Post on 22-Apr-2017
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 1
SESIÓN 1
CONCEPTOS FINANCIEROS
EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS
Un Sol hoy vale más que un Sol mañana
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 2
Introducción: ¿de qué trata las Finanzas?
Línea de tiempo
Definición de valor del dinero
Diagrama de flujo de caja
Costo del dinero: Definición del interés
Interés Simple
Valor presente
Valor futuro
Ejercicios
AGENDA
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1
3
Finanzas
Interés Flujos
Valor presente
Valor futuro
Flujos equivalentes
Anualidades
Deuda
Valor Actual Neto
Tasa Interna de Retorno
Flujos de caja
Valor del dinero en el tiempo
Tasas de interés
¿De qué trata las Finanzas?
Todo dinero tiene un precio y ese precio es el
interés.
En que invertir y como financiarlo…esa es la finalidad de las finanzas
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 4
¿De qué trata las Finanzas?
El supuesto básico es que el dinero aumenta su valor en el tiempo
Esto significa que una cantidad determinada que se recibirá en el futuro, vale menos que esa misma cantidad en el presente
Por ejemplo:
S/. 1 hoy día vale más que ese mismo S/. 1 mañana…¿Por qué?
Porque todo dinero tiene un precio y ese precio es el interés.
Pregunta:
¿Tendrá que ver en esto la Inflación? … ¿Si no hubiese Inflación también
valdría menos el dinero futuro que el presente?
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 5
Como cualquier precio, la Tasa de Interés depende de la Oferta y la Demanda.
En esto influyen principalmente 2 factores:
¿De qué trata las Finanzas?
Preferencia por el consumo presente
Oportunidades de Inversión
Valor del Dinero en el Tiempo (VDT)
Fuentes del Valor del
Dinero en el Tiempo
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 6
¿De qué trata las Finanzas?
Diferentes Perspectivas sobre la Tasa de Interés
ACREEDOR (Ahorrador -
Inversionista)
DEUDOR (Emisor)
Tasa de Interés Pasiva
Rendimiento
Tasa de Interés Activa
Costo de Capital
Perspectiva del Ahorrador: Tasa de Interés Pasiva. Es el Interés
que le paga el Banco por sus ahorros.
Perspectiva del Deudor: Tasa de Interés Activa. Es el Interés que
le cobra el Banco por el uso de sus fondos. También se le llama
Costo de Capital.
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 7
Herramienta que permite el análisis del valor del dinero en el tiempo.
Permite visualizar gráficamente lo que sucede en un caso particular para
plantear la solución a un problema planteado.
Por ejemplo:
0 1 2 3 4 Un año dividido en trimestres
0 1 2 3 4 Un año dividido en bimestres
5 6
0 1 2 Un año dividido en semestres
Línea de Tiempo
En general:
Un año dividido en “n” periodos 0 1
… n
Periodo
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 8
Ejemplo 01
Un año dividido en semestres.
0 1 2
El momento
cero “0” es hoy.
Es el inicio del
periodo de
evaluación o
análisis
El momento 1
señala el término
del primer
semestre y el
inicio del
segundo
semestre
El momento 2
señala el término del
segundo semestre y el
término del horizonte
de análisis
de 1 año
•1 semestre
•1er periodo
Línea de Tiempo
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 9
Una persona recibe a fin de año un ingreso extra de S/.10,000. Sobre ello,
no sabe si consumir todo lo que a recibido en el momento o solo consumir
una parte y ahorrar la diferencia.
¿Cuánto consumirá en el presente y cuanto en el futuro?
¿De que dependerá que ahorre hoy y postergue su consumo para el futuro?
S/.
S/.
S/.
S/.
S/.
S/.
S/.
S/.
S/.10,000
S/.10,500
S/.
S/. S/.
S/.
C A
S/.
S/. S/.
S/.
C A
Alternativa 1 Alternativa 2
S/.
Elige la alternativa 1
0 1 año
Ahorro = Consumo pospuesto
Las empresas no mueren de infarto, se desangran, por lo general por falta de liquidez (de caja).
Valor de Dinero en el Tiempo
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 10
Valor de Dinero en el Tiempo
S/.
S/.
S/.
S/.
S/.
S/. S/.
S/.
S/.10,000 S/.5,000 S/.
S/. S/.
S/.
C A
S/.
S/. S/.
S/.
C A
Alternativa 1 Alternativa 2
S/.
Elige la alternativa 2
0 1 año
Ahorro: Consumo pospuesto S/.5,250
El valor del dinero en el tiempo, expresa que una agente
(empresa o persona) prefiere el consumo presente al
consumo futuro.
Por esa razón, el escenario de elección de la alternativa 2 es siempre
el más probable.
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 11
Flujos de efectivo positivos son ingresos para
la empresa.
• Flujo de ingresos
• Ingresos por operaciones
• Prestamos bancarios
• Cobros a clientes, etc.
Flujos de efectivo negativo son egresos para
la empresa.
• Flujo de egresos
• Inversiones
• Pago de intereses y servicio de deuda, etc.
Ejemplo. Un año dividido en semestres.
ENCIMA DE LA LÍNEA
•Flujo de ingresos
•Recepción de ingresos
•Desembolsos de deuda
DEBAJO DE LA LÍNEA
•Flujo de egresos
•Inversiones
•Cuotas de una deuda
Flujo de Caja: Todo lo que entra versus todo lo que sale
Diagrama de Flujo de Caja
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 12
Ejemplo 02
Industrias del Envase S.A. efectuará una inversión de S/.100 mil para el
Proyecto de construcción de una planta. Las operaciones en la nueva
planta le permitirán a la empresa recibir ingresos netos en un lapso de 5
años, al finalizar cada año, de S/.20, S/.35, S/.45, S/.50, S/.50 mil
respectivamente.
0 1 2 3 4 5
-100,000
20,000 35,000 45,000 50,500 50,000
Años
Diagrama de Flujo de Caja
Flujo de Caja
para el Proyecto
¿Podemos afirmar que la Inversión se
recupera al final del 3er año?
¿Podemos sumar flujos de periodos distintos?
Se trata de un Flujo
de Caja Típico
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 13
Diagrama de Flujo de Caja
Ejemplo 03
Juan le pide 1,000 soles prestado a María y se compromete a pagar 200 soles
cada mes durante 6 meses. Construya el flujo de caja para Juan y María.
1,000
0 1 2 3 4 5 6
200 200 200 200 200 200
JUAN
0
1 2 3 4 5 6
1,000
200 200 200 200 200 200
MARÍA
Tenga presente que,
lo que es Ingreso
para uno de ellos es
Egreso para el otro y
viceversa.
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 14
Diagrama de Flujo de Caja
Otra forma de presentar los Diagramas de Flujo es mediante el uso de la Hoja
de Cálculo Excel.
Periodo 0 1 2 3 4 5 6
Monto 1,000 -200 -200 -200 -200 -200 -200
Periodo 0 1 2 3 4 5 6
Monto -1,000 200 200 200 200 200 200
JUAN
MARÍA
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 15
Interés
• Interés es el pago que se hace al propietario del capital por el uso del dinero.
• El pago de interés siempre está asociado a un periodo de tiempo.
• El interés puede ser visto como un rendimiento cuando:
• Se invierte dinero.
• Se consigue o se otorga algún préstamo.
• Se compran bienes o servicios para su explotación con dinero de terceros.
– En el empleo del interés se tienen las siguientes notaciones:
• Tasa de interés : i
• Monto inicial : P
• Intereses (para un periodo) : I = P*i
• Monto Final (para un periodo) : F = P + I = P + P*i = P*(1+i)
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 16
F = P*(1+i)
Interés Simple
La expresión anterior para el calculo del Interés y con ello del valor al final
de un periodo se conoce como Interés Simple.
En el Interés Simple, el Interés se calcula siempre tomando como base el
Valor Inicial (P). Así en cada periodo el monto del Interés es siempre el mismo.
En el Interés Simple, el Interés generado en un periodo NO se
suma al capital anterior.
