Funciones hiperbólicasY su uso en el análisis de correlación

Definición

xx

xx

xx

xx

ee

ee

x

xx

eex

eex

cosh

sinhtanh

2cosh

2sinh

Inversa de la tangente hiperbólica

11

1

1log2

1arctanh

x

para

x

xx

Utilidad en este curso

•En el análisis de correlación, las funciones tangente hiperbólica y arcotangente hiperbólica se usan para hacer inferencias sobre el coeficiente de correlación ρ

•Las calculadoras modernas y los programas de cómputo calculan directamente estas funciones.

Distribución aproximada de r

•Se sabe que arctanh(r) tiene distribución aproximada

O equivalentemente

3

1,

12arctanh

nnN

Distribución de r

3

112

arctanharctanh

n

nr

Tiene distribución aproximada N(0,1)

Inferencias sobre ρ

•Esto nos permite sin problemas contrastar hipótesis.

•Pero al tratar de obtener intervalos de confianza para ρ hay una seria dificultad.

Intervalo de confianza

•Se obtiene fácilmente un intervalo de confianza para

12arctanh

n

Intervalo de confianza

•Es muy difícil despejar ρ de esa expresión, aunque se pueden obtener aproximaciones numéricas con la precisión deseada usando el método de Newton (lo verán en métodos numéricos)

•Así que haremos una simplificación.

Intervalos de confianza

•Notemos que como -1<ρ<1, entonces cuando n→∞ entonces

012

n

Intervalos de confianza

•Así que usaremos que

tiene distribución aproximada N(0,1)Esto es válido si n>25, pero en el curso lo

usaremos aunque no se cumpla esta condición.

3arctanharctanh nr

Intervalos de confianza

•Una vez que se tiene un intervalo de confianza para arctanh(ρ), es fácil despejar aplicando la función tanh, pues es su inversa.

•Tanto tanh como arctanh son funciones crecientes, así que al despejar se pueden aplicar sin problemas en un sistema de desigualdades.