Cuando recibís la factura de tu celular, podés ver que el abono que pagás a fin de mes está formado por un valor fijo y otro variable

que depende de la cantidad de minutos que hablaste.

Con esta información podemos encontrar la relaciónentre los minutos que hablamos

y el costo a pagar.

C fijos = $18C variables = $0,20 cada minuto

En primer lugar debemos ponernos de acuerdosobre cuáles son las variables.

t: es la letra con la que identificaremos el tiempoque vamos a hablar, es decir, la cantidad de

minutos que usaremos el teléfono.El costo, por supuesto, depende

del tiempo que hablamos.

EL COSTO DEPENDE DEL TIEMPO

Es por esto que el costo es la variable dependienteY el tiempo es la variable independiente.

Veamos algunos casos en particular:

Si t = 42 minutos C = $0,20•42 +$18 C = $8,4+$18 C = $26,40

Si t = 50 minutos C = $0,20•50+$18 C = $10+$18 C = $28

Si t = 120 minutos C = $0,20•120+$18 C =$24 +$18 C = $42

Generalizando:Costo C= 0,20.t +18

(donde t son los minutos hablados)

Esto que acabamos de encontrar es la fórmula matemática

para relacionar tiempo con costoen nuestra factura telefónica.

La característica particular que tienen las funciones lineales es que a variaciones iguales de x, corresponde siempre

la misma variación en y.

Cada vez que x aumenta 1y aumenta 2

-2 1 2-1 0

6

4

2

8

x

y

1 2 3

Veamos otros ejemplos:

Si x aumenta 1, y disminuye 1

y

x aumenta de 1 a 2

x aumenta de 2 a 3

y disminuye de 4 a 3

y disminuye de 3 a 2

3

4

2

x

Es función lineal

9

1

4

1 2 3

Δ y = 1 = 1 Si x aumenta de 0 a 1 Δ x 1 y aumenta de 0 a 1

Como puede verse Δ y no es constante Δ x

No es función lineal

Δ y = 3 = 3 Si x aumenta de 1 a 2 Δ x 1 y aumenta de 1 a 4

Δ y = 5 = 5 Si x aumenta de 2 a 3 Δ x 1 y aumenta de 4 a 9

x

y

Se llama función lineal a la relación entre variablestal que su expresión sea:

y = m x + b

Dónde m: pendiente

b: ordenada al origen

¿Qué es la pendiente?

m = Δ y variación en y Δ x variación en x

A

B

C

D

∆y

Siendo Δy = yB – yA= y D – y C

Δx = xB – xA= x D – x C

∆x

∆y

∆x

x

y

En la función lineal la relación entre ∆y/∆x es siempre la misma para cada recta

Es la relación:

En las funciones lineales existe una relación entre la

variación de la variable independiente x y la variable dependiente y,que se mantiene constante.

A esa relación se la llama pendiente

¿Qué es la ordenada al origen?

En la forma explícita de la recta, el término independiente, indica el lugar donde la gráfica de la recta corta al eje Y,

y=mx+

y

x

b

b

Eje de abscisas

Eje de ordenadas

y = m x + b

m: pendiente

b: ordenada al origen

x

y

(Forma explícita)

b

raíz

La pendiente m se asocia a la inclinación de la recta

m + m -

x

y

x

y

CASOS ESPECIALES DE RECTAS

x = -2 x =1

x = k(no son funciones)

y = k(sí son funciones)

y =-1

y =1

y =2

y =3

x

y y

x

x = -1 x =2 x =3

Rectas verticales Rectas horizontales

CÓMO GRAFICAR UNA RECTA

Existen varias formas de hacerlo:

A)Utilizando una tabla de valores

B)Ubicando la ordenada al origen y usando el concepto la pendiente

1-xy 32Supongamos que queremos graficar la recta:

A - Utilización de la tabla de A - Utilización de la tabla de valoresvalores

En este caso vamos a asignarle valores a la variable x, reemplazamos en

la función, y obtenemos el valor de la variable y. Con estos valores

formamos puntos (x;y) que luego ubicamos sobre el sistema de ejes cartesianos. Veamos como hacerlo:

Vamos a graficar la recta

tomo valores de x (los que quiera), y los reemplazo en la función:

1-xy 32

x 1-xy 32

-3 1--21-(-3)y 32

-1 1--1-(-1)y 32

32

0 1-01-0y 32

1 1-1-1y 32

32

3 1-21-3y 32

(-3;-3)