El monto del Interés generado en “n” periodos, será “n” multiplicado por el
monto del interés generado en un periodo. Por lo tanto, el Monto Final (F)
luego de “n” periodos será:
F = P*(1+ni)
El interés se calcula sobre el capital. Los intereses que se van ganando NO se
acumulan como parte del capital. El capital permanece constante y el interés
ganado se acumula al término de la operación.
17
0 1 2
P P P
P*i P*i
P*i
n . . .
. . .
P
P*i
P*i
P*i . . . n
Interés Simple
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1
Interés de 1 periodo
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 18
Interés Simple
Periodos
Val
or
Futu
ro
P
1 2 3 4
F
Valor Futuro luego de 4 periodos
Valor Presente
Interés de los 4 periodos
La Gráfica del Interés Simple, se parece a una escalera de escalones
iguales, donde la altura de cada escalón representa el Monto del Interés
ganado en el periodo.
Si la Tasa de Interés es
más alta, más alto es
el escalón.
Interés simple Ejemplo
0 1 2
1,000 1,000 100
1,000 100 100
1 2
1,200
P = 1000
Interés 1 = 1000*10% = 100
Interés 2 = 1000*10% = 100
MF = P + Interés 1 + Interés 2
MF = 1000 + 1000*10% + 1000*10%
MF = 1000 + 100 + 100
MF = 1200
Gerardo deposita $1000 en una cuenta de ahorro a un 10% de interés anual simple
por un plazo de 2 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 2 años?
19
0
1,000
¿Cuál es la tasa de interés que ganó en los 2 años? Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 20
Ejemplo 03
Deposito en cuenta de ahorro
Alejandro López ha depositado en el Banco de Crédito del Perú (BCP) la
suma de S/.10 mil. El BCP le ha ofrecido pagarle por su depósito, una tasa
anual de 5% en moneda nacional. ¿Cuánto recibirá al cabo de 1 año?
Interés Simple
P = 10,000
I = P*i
I = 10,000*5% = (10,000)*(0.05)
I = 500 (Monto de Interés generado en 1 año)
0
-10,000
5%
1 Año
¿ F ?
Luego:
F = P + I
F = 10,000 + 500
F = 10,500 1
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 21
Ejemplo 04
Deposito en cuenta de ahorro
Alejandro López ha depositado en el Banco Continental de Trujillo un monto
de S/.20 mil. Al cabo de 1 año retiró su dinero obteniendo S/.20.8 mil. ¿Cuál
es la tasa interés anual que pagó el Banco Continental a Alejandro?
Interés Simple
P = 20,000
F = 20,800
i = ¿?
0 1
-20,000
¿ i% ?
20,800
F = P*(1+ni)
De la fórmula del Interés Simple tenemos:
%4
)000,20)(1(
)000,20800,20(
*
)(
i
i
Pn
PFi
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 22
Ejemplo 05
Interés Simple
Una persona invierte $10,000 en un fondo de inversiones. El fondo garantiza un
rendimiento mensual de 3%. Si la persona retira su dinero después de 20 días,
¿cuánto recibe?
En este caso lo que se debe resaltar es
que la tasa dada es mensual (30 días) y el
Plazo de 20 días (2/3 mes). Lo primero
que debemos hacer es uniformizar
escalas.
Bien la Tasa la expresamos en días o el
Plazo lo expresamos en meses.
1ra Forma: Expresamos la Tasa en días.
3% -------------- 30días X% --------------- 1 día
Regla de tres
simple
X = 0.1%
Esta es la Tasa de Interés por día
Luego:
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 23
mesesX3
2
Interés Simple
2da Forma: Expresamos el Plazo en meses.
1 mes -------------- 30días X meses -------------- 20 días
200,10
%))1.0)(20(1)(000,10(
)1(*
F
F
niPF
Luego:
200,10
%))3)(3
2(1)(000,10(
)1(*
F
F
niPF
Ambos métodos nos llevan al mismo resultado.
Sin embargo, es importante resaltar que esta
equivalencia solo ocurre si la forma de cálculo
es mediante el Interés Simple.
Para el Interés compuesto solo se debe
proceder con el primer método.
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 24
Interés Simple
Ejemplo 06
Para recibir $1,000 hoy, Daniel firma un pagaré por $1,200 que vence dentro de
6 meses. ¿Cuál es la Tasa Anual de Interés Simple en este pagaré?
En este caso lo que tenemos
como información son los
Valores presente (P) y futuro (F).
Asimismo el plazo es de 6
meses.
Pero, tenga presente que se
pide la Tasa Anual, no la Tasa
Semestral.
Al igual que en el caso anterior,
primero debemos uniformizar escalas.
Bien podemos trabajar directamente en
años o bien en semestres.
Como se pide la Tasa Anual, es mejor la
primera alternativa.
%404.0
)*5.01)(000,1(200,1
)1(*
i
i
niPF
Esta es la Tasa Anual
Existen situaciones en las que recibiremos cantidades o valores en el
futuro y deseamos conocer su equivalencia hoy. Por ejemplo.
25
Se es propietario de una casa la
cual se alquila, con ello sabemos
que por un periodo de tiempo
recibiremos determinados flujos.
Futuro Hoy
S/.
BONO
Compramos un bono emitido por
una empresa que promete pagar un
monto dado a su vencimiento.
Iniciamos un negocio y
pronosticamos un flujo de caja a
futuro.
Hoy Futuro
S/. S/. S/.
. . .
Hoy Futuro
S/. S/. S/.
. . .
Valor Actual
25 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1
En las situaciones mencionadas conocemos que
recibiremos determinadas cantidades. Es decir
se tienen flujos futuros conocidos o estimados.
26
El responder ambas preguntas estamos buscando saber
cual es el valor, en este momento , de los flujos o
cantidades que recibiremos en el futuro. Nos estamos
refiriendo al VALOR ACTUAL del flujo futuro o de los
flujos futuros.
Cabe preguntarse: si tuviera la oportunidad de
cambiar los flujos futuros por una cantidad en este
momento, es decir, hoy:
i. ¿Cómo determinaría dicha cantidad?
ii. ¿A cuánto ascendería dicha cantidad?
Flujos
Futuros
Conocidos Estimados
HOY
¿Cómo?
¿Cuánto?
Flujos
Futuros
VALOR
ACTUAL
Flujos
Futuros
Valor Actual
26 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 27
Valor Actual
El cálculo del Valor Actual, es un procedimiento inverso del cálculo del Valor
Futuro. Así, si procedemos mediante el Interés simple sería:
)1(* niPF
)1( ni
FP
Ejemplo 07
¿Cuál es el Valor Presente de $ 3,000 que se recibirán dentro de 18 meses,
con un Interés Simple de 50% anual?
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 28
Valor Actual
Aplicando la Ecuación para el valor
Presente:
)1( ni
FP
28.714,1
%))50)(5.1(1(
000,3
P
P
Primero debemos uniformizar escalas.
Como el plazo es de 18 meses y tenemos
la Tasa Anual, el plazo equivale a 1.5
años.
Esto significa que $1,714.28 hoy,
colocado a una Tasa de 50% anual, se
convierten (rinde) en $3,000 en 18
meses.
Por eso a esta Tasa también se le conoce
como Tasa de Rendimiento (iR)
Ahora, una pregunta interesante es
¿cuál deberá ser la Tasa Anual a la que se
debe descontar $3,000 para que en 18
meses se obtenga el Valor Presente de
$1714.28?
