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Funciones exponenciales Funciones exponenciales
y logaritmicasy logaritmicas
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1
Temas
• 4-1: Funciones Exponenciales
• 4-2: Funciones logarítmicas
• 4-3: Leyes de los logarítmos
• 4-4: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
• Examen
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Funciones Exponenciales Funciones Exponenciales 4-14-1
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Esquema del capítulo
• Se estudia una nueva forma de funciones llamadas funciones exponenciales.
• Las funciones exponenciales son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos.
4© copywriter
Ejemplos:
5© copywriter
xxf 2)(
Es una función exponencial con base 2.
82)3( 3 f
Veamos con la rapidez que crece:
10242)10( 10 f
824,741,073,12)30( 30 f
Si se compara con:
90030)30(,)( 22 gdondexxg
Funciones Exponenciales
La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:
6© copywriter
xaxf )(
donde 0;0 aa
Ejemplos de funciones exponenciales:
xxf 2)( xxh 3)(
xxq 10)(
Base 2 Base 3 Base 10
Ejemplo 1:Ejemplo 1:Evaluación de funciones exponencialesEvaluación de funciones exponenciales
7© copywriter
Sea y evalúe lo siguiente: xxf 3
2) fa
3
2) fb
2) fc
932
4807.03 32
7288.43 2
Ejemplo 2:Ejemplo 2:Graficación de funciones exponenciales y logaritmicas Graficación de funciones exponenciales y logaritmicas mediante el trazo de puntosmediante el trazo de puntos
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Dibuje la gráfica de cada función.
xxfa 3)() x
xgb
3
1)()
Solución: Traza la gráfica de cada una:
x
xg
3
1)(
xxa 3)(
(0, 1)
Puntos a observarPuntos a observar
9© copywriter
)(33
1
3
1)( xfxg x
x
x
Aplicaciones de exponentes con radicales:
Si se aplica la definición de Exponentes con Radicales obtenemos:
n
n
xx
1No exponentes negativos
Funciones Funciones exponenciales de las gráficasexponenciales de las gráficas
10
La función exponencial
xaxf )( )1,0( aa
tiene dominio y rango . La recta y = 0 (el eje x)
es una asíntota horizontal de . La gráfica de tiene diferentes funciones;
),0(
f f
paraaxf x ,)( 1aparaaxf x ,)( 10 a
(0, 1)
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Ejemplo estructural Ejemplo estructural
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El arco Gateway en San Luis, Missouri Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola como pareceria. Es una función de la forma:
)( bxbx eeay Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir las fuerzas estructurales internas del arco.
De ser necesario ver ejemplos 3 y 4; libro de texto.
Función Exponencial NaturalFunción Exponencial Natural
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La función exponencial natural función exponencial natural es la función exponencial
xexf )(
con base ee. Es común referirse a ella como la función exponencial.
xexf )(
Ejemplo:Ejemplo:Evaluar la función exponencialEvaluar la función exponencial
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Evalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales.
Solución:
8.4
53.0
3
)
2)
)
ec
eb
ea
51042.121
17721.1
08554.20
Ejemplo:Ejemplo:Modelo exponencial para la diseminación de un virusModelo exponencial para la diseminación de un virus
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Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:
tetv
97.012455
10000)(
Contesta:b)Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día y depués de cinco días.
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
Solución:Solución:Ejemplo anteriorEjemplo anterior
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a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).
81250
10000
12455
10000)(
0
etv
8 personas tienen inicialmente la enfermedad.
a) Calcule el número de personas infectadas después de un día y cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)
Días Personas infectadas
1 21
2 54
5 678
Solución:Solución:Ejemplo anterior (cont)Ejemplo anterior (cont)
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c) Grafique la función y describa el comportamiento.
El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.
0 12
3000
Interes compuestosInteres compuestos
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El interés compuesto se calcula mediante la fórmula
nt
n
rPtA
1)(
donde: A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años
EjemploEjemploCálculo del interés compuestoCálculo del interés compuesto
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Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario.
Solución:Datos
P = 1000
r = 12% = 0.12
t = 3
EjemploEjemploCálculo del interés compuestoCálculo del interés compuesto
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Capitalización n Cantidad después de tres años
Anual 1
Semianual 2
Trimestral 4
Mensual 12
Diaria 365
93.14041
12.011000
)3(1
52.14182
12.011000
)3(2
76.14254
12.011000
)3(4
77.143012
12.011000
)3(12
24.1433365
12.011000
)3(365
Interés Interés compuesto en forma continuacompuesto en forma continua
• El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula
donde A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
t = número de años
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rtPetA )(
EjemploEjemploCalcular el interés compuesto de manera continuaCalcular el interés compuesto de manera continua
• Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua.
