FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.. SenoSeno CosenoCoseno TangenteTangente CotangenteCotangente SecanteSecante CosecanteCosecante SECCIONES CÓNICASSECCIONES CÓNICAS CircunferenciaCircunferencia ElipseElipse ParábolaParábola HipérbolaHipérbola

DDebido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden ebido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes: agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:

SenoSeno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

CosenoCoseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

TangenteTangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.

CotangenteCotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.

SecanteSecante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.

CosecanteCosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.

RAZONES TRIGONOMÉTRICASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS

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Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

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SenoSeno f = sen xf = sen x

Rango: [-1, 1]Rango: [-1, 1]

Periódica: 360Periódica: 360

Positiva en x: (0, 180)Positiva en x: (0, 180)

Negativa en x: (180, 360)Negativa en x: (180, 360)

Creciente en x:[-90, 90]Creciente en x:[-90, 90]

Decreciente en x: [90, 450]Decreciente en x: [90, 450]

Máximos en x: (90, 450)Máximos en x: (90, 450)

Mínimos en x: (270, 540)Mínimos en x: (270, 540)MENU

x

y

h x = cos x

5

2

3

2

7

2

2

7

2

5

2

3

2

2

-2-3-4 432-

-1

1

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COSENOCOSENORango: [-1,1]Rango: [-1,1]Periódica: 2Periódica: 2ππPositiva en x: [-Positiva en x: [-ππ/2, /2, ππ/2]/2]Negativa en x: [Negativa en x: [ππ/2, 3 /2, 3 ππ/2]/2]Creciente en x: [Creciente en x: [ππ, 2 , 2 ππ]]Decreciente en x: [0, Decreciente en x: [0, ππ]]Máximos en x:(2Máximos en x:(2ππ, 4, 4ππ))Mínimos en x: (Mínimos en x: (ππ, 3 , 3 ππ))

F = tan xF = tan xRango: RRango: RPeriódica: Periódica: ππPositiva en x: (0, Positiva en x: (0, ππ))Creciente en x: (- Creciente en x: (- ππ/2, /2, ππ/2)/2)Máximos: No tieneMáximos: No tieneMínimos: No tieneMínimos: No tieneDiscontinua en x: Discontinua en x: ππ/2/2

y

x

h x = tan x

5

2

3

2

7

2

2

7

2

5

2

3

2

2-2-3-4 432-

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TANGENTETANGENTE

F = cot xF = cot xRango: RRango: RPeriodo: Periodo: ππFunción imparFunción imparPositiva en x: [0, 90]Positiva en x: [0, 90]Negativa en x: [0, 120]Negativa en x: [0, 120]Creciente en: (0, 120, 360]Creciente en: (0, 120, 360]Decreciente en:(90, 270)Decreciente en:(90, 270)Máximos: No tieneMáximos: No tieneMínimos: No tieneMínimos: No tiene

COTANGENTECOTANGENTE

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F = sec xF = sec xRango: RRango: RContinuaContinuaPeriodo: 360Periodo: 360Positiva en x: 120, 360Positiva en x: 120, 360Negativa en x: kNegativa en x: kCreciente: [90, 120, 270]Creciente: [90, 120, 270]Decreciente:( 270, 360, 450)Decreciente:( 270, 360, 450)Máximos: (120, -120)Máximos: (120, -120)Mínimos: (1, -90, 90)Mínimos: (1, -90, 90)

SECANTESECANTE

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F = csc xF = csc xRango: RRango: RDiscontinuaDiscontinuaPeriodo: 270Periodo: 270Positiva en x : kPositiva en x : kNegativa en x: 90, 270Negativa en x: 90, 270Creciente: 120, 270Creciente: 120, 270Decreciente: 90, 270Decreciente: 90, 270Maximos en x: 270Maximos en x: 270Minimos en x: 90 Minimos en x: 90

COSECANTECOSECANTE

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Secciones cónicasSecciones cónicas

Una sección cónica es la intersección de un Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono.plano y un cono.