A esto se le denomina: Tasa de
Descuento (iD)
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 29
Valor Actual
Para el cálculo de la Tasa de
Descuento (iD) usamos la siguiente
relación:
)1( ii
iR
R
D n
Esto significa que $3,000 descontados
durante 18 meses a la Tasa Anual del
28.57% , tiene un Valor Presente de
$1,714.28
Existe una Ecuación que permite
relacionar la Tasa de Rendimiento (iR)
y la Tasa de Descuento (iD) :
%57.282857.0
)))(5.1(1(*000,328.714,1
)1(*
i
i
i
D
D
DnFP
)1( ii
iD
D
R n
o también:
Veamos en nuestro ejemplo:
2857.0))5.0)(5.1(1(
5.0
iD
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 30
Ejemplo 08
Un certificado de depósito a 270 días con el valor inicial de $100 produce
una tasa de interés simple de 32% anual. Después de 90 días se vende el
documento, cuando la tasa de interés para este tipo de documentos ha
bajado a 27%.
a.- ¿A qué precio debe venderse el certificado después de 90
días?
b.- ¿Qué rendimiento (anual) obtuvo el dueño del certificado
durante los 90 días de su tenencia?
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 31
Datos:
P= $100
I = 32% = 0.32
n = 270 días = 0.75 años
Primero debemos determinar el
Valor Futuro del Certificado luego de
270 días:
124
%))32)(75.0(1(*100
)1(*
F
F
niPF
Ahora, en una Línea de Tiempo,
representemos el caso señalado:
0 90
180 270
100
124
X
X: Es el Valor del Certificado luego de 90 días.
180 días
Tasa = 27% Tasa = 32%
Luego de 90 días, el Certificado se
convierte en un nuevo Instrumento con
Valor “X” que luego de 180 días tiene un
Valor Futuro de $124 a una tasa anual de
27% (recuerde que la tasa ha disminuido).
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2 32
SESIÓN 2
CONCEPTOS FINANCIEROS
EL VALOR DE DINERO EN EL TIEMPO
EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS
Un Sol hoy vale más que un Sol mañana
Interés Compuesto
Capitalizaciones
Tasas de interés: nominal y efectiva
Equivalencia entre tasas
Ejercicios
33
AGENDA
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2 34
Interés Compuesto
En el Interés Compuesto, los Intereses que se van generando se suman al Capital en
Periodos establecidos y se consideran, junto con el Capital original, como la base para
calcular los Intereses del Periodo siguiente.
Esto significa que los Intereses se Capitalizan.
El Interés Compuesto se trata del cálculo de Intereses sobre Intereses, esa es
su característica fundamental.
En el Interés compuesto el Capital NO es constante, sino que aumenta al final
de cada Periodo por la adición de los Interese ganados.
El Periodo para el cual se calculan los Intereses se denomina:
Periodo de Capitalización.
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2 35
Interés Compuesto
Algunos Periodos de Capitalización típicos son o Anual o Semestral o Mensual o Diario (sobretodo cuando hay hiperinflación)
Al número de veces que el Interés se capitaliza durante 1 año, se
denomina: Frecuencia de Conversión.
Por ejemplo, si la Capitalización es trimestral, significa que los
Intereses se capitaliza cada 3 meses, es decir 4 veces al año.
Entonces, su frecuencia de Conversión es de 4.
La Tasa de Interés se expresa en forma Anual, pero es indispensable
indicar el Periodo de Capitalización.
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2 36
Por ejemplo: 12% anual capitalizable en forma trimestral.
Esto significa una Tasa de Interés de 3% trimestral.
Interés Compuesto
En general, para determinar la Tasa de Interés por cada Periodo de
Capitalización, se aplica:
ConversióndeFrecuencia
AnualInterésdeTasaPeriodoporInterésTasa
__
______
Para nuestro ejemplo sería:
ConversióndeFrecuencia
AnualTasaTrimestralTasa
__
__
%34
12_ TrimestralTasa
En 1 año hay 4
Trimestres. Por ello la
Frecuencia de
Conversión es 4.
Interés Compuesto
Emplea la capitalización compuesta. Se incluye el interés, sobre el interés
ganado, en los periodos previos.
P : Monto inicial
I : Intereses
i : Tasa de interés
n : Plazo al que se coloca el monto
inicial. (P)
F: Monto final
F = P*(1+i)n
Monto Final
37
Como el interés se capitaliza: ¿Cuál habrán sido los Intereses (I)
generados en un determinado periodo?
I = P (1+i)n-1*i
Intereses
iiiI
iiI
FFI
n
n
nn
n
nnn
P
PP
**
**
)(
)1()1(1
1
1
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
38
0 1 2
P P F1
P*i
n . . .
F1 = P + P*i
F1*i . . .
F2 = F1 + F1 *i
Fn-1
Fn-1*i
Fn = Fn-1 + Fn-1*i
Interés Compuesto
0 1 2
1,000 100 1,100
110
0 1 2
1,000
1,210
P = 1,000
Interés 1 = 1,000*10% = 100
Interés 2 = 1100*10% = 110
F = I + Interés 1 + Interés 2
F = 1,000 + 1,000*10% + 1,100*10%
F = 1,000 + 100 + 110
F = 1,210
Ejemplo 01
Gerardo deposita $1000 en una cuenta de ahorro a un 10% de interés anual
compuesto por un plazo de 2 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 2 años?
39
1,000
¿Cuál es la tasa de interés que ganó en los 2 años?
Interés Compuesto
Como no se dice nada de la capitalización, la asumimos anual. Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Interés de 1 periodo
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2 40
Interés Compuesto
Periodos
Val
or
Futu
ro
P
1 2 3 4
F
Valor Futuro luego de 4 periodos
Valor Presente
Interés de los 4 periodos
La Gráfica del Interés Compuesto, se parece a una escalera de escalones
desiguales, donde la altura de cada escalón crece a medida que transcurren los
periodos y representa el Monto del Interés ganado en el periodo.
Note que de periodo a
periodo el Interés (altura
del escalón) es cada vez
mayor.
Alberto deposita $1,500 en una cuenta de ahorro a un 12% de interés anual
compuesto por un plazo de 3 años; ¿cuánto tendrá al final de los 3 años?
Ejemplo 02
Interés Compuesto
Lo que se pide en el ejercicio es
determinar el Valor Futuro de
$1,500 que se capitalizan cada año
a una tasa de 12%.
De la fórmula para el Interés compuesto tenemos:
)1(* iPFn
)12.01(500,13
* F
F = 2,107.4
¿Cuál es la tasa de interés que ganó en los 3 años?
%5.40405.0
500,1
)500,14.107,2(
i
i
P
PFi
41 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Interés Compuesto
Durante 3 años, Alberto ganó una Tasa (Tasa
Efectiva) de 40.5%.
¿Cómo interpretamos este resultado?
Esto significa que 12% anual equivale en
3 años a 40.5% cuando la capitalización
es anual.
…y, ¿por qué no es 36% (12%*3)?
Ejemplo 03
En el ejemplo anterior, ¿cuál sería el
resultado si la capitalización fuese
trimestral?
¿Qué relación encuentra entre la Tasa Anual y
la Tasa Efectiva del Periodo?
Lo primero que debemos hacer
en este caso es determinar la Tasa
de acuerdo al Periodo de
Capitalización.
Recuerde que en 1 año hay 4
trimestres. Por lo tanto, en 1 año
hay 4 capitalizaciones.
42 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
ConversióndeFrecuencia
AnualInterésdeTasaPeriodoporInterésTasa
__
______
Interés Compuesto
%34
12_ TrimestralTasa
Luego en 3 años hay 12 Trimestres
(4 Trimestres por año).
Por lo tanto:
n = 12
Finalmente aplicamos la fórmula del
Interés Compuesto para el Valor
Futuro:
)1(* iPFn
12)03.01(*500,1 F
F = 2,138.6
Note que el resultado es mayor que cuando la capitalización fue anual.
TrimestralAnual 6.138,2104,2
¿Por qué? 43 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Claudia hace un deposito de $2,000 en una cuenta de ahorro a un 8%
de interés anual compuesto por un plazo de 5 años. ¿Cuánto tendrá al
final de los 5 años?
Patricia hizo un deposito de $1,000 en una cuenta de ahorro y al final
de 5 años obtuvo $1,350. ¿Cuál fue la tasa de interés anual
compuesta?