• Solución:
Datos: P = 1000r = 0.12t = 3
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Sección 4.1Sección 4.11 – 4, 5 – 10, 11 – 14, 25 – 38, 1 – 4, 5 – 10, 11 – 14, 25 – 38, 64 – 67 64 – 67
33.143310001000)3( 36.03)12.0( eeA
PetA )( rt
Se puede comparar con el ejemplo anterior.Se puede comparar con el ejemplo anterior.
Funciones Logarítmicas Funciones Logarítmicas 4-24-2
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Definición Definición de la función logarítmicade la función logarítmica
• Sea a un número positivo con . La función logarítmica con base a, denotada por
, se define
Así, es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.
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1a
alog
xayx ya log
xalog
ComparaciónComparación
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Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica
xa y
Exponencial: Logarítmica:
yxa log
Base
Exponente
Base
Exponente
En ambas formas la base es la misma.En ambas formas la base es la misma.
EjemploFormas logarítmicas y exponenciales
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Forma LogarítmicaForma Logarítmica Forma ExponencialForma Exponencial
5100000log10
38log2
32
1log2
rs 5log
100000105
823
8132
sr 5
Evaluación de logarítmosEvaluación de logarítmos
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31000log10
532log2
11.0log10
2
14log16
1000103
3225
1.010
110 1
416 21
Propiedad de los logarítmosPropiedad de los logarítmos
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Propiedad Razón
Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.
Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.
Se debe elevar a a la potencia x para obtener .
es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x.
xa
xalog
01log a
1log aa
xa xa log
xa xa log
EjemploEjemploAplicación de las propiedades logarítmicasAplicación de las propiedades logarítmicas
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125
85log
15log
01log
12log
85
5
5
5
Propiedad 1
Propiedad 2
Propiedad 3
Propiedad 4
EjemploEjemploGraficación de funciones logarítmicasGraficación de funciones logarítmicas
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xxf 2log)(
Traza la gráfica de
Solución:
xxf 2log)(
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
x2log32
2212
120 12
22
32
Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para xcomo potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos.
Familia de Funciones Familia de Funciones LogarítmicasLogarítmicas
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xy 2log
xy 3log
xy 10logxy 5log
EjemploEjemploReflexión de gráficas de funciones logarítmicasReflexión de gráficas de funciones logarítmicas
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Bosqueje la gráfica de cada función.
xxga 2log)() Solución: Se comienza con la gráfica de y se
refleja en el eje de x para obtener la gráfica .
xxf 2log)(
xxg 2log)(
xxf 2log)(
xxg 2log)( xLa -y2 :es grafica
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EjemploEjemploReflexión de gráficas de funciones logarítmicasReflexión de gráficas de funciones logarítmicas
Bosqueje la gráfica de cada función.
)(log)() 2 xxgb Solución: Se comienza con la gráfica de y se
refleja en el eje de x para obtener la gráfica .
xxf 2log)(
)(log)( 2 xxg
xxf 2log)( xxxgy
2
1)(log)( 2
EjemploEjemploDesplazamiento de gráficas de funciones logarítmicasDesplazamiento de gráficas de funciones logarítmicas
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Encuentre el dominio de cada función y bosqueje su gráfica.
xxga 5log2)() 3log)() 10 xxhb
La gráfica de g se obtiene de la gráfica de . El dominio
de f es .
xy 5log
,0
xxf 5log)(
xxg 5log2)(
xxga 5log2)()
EjemploEjemploDesplazamiento de gráficas de funciones logarítmicasDesplazamiento de gráficas de funciones logarítmicas
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xxf 10log)(
x
xxhy
310
)3(log)( 10
3log)() 10 xxhb
La gráfica de h se obtiene de la gráfica .xy 10log
Asíntota x = 3
Logarítmos ComunesLogarítmos ComunesVeamos logarítmos con base 10Veamos logarítmos con base 10
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Definición:
Logarítmo comúnLogarítmo común
El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base:
xx 10loglog
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De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:
log 10 = 1
log 100 = 2
Cómo se calcula log 50?
No tenemos un número tal que , 1 es pequño y 2 es demasiado grande.
5010 y
250log1 5
Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da los valores de manera directa de los logaritmos comunes.
EjemploEvaluación de logarítmos comunes
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Use una calculadora para hallar los valores apropiados de Use una calculadora para hallar los valores apropiados de f(x) = log xf(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica., use los valores para bosquejar una gráfica.
x Log x
0.01
0.1
0.5
1
4
5
10
-2
-1
-0.30
0
0.602
0.699
1
4
3
2
1
01 2 3 4 5 5 6
xxf log)(
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Logarítmo natural
El logarítmo con base e se llama logarítmo natural y se denota por ln:
xx elogln
La función logarítmo natural y = ln x es la función inversa de la
función exponencial, :xey xeyx y ln
4
3
2
1
01 2 3 4 5 5 6
xy ln
6 5 4 3 2 1
xey
xy
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Propiedades de los logarítmos naturales
Propiedad Razón
xe
xe
e
x
x
ln
ln
1ln
01ln Se tiene que elevar e a la potencia 0 para obtener 1.
Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e.
ln x es la potencia a la cual e debe ser elevada para obtener x.
Se tiene que elevar e a la potencia x para obtener .
xe
EjemploElevar la función logaritmo natural
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5ln)
1ln)
ln)
2
8
c
eb
ea
8
2ln 2 e
609.1
Definición de logarítmo natural
Definición de logarítmo natural
Uso de la calculadora
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Funciones Logarítmicas Funciones Logarítmicas 4-34-3
Leyes de los logarítmosLeyes de los logarítmos
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En esta sección se estudian las propiedades de En esta sección se estudian las propiedades de los logarítmos. Estas propiedades dan a las los logarítmos. Estas propiedades dan a las funciones logarítmos una amplia variedad de funciones logarítmos una amplia variedad de aplicaciones.aplicaciones.
Ya que los logarítmos son exponentes, las leyes Ya que los logarítmos son exponentes, las leyes de los exponentes dan lugar a las leyes de los de los exponentes dan lugar a las leyes de los logarítmos.logarítmos.
Leyes de los logarítmosLeyes de los logarítmos
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Leyes de los logarítmos
Sea a un número positivo, con . Sea A, B y C números Sea a un número positivo, con . Sea A, B y C números reales cualesquiera con . reales cualesquiera con .
Ley DescripciónLey Descripción
1a00 yBA
ACA
BAB
A
BAAB
ac
a
aaa
aaa
loglog)3
logloglog)2
loglog)(log)1
El logarítmos de un producto de números es la suma de los logarítmos de los números.
El logarítmo de un cociente de números es la diferencia de los logarítmos de los números.
El logarítmo de una potencia de un número es el exponente multiplicado por el logarítmo de número.
EjemploEjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
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Evalúe cada expresión:
8log3
1)
5log80log)
32log2log)
22
44
c
b
a
EjemploEjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
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364log
)32.2(log
4
4
32log2log) 44 a
BAAB aaa loglog)(log)1
Propiedad utilizada:
EjemploEjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
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5log80log) 22 b
416log5
80log
2
2
BAB
Aaaa logloglog)2
Propiedad utilizada:
EjemploEjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
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8log3
1) c
301.0
)2log()1log(2
1log
2
1
2
1
8
1
8
1log
8log
3 3331
31
ACA ac
a loglog)3
Propiedad utilizada:
EjemploEjemploExpandir expresiones logarítmicasExpandir expresiones logarítmicas
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Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada expresión.
3
635
2
ln)
log)
)6(log)
c
abc
yxb
xa
cba
cba
cab
yx
yx
x
ln3
1lnln
lnlnln
ln)ln(
log6log3
loglog
log6log
31
3
55
35
35
22
Ley 1
Ley 1
Ley 3
Ley 2
Ley 1
Ley 3
EjemploEjemploCombinar expresiones logarítmicasCombinar expresiones logarítmicas
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)1log(2
1log3) xxa
Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:
213
213
)1(log(
)1log(log
xx
xx
)1ln(4ln2
1ln3) 2 ttsb
42
3
42213
42213
1ln
)1ln()ln(
)1ln(lnln
t
ts
tts
tts
Cambio de baseCambio de base
• Sea:
• Entonces se forma de manera exponencial:
• Se toma el logarítmo base a en cada lado:
• Ley 3 de logarítmo:
• Se divide entre ambos logarítmos:
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xy blog
xb y
xb ay
a loglog xby aa loglog
b
xy
a
a
log
log
Fórmula de cambio de baseFórmula de cambio de base
© copywriter 51
b
xy
a
a
log
log
Por consiguiente, si x = a, entonces y esta fórmula se convierte en:
1log aa
ba
ab log
1log
Fórmula de cambio de baseFórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de base
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20log)
5log)
9
8
b
aSe usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:
77398.08log
5log5log
10
108
Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:
36342.19ln
20ln20log9
Nota: Se tiene la misma respuesta si se usa ó ln.
10log
Fórmula de cambio de baseFórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de base
© copywriter 53
Uso de la calculadora gráfica para gráficar:
6ln
lnlog)( 6
xxxf
xxf 6log)(
xxf 6log)(
Ecuaciones Exponenciales y Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Logarítmicas
4-44-4
© copywriter 54
Ecuaciones Ecuaciones exponenciales y logarítmicasexponenciales y logarítmicas• Una ecuación exponencial es aquella en la que
la variable ocurre en el exponente.