Cambiando el ángulo y el lugar de la Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear un círculo, un intersección, podemos crear un círculo, un elipse, una parábola o una hipérbolaelipse, una parábola o una hipérbola

La Ecuación General de una sección cónica:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Circulo Circulo

Elipse Elipse

Parábola Parábola

Hipérbola Hipérbola

CirculoCirculo DEFINICIÓN . DEFINICIÓN . La La

circunferencia es el lugar circunferencia es el lugar geométrico de los puntosgeométrico de los puntos P P (x, y)(x, y) que están a la misma que están a la misma distancia (radio) de un punto distancia (radio) de un punto C (a, b)C (a, b) (centro). Esto es (centro). Esto es d d (P, C) = r (P, C) = r Su ecuación es:   Su ecuación es:   (x-a)2+(y-b)2= r2 (x-a)2+(y-b)2= r2 Si Si desarrollamos la ecuación desarrollamos la ecuación anterior tendremos la anterior tendremos la ecuación general:   ecuación general:   x2+ y2+ x2+ y2+ A x + B y + C=0A x + B y + C=0

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Definición: Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F', llamados focos, es constante e igual a 2a (longitud del eje mayor o focal).

ECUACIÓN GENERAL.Para una elipse de ejes oblicuos y focos F´(xo,yo) y F(x1,y1).  

Sea P (x ,y) un punto cualquiera de la elipse  D P, F) + d ( ,F') = 2a

                                                                           y haciendo las convenientes transformaciones se llega a una

ecuación del tipo: Ax2 + By2 + C x + D y + E xy + F =0 Menú

         Una parábola es el conjunto Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo equidistan de un punto fijo

(llamado foco de la parábola) (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) la directriz de la parábola)

  x2 + Dx + Ey + F = 0

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Directriz de la parabola:Directriz de la parabola: Es la Es la recta Yrecta Y

Eje de la parabola:Eje de la parabola: Es la recta Es la recta perpendicular a la directriz que perpendicular a la directriz que pasa por el foco F.pasa por el foco F.

Vertice de la parabolaVertice de la parabola: V es el : V es el punto medio de la directriz y el punto medio de la directriz y el foco.foco.

CuerdaCuerda: Segmento de recta que : Segmento de recta que une dos puntos de la parabola. Si une dos puntos de la parabola. Si la cuerda pasa por el foco se llama la cuerda pasa por el foco se llama cuerda focal.cuerda focal.

Lado recto:Lado recto:Es una cuerda focal Es una cuerda focal perpendicular al eje de la perpendicular al eje de la parabola.parabola.

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La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0

La mediatriz de un segmento AB es la La mediatriz de un segmento AB es la perpendicular por su punto medio o el perpendicular por su punto medio o el

lugar geométrico de los puntos que lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos.equidistan de los extremos.

Las tres mediatrices de los lados de un Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto O. Este triángulo se cortan en un punto O. Este

punto, que equidista de los tres vértices del punto, que equidista de los tres vértices del triángulo, es el centro de la circunferencia triángulo, es el centro de la circunferencia

circunscrita y, por ello, se le denomina circunscrita y, por ello, se le denomina circuncetrocircuncetro del triángulo. del triángulo.

La BisectrizLa Bisectriz de un ángulo, es la recta que lo de un ángulo, es la recta que lo divide en dos regiones iguales. También se divide en dos regiones iguales. También se pueden definir como el lugar geométrico de pueden definir como el lugar geométrico de

los puntos del plano que equidistan de las dos los puntos del plano que equidistan de las dos rectasrectas

Las tres bisectrices interiores de un triángulo Las tres bisectrices interiores de un triángulo se cortan en un punto I. Este punto se llama se cortan en un punto I. Este punto se llama

incetro del triángulo.incetro del triángulo.El incetro I equidista de los tres lados, por El incetro I equidista de los tres lados, por

tanto es el centro de la circunferencia inscrita, tanto es el centro de la circunferencia inscrita, tangente a los tres lados.tangente a los tres lados.IncentroIncentro

¿¿Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que

las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los

ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes?

SI NO

¿Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono??

S

SI NO

¿UNA PARABOLA ES EL CONJUNTO DE LINEAS EN UN PLANO QUE VAN DESDE UN PUNTO FIJO?

SI NO

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

FALSO VERDADERO