Contratamos un préstamo por $5,000, a 2 años, con la tasa anual de
15% compuesta semestralmente, pero decidimos cancelar el préstamo
anticipadamente a los 15 meses. ¿Cuál es la cantidad que debemos de
liquidar?
Ejercicios Propuestos
Interés Compuesto
44 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Es una tasa de interés enunciativa que no refleja el verdadero interés que se
obtiene por el capital. Se presenta con fines nominativos. Esta tasa debe estar
acompañada de los periodos de capitalización compuesta. Por lo general, se
expresa como una Tasa Anual.
Ejemplos
Tasa nominal de 12% anual con capitalización semestral
Tasa nominal de 18% anual con capitalización bimestral
Tasa nominal de 21% anual con capitalización trimestral
16% nominal anual con capitalización quincenal
10% nominal anual con capitalización diaria
32% nominal anual con capitalización semestral
Tasa de Interés Nominal ( r )
i m = r/m m : Número de periodos de capitalización en
un año
im : Tasa de interés del periodo “m”
45 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Tasa de Interés Nominal ( r )
Para los ejemplos anteriores:
Tasa Nominal Anual
Periodo de Capitalización
Número de Periodos en 1 año
Tasa Efectiva del Periodo
12% Semestral 2 12/2 = 6%
18% Bimestral 6 18/6 = 3%
21% Trimestral 4 21/4 = 5.25%
16% Quincenal 24 16/24 = 0.67%
10% Diaria 360 10/360 =0.028%
32% Semestral 2 32/2 = 16%
¿Cómo sería si la capitalización fuese continua, por ejemplo 10% anual con capitalización continua?
Ejemplo 04
46 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Tasa de Interés Nominal (r )
0 1 2
El Banco Atlántico ofrece una tasa de 10% nominal anual con capitalización
semestral . ¿Cuál es la tasa semestral correspondiente?
10% nominal
0 1 2
5% semestral
r = 10%
m = 2 (hay 2 semestres en 1 año)
im = r/m
im = 10%/2
isemestral = 5%
5% semestral
47
Ejemplo 05
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
El Banco Fortaleza ofrece una tasa de 12% nominal anual con capitalización diaria.
¿Cuál es la tasa diaria correspondiente?
El Banco Nuevo Continente ofrece una tasa de 14% nominal anual con capitalización
trimestral. ¿ Cuál es la tasa trimestral correspondiente?
El Banco América ofrece una tasa de 24% nominal anual con capitalización
quincenal. ¿Cuál es la tasa quincenal correspondiente?
El SwissBank ofrece una tasa de 18% nominal anual con capitalización bimestral.
¿Cuál es la tasa bimestral correspondiente?
48
Tasa de Interés Nominal (r )
Ejercicios Propuestos
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Es una tasa de interés que refleja el interés que verdaderamente se
obtendrá por el capital. La tasa de interés efectiva emplea el concepto del
interés compuesto.
La tasa de interés efectiva se suele expresar en términos anual recibiendo el
nombre de Tasa Efectiva Anual o TEA y en algunos casos mensual (Tasa
Efectiva Mensual – TEM).
La tasa de interés efectiva es la empleada entre otros en:
Préstamos concedidos por los bancos a empresas.
Compras de bienes de consumo a plazos.
Créditos hipotecarios.
Créditos vehiculares.
Prestamos de consumo.
49
TEM: por lo general para tarjetas de crédito
Tasa de Interés Efectiva (i )
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Tasa de Interés Nominal ( r ) y Tasa de Interés Efectiva ( i )
i = (1 + r/m)m - 1
Relación entre la Tasa de Interés Nominal (r) y la Tasa de Interés Efectiva ( i )
i m = r/m
m : Número de periodos de capitalización en un año
im : Tasa de interés efectiva del periodo “m”
i : Tasa de interés efectiva correspondiente a 1 año
(siempre que “r” se haya expresado como una tasa
anual).
50
El exponente “m” de esta
ecuación, debe entenderse como
el número de periodos que hay
dentro del plazo dado (que en
nuestro caso es 1 año).
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
0 1 2
El Atlántico ofrece una tasa de 10% nominal anual con capitalización semestral .
¿Cuál es la tasa efectiva anual correspondiente?
10% nominal
0 1 2
5% semestral
r = 10%
m = 2 (dos capitalizaciones al año)
im = r/m
im = 10%/2
isemestral = 5%
5% semestral
i = (1+ r/m)m - 1
i = (1+ 5%)2 -1
i = 10.25%
0 1 2
10.25% efectivo
51
Tasa de Interés Nominal ( r ) y Tasa de Interés Efectiva ( i )
Ejemplo 06
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
52
i = (1 + r/m)m - 1
Tasa de Interés Nominal ( r ) y Tasa de Interés Efectiva ( i )
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
53
Tasas Efectivas Equivalentes
Dos o más Tasas Efectivas son Equivalentes cuando capitalizándose en periodos
distintos, generalmente menores a 1 año, sobre el mismo Capital inicial, el monto
final obtenido ,en igual plazo, es el mismo.
x,y: en días
iy : Tasa conocida
ix : Tasa incógnita
iX = (1+iy)(x/y) - 1
54 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Ejemplo 07
Tasas Efectivas Equivalentes
La tasa efectiva anual que paga un Banco por una cuenta a plazo fijo
es de 15%. ¿Cuál será la tasa efectiva mensual?
Note que aquí no se trata de
convertir una Tasa Nominal en otra
Efectiva, sino se trata de convertir
una Tasa Efectiva para un periodo en
otra (equivalente) también Efectiva
pero para un periodo distinto.
iX = (1+iy)(x/y) - 1
Se conoce la Tasa Efectiva Anual (TEA) y
se desea conocer la Tasa Efectiva
Mensual (TEM).
De la ecuación anterior:
TEM TEA
30 días 360 días
iX = 0.012 = 1.2%
55 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Una entidad financiera cobra por préstamo una tasa
efectiva mensual de 5%.¿Cuál será la Tasa Efectiva anual
que cobra el Banco por préstamo?
Tasas Efectivas Equivalentes
Ejercicios Propuestos
¿Cuál es la Tasa Nominal compuesta trimestralmente
equivalente a una Tasa Nominal de 25% compuesta
diariamente?
56 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Valor actual de un flujo futuro o de una serie de flujos cuando se convierte
en interés compuesto a cierta tasa.
57
0 1
F1
0 1
F1 P0
i
F1 = P0 * (1+i)
F1
(1+i) P0 =
LEYENDA:
F1 : Flujo futuro. Flujo en el momento 1.
P0 : Valor actual del Flujo futuro.
I : Tasa de interés efectiva del periodo 1.
Relación entre el flujo futuro (F1) y su valor en este momento (P0)
Despejando el valor en este momento (P0) en función al flujo futuro (F1)
1°
2°
3°
57 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Valor Actual y Valor Futuro
Valor actual de un flujo futuro o de una serie de flujos cuando se convierte en
interés compuesto a cierta tasa.
58
1 2
F2
0
F1
1 2 0
F1
1 2
F2
0
P1 P0
P0 F1
(1+i) P0 =
F2
(1+i) P1 =
P1
(1+i) P0 =
(1+i)
F2
(1+i) =
F2
(1+i)2 =
i
i i
F1
(1+i) VA =
F2
(1+i)2 +
58 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Valor Actual y Valor Futuro
Valor actual de un flujo futuro o de una serie de flujos cuando se convierte en
interés compuesto a cierta tasa.
59
0 1 2 3 4
F1
F2
F3 F4
n
Fn
F1
(1+i) VA =
F2
(1+i)2 +
F3
(1+i)3 +
F4
(1+i)4 +
Fn
(1+i)n +
… +
…
59 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Valor Actual y Valor Futuro
0 1 2 3 4 5
10,000
5,000 7,500 9,000
6,000
Años
Alejandro López depositará en el
Banco América al final de cada uno de
los próximos 5 años los siguientes
montos. ¿Cuánto tendrá acumulado al
final del año 5? Considere que el
banco ofrece una tasa efectiva anual
de 6.5%.