)(-1;- 35

(0;-1))(1;- 3

1

(3;1)

y)(x;

35

1311

3

Los valores obtenidos, los ubico en un sistema de ejes cartesianos:Los valores obtenidos, los ubico en un sistema de ejes cartesianos:

(-3;-3)

(x; y)

)(-1;- 35

(0;-1))(1;- 3

1

(3;1) 3

3

1

35

131

13

1

y

x

B- Utilización de la ordenada al origen y la pendiente

También se podría graficar usandola ordenada al origen (b) que es donde la recta corta al eje y.Lo ubico sobre el eje y:

1-xy 32

x

y

-1 (b)

La pendiente me indica la variación en y (∆y), desde allí subo 2 unidades:

La pendiente también indica la variación en x (∆x), desde esta ultima posición me desplazo 3 unidades hacia la derecha.

Y allí encuentro otro punto para trazar la recta.

∆y=2

∆x=3

CONDICIÓN DE PARALELISMO

R1

R2

Sean R1 y = m1 x + b1

m1 = m2x

y

R2 y = m2 x + b2

R1

R2

Sean R1 y = m1 x + b1

R2 y = m2 x + b2

m1 .m2 = -1Ó

m2 = 1 m1

x

y Debe cumplirse:

La pendiente de una de las rectas, debe ser opuesta e inversa con la otra pendiente.

Cómo hallar la ecuación de una recta

Supongamos que conozco dos de lospuntos por donde pasa una recta:

P1 (2; 4) P2 (-1; -3)

Y quiero conocer la ecuación de lafunción lineal

y = m x + b4

-1

-3

2

y

x

Método A:Sé que la recta debe incluir a los puntos

P1 (2;4)P2 (-1;-3)

reemplazo entonces por ambos puntos en la fórmula de la recta , y = m x + b, ubicando el primer valor del par en x y el segundo en y (2;4) 4 = m . 2 + b 4 = 2 m + b Ecuación I (-1;-3) -3 = m. (-1) + b -3 = -m + b Ecuación II despejo b de ecuación II

b = -3 +m Ecuación III Reemplazo en ecuación I

Continuación:

4 = 2 m + (- 3 + m)

4 = 2 m - 3 + m

4 + 3 = 2 m + m

7 = 3 m

7 : 3 = m

reemplazo en ecuación IIISi

Con lo que queda:

7m=

37m=

3operando7 2

b=-3+ b=-3 3

7 2y= x-

3 3

Método B:Sé que la recta debe incluir a los puntos:

P1 (2; 4)P2 (-1;-3)

También sabemos que la pendiente “m” es la variación en y sobre la variación en x y

m=x

ó

Reemplazo con los valores de los puntos:

2 1

2 1

y ym=

x x

con lo que queda-3-4 7m= m=

-1-2 3

Con lo que la ecuación quedaría:7

y= x+b3

Todavía falta conocer el valor de b, para hacerlo puedo usar alguno de los puntos que tenia como dato, reemplazando en el x e y de la expresión I, usaré el (2;4):

I

operando despejando b con7 14 14 24 2 b 4 b 4 b b=-

3 3 3 3

Con lo que resulta:7 2

y= x-3 3

¿Qué es la raíz, y como la obtengo?

En cualquier tipo de función (no solo función lineal), se llama raíz, al punto donde la gráfica corta al eje X.

y

x

raíz

Cualquier punto que se encuentre sobre el eje x, tiene coordenada en y=0, por lo tanto la raíz tendrá coordenadas (x;0), veamos como averiguar el valor de x:

reemplazo y=0 en la ecuación de la recta 0=mx+b, Despejo x: -b=mx

-bx=

m

(x;0)

Forma implícita de la rectaForma implícita de la recta

La forma explicita, y=mx+b, no es la única forma de expresar una función lineal, otra de ellas es la forma implícita, que tiene la siguiente forma:

Ax+By+C=0

Donde A,B,C son números enteros.

Forma segmentaria de la Forma segmentaria de la rectarecta

Otra forma útil de expresar la ecuación de la recta, es la segmentaria, que tiene la siguiente estructura:

x y1

p q

Donde p es la intersección con el eje x (raíz); y q es la intersección con el eje y (ordenada al origen)

y

x

q

p