• Por ejemplo:
• La variable x representa una dificultad por que esta en el exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.
Veamos:
© copywriter 55
72 x
Ecuaciones Ecuaciones exponenciales y logarítmicasexponenciales y logarítmicas
© copywriter 56
7ln2ln
7ln2ln
x
x
807.22ln
7lnx
72 x
Recuerde la regla 3
Normas para resolver ecuaciones exponencialesNormas para resolver ecuaciones exponenciales
1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la
ecuación.
2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes
de los logarítmos para “bajar el exponente”.
3) Despeje la variable.
57© copywriter
EjemploResolver una ecuación exponencial
© copywriter 58
Encuentre la solución de:
Solución:
73 2 x
7log)3log( 2 x
73 2 x
7log3log)2( x
3log
7log)2( x
228756.023log
7logx
Si verificas en tu calculadora:
73 2)228756.0(
EjemploEjemploResolución de una ecuación exponencialResolución de una ecuación exponencial
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Resuelva la ecuación:
Solución:
208 2 xe
208 2 xe
8
202 xe
5.2lnln 2 xe5.2ln2 x
458.02
5.2lnx
Ojo:El, ln e = 1
Si verificas en tu calculadora:
208)458.0(2 e
© copywriter 60
EjemploEjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz la gráficala gráfica
Resuelva la ecuación: AlgebraicamenteAlgebraicamente
Solución (1):
423 xe
423 xe
4lnln 23 xe
4lnln23 ex
14ln23 x
4ln32 x
807.0)4ln3(2
1x
© copywriter 61
EjemploEjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz la gráficala gráfica
Resuelva la ecuación:
Solución (2): Se gráfican las ecuaciones, y
423 xe
xey 23 4y
4
3
2
1
01 2 3 4 5 5 6
4y
xey 23
© copywriter 62
EjemploEjemploUna ecuación exponencial de tipo cuadráticoUna ecuación exponencial de tipo cuadrático
Resuelva la ecuación:
Solución:
062 xx ee
062 xx ee
06)( 2 xx ee
0)2)(3( xx ee
03 xe o 02 xe3xe 2xe
© copywriter 63
EjemploEjemploResolver una ecuación exponencialResolver una ecuación exponencial
Resuelva la ecuación:
Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
03 2 xx exxe
0)3( xxex03 2 xx exxe
0)3( xx
Se divide entre xe
0x 03 x3x
Las soluciones son:
© copywriter 64
Ecuaciones LogarítmicasEcuaciones LogarítmicasUna ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de la variable.
5)2(log2 x
3023222 5 x
Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial.
Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada la de ecuación.
5)2(log 22 2 x
522 x30232 x
Los pasos se resumen a continuación.
© copywriter 65
Normas para resolver ecuaciones logarítmicas
2)Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación; podría ser necesario combinar primero los términos logarítmicos.3)Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base a cada lado de la ecuación).4)Despeje la variable.
© copywriter 66
EjemploEjemploResolver ecuaciones logarítmicasResolver ecuaciones logarítmicas
De cada ecuación despeje x.
3)25(log)
8ln)
2
xb
xa8ln x
8ex 2981x
32725 825 x
17825 x
© copywriter 67
EjemploEjemploResolver una ecuacion logarítmicaResolver una ecuacion logarítmica
Resuelva la ecuación: 16)2log(34 x
SoluciónSolución: Se aísla primero el término logarítmico. Esto permite : Se aísla primero el término logarítmico. Esto permite escribir la ecuación en forma exponencial.escribir la ecuación en forma exponencial.
16)2log(34 x416)2log(3 x
12)2log(3 x4)2log( x
4102 x100002 x5000x
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EjemploEjemploResolver una ecuación logarítmica de manera Resolver una ecuación logarítmica de manera algebraica y gráficaalgebraica y gráfica
Resuelva la ecuación (1): 1)1log()2log( xx
1)1)(2(log xx
10)1)(2( xx
1022 xx
0122 xx
0)3)(4( xx
3,4 xx
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EjemploEjemploResolver una ecuación logarítmica de manera Resolver una ecuación logarítmica de manera algebraica y gráficaalgebraica y gráfica
Resuelva la gráfica (2): 01)1log()2log( xx
1)1log()2log( xxy
4
3
2
1
01 2 3 4 5 5 6
© copywriter 70
EjemploEjemploResolver una ecuación de manera gráficaResolver una ecuación de manera gráfica
Resuelva la ecuación: )2ln(22 xx
SoluciónSolución: Primero se mueven todos los términos a un lado de la : Primero se mueven todos los términos a un lado de la ecuación.ecuación.
0)2ln(22 xxLuego se hace la gráfica:Luego se hace la gráfica: )2ln(22 xxy
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6 4 3 2 1