Alejandro espera depositar al final de
cada uno de los próximos 5 meses en
el Banco América los siguientes
montos. ¿Cuánto tendrá acumulado al
final del mes 5? Considere una tasa
efectiva mensual de 0.54%.
0 1 2 3 4 5
$600
meses
$600 $600 $600 $600
Ejercicios Propuestos
60 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
0 1 2 3 4 5
10,000
5,000 7,500 9,000
6,000
Años
Alejandro López depositará al
final de los cada uno de los
próximos 5 años los
siguientes montos en el
Banco de Crédito ¿A cuanto
ascenderá el monto total
acumulado al final del año 5?
Considerando que la tasa de interés del primer año será 12% y cada año ira
creciendo en 1.5% hasta el 5to año.
Valor Futuro Ejercicio Propuesto
61 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Valor Actual Ejercicios Propuestos
0
El Banco Atlántico le ofrece a Rolando
pagarle por sus ahorros $5,000 cada fin de
año. La tasa efectiva anual que el banco
ofrece es 15% ¿Cuál sería el monto que
Rolando estaría depositando?
Alejandro espera recibirá al final de cada
uno de los próximos 5 meses los
siguientes ingresos. Sin embargo requiere
el dinero en estos momentos. Para ello
acude al banco y este le indica que podría
entregarle el dinero pero descontando
cada flujo a una tasa efectiva mensual de
2.4%.¿Cuanto recibirá por ello?
1 2 3 4 5
5,000
Años
0 1 2 3 4 5
5,000 5,000 6,500 7,500 6,000
meses
5,000 5,000 5,000 5,000
62 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
63
El Banco Fortaleza le ofrece a
Alejandro dos opciones de ahorro,
las que se muestran en los
esquemas siguientes.
En la opción “A” el banco le ofrece
una tasa de 15%.
En la opción “B” el banco le ofrece
una tasa de 12%
¿Cuál de las opciones de ahorro le
conviene?.
0 1 2 3 4 5
$700
años
$700 $700 $700 $700
0 1 2 3 4 5
$400
años
$500 $600 $700 $800
OPCIÓN B
OPCIÓN A
Valor Actual Ejercicios Propuestos
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 2
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 64
Determinaremos “X” con la fórmula
de Valor Presente: “X” al 27% de tasa
anual deberá dar un valor de $124 luego
de 180 días (0.5 años).
25.109
%))27)(5.0(1(
124
)1(
X
X
ni
FP
a.- Luego de 90 días el Certificado deberá
venderse en $ 109.25.
Ahora para obtener el Rendimiento
(Tasa) anual del Certificado durante los 90
días (0.25 años), planteamos.
%3737.0
)*)25.0(1(*10025.109
)1(*
i
i
niPF
b.- La Tasa Anual del Certificado para
el periodo de 90 días fue 37%.
¿Por qué el Rendimiento Anual del
Certificado (37%) durante los primeros 90
días fue MAYOR que la Tasa pactada
originalmente (32%).
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 1 65
Alberto deposita $3,000 en una cuenta de ahorro a un 4% de interés anual
simple por un plazo de 10 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 10 años?
Claudia hace un deposito de $2,000 en una cuenta de ahorro a un 8% de
interés anual simple por un plazo de 5 años. ¿Cuánto tendrá al final de los
5 años?
Patricia hizo un deposito de $1,000 en una cuenta de ahorro y al final de 5
años obtuvo $1,350. ¿Cuál fue la tasa de interés anual simple?
Interés Simple
Ejercicios Propuestos
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3 66
SESIÓN 3
ANUALIDADES
EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS
Concepto de Anualidad
Anualidades anticipadas, diferidas y perpetuas
Valor Presente y Futuro de Anualidades
Ejercicios
67
AGENDA
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Concepto de Anualidad
Una Anualidad es una serie de pagos iguales que se efectúan
a intervalos fijos durante cierto número de periodos.
Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las
siguientes condiciones:
• Todos los pagos son de igual valor.
• Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
• A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.
• El número de pagos es igual al número de periodos.
Aunque Anualidad se refiere a 1 año, NO necesariamente es un pago anual.
68 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Tipos de Anualidades Hay varios tipos de Anualidades:
Tipo de Anualidad Descripción
Anualidad cierta Cuando las fechas son fijas y establecidas de antemano.
Anualidad contingente Cuando la fecha del primer pago depende de un hecho que se sabe ocurrirá, pero no se sabe cuando. (Ej. Renta por viudez).
Anualidad simple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
Anualidad general Cuando el periodo de pago no necesariamente coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
Anualidad vencida También conocida como ordinaria. Cuando los pagos se efectúan al final de cada periodo.
Anualidad anticipada O pagadera. Cuando los pagos se realizan al principio de cada periodo.
Anualidad inmediata Cuando los cobros (pagos) se efectúan inmediatamente después de la formalización del contrato.
Anualidad diferida Cuando se posponen la realización de los cobros (periodos de gracia).
Las Anualidades más comunes son: la Simple, la Cierta, la Ordinaria y la Inmediata. 69
Anualidad Regular (diferida)
Anualidad cuyos pagos se efectúan al final de cada periodo.
0 1 2 3 4 5
10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
Años
0 2 4 6 8 10
5,000 5,000 5,000 5,000 5,000
Años
0 3 6 9 12 15
400 400 400 400 400
Meses
Una anualidad diferida de S/.10 mil durante 5 años a intervalos anuales.
Una anualidad diferida de S/.5 mil durante 10 años a intervalos bianuales.
Una anualidad diferida de S/.400 durante 15 meses a intervalos trimestrales.
70 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Anualidad Anticipada o inmediata
Anualidad cuyos pagos iguales realizan al inicio de cada periodo.
0 1 2 3 4 5
8,000 8,000 8,000 8,000 8,000
Años
0 3 6 9 12 15
2,500 2,500 2,500 2,500 2,500
Años
0 1 2 3 4 5
1,400 1,400 1,400 1,400 1,400
Meses
Una anualidad anticipada de S/.8 mil durante 5 años a intervalos anuales.
Una anualidad anticipada de S/.2.5 mil durante 12 años a intervalos de tres años.
Una anualidad diferida de S/.1.4 mil durante 5 meses a intervalos mensuales
71 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Ejemplo 01
Anualidades
¿Qué cantidad se acumulará en 5 meses, si al finalizar cada mes se hace un
pago de $100 a una cuenta de inversiones que rinde 36% compuesto anual?
0 1 2 3 4 5
100 100 100 100 100
meses
En principio construyamos los Flujos:
Datos:
i = 36% anual = 0.36 anual
i = 0.36/12 = 0.03 mensual
n = 5 meses.
Note que el Flujo
en cada periodo
es el mismo
($100), por ello se
trata de una
Anualidad.
Cada Flujo hay que llevarlo al 5to mes
a la misma tasa mensual (3%) y de
acuerdo al número de periodos
correspondiente. 72 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Anualidades
Luego el Valor Futuro (VF) de la Anualidad en el quinto mes. será la suma
de los Valores Futuros de cada flujo en dicho mes:
5to flujo 4to flujo 3er flujo 2do flujo 1er flujo
Cada termino expresa el Valor del Flujo en el 5to mes, que es donde se
desea hallar el Valor de la Anualidad.
A partir de este método de razonamiento, se deducen Fórmulas que nos permiten calcular de
manera directa y práctica, el Valor Futuro y Presente de una Anualidad.
73 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Valor Presente y Valor Futuro de Anualidades – Fórmulas
74
VP = A 1 – (1+i)-n
i VF = A
(1+i)n – 1
i
VF = A (1+i)n – 1
i (1+i) VP = A
1 – (1+i)-n
i (1+i)
VALOR PRESENTE VALOR FUTURO
ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
Leyenda:
i : tasa de interés
n : número de periodos
A : anualidad
Note que la diferencia entre los VP y los VF, para una
Anualidad Vencida o Anticipada, es el factor (1+i). Esto se
debe a que el pago se hace con 1 periodo de desfase.
