las siguientes maneras:Donde su dominio es R y su conjunto imagen {-1;0;1}.

sgn)(x)=

FUNCIÓN INDICATRIZSea A un subconjunto no vacio de R, la función f de R en R definida por:

Se denomina función caracteristica de A.

Ejemplo:

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

FUNCIONES CON VALOR ABSOLUTO

Caracteristicas:Su gráfica divide al primero y al segundo cuadrante.

Asocia a cada número su valor absoluto, es decir, que independiente del signo del numero la funcion siempre toma valores no negtivos.

EJEMPLO:

Construccion de Graficas De Las Funciones Que

Contienen Valor Absoluto.

Existen 3 casos:1.) y = f(ІxІ)2.) y = Іf(x)І3.) ІyІ = f(x)

Primer Caso.- para construir la grafica de y = fІxІ es suficiente analizar la funcion y = f(x), las partes de la curva que se encuentran a la derecha del eje vertical, es decir para x ≥ 0 permenecen inalterables, mientras que, para x ‹ 0 se trasladan al lado contrario en forma simétrica con relación al eje vertical, por cuanto

GRÁFICA

Segundo Caso.- para construir la gráfica de y=│f(x)│, es suficiente analizar y=f (x) sin ninguna restricción. Las partes de la curva donde y ≥0 permanece inalterables; pero las partes de la grafica donde y<0 se invierten simetricamente respecto al eje de las x. Es decir toda la grafica se encuentra sobre el eje de las X.

GRÁFICA

Tercer Caso.-para construir la gráfica de │y│= f(x) es suficiente analizar y=f (x). Las partes de la curva en la que f(x) ≥ 0 se invierten simetricamente respecto al eje de las x, pero las partes de l grafica donde f(x) < 0 se eliminan. Se observa que │y│= f(x) tiene doble signo es decir y=±f(x) es una relación.

GRÁFICO

FUNCIÓN PARTE ENTERA DE [X]

Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x], que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual

que él. El hacer corresponder a cada número el entero inmediatamente inferior,

origina una gráfica escalonada. 

La función parte entera, notada E o con corchetes, se define sobre el conjunto de los números reales así: donde [x] es el mayor número

entero inferior o igual a x, tal que: r ≤ x < r + 1

EJEMPLOSf(x) = E (x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 1

f(x) = x - E (x)

EJEMPLOS

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

f(x)= [x] el dominio va hacer todos los reales.

f(x)= [x]= 0

o ≤ x < 1 Para comprobar los ejemplos se aplica la

siguiente fórmula r ≤ x < r + 1

Entonces la función f definida en r por f(x)=[x] se llama función parte entera.

Esta función es creciente y no es biyectiva.