Valor Presente y Valor Futuro de Anualidades – MS Excel
75
VP = VA(tasa, nper, pago,,0) VF = VF(tasa, nper, pago,,0)
VALOR PRESENTE (VP) VALOR FUTURO (VF)
ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
VP = VA(tasa, nper, pago,,1) VF = VF(tasa, nper, pago,,1) Leyenda:
tasa : tasa de interés
nper : número de periodos
pago : anualidad
0 : anualidad vencida
1 : anualidad anticipada Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Anualidad Perpetua
Anualidad cuyos pagos iguales se espera que se prolonguen indefinidamente.
Este tipo de anualidad se presenta, cuando se coloca un capital y únicamente
se retiran los intereses.
0 1 2 3 4 5
6,000 6,000 6,000 6,000 6,000
0 2 4 6 8 10
3,200 3,200 3,200 3,200 3,200
Años
0 3 6 9 12 15
800 800 800 800 800
Meses
Una anualidad perpetua de S/.6 mil a intervalos anuales.
Una anualidad perpetua de S/.3.2 mil a intervalos bianuales.
Una anualidad perpetua de S/.800 a intervalos trimestrales.
Años
. . .
. . .
. . .
76 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua
Solo existe el Valor Presente de una Anualidad Perpetua. El Valor
Final (Futuro) de una Anualidad infinita sería infinito.
77
VP = A 1 – (1+i)-n
i
VALOR PRESENTE
VALOR FUTURO
Leyenda:
i : tasa de interés
n : número de periodos (n → ∞)
A : anualidad
lim n → ∞ = A
1 – (1+i)-n
i lim n → ∞
lim n → ∞ = A
1 – 0
i =
A
i
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua
La Anualidad Perpetua es un Método interesante para calcular el Valor de
Rescate (Valor de Desecho) de un Proyecto de Inversión.
Cuando se quiere liquidar un Proyecto hay 3 Métodos para calcular el
Valor de Rescate:
Método Contable: Valor en libros de los activos del proyecto.
Método Comercial: Valor de mercado de los activos del proyecto.
Método Económico: Valor de los Flujos Futuros que el proyecto
seguirá generando (Anualidad Perpetua).
Este tercer método es válido cuando quién compra el proyecto, va a seguir
operándolo y no piensa liquidarlo.
78 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Ejemplo 02
Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua
Juan le ofrece a su amigo Pedro el traspaso de su negocio, el cual actualmente
genera una utilidad neta de 2,000 soles mensuales. Pedro tiene una oportunidad de
inversión que le rendiría 10% mensual. ¿Cuánto es lo máximo que debería pagarle
Pedro a Juan en caso aceptará comprarle el negocio?
Como Pedro Tiene una
Oportunidad de inversión de 10%
mensual, este sería el rendimiento
mínimo que debería esperar por la
compra del negocio de Juan.
Por lo tanto:
i = 10% = 0.1 mensual
Por otro lado, como el negocio
está estabilizado y generará de
manera constante una utilidad
neta de 2,000 soles mensuales, se
trata de una Anualidad Perpetua.
A = 2,000
79 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua
Luego, lo que Pedro debe pagar
por el negocio de Juan es el Valor
Presente de una Anualidad Perpetua
de 2,000 soles mensuales a una Tasa
Mensual del 10%.
VP= A
i
Pedro debe pagar como máximo
20,000 soles.
Si Pedro paga más de 20,000 soles NO
obtendría el rendimiento de 10% mensual
que espera y sería mejor para él invertir en
la otra oportunidad de negocio que tiene,
aunque esto afecte su amistad con Juan.
Aunque la idea de calcular el valor de
Rescate por el método de la
Anualidad Perpetua es interesante,
adolece de una debilidad.
¿Cuál cree que sea? … y ¿cómo la
corregiría?
80 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
EJEMPLOS PROPUESTOS
Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de las siguientes
anualidades:
• Una anualidad diferida de S/.14.5 mil durante 7 años a intervalos anuales.
• Una anualidad diferida de S/.2.5 mil durante 10 años a intervalos bianuales.
• Una anualidad diferida de S/.750 durante 12 meses a intervalos
bimestrales.
* En todos los casos considerar una TEA de 10%.
81
Valor Presente y Valor Futuro de Anualidad Regular (diferida)
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Valor Presente y Valor futuro de Anualidad Inmediata o Anticipada
EJEMPLOS
Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de las siguientes
anualidades:
• Una anualidad anticipada de S/.3.4 mil durante 15 años a intervalos
anuales.
• Una anualidad anticipada de S/.500 durante 12 meses a intervalos
mensuales.
• Una anualidad anticipada de S/.1.8 mil durante 4 años a intervalos
semestrales.
* En todos los casos considerar una TEA de 8%.
82 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Ejercicio 1
Explique:
a) ¿Qué diferencia hay entre una anualidad regular y una anualidad inmediata?
b) En igualdad de condiciones ¿Qué anualidad tiene mayor valor futuro: una anualidad
regular o una anualidad inmediata?¿Por qué?
c) Suponga un depósito de S/.7,500 al final de cada uno de los tres años siguientes en una
cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. ¿Cuánto tendrá al terminar el periodo de tres
años?
d) Suponga un depósito de S/.7,500 al inicio de cada uno de los tres años siguientes en una
cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. ¿Cuánto tendrá al terminar el periodo de tres
años?
e) ¿Qué diferencia hay en el valor futuro de la anualidad de S/7,500 de acuerdo a los
resultados de “c” y “d”?
83 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Ejercicio 2
84
Para la compra de un automóvil que vale $25,000, se exige una cuota inicial del 40%
y el resto se cancela en cuotas mensuales, ¿A cuanto ascenderá la cuota, si los
intereses son del 1.5% efectivo mensual?
Una persona arrienda una casa en $5,000 pagaderos por mes anticipado. Si tan
pronto como recibe cada arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo
mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año?
El contrato de arriendo de una casa estipula pagos mensuales de $4,000, al principio
de cada mes, durante un año. Si suponemos un interés del 12% nominal anual
capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el valor del pago único que, hecho al
principio del contrato, lo cancelaria en su totalidad?
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Ejercicio 3
85
Palma Industria S.A. requiere contar con oficinas, por un periodo de 10 años, para ello
tiene dos alternativas, emplear el edificio “A” o emplear el edificio B. Ambos edificios
cumplen con las especificaciones que requiere la empresa, la diferencia radica en:
a) El edificio “A” requiere S/.5 millones cada año como costo de mantenimiento y S/.6
millones cada 5 años para reparaciones
b) El edificio “B” requiere S/.5.1 millones cada año como costo de mantenimiento y
S/.1 millón cada 2 años para reparaciones.
Suponiendo una TEA del 15% ¿Cuál de los edificios le resulta mas conveniente utilizar?
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Ejercicio 4
Palma Industria S.A. desea adquirir un equipo de procesamiento para su planta. En la
línea de tiempo mostrada a continuación le presentan la serie de pagos (en dólares) que
debería hacer al inicio de cada año, durante 5 años. Palma Industria desea que le ayude
a sustituir esta serie de pagos por el equivalente a una serie de 5 pagos anuales:
a) Iguales anticipados
b) Iguales vencidos
86
0 1 2 3 4 5
10,000
Años
10,000 10,000
5,000 5,000
TEA = 10%
Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Ejercicio 5
Se desea reunir un fondo de S/.100,000 mediante depósitos trimestrales de
S/8,000 cada uno. Si la TEA es 12%:
a) ¿Cuántos depósitos completos de S/.8,000 deberían efectuarse?
b) ¿Con que depósito final, hecho simultáneamente con el último depósito de
S/8,000 completaría el fondo?
c) ¿Con que depósito final, hecho un trimestre después del último depósito
de S/8,000 completaría el fondo?
87 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
Ejercicio 6
Los padres de José instruyen para que se haga un deposito de $20,000 en el banco
cuando José cumpla 9 años. Ello para que a partir de los 10 años José empiece a
recibir todos los meses, a fin de mes, los intereses que genera el deposito hecho
por sus padres. Los intereses los recibirá mientras José este vivo. La tasa de interés
efectiva mensual que paga el banco es 1%. Hoy es el cumpleaños número 8 de
José.
¿A cuando ascenderá el valor actual de todos los montos que recibirá José?
¿A cuando ascenderá el valor futuro de todos los montos que recibirá José?
88 Evaluación Financiera de Proyectos - Sesión 3
SESIÓN 4
VALOR ACTUAL NETO – VAN
TASA INTERNA DE RETORNO – TIR
89
EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS
90
AGENDA
Concepto de VAN - Introducción a la Tasa de Descuento
Definición y significado de la TIR
Relación entre el VAN y Tasa de descuento
Flujos de Caja Atípicos y Múltiples TIR
Ejercicios
VAN - TIR
Estimación del Valor Actual
Valor presente de un flujo futuro o de una serie de flujos cuando se convierte en
interés compuesto a cierta tasa (igual para todos los periodos).
91
VA = VNA(i, F1, F2, F3, F4,…Fn)
Función en Ms. Excel
0 1 2 3 4
F1
F2 F3
F4
n
Fn
…
5
F5
VA = + + + F1
(1+i)
F2
(1+i)2
F3
(1+i)3
F4
(1+i)4
Fn
(1+i)n + + …
F : Flujo de caja
i : Tasa del periodo
VA : Valor actual de los flujos
n : Número de periodos
No confundir el
Valor Actual (VA)
con el Valor Actual
Neto (VAN)
91 VAN - TIR
Valor Actual Neto - VAN
Reconoce el valor del dinero en el tiempo. Es decir, un dólar ($) de HOY vale más
que un dólar ($) de MAÑANA.
Sólo depende de los flujos de caja previstos procedentes del proyecto y del costo
de oportunidad del capital.
Debido a que todos los valores actuales se miden en moneda de hoy, es posible
sumarlos. Por ello, el VAN tiene la propiedad de aditividad:
VAN (A+B) = VAN A + VAN B
Mide en dinero de hoy, cuánto más riqueza se genera al realizar el proyecto,
por tanto mide la generación de valor. De allí que mide cuanto mas “rico” es el
inversionista si decide llevar a cabo el proyecto hoy. 92 VAN - TIR
Tasa de Descuento
La tasa de descuento debe tener un valor que represente el rendimiento
esperado de la inversión.
Es la tasa que solicita el inversionista como rendimiento de sus inversiones.
Es la tasa que normalmente gana el inversionista en sus mejores negocios.
Es la tasa que refleja el costo de oportunidad del capital que el inversionista
piensa invertir en el proyecto.
Puede estar expresada en términos nominal o reales. Lo que se debe evitar es
emplear cifras de flujos nominal y tasa de descuento real o viceversa.
93
En general si se emplean flujos de caja nominal, la tasa de descuento
debe ser nominal. Para emplear una tasa de descuento real, los flujos de
caja deben estar expresados en términos reales.
VAN - TIR
Valor Actual y Valor Actual Neto
Años
Años
Valor Actual Neto =
Valor Actual -
Inversión Inicial
0 1 2 3 4 5
Inversión Inicial
Valor Actual
Suma de flujos de caja
descontados 0 1 2 3 4 5
F1 F2
F3 F4
F5
VA
5 K K K K K
94 VAN - TIR
Estimación del Valor Actual Neto
95
VAN = VNA(K, F1, F2, F3, F4,…Fn) – I0
Función en Ms. Excel F : Flujo de caja
i : Tasa de descuento
VA : Valor actual de los flujos
n : Número de periodos
I0 : Inversión inicial
VAN = + + + F1
(1+K)
F2
(1+K)2
F3
(1+K)3
F4
(1+K)4
Fn
(1+K)n + + … – I0 +
0 1 2 3 4
F1
F2 F3
F4
n
Fn
…
5
F5
I0 = Inversión
95
Flujo de Caja
Típico: solo hay
un cambio de
signo en el flujo.
VAN - TIR
96
VAN = VNA(K, -I1, -I2, F3, F4,…Fn) – I0
Función en Ms. Excel
F : Flujo de caja
K : Tasa del periodo
VA : Valor actual de los flujos
n : Número de periodos
I0 : Inversión inicial
I1 : Inversión del periodo 1
I2 : Inversión del periodo 2
VAN = – + + I1
(1+K)
I2
(1+K)2
F3
(1+K)3
F4
(1+K)4
Fn
(1+K)n + + … – I0 –
0 1 2 3 4
F3 F4
n
Fn
…
5
F5
I0
I1 I2
Estimación del Valor Actual Neto
Flujo de Caja
Típico: solo hay
un cambio de
signo en el flujo.
96 VAN - TIR
97
VAN = VNA(K, -I1, -I2, F3, F4,…Fn) – I0
Función en Ms. Excel
VAN = – + - I1
(1+K)
I2
(1+K)2
F3
(1+K)3
I4
(1+K)4
Fn
(1+K)n + + … – I0 –
0 1 2 3
4
F3
n
Fn
…
5
F5
I0
I1 I2
Estimación del Valor Actual Neto
Flujo de Caja Atípico: hay
más de un cambio de signo
en el flujo.
I4
97 VAN - TIR
Criterio de decisión con Valor Actual Neto - VAN
Criterio de
decisión
VAN > 0
VAN = 0
VAN < 0
VAN > 0, habrá una ganancia por
encima de la tasa.
VAN = 0, es indistinto realizar el
proyecto en evaluación. El Proyecto
solo gana lo esperado.
VAN < 0, no es recomendable realizar
el proyecto por que no se alcanza la
rentabilidad que el inversionista
usualmente obtiene.
Indistinto
98
Si el VAN es negativo no necesariamente
representa pérdida, puede representar
ganancia, pero por debajo de lo
esperado.
VAN - TIR
Consideraciones con Valor Actual Neto - VAN
El VAN considera que los flujos excedentes de cada periodo se reinvierten a la tasa
del inversionista (tasa de descuento) en el mismo proyecto o en otro.
En alternativas mutuamente excluyentes los proyectos
se evalúan por separado.
Al comparar el VAN de proyectos siempre habrá de emplearse el mismo horizonte
de evaluación. Asimismo, deberán provenir de riesgos de naturaleza similar. Es
decir no servirá para comparar proyectos con distinto horizonte de evaluación. ¿Qué
podría usarse en este caso?
Mientras mas alta sea la tasa con que se evalúe el proyecto, será mas difícil que
este tenga un VAN mayor a cero o positivo.
99 VAN - TIR
Se desea evaluar un negocio de “Comida criolla por delivery”. La inversión estimada es de
$25,800 y los flujos de caja estimados para los siguientes 5 años son: 11000, 12500,
14500, 16700, 18900. Considerando que los inversionista deseen obtener una
rentabilidad de 20% ¿recomendaría llevar adelante el proyecto?. ¿En qué plazo se prevé
se recuperará la inversión?
0 1 2 3 4 5
11,000 12,500 14,500
16,700 18,900
Años
(25,800)
Ejemplo 01 Propuesto
100 VAN - TIR
Relación entre VAN y K
En proyectos con flujos de caja convencionales (Típicos), la relación
entre el VAN y la K (tasa de descuento es inversa).
Esto significa que el VAN disminuye a medida que la tasa de descuento
se incrementa.
Esto se debe a que el Inversionista es más exigente y por lo tanto lo
que queda como excedente, luego de cumplir con las expectativas
del Inversionista, es cada vez menor.
También se suele indicar que el Flujo de Caja está siendo castigado
en mayor medida, razón por la cual el VAN, valor generado por
encima de la inversión, se reduce.
101 VAN - TIR
-20,000
-10,000
0
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%
Relación VAN y TIRVAN
16,087.54
0% 47,800.00
5% 37,087.48
10% 28,566.38
15% 21,695.92
20% 16,087.54
25% 11,457.47
30% 7,595.35
35% 4,343.06
40% 1,580.26
45% -785.76
50% -2,827.16
55% -4,600.71
60% -6,151.49
65% -7,515.59
70% -8,722.18
75% -9,795.00
80% -10,753.51
85% -11,613.78
90% -12,389.16
95% -13,090.82
100% -13,728.13
Relación entre VAN y K
TIR
102 VAN - TIR
Tasa Interna de Retorno - TIR
Es aquella tasa que aplicada a los flujos de caja de un proyecto, iguala el valor actual
de estos a las inversiones previstas. Es decir hace el VAN = 0.
Mide la rentabilidad de una inversión y de los flujos que permanecen invertidos en el
proyecto.
Es uno de los índices de mayor empleo en finanzas.
Puede ser una medida práctica , pero, también puede ser una medida engañosa. Por
ello se requiere mucho cuidado en su aplicación.
Desde el punto de vista comercial, hablar de TIR es más entendible que hablar de VAN.
El término rentabilidad es ampliamente empleado, de allí su sencillez para tomar y
trasmitir decisiones de inversión.
103 VAN - TIR
Estimación de la TIR
104
TIR = TIR(–I0 , F1, F2, F3, F4,…Fn)
Función en Ms. Excel F : Flujo de caja
TIR : Tasa Interna de Retorno
n : Número de periodos
I0 : Inversión inicial
0 = + + + F1
(1+TIR)
F2
(1+TIR)2
F3
(1+TIR)3
F4
(1+TIR)4
Fn
(1+TIR)n
+ + … – I0 +
0 1 2 3 4
F1
F2 F3
F4
n
Fn
…
5
F5
I0 = Inversión
104 VAN - TIR
105
TIR = TIR(–I0,–I1, –I2, F3, F4,…Fn)
Función en Ms. Excel F : Flujo de caja
n : Número de periodos
I0 : Inversión inicial
I1 : Inversión del periodo 1
I2 : Inversión del periodo 2
0 = – + + I1
(1+TIR)
I2
(1+TIR)2
F3
(1+TIR)3
F4
(1+TIR)4
Fn
(1+TIR)n
+ + … – I0 –
0 1 2 3 4
F3 F4
n
Fn
…
5
F5
I0
I1 I2
Estimación de la TIR
105 VAN - TIR
Criterio de decisión con la Tasa Interna de Retorno - TIR
• Es un índice que permite
medir la rentabilidad que se
esta obteniendo en el
proyecto.
Rentabilidad del
Proyecto
VAN (TIR) = 0 Es la tasa a la cual el VAN se hace igual a cero.
Ingresos futuros Egresos futuros Es la tasa que equipara todos los
ingresos con los egresos del proyecto medidos en el momento inicial o de evaluación del proyecto.
TIR = Tasa Mínima Es la tasa de rentabilidad mínima que se obtendría en un proyecto.
106 VAN - TIR
Criterio de
decisión
TIR > K
TIR = K
TIR < K
TIR > K, habrá una ganancia por
encima de la tasa.
TIR = K, el inversionista solo obtiene
su costo de oportunidad.
TIR < K, no es recomendable realizar
el proyecto por que no se alcanza la
rentabilidad que el inversionista
usualmente obtiene.
Indistinto
Si las TIRs son similares entre varias alternativas, es mejor escoger aquella que presente
menor riesgo y me permita tener mayor liquidez.
Criterio de decisión con la Tasa Interna de Retorno - TIR
107 VAN - TIR
Se desea evaluar un negocio de “Comida criolla por delivery”. La inversión estimada es de
$25,800 y los flujos de caja estimados para los siguientes 5 años son: 11000, 12500,
14500, 16700, 18900. Considerando que los inversionista deseen obtener una
rentabilidad de 20% ¿Cuál sería la rentabilidad que se estaría obteniendo en la inversión?
0 1 2 3 4 5
11,000 12,500 14,500
16,700 18,900
Años
(25,800)
Ejemplo 02 Propuesto
108 VAN - TIR
Múltiples Tasas Internas de Retorno
En los flujos de caja convencionales (Típicos) se suele tener un solo cambio
de signo, el cual sucede cuando en primer lugar se realiza la inversión y
luego se suceden los ingresos como resultado del proyecto.
Sin embargo, existen situaciones en las que a lo largo del horizonte de
evaluación del proyecto se pueden presentar salidas o desembolsos de
dinero. Si imaginamos una línea de tiempo, tendremos entonces, un flujo
negativo, correspondiente a la inversión, luego flujos positivos y nuevamente
un flujo negativo, ocasionado por alguna salida importante de dinero.
109
Por lo tanto se tiene más de un cambio de signo en el flujo de caja.
VAN - TIR
Situaciones como las señaladas se presentan cuando por ejemplo Existen
costos importantes de desinstalación (ej. Si se explota una mina, puede que
se tenga que invertir en recuperar el terreno).
Teniendo en cuenta situaciones como las descritas previamente, al
momento de estimar la TIR, nos encontraremos con que habrá más de
un resultado que produzca un VAN igual a cero, ello producto de los
cambios de signo en la ecuación que estima la TIR.
De allí que teniendo en cuenta la “regla de los signos “ de Descartes,
puede haber tantas soluciones diferentes para un polinomio como
cambios de signo tenga.
Múltiples Tasas Internas de Retorno
Por lo tanto se tendrán varias TIRs 110 VAN - TIR
111
25% 400%
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
0% 100% 200% 300% 400% 500% 600%
Tasa Interna de Retorno - TIR
VAN
32.04
0% -160.00
25% 0.00
50% 62.22
75% 84.90
100% 90.00
125% 86.91
150% 80.00
175% 71.40
200% 62.22
225% 53.02
250% 44.08
275% 35.56
300% 27.50
325% 19.93
350% 12.84
375% 6.20
400% 0.00
425% -5.80
Múltiples Tasas Internas de Retorno
Aquí encontramos 2 TIRs
VAN - TIR
VAN
7.28
0% 40.00
5% -3.52
10% -20.60
15% -23.15
20% -18.26
25% -10.12
30% -1.15
35% 7.28
40% 14.45
45% 20.02
50% 23.91
55% 26.14
60% 26.83
65% 26.12
70% 24.16
75% 21.13
80% 17.16
85% 12.39
90% 6.96
95% 0.97
100% -5.47
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%
Tasa Interna de Retorno - TIR
Múltiples Tasas Internas de Retorno
Aquí encontramos 3 TIRs
112 VAN - TIR
Período de retorno (PBP)
• Es la velocidad del retorno financiero expresado como número
de periodos de tiempo requeridos para recuperar la inversión
antes que el beneficio empiece a ser acumulado.
• Por lo general NO considera el Valor del Dinero en el Tiempo.
• No toma en cuenta los Flujos futuros más allá de del Periodo de
Recuperación.
• Siempre se debe seleccionar el proyecto con menor PBP.
113
VAN - TIR
K = 10% VAN - TIR 114
¿Qué Proyecto seleccionaría, si su criterio de evaluación fuese solo
económico?
VAN ($) TIR (%) (K = 20%)
PR (Años)
Proyecto A 5,000 25 2
Proyecto B 7,000 22 2,5
Proyecto C 4,000 24 1,8
115 VAN - TIR
Ejercicio VAN y TIR
Considere un proyecto de 5 años cuyos ingresos para el año 1 serán $54,500 y
luego crecerán a una tasa del 12%.
De otro lado tendrá los siguientes egresos:
Costos 65% de los ingresos de cada año.
G. Administración $2,000 anuales.
G. Ventas 5.5% de los ingresos cada año
Impuestos para los 5 años, $1,200, 1,310 , 1,480 , 1,610 y 1,720.
La inversión estimada en el momento actual es $40,500. No se tiene valor de
recupero.
Con dicha información calcule el VAN considerando una tasa del inversionista del
10% anual.
Calcule la TIR.
¿Recomienda llevar adelante el proyecto.?
116 VAN - TIR